Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Проблема описания известных в Природе четырех фундаментальных взаимодействий в рамках единой теории поля до сих пор остается центральной в современной теоретической физики высоких энергий. Основные успехи, достигнутые на этом пути за последние 25-30 лет, общеизвестны и стали возможны благодаря развитию теории калибровочных полей.
В основе теории калибровочных полей лежит принцип локальной калибровочной инвариантности. Этот принцип требует существования калибровочных полей, введенных в физику Янгом и Миллсом в связи с попытками построения теории сильных взаимодействий. По современной терминологии неабелевые калибровочные поля (поля Янга-Миллса) совместно с электромагнитным и гравитационным образуют семейство калибровочных полей.
Корректные правила квантования теорий с калибровочной группой в ла-гранжевом (ковариантном) формализме были сформулированы в работах Фаддеева и Попова, Девитта, Мандельстама, Фрадкина и Тютина и известны в настоящее время как правила Фаддеева-Попова.
Следующий принципиальный этап для всего развития теории калибровочных полей связан с работами Бекки, Руэ, Стора и Тютина. В этих работах была открыта глобальнная инвариантность (БРСТ-инвариантность) квантового действия, используемого в правилах Фаддеева-Попова. Наличие БРСТ-спмметрии в теориях Янга-Миллса позволило Зинн-Жустену переформулировать правила Фаддеева-Попова в виде, в котором выявляется общее для всех калибровочных теорий содержание и упрощаются многие общие расссуждения. А именно, путем введения дополнительных источников к БРСТ-преобразованиям калибровочное содержание теории и наличие БРСТ-симметрии удалось выразить в виде некоторого квадратичного уравнения (не содержащего явно упоминания об исходной калибровочной группе) для расширенного действия. Это наблюдение явилось важнейшим для всего дальнейшего развития квантовой теории калибровочных полей.
Открытие БРСТ-симметрии позволило также рассматривать вопрос
об унитарности теории непосредственно в рамках лагранжева квантования благодаря формализму, открытому в работе Куго и Оджимы. Основным объектом в формализме Куго-Оджимы выступает нетеровский заряд (БРСТ-заряд), отвечающий БРСТ-симметрии. С помощью БРСТ-заряда, обладающего важным свойством нильпотентности, можно корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.
Открытие суперсимметрии и супергравитации привело к расширению понятия калибровочной теории. Оказалось, что, в отличие от теорий Янга-Миллса, в алгебре генераторов локальной суперсимметрии, во-первых, структурные коэффициенты могут зависить от полей, а, во-вторых, сама алгебра этих генераторов может быть открыта слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры). Квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй в лагранжевом формализме было предложено де Вит и ван Хольтеном. Окончательный и современный вид квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй в лагранжевом формализме получило в работах Баталина и Вилковыского.
Помимо БРСТ-симметрии, квантовое действие теорий Янга-Миллса, построенное по правилам Фаддеева-Попова, оказывается (в некоторых калибровках) инвариантным относительно еще одной глобальной суперсимметрии, названной анти-БРСТ-симметрией. Общепринятым сейчас термином является "расширенная БРСТ-симметрия", объединяющим БРСТ- и анти-БРСТ-симметрпи. Принцип расширенной БРСТ-симметрии положен в основу нового метода квантования произвольных калибровочных теорий, открытого в работах Баталина, Лаврова и Тютина.
Геометрическая интерпретация расширенной БРСТ-симметрии в теориях Янга-Миллса была найдена в работах Боноры, Пасти и Тонина, в которых было показано, что за счет расширения пространства Минковско-го путем добавления двух антикоммутирующих координат преобразования расширенной БРСТ-симметрии можно связать с супертрансляциями вдоль этих дополнительных координат.
Изучение свойств калибровочных теорий в рамках новых подходов к кван-
тованию только начинается и этим обусловлена актуальность исследований в данном направлении, которым и посвящена данная диссертация.
Цель работы
Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:
формулировке правил суперполевого БРСТ-квангования в лагранжевом формализме для произвольных калибровочных теорий;
исследовании проблемы физической унитарности в рамках лагранже-вой версии метода расширенного БРСТ-квантования калибровочных теорий общего вида (метода 8р(2)-ковариантного квантования);
решении производящих уравнений калибровочной алгебры для основных объектов лагранжевой и гамильтоновой формулировок метода Sp(2)-ковариантного квантования в случае неприводимых калибровочных теорий.
Научная новизна и практическая ценность работы
В работе сформулированы правила лагранжева квантования для калибровочных теорий общего вида на основе суперполевой реализации стандартной БРСТ-симметрии. В рамках предложенной схемы суперполевого квантования дано доказательство независимости S-матрицы от выбора калибровки. Получена суперполевая форма тождеств Уорда и выявлен их геометрический смысл, состоящий в инвариантности производящего функционала функций Грина при трансляциях вдоль грассмановской координаты суперпространства. Установлено соответствие между сформулированным методом суперполевого лагранжева квантования и методом БВ-квантования калибровочных теорий общего вида. Показано, что произодящий функционал функций Грина схемы БВ-квантования отвечает частному случаю выбора решения производящего уравнения и калибровки в рамках суперполевого подхода.
Рассмотрена проблема физической унитарности в рамках лагранжевой версии метода 8р(2)-ковариантного квантования. Ввведены квантовые преобразования расширенной БРСТ-симметрии в форме преобразований симметрии эффективного действия и изучены их алгебраические свойства, а
также свойства соответствующих операторов нетеровских зарядов. Дано доказательство существования в произвольных (при отсутствии аномалий), как неперенормированиых так и перенормированных, калибровочных теориях нетеровских операторов с алгебраическими свойствами, требуемыми для анализа физической унитарности в рамках расширенной БРСТ-симметрии. Исследована структура пространтства состояний калибровочных теорий общего вида на основе изучения представлений алгебры генераторов преобразований расширенной БРСТ-симметрии и оператора гостовского числа. Сформулированы условия физической унитарности для калибровочных теорий общего вида.
Полученные результаты проиллюстрированы на примере известной калибровочной модели Фридмана-Таунсенда (модели антисимметричного не-абелева тензорного поля), а также модели со вспомогательным скалярным полем. На основе анализа асимптотических состояний указанных калибровочных теорий в рамках лагранжева 8р(2)-ковариантного формализма установлена причина физической унитарности в первой из моделей и источник неунитарности во второй.
Рассмотрена процедура решения производящих уравнений калибровочной алгебры для динамических систем с неприводимыми связями первого рода, а также калибровочных теорий с неприводимыми генераторами, соответственно, в рамках лагранжевой и гамильтоновой версий метода Sp(2)-ковариантного квантования. Получены явные решения для основных объектов 8р(2)-ковариантного формализма, требуемых для построения квантового действия — бозонного функционала S в лагранжевом формализме, а также боэонной функции "Н и дублета фермионных функций 0а в гамиль-тоновом формализме — с точностью до третьего порядка по степеням переменных гостовского и вспомогательного секторов, достаточной для проведения большинства вычислений по теории возмущений. Последним фактом, в частности, обусловлена практических ценность полученных результатов.
Публикации
Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 11 работах.
Структура и объем работы