Содержание к диссертации
Введение
1 Устойчивость степенных решений в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне . 12
1.1 Предварительные замечания. 12
1.1.1 Степенные решения в ОТО и лавлоковской гравитации 12
1.1.2 Поведение степенных решений вблизи космологической сингулярности в ОТО. 13
1.1.3 Параметризация метрики. Тензор энергии-импульса материи . 16
1.2 Устойчивость степенных решений в многомерном обобщении ОТО. 18
1.2.1 Динамические уравнения. 18
1.2.2 Условия устойчивости. 20
1.2.3 Численные расчеты 22
1.3 Устойчивость степенных решений в гравитации Гаусса-Бонне . 23
1.3.1 Динамические уравнения. 23
1.3.2 Условия устойчивости. 24
1.3.3 Численные расчеты 27
1.4 Колебательный режим приближения к начальной космологической сингулярности
в гравитации Гаусса-Бонне 28
1.5 Выводы 29
Точные экспоненциальные космологические решения в гравитации Лавлока . 31
2.1 Предварительные замечания. 31
2.2 Действие модели, динамические уравнения. 33
2.3 Решения с переменным объемом в гравитации Лавлока
2.3.1 Метод получения решений 36
2.3.2 Применение метода 39
2.3.2.А (5+1)-мерная модель 40
2.3.2.Б (7+1)-мерная модель 42
2.3.3 Решения в пространствах размерности (4+1) и (5+1). 46
2.3.3.А (4 + 1)-мерные решения. 46
2.3.3.Б (5 + 1)-мерные решения. 47
2.3.3.В Обобщение некоторых ЭГБ-решений на (D + 1)-мерный случай. 48
2.3.4 Решения в пространствах размерности (6+1) и (7+1). 49
2.3.4.А (7+1)-мерные решения 50
2.3.4.Б (6+1)-мерные решения 56
2.3.5 Решения с трехмерным изотропным подпространством. 60
2.3.5.А (7+1)-мерная модель 60
2.3.5.Б (6+1)-мерная модель 61
2.3.5.В (4+1)- и (5+1)-мерные модели. 63
2.4 Решения с постоянным объемом в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне 63
2.4.1 Необходимые условия существования решений. 65
2.4.2 Решения с двумя различными параметрами Хаббла 69
2.5 Выводы 71
Заключение 74
Список рисунков 76
Список таблиц 77
Литература
- Параметризация метрики. Тензор энергии-импульса материи
- Устойчивость степенных решений в гравитации Гаусса-Бонне
- Решения с переменным объемом в гравитации Лавлока
- Решения в пространствах размерности (6+1) и (7+1).
Введение к работе
Актуальность темы.
Попытки объединить различные силы природы, начавшиеся практически одновременно с появлением Общей Теории Относительности, привели к возникновению парадигмы многомерной Вселенной. За последние десятилетия достигнут значительный прогресс в построении единой теории фундаментальных взаимодействий, одним из наиболее перспективных кандидатов на роль которой является теория струн. Исследование многомерных космологических моделей позволяет рассмотреть космологический аспект этой теории и оценить (независимо от физики частиц), насколько та или иная модель, существующая в ее рамках, соотносится с реальностью.
В конце 1990-х годов было открыто ускоренное расширение Вселенной. Одно из возможных объяснений этого явления состоит в том, что законы, которым подчиняется гравитация, на космологических масштабах длин и времен отличаются от Общей Теории Относительности. Получение и исследование (в контексте существующих наблюдательных данных) космологических решений в рамках лавлоковской модели гравитации дает возможность понять, насколько данная модель является жизнеспособной, и может ли она выступать в роли более фундаментальной, чем ОТО, теории гравитации.
Чрезвычайная нелинейность как ОТО, так и гравитации Лавлока, делает крайне затруднительным предсказание каких-либо свойств и возможного физического смысла решений на основе лишь качественного анализа уравнений, лежащих в основе теории. В этой связи особенно важное значение приобретают поиск точных решений и разработка новых методов их получения.
Цель работы.
Были поставлены следующие цели:
Исследование устойчивости степенных решений в рамках плоской анизотропной модели гравитации Гаусса-Бонне с магнитным полем.
Получение точных космологических решений с экспоненциальной зависимостью масштабного фактора от времени, а также необходимых условий их существования, в рамках плоской анизотропной модели гравитации Лавлока.
Научная новизна работы.
Все результаты, представленные в диссертации новые.
В рамках исследования плоских анизотропных космологических моделей гравитации Гаусса-Бонне с магнитным полем:
-
получены условия устойчивости степенных решений вблизи начальной космологической сингулярности для произвольного числа пространственных измерений;
-
в рамках (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-, (8+1)-мерных моделей численно найдены решения, демонстрирующие колебательный характер приближения к точке начальной космологической сингулярности, отличный от известного колебательного режима, обнаруженного Белинским, Лифшицем и Халатниковым в рамках общей теории относительности.
В рамках исследования плоских анизотропных космологических моделей гравитации Лав-лока с произвольным числом пространственных измерений:
-
разработан метод, позволяющий получать все возможные экспоненциальные решения с переменным объемом;
-
в явном виде получены все возможные точные экспоненциальные решения с переменным объемом в (4+1)-, (5+1)-, (6+1)-, (7+1)-мерных моделях;
-
получены необходимые условия существования экспоненциальных решений с постоянным объемом в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с изотропной идеальной жидкостью.
Научная и практическая значимость.
Разработанный метод дает возможность получать точные экспоненциальные решения в рамках общей (то есть с произвольным количеством поправок по кривизне в лагранжиане) модели Лавлока для произвольного числа пространственных измерений и может быть использован в широком классе космологических задач.
Найденные необходимые условия существования экспоненциальных решений позволяют сузить диапазон допустимых космологических моделей, облегчая дальнейшие исследования в этом направлении.
Полученные экспоненциальные решения с трехмерным изотропным подпространством в дальнейшем могут быть использованы в космологических моделях реальной Вселенной для описания определенных этапов ее эволюции (например, первичной инфляции).
Полученные условия устойчивости степенных решений вблизи начальной космологической сингулярности, а также численно обнаруженные осциллирующие решения могут быть полезны для исследований, посвященных изучению природы начальной космологической сингулярности.
Методы исследования.
В данной работе использовались методы теории дифференциальных уравнений, алгебраические методы, численное интегрирование.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались соискателем на:
международной конференции по физике высоких энергий "17th International Seminar on High Energy Physics Quarks-2012", Ярославль, июнь 2012;
международной конференции по теоретической и экспериментальной общей теории относительности, астрофизике и релятивистской теории поля "Thirteenth Marcel Grossmann Meeting", Стокгольм (Швеция), июль 2012;
международной конференции по физике высоких энергий "18th International Seminar on High Energy Physics Quarks-2014", Суздаль, июнь 2014;
международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике "RUSGRAV-15" , Казань, июль 2014.
Публикации и личный вклад автора.
Результаты диссертации изложены в 4 научных работах, опубликованных в российских и зарубежных изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Параметризация метрики. Тензор энергии-импульса материи
Отрицательный показатель (рі) после смены становится меньшим из двух положительных; меньший из двух положительных (рт) - отрицательным. Убывавшая прежде функция b(t) начинает возрастать, возраставшая a(t) - убывать; функция c(t) продолжает убывать. Возмущение, обеспечиваемое членами а4(і) в уравнениях (1.13), начинает убывать и затухает; дальнейшая эволюция метрики аналогичным образом приводит к росту возмущения, вызванного членами Ь4(), следующей смене казнеровских показателей и т.д. Последовательные смены с перебросом отрицательного показателя степени между направлениями 1 и m продолжаются до тех пор, пока не исчерпается целая часть начального значения и, т.е. и не станет меньше единицы. Значение и 1 преобразуется в и 1 согласно
В результате преобразования (1.16) показатель рп становится меньшим из двух положительных; тот из показателей рг и рт, который был отрицательным, сохранит свой знак. В следующей серии "казнеровских эпох" отрицательный показатель перебрасывается между направлениями п и 1 или пит. Если начальное значение и иррационально, количество таких серий, именуемых "казнеровскими эрами" , бесконечно.
Таким образом, процесс эволюции модели в направлении к особой точке представляет собой последовательность "казнеровских эр" , в течение каждой из которых расстояния вдоль двух осей осциллируют, а вдоль третьей монотонно убывают; объем при этом убывает по закону, близкому к t. При переходе от одной эры к другой направление, вдоль которого происходит монотонное убывание расстояний, переходит с одной оси на другую. Порядок этих переходов по мере приближения к особой точке приобретает характер случайного процесса. Такой же характер приобретает порядок чередования длин4 "казнеровских эр". Между любым конечным моментом времени t и моментом t = 0 заключено, вообще говоря, бесконечное множество колебаний. Более естественной переменной для описания временного хода этой эволюции оказывается поэтому не само время t, а его логарифм In і, по которому весь процесс приближения к особой точке растянут до — оо.
В середине 80-х гг. прошлого века М. Энно [85] с соавторами доказал, что в пространствах с размерностью D 10 на казнеровской сфере, задаваемой уравнениями (1.6), появляется открытая область, - назовем ее П, — для всех точек (р\,... ,ри) которой соответствующие степенные
Под длиной "казнеровской эры" понимают количество "казнеровских эпох" , из которых она состоит. решения (1.5) устойчивы вблизи сингулярности по отношению к малым возмущениям. Это не означает, однако, что колебательные режимы исчезают в многомерных моделях вовсе — исследования Т. Фурусава [86], А. Томимацу [87] и Дж. Барроу [88] показали, что возможны ситуации, когда метрика (1.5) с показателями (р\,... ,PD) Ф & , эволюционируя, совершает конечное число осцилляций и приходит в состояние с показателями (р[,... ,p D) Є П, т.е. попадает в "область устойчивости". Спустя десятилетие В. Леблан [89] на примере модели (3+1)-мерной вселенной, заполненной магнитным полем, продемонстрировал, что присутствие анизотропной материи может вызывать неустойчивость степенных решений (1.5) даже в плоских пространствах, приводя к появлению вблизи начальной космологической сингулярности осцилляций, аналогичных описанным выше. В начале 2000-х гг. Р. Бенини, А.А. Кириллов и Г. Монтани [90] обнаружили, что неустойчивость колебательного типа решений вида (1.5) возникает во всех однородных пространствах любой размерности при наличии безмассового векторного поля.
Цель настоящей главы состоит в обобщении этих результатов на многомерные модели гравитации Гаусса-Бонне с анизотропной материей и исследовании устойчивости степенных решений вблизи особой точки.
Мы будем работать в Д-мерном плоском анизотропном пространстве, в синхронной системе отсчета. Принимая во внимание, что отсутствие пространственной кривизны позволяет путем преобразований поворота системы координат диагонализовать метрический тензор сразу во всем пространстве, и выбирая наиболее удобную для дальнейших выкладок параметризацию, запишем метрику в виде5
В качестве анизотропной материи мы рассмотрим многомерный аналог магнитного поля — антисимметричную 2-форму с отличными от нуля пространственными компонентами и нулевыми смешанными. Выясним, как в этом случае будут выглядеть компоненты тензора энергии-импульса. В общем случае тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид:
Таким образом, обращаются в ноль все попарные произведения таких параметров у которых один из индексов первого, совпадает с одним из индексов второго. Отсюда следует, что, по крайней мере, один из параметров в каждом таком произведении равен нулю. Количество произведений, в которых встречается параметр с некоторой парой индексов (скажем, фііЯ), равно 2(D — 2); если 4)iljl ф О, то все 2{D — 2) параметров, с которыми может быть "спарен" фчп должны быть равны нулю. Рассмотрим другую пару индексов {12,32) такую, что І2 Ф J2 Ф Ч Ф ji; так как индексы i\,j\ исключаются из рассмотрения, количество произведений, в которых встречается параметр І2І2 составит 2(D - 4); если ф 2 ф 0, то обращаются в ноль все 2(D - 4) параметров, с которыми можно "спарить" фі2 і2. Продолжая приведенные рассуждения, найдем количество нулевых компонент магнитного поля:
Устойчивость степенных решений в гравитации Гаусса-Бонне
Пусть т Є Z 0, N Є N; m N. Введем следующие обозначения: в дальнейшем мы будем использовать специальное обозначение yks для элементов множества Jk, иными словами, запись yks означает, что существует множество Jk такое, что Уз є Л. 1-й шаг. Предположим, что некоторый набор (Яь ..., HD) представляет собой решение системы (2.18); согласно (2.21) указанный набор удовлетворяет и уравнениям i+1 — Si = 0; в свою очередь, каждое из уравнений 8І+1 -} = 0в соответствии с (2.24) обращается в тождество либо за счет того, что C}i+l = 0, либо за счет того, что С, О (случай Efc fc = 0 в данном разделе мы не рассматриваем; ситуация, когда условия C}i+l = 0 и Cfi+l = 0 выполняются одновременно не несет никаких новых результатов, однако усложняет анализ, поэтому в дальнейшем мы будем считать, что каждое разностное уравнение удовлетворяется благодаря строго одному из них). Предположим, что выполнение кг из D - 1 разностных уравнений обеспечивается условиями
Предположим, что выполнение к2 из /і - 1 разностных уравнений обеспечивается условиями С1! і = 0, а выполнение оставшихся 12 уравнений - условиями С2г і і =0; тогда:
После второго шага исходная система (2.18) окажется эквивалентной системе, состоящей из h + к2 уравнений вида С\ і = 0, 12 уравнений вида С\ г г = 0, одного уравнения вида
Максимальное значение г равно (2d - 1); действительно, при г = r max = (2d - 1) в сумме (2.23) единственным слагаемым является полином нулевой степени, так что С2Л , t = Q. Выполнение уравнения С\ , = Q = 0 подразумевает отсутствие высшего лавлоковского чле-на в лагранжиане, что противоречит самой постановке задачи; следовательно, это уравнение не имеет смысла, и мы должны положить 1г пах = 0, кг пах = Іг ах-і — 1. Таким образом, г варьи-руется в диапазоне от 1 до (2d — 1), а (А;і + ... + кг ), соответственно, - в диапазоне от (D — 1) до 1 для четных D и до 2 для нечетных D.
Каждый набор из (k1+...+kr) равенств параметров Хаббла дает некоторое число расщеплений пространства на изотропные подпространства; расщепления, соответствующие различным значениям (k1+. . .+kr) приведены в таблице 2.1. Мы видим, что четномерное пространство имеет на одно расщепление больше, чем нечетномерное. Числа в столбце "Расщепления" означают количества равных параметров Хаббла; фигурные скобки означают "спаривания" хаббловских fci +... + к 1 пространство изотропно Таблица 2.1: Расщепления D-мерного пространства. параметров, приводящие к новым расщеплениям; нижний индекс после круглых скобок используется для обозначения количества единиц в этих скобках. Так, запись 3 + 2 + (1 +1 + ... + 1)D-5 означает, что {Яь ..., HD) = {Я, Я, Я, h, h,H6,..., HD}, Я6 ф ... ф HD и наследующем шаге мы получим следующие расщепления: + (l + ... + l)D_5, 3 + 3 + (l + ... + l)D_6, 3 + 2 + 2 + (l + ... + l)D_7 3. вычисляем k1 + . . . + kr = D - r - lr, находим все возможные комбинации k1,..., kr, которые дают такую сумму, выписываем соответствующие последовательности пар (k1, l1), . . . , (kr, lr),
В этом разделе мы рассмотрим применение общей схемы получения решений с переменным объемом к (5+1)-мерной модели с двумя и (7+1)-мерной модели с тремя лавлоковскими членами в лагранжиане.
Таким образом (2.37) приводит к (2 - 2 + 1) расщеплению и следующим необходимым условиям существования решения: х2 = фг2, Фи 0, у = -х, zeR (2.38) Для получения решения необходимо подставить эти соотношения в динамическое уравнение ( ), а также убедиться в том, что выполняется интеграл движения (2.12). Легко проверить, что те же условия (2.37) получаются и при любом другом выборе параметров к$,ку, к ,т. (2) (к3 = 1, Із = 0); (к2 = 0,12 = 2); (кі = 1, Ц = 3). Имеем:
Из (2.40) следует, что (\ = 0; последнее означает отсутствие эйнштейновского члена в лагранжиане, что противоречит самой постановке задачи. Следовательно, расщепление (3 + 1 + 1) не реализуется. Тот же результат получается при любом другом выборе к\,к ,к ,т и Х\. (3) (к3 = 1,13 = 0); (к2 = 1,12 = 2); (кі = 0, Ц = 4). Этот случай не дает ничего нового: мы снова получаем (2 — 2 + 1) расщепление. Па. г = 2: (12 = 0, кх + к2 = 3). Нетрудно проверить, что
Таким образом (2.43) приводит (3 + 2) расщеплению и следующим необходимым условиям существования решения: х2 + 2ху = -ф12 (2.44) Для получения решения необходимо подставить эти соотношения в динамическое уравнение ( ), а также убедиться в том, что выполняется интеграл движения (2.12). Легко проверить, что те же условия (2.43) получаются и при любом другом выборе параметров к$, к%,т. (2) (к2 = 1,12 = 0); (ki = 2, Ц = 2). Имеем:
Для получения решения необходимо подставить эти соотношения в динамическое уравнение ( ), а также убедиться в том, что выполняется интеграл движения (2.12). Легко проверить, что те же условия (2.46) получаются и при любом другом выборе параметров к$, к%,т. (3) (к2 = 2,12 = 0); (кх = 1,1х = 3). В этом случае мы снова получаем (3+2) расщепление. IIb. г = 2: (12 = 1, ki + к2 = 2). Легко проверить, что
Несложно убедиться в том, что эти случаи не несут новой информации: их подробное рассмотрение приводит к (3+2) и (4+1) расщеплениям. В итоге мы имеем 4 возможных расщепления для (5+1)-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне: (2-2 + 1) = (х,х,-х,-х,у), (3 + 2) = (х,х,х,у,у), (4+ 1) = (х,х,х,х,у), изотропное решение = (х,х,х,х,х). Решения, соответствующие этим расщеплениям приведены в параграфе 2.3.3.
Решения с переменным объемом в гравитации Лавлока
При исследовании многомерных космологических моделей необходимо учитывать, что наблюдаемыми являются только три пространственных измерения, а, значит, для того, чтобы модель была осмысленной с физической точки зрения, необходимо позаботиться о компактификации "лишних" измерений. Это означает, что в рамках рассматриваемых в настоящей работе моделей Вселенная должна изотропно расширяться вдоль каких-либо трех измерений и сжиматься (анизотропно, вообще говоря) вдоль всех остальных. Именно таким решениям – решениям с трехмерным изотропным подпространством – посвящен данный параграф.
В рамках (7+1)-мерной модели с тремя лавлоковскими членами (L1 + L2 + L3) трехмерное изотропное подпространство реализуется в следующих случаях: 1. (2 - 2 + 1 + 1 + 1)-расщепление (2.72), если потребовать, чтобы один из параметров y, z,u был равен x 0, а два оставшихся были отрицательными. 2. (3 - 3 + 1)-расщепление (2.74), если потребовать x 0 и y 0. 3. (З + 3 + 1)-расщепление (2.75), если потребовать х 0, z 0, у О (последнее достигается при -032 0) для невакуумного решения их 0, z 0 - для вакуумного (у 0 выполняется автоматически для обоих значений ). 4. (3 + 2 + 2)-расщепление (2.77), если потребовать Вг(х) 0, х 0, z 0, у 0. Численные расчеты показывают, что неравенство В\{х) 0 выполняется при х 6.5с-1 (допустимые значения параметров фі2 и -0з2 зависят, в свою очередь, от х). Отметим, что для вакуумного решения условия z 0, у 0 выполняется автоматически для обоих значений , если х 0. 5. (4 + 3)-расщепление (2.80), если потребовать Fx(x) 0, х 0, у 0. Численные расчеты показывают, что для каждого значения х 0 на плоскости {V 32, "012} существует область, точки которой обеспечивают у 0.
В (7+1)-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне (Ьг + L2) трехмерное изотропное подпространство реализуется в следующих случаях: 1. (3 - 3 + 1)-расщепление (2.74), если потребовать х 0 и у 0 (последнее легко достижимо благодаря тому, что у Є Е). 2. (3 + 2 + 2)-расщепление (2.77), если потребовать х 0, z 0, у 0 (выбираем х знак – перед корнем в выражении для z). 3. (4+3)-расщепление (2.80), если потребовать х 0, у 0 (для решения с Л-членом выбираем ветвь у = — Зх + л/бх2 — ф\2 при ж 0; в случае вакуумного решения оба значения обеспечивают разные знаки у ж и у, так что достаточно выбрать х 0).
В таблице 2.6 указано для каких моделей существуют (+) или не существуют (—) решения с трехмерным изотропным подпространством. Можно видеть, что модель с тремя лавлоковскими членами "богаче" решениями, допускающими нужную компактификацию, по сравнению с моделью Эйнштейна-Гаусса-Бонне; видно также, что компактифицируемых решений с Л-членом в обеих моделях больше, чем компактифицируемых вакуумных.
В рамках (6+1)-мерной модели с тремя лавлоковскими членами (Li + L2 + L3) трехмерное изотропное подпространство реализуется в трех случаях: 1. (2 - 2 + 1 + 1)-расщепление (2.88), если потребовать x 0иy = x,z 0 либо z = х, у 0. 2. (3 + 2 + 1)-расщепление (2.92), если потребовать х 0, у 0 (если х 0, у автоматически оказывается отрицательным и для решения с Л-членом, и для вакуумного решения), z 0. Таблица 2.6: Компактифицируемые (7+1)-мерные решения в моделях с тремя (Lx + L2 + L3) двумя (Li + L2) лавлоковскими членами.
В таблице 2.7 показано для каких моделей существуют (+) или не существуют (—) решения с трехмерным изотропным подпространством. Как и в предыдущем случае, модель с тремя лавлоковскими членами "богаче" решениями, допускающими нужную компактификацию, по сравнению с моделью Эйнштейна-Гаусса-Бонне; компактифицируемых решений с Л-членом в обеих моделях больше, чем компактифицируемых вакуумных. Таблица
Среди (4+1)-мерных решений только одно обладает трехмерным изотропным подпространством - это решение (2.64) с расщеплением (3 + 1) = (х,х,х,у); компактификация достигается требованием у О, которое несложно выполнить благодаря тому что у Є Е. Заметим, что здесь есть только версия с Л-членом, вакуумного решения с (3+1) расщеплением не существует. Особо следует отметить, что указанное решение реализуется при единственном значении Л-члена (т.е. плотности энергии): р и только при отрицательных значениях константы связи (2.
В случае (5+1)-мерного пространства существование трехмерного изотропного подпространства гарантируется расщеплением (3 + 2) = (х, х, х, у, у); здесь присутствуют и вакуумное решение, и решение с Л-членом. Первое компактифицируется автоматически, если выбрать х 0; для компактификации решения с Л-членом при (2 0 достаточно выбрать х 0 (тогда мы заведомо получаем у 0); если же (2 0, для обеспечения у 0 необходимо убедиться в том, что X \ ТГЇ.
В настоящем разделе мы рассмотрим экспоненциальные решения, подчиняющиеся условию Т НІ = 0, в рамках модели с двумя лавлоковскими членами в лагранжиане (модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне). Запишем уравнения движения (2.11) и интеграл движения (2.12), считая, что d = 2:
Решения в пространствах размерности (6+1) и (7+1).
Уравнения (2.114) описывают (D - 1)-мерную гиперплоскость и (D - 1)-мерную гиперсферу радиуса г с центром в начале координат в Д-мерном пространстве с декартовыми координатами rji,... , T]D ; гиперплоскость пересекает каждую из осей системы координат на расстоянии а от начала координат. Так как а 0 и все щ 0, мы имеем дело с фрагментами упомянутых гиперплоскости и гиперсферы, расположенными в первом гипероктанте; эти фрагменты имеют общие точки тогда и только тогда, когда г а ллОг; рис. 2.1 схематично иллюстрирует описанную ситуацию для трехмерного случая. Несложно проверить, что
Таким образом, система (2.110) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда 2 Є [- ; і]. Однако, нас интересуют не все решения упомянутой системы, а лишь те, которые удовлетворяют условию Y2i НІ = 0. Оказывается, что в отношении таких решений существует асимметрия между четномерными и нечетномерными пространствами. Действительно, рассмотрим (4 + 1)-мерное пространство-время; уравнения (2.114) задают 4-плоскость и 4-сферу; в точке касания этих поверхностей мы имеем Н\ = Щ = Н% = Л, следовательно, можно выбрать Нг,...,Н4 таким образом, что Нг = Я2 = -Я3 = -Я4, и условие Нг + ... + Я4 = 0 выполняется автоматически. Вместе с тем, совершенно очевидно, что условие Ні + ... + Я5 = 0 удовлетво-рить в точке касания 5-плоскости и 5-сферы невозможно, так как, какими бы мы не выбрали Ні,..., Я5, всегда останется нескомпенсированное слагаемое.
Плоскость и сфера пересекаются, когда плоскость находится между двумя предельными положениями, изображенными на рис. a) и b). На рис. b) плоскость касается сферы.
Описанный результат может быть обобщен на случай произвольного числа измерений: в пространствах с четным числом измерений в точке касания гиперплоскости и гиперсферы и, как следствие, в окрестности этой точки, существует решение системы (2.110), удовлетворяющее условию ІНІ = 0, а в пространствах с нечетным числом измерений в указанной точке и ее окрестности такого решения не существует.
Выразим один из параметров Хаббла (скажем, Нх) из равенства \ Щ = 0 и подставим его в оставшиеся уравнения системы (2.116); тогда:
Таким образом, вопрос о существовании решений системы (2.116) сводится к вопросу о существовании нулей функции F. Ответ на последний вопрос можно получить численно. Мы провели численные расчеты для D = 4, 5 и выяснили, что функции F имеют нули при условии, что 2 Є [с+;с-], т.е. / = [ 7+; т_], причем jj т+ \ (У- 1; конкретные значения параметров 7+, т_ зависят от количества измерений, т.е. от параметра D. Несложно убедиться в том, что
Мы видим, что для любого ш существует ограничение снизу на р; это, в частности, указыва-ет на отсутствие вакуумных решений в рассматриваемой модели5. Так, для случая материи с уравнением состояния р=-р, ш = -1 (модель с космологической постоянной) получаем
Сравнивая (2.130) c общим случаем (2.115), видим что а+ = ±. Верхняя граница отношения г2/а2 (т.е. т_) в действительности оказывается несколько больше, чем 1/2; это объясняется тем, что множество параметров Хаббла, подчиняющихся условию ЕІ НІ = 0 не ограничивается параметрами, удовлетворяющими соотношениям (2.128). Значения т_ для разных размерностей пространства определяются численно; например, для D = 4 численные рас-четы дают т_ = 0.76 ± 0.01, так что для (4 + 1)-мерного пространства-времени мы имеем: ние равенства \ Щ = 0 при а+ = . Действительно, когда = , система (2.114) имеет единственное решение г]\ = ... = T]D = -jfi, которое геометрически соответствует точке касания гиперплоскости и гиперсферы (см. рис. 2.1a); так как Нг = ... = HD = ±J , а D -нечетное, сумма J Я содержит одно "лишнее" положительное (отрицательное) слагаемое и не обращается в нуль. Таким образом, в случае нечетномерного пространства не удается найти аналитическое выражение ни для т+, ни для т_; значения обеих постоянных определяются численно; в частности, для D = 5 численные расчеты дают т+ = 0.23 ± 0.01, а_ = 0.65 ± 0.01, так что для (5 + 1)-мерного пространства-времени получаем
Ниже приведены три решения с постоянным объемом, полученные в рамках модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с произвольным числом пространственных измерений и материей с произвольным уравнением состояния и имеющие важное значение в моделях низших размерностей ( = 4,5).
Во второй главе диссертационной работы представлен метод получения экспоненциальных решений с переменным объемом в рамках моделей с любым числом пространственных измерений и любым количеством лавлоковских членов в лагранжиане. Метод был протестирован на (4+1)-, (5+1)-, (6+1)- и (7+1)-мерных моделях с двумя и тремя лавлоковскими членами. В параграфе 2.3.2 описано применение метода на примере (7+1)-мерной модели с тремя лавлоковскими членами; в параграфе 2.3.3 приведены все возможные (4+1)- и (5+1)-мерные, а в параграфе 2.3.4 - все возможные (6+1)- и (7+1)-мерные решения с переменным объемом. В таблице 2.8 показано количественное распределение решений в зависимости от размерности пространства-времени и числа лавлоковских членов.