Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Динамическое квантовое описание одномерного осциллятора Пёшля-Теллера (ОПТ) 7
1.1 Потенциал осциллятора Пёшля — Теллера и анализ предельных случаев.7
1.1.1 Переход от осциллятора Пёшля-Теллера к осциллятору Блоха 8
1.1.2 Переход от осциллятора Пёшля – Теллера к квазисвободной частице в ящике 9
1.2 Точное решение уравнения Шредингера для ОПТ 12
1.3 Энергетический спектр и анализ его предельных случаев 13
1.4 Оператор давления и анализ его предельных случаев 15
Глава 2: Осциллятор Пёшля — Теллера (ОПТ) как управляемая квантовая система 26
2.1 Анализ аналога цикла Джоуля — Брайтона .28
2.1.1 Стадия 1: Изобарическая расширение 29
2.1.2 Стадия 2: Адиабатическое расширение 31
2.1.3 Стадия 3: Изобарическое сжатие 32
2.1.4 Стадия 4: Адиабатическое сжатие 34
2.2 Анализ аналога цикла Отто 36
2.2.1 Стадия 1: Изохорическое расширение 36
2.2.2 Стадия 2: Адиабатическое расширение 37
2.2.3 Стадия 3: Изохорная компрессия 38
2.2.4 Стадия 4: Адиабатическое сжатие 40
Глава 3: Термодинамическое описание одномерного осциллятора Пёшля — Теллера (ОПТ) 42
3.1 Статистическая сумма и уравнения состояния для осциллятора Пёшля — Теллера 19
3.2 Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как гармонического осциллятора Блоха 19
3.3 Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как квазисвободной частицы в ящике 20
3.4 Аналог рабочего цикла Карно при конечных температурах 20
Заключение 49
Приложение
- Точное решение уравнения Шредингера для ОПТ
- Оператор давления и анализ его предельных случаев
- Стадия 4: Адиабатическое сжатие
- Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как гармонического осциллятора Блоха
Точное решение уравнения Шредингера для ОПТ
Как уже отмечалось выше, исходный потенциал (1.1) становится сингулярным в двух точках x±(L), что фактически означает переход к условиям обычного ящика с непроницаемыми стенками. С физической точки зрения модель Пёшля-Теллера предпочтительнее указанного «ящика», поскольку в ПТ-модели потенциал (1.1) сам «регулирует» поведение квантовой частицы и не нуждается в дополнительном введении весьма искусственных «стенок».
Как известно (см., например, [2-4]), в модели «ящика» внутри него вообще отсутствует какой-либо потенциал, а квантование энергии частицы всецело определяется физическими граничными условиями, согласно которым волновая функция у(х) строго обращается в нуль в точках x±{L). Заметим, что квантование энергии - прежде всего, строгую положительность энергии E\{L) основного состояния частицы в ящике и дискретность всего спектра En(L) Ex{L)=W{L)={tfl2m)a\LX En(L)=El(L)n2 (и=1,2,...) (1.4) можно объяснить на основе соотношения неопределенностей в форме Гейзенберга (см., например, [2-4]). Напомним, что формально потенциал (квази)свободной частицы в ящике может быть описан выражением nc4( ; )=/2{5[jc-Jc+(L)]+5[jc-Jc_(L)]}=5{jc2-[jc )]2}=5[ -1/ 2]; (1.5) JC+(L)=-JC_(L)=1/2L. Обратим внимание на то, что в выражение (1.5) вообще не входит какая-либо «амплитуда» потенциала, что означает возможность вообще положить ее равной нулю 130=0; действительно, внутри ящика это так (по определению модели), а на стенках сингулярность потенциала ХЗсч{х ,Ь) столь сильна, что перекрывает любой предел 130 0.
С учетом этих соображений аппроксимируем исходный потенциал ПТ-модели (1.1) вблизи граничных точек x±(L), перейдя к новой переменной у±=[х-x±(L)], которая, очевидно, мала вблизи точек x±{L). Учтем далее, что a{L)x=a{L)[ y+x±(L)]=a(L)y±n/2, причем ctg(7t/2)=0, так что tg[a(L)x]=tg[a(L)y±n/2]} ={ctgKL ]±[ctg(7i/2)]}{ctg[a(L)j]ctg(7i/2)±l}-1=±ctg[a(L ] (1.6) Поскольку вблизи граничных точек величина a(L)y=n(y/L)«\, приближенное разложение для (1.6) имеет вид ctg[a(L)yMa(L)y]- -%[a(L)y]+.... Учитывая здесь в качестве основного только первое (расходящееся) слагаемое, получаем для потенциала (1.1) ПТ-модели (вблизи граничных точек) следующее приближенное выражение: 13т(х;Ь) 13т(х х±(Ьу,Ь)=13сч(у;Ь) ЩШ)2[1/(у+)2+1/(у_)2] = ЩЬ/к)2[(х+(Ь)-х)-2+( XXL)-X) 2] =ЩЬ/к)2{(х+(Ь)-х)2Цх+(Ь)+х)2}[(х+(Ь)-х)-2(х+(Ь)+х)-2р =13о (L4/K2){X2-[X±(L)]2}-2. (1.7) Завершая достаточно протяженный (хотя и вполне элементарный) расчет (1.7), получаем следующий результат: 15 т(х;Ь) 13т(х х±(Ь);Ь)=13Сч(х;Ь) ЩЬУк2)[х2-У4Ь2]-2 (1.8) сравнивая выражение (1.8) для потенциала частицы в ящике с его «точным» выражением (1.5), нетрудно видеть, что потенциал (1.8) обладает достаточно ярко выраженную сингулярность, по структуре совпадающую с (1.5), так что в пределе \x\- ViL можно одновременно принять ІЗо О (сравните с аналогичным двойным пределом в выражении (1.3))
Таким образом, содержание данного раздела можно кратко резюмировать следующим образом. Как видно из выражений (1.3) и (1.8), модель нелинейного сингулярного квантового осциллятора Пёшля-Теллера действительно объединяет две основных модели квантовой механики (в одном измерении), а именно: при низких энергиях (вблизи центра «эффективного ящика») модель ПТ-осциллятора воспроизводит модель линейного гармонического осциллятора Блоха, тогда как при высоких энергиях (вблизи стенок «эффективного ящика») модель ПТ-осциллятора воспроизводит модель (квази)свободной частицы в ящике. Как будет видно ниже, этот вывод подтверждается точным решением уравнения Шредингера для модели ПТ-осциллятора.
Уравнение Шредингера для одномерной модели ПТ-осциллятора имеет, как обычно, вид дифференциального уравнения 2-го порядка (d2/6x2)+(2m/2)[E-l3m(x;L)]\\f(x)=0 с потенциалом 13ш(х;Ц из (1.1), точное решение которого можно найти в [2-4]. Наметим основные этапы и результат этого решения. Переходя к безразмерным переменным =a(L)x=(n/LX v(L)=l5o/W(L), &(L)=(E+l30)/W(L)=[E/W(L)]+v(L) (1.9) где W(L) - энергия основного состояния (1.4) для частицы в ящике. Тогда с учетом равенства tg2 =(l/cos2 )-1 уравнение Шредингера для волновой функции основного состояния \/о() принимает вид (см. приложение П2): dVd 2+[s(L)-v(L)/cos ]y=0; (1-Ю) Для свободной частицы (при Н0=0, v(L)=0) в ящике с конечной шириной L решением (10) является \/0()=cos. Соответственно, при v(L) 0 решение (1.10) должно иметь вид \/()=(cos) L), где показатель X(L) 0, поскольку согласно граничным условиям при x=x±{L) функция \/0() должна обращаться в нуль при =±(тг/2); из (1.10) видно, что показатель l(L) 0 (в частности, l(L)=\ при v(L)=0) должен удовлетворять условию1 l(L)[k(L)-\]=v(L\ l(L)=V2{ l+[l+4v(L)]I/2}, dl(L)/dL=-(\/L){4v(L)[\+2v(L)]-1A}. (1.11)
Для общего случая возбужденных состояний можно показать [2-4], что полная волновая функция п( ) может быть представлена в виде произведения n( )=Cn(X(L))(cos fL)Gn[X(L)](sin ), где Gn-полиномы Гегенбауэра, Сп-нормировочные постоянные, однако для дальнейших термодинамических вычислений существенно знание только энергетического спектра пПТ(), который является чисто дискретным и неограниченным сверху {п =0, 1, 2, ...): Enm(L)=Enc\L)+EnTO(L\ Enc\L)=W(L)n2; EnTO(L)=hco(L)(n +V2), hw(L)=2W(L)l(L) (1.12) 1.3 Энергетический спектр и анализ его предельных случаев Учитывая определения (1.9) и (1.11), можно представить энергетический спектр (1.5) в более компактном виде: Enm(L)=W(L)[n2+2l(L)n+l(L)] =W(L){[n+l(L)f-l(L)[l(L)-\]}, откуда sn(L)=[n+l(L)f (1.13)
В соответствии с требованием строгой положительности показателя \{L) мы ограничиваемся в (11) только одним решением квадратного уравнения для этой величины. Нетрудно показать, что предельные случаи квантовой модели Пёшля-Теллера, рассмотренные в предыдущем разделе, а именно модель и модель гармонического осциллятора Блоха, имеют место не только на уровне разложения потенциала, но и на уровне энергетического спектра ппт(). Действительно, модель свободной частицы в ящике соответствует конечному значению L и отсутствию потенциала внутри ящика (Uo—()), откуда из (1.11) следует, что ЦЬ)=\, тогда как W(L) вообще не меняется. При этом из (1.12) формально следует, что Enc\L)=W(L)n2 («=0,1,...), что дает для энергии основного состояния (при п=0) неверное значение EoC4(L)=0.
Однако, как показано в предыдущем разделе (см. формулу (1.8) и дальнейший текст), в пределе 130- 0 энергией свободной частицы в ящике является вся энергия Enm(L\ так что указанный выше промежуточный результат должен быть поправлен за счет вклада слагаемого En(L). Действительно, для рассматриваемого случая X(L)=\ получаем из (1.12), что hco(L)=2W(L)X(L)=2W(L\ откуда сразу следует, что EnTO(L)=hco(L)(n+V2)=2W(L)(n+V2). Тогда окончательно находим Enm{L)=W{L){n2+2n+\)=W{L){n+\f (и=0,1,...), или в более привычном и естественном виде Enc\L)=W(L)n2 (и=1,2,...), что приводит теперь к правильному результату для основного состояния E\C4{L)=W{L).
Оператор давления и анализ его предельных случаев
Квантовая термодинамика (КТД) является отношением между обычной термодинамикой (ТД) и квантовой механикой (КМ), Квантовый тепловой двигатель производит работу, используя квантовые объекты в качестве их рабочего вещества, таким образом имея необычные и экзотические свойства. Легко показать, что тепловой двигатель, работающий между данной парой термостатов – высоко- и низко-температурными, достигает максимальной производительности, если процессы обратимы, так что тепловая обратимость теплового двигателя определяет максимальную эффективность.
Было несколько тепловых двигателей, таких как: квантовый двигатель Карно [КДК], квантовый двигатель Отто [КДО], квантовый двигатель Баритона [КДБ], магнитно-управляемый квантовый тепловой двигатель [MКТМ] и т. Д. Однако универсального и последовательного определения эти квантовые двигатели, таким образом, не всегда рассматриваются адекватно и четко. Наша работа должна быть сосредоточена на цикле Джоуля-Брайтона [ДБ] и цикле Отто.
Тепловые двигатели были предметом интереса и интенсивного исследования с восемнадцатого века из-за их практического применения. В последнее время были предприняты усилия для понимания рабочего механизма тепловых двигателей [18,19,20,21], где рабочий двигатель является квантовой системой, которую можно назвать технически квантовыми тепловыми двигателями [КТМ].
Примером может служить предложенная модель Бендера и др. [22] циклического двигателя, основанного на одной квантовомеханической частице, заключенной в бесконечной одномерной потенциальной яме шириной L с дальнейшим вкладом Л. Гузан-Вергаса и др. [18] Который показал, как эффективность классического теплового двигателя [CHM] аналогична [QHM] при наблюдении цикла Джоуля-Брайтона и Отто.
В отличие от классического теплового двигателя, в [КТМ] обмен энергией между системой и тепловыми резервуарами происходит в квантованной схеме. Эта новая область считает, что аналогии между квантовыми системами и макроскопическими двигателями в качестве нескольких моделей рассматривали динамические уравнения рабочих жидкостей и конечное время работы, одной из таких является модель Пёшля–Теллера [ПТ] [24].
Классический цикл Джоуля-Брайтона [ДБ] состоит из двух изобарных и двух адиабатических процессов (см. Рис. 2а), каждый из которых обратим.
Бендер и др. [22] была предложена модель циклического двигателя на одной квантовомеханической частице, содержащейся в потенциальной яме шириной L, обычно называемой квантовой тепловой машиной (КТМ). Они показали, что КТМ является точным аналогом (CHE) моноатомного идеального газа. Модель КТМ заменяет роль поршня цилиндра, содержащего идеальный газ стенками и температурой потенциальной ямы математическими ожиданиями гамильтониана. Последние величины изменяются адиабатически при движении стенок ямы, так что значение энергии в зависимости от L может быть записано: E(L) = Tln=i\dn\2En, (2.1) где энергетический спектр это: EPT(L) = [П2 + (п _ 1/2)я(Ю] , (2.2) Поэтому мгновенное давление Р, действующее на стенку потенциальной ямы, можно получить, используя соотношение (3). Оператор давления принимает вид: Ррт{1) = [П2 + (п _ 1/2)A(L)] (2.3) и коэффициенты ап ограничены условием нормировки n=iKI2 = 1.
Учитывая, что система в начальном состоянии n = 1 в точке 1 (т.е. от L = L± доЬ = L2), пусть она расширяется изобарически. Затем система возбуждается во второе состояние n=2, сохраняя математическое ожидание оператора зо Гамильтона [22, 23]. Таким образом, состояние системы представляет собой линейную комбинацию двух ее собственных состояний энергии, Wn = а ф х) + а2(1)ф2(х), где ф±иф2 - волновые функции первого и второго состояний соответственно. Коэффициенты удовлетворяют условию % 2 + а2 \2 = 1. Ожидаемое значение гамильтониана в этом состоянии в зависимости от L вычисляется как Е = (у/ \Н \ \f/), что приводит к: E = [S + A(L)-6\a1\2l (2.4) где мы имеем условие \а±\2 + \а2\2 = 1 для устранения \а2\2. Давление во время этого процесса остается постоянным, и его значение дается в соответствии с его определением (3): P = - = L[8 + A(L) - 6\ai\2] (2.5) Давление в точке 1 как функция Lt равно РА = р[т = ; (2.6) Приравнивая (2.5) и (2.6), можно заключить L3 = L?[8 + A(L)-6o12] Таким образом, максимально возможное значение L при этом изотермическом расширении L = L2, так как а± = О в точке 2: L3 = L\[8 + A(L)]; следовательно, і L = LJ8 + A(L)]3 = L2 Путем объединения (2.4) и (2.5), мы наблюдаем энергию Е как функцию от L, равную = , (2.7) 16mL\ или - = Щ = const, который аналогичен изобарическому уравнению. L 16mL\
Затем система адиабатическая расширяется от L = L2 до L = L3. Во время этого расширения система остается во втором состоянии п = 2, так как внешняя энергия не поступает в систему, а изменение внутренней энергии равно работе, выполняемой стенками ямы. Ожидаемое значение гамильтониана: E = j[8 + A(L)], давление задается выражением Р2 = 1 [8 + Л(Ь)] (2.8) Произведение L3P2(L) в (2.8) является константой, которая рассматривается как квантовый аналог классического адиабатического процесса.
Стадия 4: Адиабатическое сжатие
Легко показать, что тепловой двигатель, работающий между данной парой термостатов – высоко- и низко-температурными, достигает максимальной производительности, если процессы обратимы, так что тепловая обратимость теплового двигателя определяет максимальную эффективность.
Было несколько тепловых двигателей, таких как: квантовый двигатель Карно [КДК], квантовый двигатель Отто [КДО], квантовый двигатель Баритона [КДБ], магнитно-управляемый квантовый тепловой двигатель [MКТМ] и т. Д. Однако универсального и последовательного определения эти квантовые двигатели, таким образом, не всегда рассматриваются адекватно и четко. Наша работа должна быть сосредоточена на цикле Джоуля-Брайтона [ДБ] и цикле Отто.
Тепловые двигатели были предметом интереса и интенсивного исследования с восемнадцатого века из-за их практического применения. В последнее время были предприняты усилия для понимания рабочего механизма тепловых двигателей [18,19,20,21], где рабочий двигатель является квантовой системой, которую можно назвать технически квантовыми тепловыми двигателями [КТМ].
Примером может служить предложенная модель Бендера и др. [22] циклического двигателя, основанного на одной квантовомеханической частице, заключенной в бесконечной одномерной потенциальной яме шириной L с дальнейшим вкладом Л. Гузан-Вергаса и др. [18] Который показал, как эффективность классического теплового двигателя [CHM] аналогична [QHM] при наблюдении цикла Джоуля-Брайтона и Отто.
В отличие от классического теплового двигателя, в [КТМ] обмен энергией между системой и тепловыми резервуарами происходит в квантованной схеме. Эта новая область считает, что аналогии между квантовыми системами и макроскопическими двигателями в качестве нескольких моделей рассматривали динамические уравнения рабочих жидкостей и конечное время работы, одной из таких является модель Пёшля–Теллера [ПТ] [24]. Классический цикл Джоуля-Брайтона [ДБ] состоит из двух изобарных и двух адиабатических процессов (см. Рис. 2а), каждый из которых обратим.
Бендер и др. [22] была предложена модель циклического двигателя на одной квантовомеханической частице, содержащейся в потенциальной яме шириной L, обычно называемой квантовой тепловой машиной (КТМ). Они показали, что КТМ является точным аналогом (CHE) моноатомного идеального газа. Модель КТМ заменяет роль поршня цилиндра, содержащего идеальный газ стенками и температурой потенциальной ямы математическими ожиданиями гамильтониана. Последние величины изменяются адиабатически при движении стенок ямы, так что значение энергии в зависимости от L может быть записано: E(L) = Tln=i\dn\2En, (2.1) где энергетический спектр это: EPT(L) = [П2 + (п _ 1/2)я(Ю] , (2.2) Поэтому мгновенное давление Р, действующее на стенку потенциальной ямы, можно получить, используя соотношение (3). Оператор давления принимает вид: Ррт{1) = [П2 + (п _ 1/2)A(L)] (2.3) и коэффициенты ап ограничены условием нормировки n=iKI2 = 1.
Учитывая, что система в начальном состоянии n = 1 в точке 1 (т.е. от L = L± доЬ = L2), пусть она расширяется изобарически. Затем система возбуждается во второе состояние n=2, сохраняя математическое ожидание оператора зо Гамильтона [22, 23]. Таким образом, состояние системы представляет собой линейную комбинацию двух ее собственных состояний энергии, Wn = а ф х) + а2(1)ф2(х), где ф±иф2 - волновые функции первого и второго состояний соответственно. Коэффициенты удовлетворяют условию % 2 + а2 \2 = 1. Ожидаемое значение гамильтониана в этом состоянии в зависимости от L вычисляется как Е = (у/ \Н \ \f/), что приводит к: E = [S + A(L)-6\a1\2l (2.4) где мы имеем условие \а±\2 + \а2\2 = 1 для устранения \а2\2. Давление во время этого процесса остается постоянным, и его значение дается в соответствии с его определением (3): P = - = L[8 + A(L) - 6\ai\2] (2.5) Давление в точке 1 как функция Lt равно РА = р[т = ; (2.6) Приравнивая (2.5) и (2.6), можно заключить L3 = L?[8 + A(L)-6o12] Таким образом, максимально возможное значение L при этом изотермическом расширении L = L2, так как а± = О в точке 2: L3 = L\[8 + A(L)]; следовательно, і L = LJ8 + A(L)]3 = L2 Путем объединения (2.4) и (2.5), мы наблюдаем энергию Е как функцию от L, равную = , (2.7) 16mL\ или - = Щ = const, который аналогичен изобарическому уравнению. L 16mL\ 2.1.2 Стадия 2: Адиабатическое расширение Затем система адиабатическая расширяется от L = L2 до L = L3. Во время этого расширения система остается во втором состоянии п = 2, так как внешняя энергия не поступает в систему, а изменение внутренней энергии равно работе, выполняемой стенками ямы. Ожидаемое значение гамильтониана: E = j[8 + A(L)], давление задается выражением Р2 = 1 [8 + Л(Ь)] (2.8) Произведение L3P2(L) в (2.8) является константой, которая рассматривается как квантовый аналог классического адиабатического процесса.
Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как гармонического осциллятора Блоха
Система возвращается в начальное состояние n = 1 в точке 4 (то есть от L = L4 до L = L±), поскольку она сжимается адиабатически. Во время этого сжатия математическое ожидание гамильтониана определяется выражением: Е = [2 + Л(Ь)1 (2.33) Тогда как давление, приложенное к стенке потенциальной ямы, составляет: P4 = r[2 + A(L)]. (2.34) Работа W, выполняемая квантовым тепловым двигателем в течение одного замкнутого цикла, по четырем описанным выше стадиям представляет собой площадь замкнутых петель, представленных на (рис. 2б). Они могут быть связаны с теплообменом как: W = \QH\ \QC\ (2.35) где \QH\ и \QC\ являются входом и выходом тепла в процессе 1 2 и 3 4, соответственно. Эта величина может быть вычислена с помощью (2.25) и (2.32), \QH\= АЕ12 = fP Q+ Mdp = пЧ? [? ( 1ч:й1 1 JPi dP 16mLlL v Ji ( ) и P3 2+A(L)]dE Jn n2h2 — dP = 5 dP ІбтіЛ \QC\= AE34 = Г31 WJ — dP = , [1 + A(L)] (2.37) Наконец, эффективность замкнутого цикла определяется как: ,7 = 1-М (2.38) 1 h\ (1+я(р) (239) Где мы ввели коэффициент сжатия, Кь=1ъ/11. Этот результат является аналогом эффективности классического цикла Отто.
В данной диссертации подробно рассмотрена одна из наиболее интересных моделей в нерелятивистской квантовой механике одной массивной частицы (в одномерном варианте), а именно модель, введенная Г. Пёшлем и Э. Теллером в 1933 году. Эта модель обладает рядом интересных свойств – в частности, ее предельными случаями являются две наиболее известные модели, изучаемые во всех (в том числе начальных) курсах квантовой механики, в том числе и для ряда инженерных и технических специальностей (в том числе по нанотехнологиям). Этими моделями являются, во-первых, сохраняющая конфайнмент модель квазисвободной частицы в «ящике» с непроницаемыми стенками и, во-вторых, модель квантового гармонического осциллятора, введенная Ф.Блохом в 1932 году и не обладающая конфайнментом.
В первой главе, предложено элементарное, но детальное рассмотрение взаимосвязей потенциала, волновых функций и энергетического спектра всех указанных моделей. Получено точное решение уравнения Шредингера для нашей модели, дискретный энергетический спектр для модели Пёшля– Теллера и ее ограничивающих случаев был проанализирован.
Одним из основных результатов является введение в моделях с конфайнментом оператора давления на основе теоремы Гельмана–Фейнмана и анализ предельных случаев для этой величины.
Во второй главе мы исследовали динамические свойства модели Пёшля– Теллера, анализируя цикл Джоуль-Брайтон и Отто. Это было осуществлено при помощи ПТ-модели, чтобы получить уравнения, которые походят классический изобарический и изохорные процессы в цикле Джоуль-Брайтон и Отто соответственно. Кроме того, были получены полезные действия этих квантовых циклов, которые походят на известные полезные действия от классической термодинамики.
В третьей главе мы исследовали термодинамические свойства модели Пёшля– Теллера, когда температура была введена. Были получены статистическая сумма и уравнение состояния для модели. Присутствие температуры открыло возможность осуществить термодинамические свойства нашей модели в цикле Карно, что открывает возможности практического применения модели Пёшля – Теллера.