Теоретические расчёты вероятностей возбуждения и перезарядки в столкновениях тяжёлых многозарядных ионов Мальцев Илья Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Перезарядка в столкновениях водородоподобного иона с голым ядром 11

1.1 Постановка задачи и используемые приближения 15

1.2 Уравнение Дирака во вращающейся системе координат

1.2.1 Уравнение Дирака в цилиндрической системе координат 18

1.2.2 Переход во вращающуюся систему отсчёта 22

1.3 Метод расчёта 23

1.3.1 Базисные сплайны Эрмита 24

1.3.2 Построение базиса 29

1.3.3 Уравнение Дирака в конечном базисе 32

1.3.4 Решение стационарного уравнения Дирака 37

1.3.5 Решение нестационарного уравнения Дирака

1.4 Результаты расчётов 45

1.5 Выводы 48

2 Рождение электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых ионов 55

2.1 Процессы во внешнем поле, нарушающем стабильность вакуума 58

2.1.1 Рождение электрон-позитронных пар з

2.1.2 Вероятность для вакуума остаться вакуумом 62

2.1.3 Вероятность возбуждения 64

2.2 Метод расчёта 66

2.2.1 Траектория движения ядер 66

2.2.2 Монопольное приближение 69

2.2.3 Радиальное уравнение Дирака в конечном базисе 72

2.3 Результаты расчётов 78

2.3.1 Вероятность остаться в исходном состоянии 78

2.3.2 Рождение электрон-позитронных пар в столкновениях с резерфордовским рассеянием ядер 81

2.3.3 Рождение электрон-позитронных пар в столкновениях с модифицированным законом движения ядер 85

2.4 Выводы 86

Заключение 95

Список сокращений 97

Литература

• Уравнение Дирака в цилиндрической системе координат
• Решение стационарного уравнения Дирака
• Вероятность для вакуума остаться вакуумом
• Рождение электрон-позитронных пар в столкновениях с резерфордовским рассеянием ядер

Введение к работе

Актуальность работы

К настоящему времени предсказания квантовой электродинамики (КЭД) были с высокой точностью проверены в сильных полях многозарядных ионов [,]. Однако область так называемых сверхкритических полей до сих пор не исследована должным образом в эксперименте. Вместе с тем в присутствии таких полей должны наблюдаться качественно новые эффекты, обусловленные нестабильностью вакуума и возможностью его спонтанного распада путём образования электрон-позитронных пар -]. Сверхкритический режим может быть достигнут в низкоэнергетическом столкновении двух тяжёлых ионов, если суммарный заряд их ядер больше некоторого критического Zc ~ 173. При этом основное одноэлектронное состояние образовавшейся квазимолекулярной системы опускается до отрицательно-энергетического континуума, превращаясь в резонанс, и возможен его последующий распад с перестройкой вакуума и испусканием позитрона [5,]. Регистрация испущенных частиц стала бы прямым свидетельством данного эффекта. Однако для этого необходимо идентифицировать вклад спонтанного механизма в рождение электрон-позитронных пар на фоне мощного динамического процесса рождения частиц. В качестве альтернативы можно рассчитывать обнаружить погружение основного одноэлектронного состояния в отрицательно-энергетический континуум косвенным образом, посредством наблюдения за различными процессами, происходящими в столкновениях тяжёлых ионов, такими как, например, перезарядка ]. Ожидается, что ввод в строй ускорительного комплекса ФАИР (от англ. FAIR - "Facility for Antiproton and Ion Research") откроет новые возможности для изучения низкоэнергетических столкновений тяжёлых ионов ,], что делает теоретические исследования в этой области крайне актуальными.

Настоящая диссертация посвящена расчётам процессов возбуждения, перезарядки и рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых ионов. Цель работы Основными целями диссертации являются:

1. Разработка метода расчёта процесса перезарядки в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых многозарядных ионов.

2. Расчёт вероятностей перезарядки в низкоэнергетических столкновениях тяжёлого одноэлектронного иона с голым ядром для различных значений заряда сталкивающихся ионов и прицельного параметра.

3. Разработка метода расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых многозарядных ионов.

4. Систематические вычисления вероятностей рождения электрон-позитронных пар, а также позитронных спектров для симметричных столкновений голых ядер с различными значениями заряда и прицельного параметра.

5. Исследование роли спонтанного механизма рождения электрон-позитронных пар посредством расчёта столкновений с модифицированным законом движения ядер.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

6. Разработан новый метод расчёта процесса перезарядки в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых многозарядных ионов.

7. Разработан новый метод расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжелых многозарядных ионов.

8. Вычислены вероятности рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях голых ядер с модифицированной скоростью, продемонстрировано существование спонтанного механизма рождения частиц в рассматриваемой модели.

Научная и практическая значимость работы

1. Разработана новая техника расчёта процесса перезарядки в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых многозарядных ионов. Проведены

вычисления вероятностей перезарядки в столкновениях тяжёлого од-ноэлектронного иона с голым ядром.

2. Разработана новая техника расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых ионов. С её помощью проведены систематические расчёты вероятностей рождения частиц в столкновениях голых ядер, исследована роль спонтанного рождения пар.

3. Проведен независимый расчёт вероятностей рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях голых ядер урана. Разрешено разногласие между соответствующими результатами, полученными иными методами.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработан новый метод расчёта процесса перезарядки в столкновениях тяжёлых многозарядных ионов.

2. Проведены вычисления вероятностей перезарядки в низкоэнергетических столкновениях голого ядра с одноэлектронным ионом для различных значений заряда сталкивающихся ионов и прицельного параметра.

3. Разработан новый метод расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых многозарядных ионов.

4. Проведены систематические вычисления вероятностей рождения электрон-позитронных пар, а также спектров испущенных позитронов для симметричных столкновений голых ядер с различными значениями заряда и прицельного параметра.

5. Исследована роль спонтанного механизма рождения электрон-позитронных пар посредством расчёта столкновений с модифицированным законом движения ядер.

Апробация работы

Работа неоднократно докладывалась на семинарах кафедры квантовой

механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Её результаты также были представлены на международных конференциях в Гейдельберге (HCI 2012: 16th International Conference on the Physics of Highly Charged Ions), Орхусе (ECAMP 2013: 11th European Conference on Atoms, Molecules and Photons), Вормсе (FAIR 2014: International Conference on Science and Technology for FAIR in Europe 2014), Толедо (ICPEAC 2015: XXIX International Conference on Photonic, Electronic, and Atomic Collisions) и всероссийской конференции в Воронеже (ФАС-ХХ: XX Конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 2013). Список опубликованных работ по теме диссертации

6. I. A. Maltsev, С В. Deyneka, I. I. Tupitsyn, V. М. Shabaev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien and Th. Stohlker, Relativistic calculations of charge transfer probabilities in U⁹²⁺ — U⁹¹⁺ (Is) collisions using the basis set of cubic Hermite splines. // Physica Scripta, 2013, vol. T156, p. 014056.

7. G. B. Deyneka, I. A. Maltsev, 1.1. Tupitsyn, V. M. Shabaev, A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, and Th. Stohlker, Relativistic calculations of the U⁹²⁺ — U⁹¹⁺ (Is) collision using the finite basis set of cubic Hermite splines on a lattice in coordinate space. // European Physical Journal D, 2013, vol. 67, p. 258.

8. I. A. Maltsev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, and Th. Stdhlker, Electron-positron pair creation in low-energy collisions of heavy bare nuclei. // Physical Review A, 2015, vol. 91, p. 032708.

Личный вклад автора

На основе результатов, представленных в диссертации, совместно с соавторами было опубликовано три статьи в индексируемых Web of Science и Scopus журналах (Physical Review A, European Physical Journal D и Physica

Scripta). Персональный вклад соискателя в работы 1 и 3 является определяющим, в работе 2 результаты расчётов в приближении центрального столкновения принадлежат соискателю, расчёты в монопольном приближении были выполнены соискателем совместно с соавторами. Все новые результаты, представленные в диссертации, получены лично автором. Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 104 страницы с 18 рисунками и 3 таблицами. Список литературы содержит 87 наименований.

Уравнение Дирака в цилиндрической системе координат

В данной главе рассматривается столкновение водородоподобного иона А (мишень) с голым ядром В (снаряд) при энергии вблизи кулоновского барьера. При этом движения ядер и электрона описываются раздельно. Поскольку масса ядер значительно больше массы электрона и их де-бройлевская длина волны гораздо меньше характерных размеров электронных оболочек, ядерную динамику можно рассматривать с точки зрения классической механики. Согласно классическим уравнениям движения, под действием электростатических сил отталкивания ионы движутся по резерфордовским траекториям (см. раздел 2.2.1). Однако, в данной работе при расчёте вероятностей перезарядки считалось, что мишень покоится, а снаряд движется прямолинейно и равномерно. Было обнаружено, что такое приближение не оказывает существенного влияния на результаты вычислений. Так как скорость столкновения небольшая по сравнению со скоростью света {р/с 0,1), релятивистскими эффектами и магнитной составляющей взаимодействия электрона с ядрами можно пренебречь.

Движение электрона происходит во внешнем поле, создаваемом ядрами. Поскольку это поле достаточно сильное (a {ZA + ZB) 1), скорость электрона сравнима со скоростью света, и необходимо рассматривать его движение релятивистским образом. Релятивистская электронная динамика описывается нестационарным уравнением Дирака, которое в инерциальной системе отсчёта, связанной с мишенью А, имеет следующий вид: г = Щ(гЛ (1-І) Н = с(а-р) + (Зтес2 + VAB(r,t). (1.2) Здесь tfj(r,t) - четырёхкомпонентная релятивистская волновая функция электрона, (X и (3 - матрицы Дирака, Уд.в(г,) - двухцентровый потенциал сталкивающихся ядер: VAB(r,t) = KuclM + KuclM , TB(t) =Г- RB(t), (1.3) где Vnucl - потенциал мишени, находящейся в начале координат, V cl - потенциал снаряда, Reft) - положение снаряда. В данной работе в расчётах процесса перезарядки использовалась точечная модель ядра, согласно которой Ze2 Kucl(r) = . (1.4)

Вначале рассмотрим столкновение в лабораторной инерциальной системе отсчёта. Для этого введём декартову систему координат (ж0, у0, 0) неподвижную относительно мишени А таким образом, что оси у0 и Z0 лежат в плоскости столкновения, а мишень расположена в начале координат (см. рисунок 1.1). Пусть RAB межъядерная ось, тогда движение снаряда В представляет собой изменение расстояния между ядрами RAB С поворотом RAB вокруг оси Х0 со скоростью uj{t) = 0(t), где в{t) - угол между RAB И Z0- В случае прямолинейного движения снаряда скорость поворота определяется выражением где v - скорость снаряда, Ь - прицельный параметр, момент времени t = О соответствует максимальному сближению ядер.

В данной работе для решения уравнения (1.1) столкновение рассматривается в системе отсчёта, вращающейся вместе с межъядерной осью. Определим новую систему координат (x,y,z) таким образом, что ось z совпадает в каждый момент времени с RAB а ось х совпадает с X0. В такой системе координат межъядерное расстояние меняется так же, как в лабораторной системе отсчёта, а снаряд движется вдоль оси z. Столкновение, таким образом, сведётся к центральному удару. Если пренебречь неинерциальностью вращающейся системы отсчёта, то электронная динамика в новых координатах будет описываться уравнением (1.1) с гамильтонианом (1.2), который будет инвариантен относительно поворотов вокруг оси z, что даёт возможность понизить размерность задачи с трёх до двух (см. параграф 1.2.1). Чтобы учесть вращение межъядерной оси, необходимо добавить к гамильтониану дополнительный член (см. параграф 1.2.2).

Решив нестационарное уравнение Дирака (1.1), можно получить конечную волновую функцию, которая содержит всю необходимую информацию о вероятностях возбуждения и перезарядки. Отметим, однако, что при этом игнорируется заселённость состояний отрицательно-энергетического континуума. Правильный учёт вклада отрицательно-энергетических состояний в трёхмерном случае представляет собой очень трудную с вычислительной точки зрения задачу. В данной работе оценка этого вклада была выполнена только в монопольном приближении для вероятности мишени остаться в начальном состоянии (параграф 2.3.1). Чтобы получить начальное состояние мишени необходимо решить стационарное уравнение Дирака Н0фп(г) = епфп{г)) (1.6) где еп - энергия п-го стационарного состояния, фп{г) - его волновая функция, Но - независящий от времени одноцентровый гамильтониан: Н0 = с(а р) + (Зтес2 + V±cl(r). (1.7)

Поскольку двухцентровый потенциал ядер инвариантен относительно поворотов вокруг межъядерной оси, удобно рассматривать уравнение Дирака в цилиндрической системе координат (p,(p,z), в которой ось z совпадает с межъядерной осью (см. параграф 1.2.1). Однако, в случае столкновения с ненулевым прицельным параметром такая система координат будет неинер-циальной. Для того чтобы учесть это обстоятельство, необходимо модифицировать соответствующим образом уравнение Дирака (см. параграф 1.2.2).

Решение стационарного уравнения Дирака

Здесь к 0 - номер итерации, вектор bk с увеличением к будет сходиться к стах, а А& будет стремиться к тах. Начальный вектор bo может быть выбран произвольным образом. Рассмотрим следующее матричное уравнение на собственные значения:

Наибольшее собственное число e ax и соответствующий ему собственный вектор в данном случае также могут быть получены с помощью степенного метода аналогично (1.76). При этом будет выполняться условие Л = _2 2 /-і уо\ fcmax fcmax fcmin V / которое позволяет найти минимальное по модулю собственное значение єт[п матрицы гамильтониана Нто, соответствующий ему собственный вектор будет совпадать с таковым для Єщах.

Матрица Нто является разреженной, поэтому требует незначительный объём оперативной памяти для своего хранения, и умножение Нто на вектор представляет собой достаточно быструю операцию, так как в неё вовлекаются только ненулевые матричные элементы. Однако, матрица SQ уже является плотной, что вновь приводит к необходимости выделять слишком большой объём оперативной памяти. Кроме того, умножение SQ на вектор будет наиболее затратной процедурой в ходе выполнения итераций степенного метода и окажет критическое влияние на скорость расчёта. Данную проблему можно решить, используя тот факт, что матрица перекрывания So при соответствующей нумерации базисных функций представляет собой следующее прямое где Sjz(z) = sviz(z) и Sj (p) = sf (p) - одномерные кубические БСЭ, из которых строятся базисные функции (см. формулу (1.49)), индексы = jz{y iz) и jp = jp(fii ip) определённым образом нумеруют сплайны. Из выражения (1.79) следует, что

В результате надо хранить лишь очень небольшие матрицы S и S , и нет никакой необходимости получать So в явном виде. Таким образом, удается значительно снизить требования к объёму оперативной памяти компьютера и одновременно существенно ускорить вычисления, так как разложение (1.81) даёт возможность оптимизировать умножение матрицы на вектор.

Метод решения нестационарного уравнения Дирака или Шрёдингера с одной стороны должен обладать достаточным быстродействием, с другой стороны он должен гарантировать устойчивость и точность расчётов. Более устойчивыми являются методы сохраняющие норму волновой функции, среди которых особо широко применяются метод Кранка-Николсон [63], метод сплит-оператора [64, 65] и метод Арнольди-Ланкцоша [66]. Несмотря на низкую стабильность, подходы, не гарантирующие сохранение нормы, также иногда используются [17, 20]. Целесообразность применения того или иного метода зависит от условий конкретной задачи. Ниже описаны подходы, которые использовались в данной работе.

Формальное решение нестационарного уравнения Дирака в конечном базисе (1.67) может быть записано следующим образом (см., например, [67]): где T - оператор временного упорядочивания. Методы численного решения нестационарного уравнения (1.67) основаны на разбиении временного интервала [tin, out] на подинтервалы At І, при этом матрица временной эволюции для полного интервала принимает вид [67] U (Ut, t ) = П U fe + ДМІ) , (1-84) где to = tin, ti+\ = t{ + At І и tpj = tout- Последовательно действуя пропага-торами U (t{ + At І) на начальный вектор C(tin), можно получить конечный вектор C(tout) Далее, для упрощения выражений, по умолчанию будет предполагаться, что шаг по времени равномерный (AtІ = At). Однако, необходимо отметить, что использование неравномерного разбиения интервала [tin,tout] также возможно, и, более того, в определённых случаях путём оптимального выбора такого разбиения можно улучшить баланс между быстродействием и точностью алгоритма.

Последнее равенство в данном выражении следует из разложения Магнуса [68, 69]. Для достаточно короткого промежутка At можно считать, что Н() не изменяется существенно в течение At, и применить следующую формулу:

Получить вектор C(t + At) можно, диагонализовав матрицу H(t + At/2). В её собственном базисе XJ(t,t + At) также имеет диагональный вид. Такой метод сохраняет норму волновой функции и является наиболее точным в рамках приближения (1.88) для заданного шага At. Однако, диагонализация матрицы является чересчур затратной процедурой, и на практике такой подход применим только при очень небольшом размере базиса (порядка сотни базисных функций).

В качестве альтернативы можно воспользоваться разложением оператора U по степеням At: C{t + At) - iS HA - \ ( S HA )2 + C(t), (1.89) где H = H(t + At/2). Оборвав данное разложение на некотором члене, можно получить C{t+At). Численный расчёт при этом сведётся к определенному количеству матрично-векторных умножений. Умножение матрицы Н на вектор является относительно быстрой операцией вследствие разреженности Н. Базисный набор, который используется в настоящей работе, даёт возможность для умножения вектора на матрицу S применить следующее разложение:

Вероятность для вакуума остаться вакуумом

В данном параграфе представлены результаты расчётов процесса рождения электрон-позитронных пар в столкновениях голых ядер с модифицированной зависимостью межъядерного расстояния от времени. Такие расчёты были проведены с целью продемонстрировать наличие в используемой модели спонтанного механизма рождения пар. Параметры базисного набора при этом совпадали с приведенными в предыдущем параграфе.

В частности, были рассмотрены сверхкритическое U—U и докритическое Fr—Fr столкновения с искусственным законом движения ядер при ст = 674.5 и ст = 740 МэВ, соответственно. Введём новый закон движенияa(): соответствует классическому резерфордовскому рассеянию. На рисунке 2.5 представлено число рождённых пар как функция для центральных столкновений U—U и Fr—Fr. В обоих случаях () монотонно растёт при больших , что можно объяснить усилением динамического рождения пар вследствие более быстрого изменения потенциала. При малых значениях , для которых динамический механизм подавлен, () увеличивается в U—U столкновениях и стремится к нулю в Fr—Fr столкновениях, что демонстрирует наличие спонтанного механизма рождения пар в сверхкритическом случае.

Также были рассмотрены траектории с задержкой в точке максимального сближения ядер. Подобные траектории можно использовать для моделирования гипотетических столкновений со слипанием ядер [6]. В сверхкритическом случае такая задержка должна увеличить спонтанное рождение пар. На рисунках 2.6 и 2.7 можно увидеть позитронные спектры, рассчитан -86 ные для центральных Fr— Fr и U—U столкновений, соответственно, с различными значениями Т. Для Fr—Fr столкновений форма позитронного спектра существенно меняется с увеличением Т. Однако, вариации полного числа рожденных пар в докритическом случае меньше 15%, и они осциллируют с изменением Т. В сверхкритических U—U столкновениях Р увеличивается монотонно с возрастанием Т, что указывает на увеличение спонтанного рождения пар. Из графиков видно, что в обоих случаях для больших значений Т появляются вторичные пики. Однако, в сверхкритическом случае, главный пик значительно выше остальных, и с возрастанием Т он непрерывно увеличивается и сдвигается в сторону меньших энергий. Это приводит к выводу, что спонтанный механизм рождения пар дает вклад главным образом в области главного пика при больших значениях Т. Результаты, полученные в данной работе для позитронных спектров в U—U столкновениях с задержкой, хорошо согласуются со значениями работы [41] и отличаются от данных работы [43], особенно для малых энергий позитронов.

В данной главе был изложен метод расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар в низкоэнергетических столкновениях тяжёлых ионов. Подход основан на развитии во времени начальных одноэлектронных состояний в поле сталкивающихся ядер путём численного решения нестационарного уравнения Дирака в монопольном приближении. Расчёты проводятся в конечном базисе, который строится из В-сплайнов либо БСЭ с помощью техники дуально-кинетического баланса. Применяемый базисный набор предотвращает появление в спектре нефизических шпуриозных состояний и приводит к сильной разряженности матриц перекрывания и гамильтониана, что позво -87 ляет кардинальным образом ускорить численные расчёты.

С помощью разработанного метода были рассчитаны энергетические спектры позитронов и полное число рождающихся частиц в симметричных столкновениях голых ядер для различных значений прицельного параметра и заряда сталкивающихся ядер. Наличие в рассматриваемой модели механизма спонтанного рождения электрон-позитронных пар было продемонстрировано путем расчёта столкновений с модифицированной скоростью и задержкой в точке максимального сближения ядер.

Результаты, полученные для U—U столкновений, хорошо согласуются с соответствующими значениями из работы [41]. Вычисления демонстрируют очень сильную зависимость динамического рождения пар от заряда сталкивающихся ядер, что подтверждает результат из работы [40]. Энергетические позитронные спектры, рассчитанные для центральных U—U, Fr—Fr и Db—Db столкновений, не согласуются с соответствующими результатами из работы [43]. Таким образом, проведенные вычисления подтверждают результаты расчётов немецкой группы [41], которые расходятся с результатами канадской группы [43].

Разработанный метод также был использован для расчёта вероятности мишени остаться в начальном состоянии в столкновении водородоподобно-го иона урана (мишень) с голым ядром (снаряд) с учётом заселённости отрицательно-энергетического континуума. Полученные результаты были сопоставлены со значениями, рассчитанными в рамках одноэлектронного подхода, и было обнаружено, что различие между ними довольно мало.

Сравнение различных докритических и сверхкритических сценариев приводит к выводу о невозможности обнаружения прямых свидетельств спонтанного рождения пар в энергетических позитронных спектрах в упругих столкновениях тяжелых ионов. Однако, можно ожидать, что детальные исследования различных процессов в таких столкновениях, включая угловое распределение вылетающих позитронов, могут быть использованы для проверки КЭД в сверхкритическом режиме. Для проведения подобных исследований необходимы методы расчёта процесса рождения электрон-позитронных пар за рамками монопольного приближения. Ожидается, что дальнейшее развитие подхода, представленного в данной диссертации, позволит такие расчёты осуществить.

Рождение электрон-позитронных пар в столкновениях с резерфордовским рассеянием ядер

С целью оценки влияния отрицательно-энергетических состояний на процессы в столкновениях тяжёлых ионов были проведены расчёты вероятности остаться в начальном состоянии в столкновении водородоподобного иона (мишень) с голым ядром (снаряд). Электронная динамика рассматривалась в монопольном приближении относительно центра мишени, то есть двухцен-тровый потенциал аппроксимировался выражением (2.61), в котором А соответствует ядру мишени, В - снаряду. При этом считалось, что мишень покоится в начале координат, а снаряд движется прямолинейно и равномерно. В такой модели начальные и конечные стационарные состояния системы совпадают со стационарными состояниями мишени, так как потенциал (2.61) стремится к потенциалу ядра мишени V cl(r) при t — ±оо.

Вычисления производились в рамках двух подходов: одноэлектронного и многоэлектронного, которые описаны в разделе 2.1.3. В одноэлектронном подходе вероятность найти мишень в начальном Is состоянии определяется выражением Ри = \аи,и\2, аи,и= dr(f 0ls{r)(f)u{r,tOVLt), (2.80) где 4 is(r) - радиальная часть одноэлектронной стационарной Is волновой функции мишени, tout конечный момент времени, ф\а(г, t) - радиальная часть одноэлектронной волновой функции, развивающейся во времени согласно нестационарному уравнению Дирака в монопольном приближении (2.58), с начальным условием фи(г}іт) = фи(г)} (2.81) tin начальный момент времени. Формально также можно рассчитать вероятность перехода в отрицательно-энергетические состояния: H = l #IM out) 2, (2.82) где F - уровень Ферми, фі(г) - собственные функции радиального гамильтониана мишени. Однако, для более реалистичного описания электронной динамики в процессе столкновения необходимо учесть заполненность состояний отрицательно-энергетического континуума. Для этого требуется многоэлектронный подход, в рамках которого величина (2.80) теряет физический смысл, и вместо неё можно использовать вероятность Pig того, что все изначально заполненные состояния останутся таковыми после столкновения: Р1а = (Фь,іпФь,оігс)2. (2.83)

Здесь Фіз, in) и Фіз, out) - векторы состояний в представлении Гейзенберга, которые соответствуют заполненному отрицательно-энергетическому конти -80 нууму и одной занятой вакансии в моменты времени [n и out, соответственно.

Вычисления производились только для состояний с релятивистским угловым квантовым числом = - 1. В монопольном приближении из 1 оболочки возможны переходы только в такие состояния. Также они должны давать основной вклад в процесс рождения электрон-позитронных пар [40], который тоже оказывает влияние на значение \а. Предположим, что заполненным является состояние 1i/2, тогда с учётом каналов с обеими проекциями = ±1/2 полного углового момента = 1/2, для вероятности (2.83) можно написать следующее выражение:

Здесь o,m вероятность того, что все отрицательно-энергетические состояния с проекцией полного углового момента останутся заполненными после столкновения, is m - вероятность остаться занятыми как для состояний отрицательно-энергетического континуума, так и для 1 состояния с заданным . При этом, поскольку гамильтониан (2.60) не зависит от значения , а значение фиксировано, 0 -i = 0 і и \s і = \а-і. Вероятности o,m и is,m рассчитывались с помощью формул (2.36) и (2.38).

Вероятность мишени остаться в начальном состоянии была рассчитана для столкновения U +(1)-U + при энергии налетающего ядра Q = 6.2 МэВ/а.е.м. Для распределения заряда по ядру использовалась как модель точечного ядра, так и модель равномерно заряженного шара радиуса n = у5/3 RMS, где RMS = 5.8569 фм - среднеквадратичный радиус ядра. Приведенное значение для RMS ВЗЯТО ИЗ работы [86].

В таблице 2.1 приведены полученные значения для одноэлектронной вероятности остаться в начальном состоянии \а и вероятности перехода в отрицательно-энергетический континуум Р в зависимости от прицельного параметра Ь. Отметим, что величина Р не имеет физической интерпретации в рамках одноэлектронного подхода и, если её значением нельзя пренебречь, то требуется переход к многоэлектронной картине. Вероятность Таблица 2.1: Вероятность P1s для 1s состояния мишени остаться занятым и вероятность Р(-) перехода электрона в отрицательно-энергетический континуум в зависимости от прицельного параметра Ъ. Вычисления производились для столкновения U91+(1s)—U92+ при энергии налетающего ядра E0 = 6.2 МэВ/а.е.м. Вероятности P1s и р(-) рассчитывались согласно формулам (2.80) и (2.82), соответственно.