Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гравитационные модели с нелокальны ми скалярными полями 34
1.1. Нелокальное скалярное поле 34
1.1.1. Нарушение условий энергодоминантности 34
1.1.2. Нелокальное скалярное поле, порождённое полевой теорией струн 36
1.1.3. Гравитация с нелокальным скалярным полем 39
1.2. Нелокальные модели в пространстве Минковского, связанные с теорией струн 42
1.2.1. Корни функции J-(n\)j связанной со струнной теорией поля 42
1.2.2. Интегральная формула для тензора энергии-импульса в случае J-Sft 45
1.2.3. Представление Остроградского 47
1.2.4. Неквадратичный потенциал 49
1.3. Поиск точных частных решений путём локализации гравитаци онных моделей 49
1.3.1. Гравитационная модель с нелокальным скалярным полем и квадратичным потенциалом 49
1.3.2. Тензор энергии-импульса для частных решений 51
1.3.3. Алгоритм локализации для случая С\ = 0 55
1.3.4. Случай ненулевого С\ 59
1.4. Точные решения для моделей с квадратичным потенциалом 61
1.4.1. Точные решения в метрике ФЛРУ 61
1.4.2. Точные решения в метрике Бьянки I 63
1.5. Способы изучения нелокальных космологических моделей с про извольным потенциалом 65
1.5.1. Нелокальное уравнение Клейна-Гордона
1.5.2. Кубический потенциал 66
1.5.3. Логарифмический потенциал 69
1.5.4. Экспоненциальный потенциал 70
1.5.5. Степенной потенциал 70
1.6. Космологическая модель с нелокальным скалярным полем и полем /с-эссенции 71
Глава 2. Нелокальные гравитационные модели 75
2.1. Нелокальная модификация гравитации 75
2.2. Модель с аналитической функцией от оператора Даламбера 77
2.3. Формулировка в виде ОТО с неминимально взаимодействующим нелокальным скалярным полем 78
2.4. Анзац для поиска точных решений 79
2.5. Связь нелокальной модели с моделями R2 гравитации 80
2.6. Точное космологическое решение без радиации 81
Глава 3. Модель с обратным оператором далам бера 84
3.1. Локализация модели 84
3.2. Реконструкция функции /(ф) по заданному виду параметра Хаббла 87
3.3. Решения де Ситтера 89
3.4. Решения с параметром Хаббла, обратно пропорциональным времени 91
3.5. Степенные решения для заданного /(ф) 94
3.6. Модели с решениями де Ситтера и степенными решениями 95
3.7. Особые случаи степенных решений 98
3.8. Процедура реконструкции для модели с более сложной материей 100
3.9. Решения де Ситтера в случае показательной функции /(ф) 101
3.10. Стабильность решений де Ситтера 103
3.10.1. Изотропные и анизотропные возмущения. Метрика Бьян ки I 103
3.10.2. Случай ненулевого Л 107 3.10.3. Случай Л = 0 109
3.11. Степенные решения для модели с показательной функцией 113
3.11.1. Случаи нулевого и ненулевого Л 113
3.11.2. Доказательство отсутствия степенных решений в случае
3.11.3. Специальные значения параметра п 119
Глава 4. Космологические модели с минимально связанными скалярными полями. метод реконструкции потенциала 121
4.1. Задача реконструкции потенциала 121
4.2. Модель с фантомным скалярным полем 125
4.2.1. Связь с теорией струн 125
4.2.2. Космологическая модель с точным решением типа кинка 127
4.2.3. Космологические следствия 130
4.2.4. Эволюция точного решения и форма потенциала 132
4.2.5. Стабильность точных решений 135
4.3. Космологическая модель с фантомным скалярным полем и тём ной материей 139
4.3.1. Действие и уравнения 139
4.3.2. Численные решения 140
4.4. Модель с двумя скалярными (фантомными) полями 146
4.4.1. Суперпотенциал для моделей с двумя полями 146
4.4.2. Двухполевые модели, связанные с теорией струн 148
4.4.3. Применение суперпотенциала в квинтомных моделях
1 4.4.4. Различные потенциалы с одинаковыми решениями 153
4.4.5. Квинтомная модель с потенциалом 6-ой степени
4.4.6. Построение моделей с двухпараметрическим множеством точных решений 156
4.4.7. Обобщение однопараметрического решения 160
4.4.8. Другой выбор условий на коэффициенты суперпотенциала 165
4.5. Стабильность решений, стремящихся к фиксированной точке 168
4.5.1. Стабильность по Ляпунову 168 4.5.2. Изотропные решения в метрике Бьянки I 170
4.5.3. Построение стабильных решений методом суперпотенциала 171
4.5.4. Стабильность полученных точных решений 172
Глава 5. Космологические модели с неминимально связанными скалярными полями 174
5.1. Точные решения и интегрируемые модели 174
5.2. Применение метода суперпотенциала в моделях с неминимально взаимодействующим скалярным полем
5.2.1. Уравнения Фридмана 176
5.2.2. Масштабный фактор как независимая переменная 179
5.2.3. Квадратичная функция неминимального взаимодействия
5.2.4. Построение моделей с решением де Ситтера 181
5.2.5. Решения с функцией гиперболического тангенса 183
5.2.6. Построение моделей с полиномиальными потенциалами 186
5.3. Модель индуцированной гравитации с немонотонным поведени
ем параметра Хаббла 188
5.3.1. Точные решения 188
5.3.2. Стабильность полученных решений 191
5.4. Интегрируемые космологические модели 196
5.4.1. Соотношение между общими решениями в моделях с минимально и неминимально связанными скалярными полями 196
5.4.2. Новые интегрируемые модели 199
5.5. Модель индуцированной гравитации со степенным потенциалом 201
5.5.1. Построение линейных уравнений 201
5.5.2. Явный вид решений 203
5.5.3. Решения как функции космического времени 207
5.6. Связь между решениями в формулировках Иордана и Эйнштейна208
Глава 6. Развитие метода построения эллиптических решений неинтегрируемых систем 211
6.1. Свойство Пенлеве и интегрируемость 211
6.2. Тест Пенлеве и алгоритмы поиска точных частных решений 214
6.3. Построение решений в виде рядов Лорана с помощью теста Пенлеве
6.3.1. Обобщённый гамильтониан Хенона-Хейлеса 218
6.3.2. Результаты теста Пенлеве для системы Хенона-Хейлеса
С/І = 0 220
6.3.3. Нахождение решений в виде формальных рядов Лорана 223
6.3.4. Связь с уравнением четвёртого порядка 227
6.3.5. Нахождение решений в виде рядов Лорана в случае произвольного /І 228
6.4. Решения системы Хенона-Хейлеса в виде эллиптических и вы
рожденных эллиптических функций 230
6.4.1. Новые двухпараметрические точные решения в двух неинтегрируемых случаях системы Хенона-Хейлеса 230
6.4.2. Пример точного двухпараметрического решения 235
6.4.3. Другой способ поиска эллиптических решений 237
6.5. Доказательство отсутствия эллиптических решений комплексного кубического уравнения Гинзбурга-Ландау 240
6.5.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау третьей степени 240
6.5.2. Решения в виде формальных рядов Лорана и теорема вычетов 242
6.5.3. Несуществование эллиптических решений 244
6.6. Поиск решений уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени 249
6.6.1. Уравнение Гинзбурга-Ландау пятой степени 249
6.6.2. Построение решений в виде рядов Лорана 251
6.6.3. Ограничения на параметры системы 253
6.6.4. Поиск эллиптического решения 2 6.7. Алгоритм построения эллиптических решений неинтегрируемых систем 260
6.8. Поиск точных многозначных решений с помощью рядов Пьюзё 262
266 Приложение А 272
А.1. Список обозначений и используемых стандартных формул 272
А.2. Свойства эллиптических функций 274
А.З. Процедуры компьютерной алгебры, автоматизирующие поиск эллиптических решений неинтегрируемых систем 275
Список литературы
- Нелокальные модели в пространстве Минковского, связанные с теорией струн
- Формулировка в виде ОТО с неминимально взаимодействующим нелокальным скалярным полем
- Реконструкция функции /(ф) по заданному виду параметра Хаббла
- Космологическая модель с точным решением типа кинка
Нелокальные модели в пространстве Минковского, связанные с теорией струн
Альтернативой включения в действие, описывающее эволюцию Вселенной, различных полей является модификация гравитации. ОТО прекрасно описывает поведение планет в Солнечной системе и является хорошо проверенной теорией [104, 105]. В то же время, правильное описание движения небесных тел на галактических и космологических масштабах требует добавления тёмной материи и тёмной энергии. Существует вероятность, что тёмные материя и энергия могут быть не материальными полями, а наблюдаемым эффектом, свидетельствующим о необходимости поиска теории гравитации, обобщающей общую теорию относительности Эйнштейна. Начиная с работ Сахарова [106], Рузмайкина и Рузмайкиной [107], Гуровича и Старобинского [108], различные локальные теории модифицированной гравитации активно изучаются, и в настоящее время они рассматриваются в монографиях и обзорах [109-114].
Одним из примеров модифицированной теории гравитации, хорошо объясняющей развитие ранней Вселенной, является R2 гравитация и модель инфляции Старобинского [9, 10, 17]. С начала 1990-ых годов развиваются модели инфляции обобщённой модифицированной гравитации с плотностью лагранжиана f(R}Rn\R)} где — даламбертиан, а также модели R гравитации со скалярными полями [115].
Отметим, что идея модифицировать гравитацию также связана с нерешённой проблемой квантования гравитации и попытками объединить гравитационное взаимодействие с другими фундаментальными взаимодействиями. Как известно, ОТО неперенормируема, иными словами, её перенормировка требует бесконечного числа контрчленов, следовательно, неприменима стандартная процедура квантования физических полей. Перенормируемую гравитацию удалось построить с помощью добавления в действие квадратичных по тензору Риччи слагаемых [116], однако, это привело к появлению духовых степеней свободы. На сегодняшний день квантовой теории гравитации не создано.
Решением всех этих задач могло бы быть построение новой теории гравитации, связанной с теорией струн. Главная теоретическая мотивация поиска нелокального действия связана с желанием связать гравитацию с квантовой физикой с помощью теории струн, которая предлагает нелокальные поправки к действию Гильберта-Эйнштейна [117, 118]. Нелокальные поправки появляются уже классически (т.е. на древесном уровне в вершинах) и могут быть перенесены на кинетические члены с помощью переопределения полей Исследования как тёмной энергии, так и ранней Вселенной стимулировали активное изучение нелокальных космологических моделей, мотивированных струнной теорией поля [117, 119-134], в частности, моделей с нелокальным полем 0, лагранжиан которого включает член фе ф. Отметим, что, пока из конкретного действия теории струн не получены гравитационные модели, эта связь скорее идейная, а не на уровне строгих формулировок. По этой причине рассматриваемые модели включают произвольные функции. Важным вопросом является наличие тех или иных космологических решений в данных моделях в зависимости от вида функции, определяющей вклад нелокальной поправки к действию Гильберта-Эйнштейна.
В настоящее время один из возможных сценариев развития Вселенной (предложенный Арефьевой [117] в 2004 году) связан с представлением её как БЗ-браны (3 пространственных и одна временная переменная), вложенной в многомерное пространство-время. D-браны естественным образом возникают в теории открытых струн. Рассматривается неэкстремальная D-брана, которая нестабильна и эволюционирует в стабильное состояние. Этот процесс описывается динамикой открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. Если ограничиться только низшим возбуждением — тахионом, то динамика D-браны будет описываться действием тахиона открытой струны. Интерес к космологическим моделям, связанным с полевой теорией открытых струн, вызван возможностью получения решений, описывающих переходы из возмущённого вакуума в истинный (так называемые роллинговые решения). После того, как все массивные поля (или часть низших массивных полей) проинтегрированы с помощью уравнений движения, тахион открытой струны приобретает потенциал, обладающий нетривиальным минимумом. В рамках этой модели было показано, что эффективная модель гравитации может содержать фантомное скалярное поле, поскольку тахион открытой струны эффективно моделируется скалярным полем с отрицательным кинетическим членом. Обратная реакция браны в данной модели описывается динамикой тахиона замкнутой струны. Локальное описание связанного с сектором замкнутых струн скалярного поля содержит стандартный кинетический член. Таким образом, получается связь струнной теории поля с квинтомными (quintom) космологическими моделями [135, 136].
В диссертации рассмотрены модели нелокально модифицированной гравитации, включающей в себя либо аналитическую функцию оператора Далам 17
бера, либо обратный оператор Даламбера. Эти модели активно развиваются в настоящее время учёными многих стран [137-162]. Отметим, что многие модели модифицированной гравитации, в том числе и нелокальные, можно переформулировать как модели ОТО с дополнительными скалярными полями [151], возможно, нелокальными и неминимально связанными с гравитацией. Таким образом, данные модели и методы их исследования близки к методам исследования моделей со скалярными полями и являются их важным дополнением. Модели модифицированной гравитации могут служить возможным объяснением природы скалярного поля, используемого в космологических моделях. В частности, модели с обратным оператором Даламбера [142] могут быть сформулированы как локальные модели со скалярными полями, неминимально взаимодействующими с гравитацией [143].
Формулировка в виде ОТО с неминимально взаимодействующим нелокальным скалярным полем
Общая теория относительности прекрасно описывает поведение планет Солнечной системы и является хорошо проверенной теорией. В то же время есть много нерешённых задач, связанных с движением небесных тел на галактических и космологических масштабах, правильное описание которого требует добавления тёмной материи и тёмной энергии. Существует вероятность, что тёмные материя и энергия могут быть не материальными полями, а наблюдаемым эффектом, свидетельствующем о необходимости модификации теории гравитации. Отметим также важные и до сих пор нерешённые проблемы квантования гравитации и её объединения с электромагнитными, слабыми и сильными ядерными взаимодействиями. На квантовых масштабах ОТО также скорей всего потребуется усовершенствовать. Всё это является мотивацией для поиска теории гравитации, обобщающей ОТО.
Модели возникновения Вселенной требуют либо добавления скалярного (или иного) поля, природа которого не ясна, либо модификации гравитации. Идея модификации гравитации активно исследуется не одно десятилетие [106-108, 288]. Различные локальные теории модифицированной гравитации активно изучаются в настоящее время и рассматриваются в монографиях и обзорах [109-114]. Одним из примеров модифицированной теории гравитации, хорошо объясняющей развитие ранней Вселенной, является R гравитация и модель инфляции Старобинского [9, 10, 12, 17].
Отметим, что многие модели модифицированной гравитации, в том числе и нелокальные, можно переформулировать как модели ОТО с дополнитель 76 ными скалярными полями (возможно, нелокальными и неминимально связанными с гравитацией). Модели модифицированной гравитации могут служить возможным объяснением природы скалярного поля, используемого в космологических моделях. Таким образом, модели модифицированной гравитации и модели со скалярными полями дополняют друг друга.
Идея нелокальной гравитации порождена желанием связать гравитацию с квантовой физикой, в частности, с квантовой теорией поля и теорией струн. Главная теоретическая мотивация поиска нелокального действия связана с теорией струн, которая предлагает поправки с высшими производными к действию Гильберта-Эйнштейна. Нелокальные поправки появляются уже классически (т.е., на древесном уровне в вершинах) и могут быть перенесены на кинетические члены с помощью переопределения полей
Теория струн стимулирует исследования в данной области, но пока из конкретного действия теории струн не получены гравитационные модели и связь скорее идейная, а не на уровне строгих формулировок. По этой причине рассматриваемые модели включают произвольные функции. Важным вопросом является наличие тех или иных космологических решений в данных моделях в зависимости от вида функции, определяющей вклад нелокальной поправки к действию Гильберта-Эйнштейна.
Важной задачей является нахождение таких поправок, чтобы модифицированное действие было свободно от духов, приводящих к нестабильности вакуума. Попытки найти такое действие с помощью конечного числа членов со старшими производными [116, 289] не были очень успешными. Есть надежда, что с помощью нелокального действия удастся обойти эту проблему.
В этой главе рассмотрена нелокальная модель с аналитической функцией оператора Даламбера, действующей на скаляр кривизны. В следующей главе рассматривается другой вид моделей нелокальной гравитации, а именно, модели, содержащие обратный оператор Даламбера. 2.2. Модель с аналитической функцией от оператора Даламбера
Данная модель была предложена в работе [137] и развита в статьях [138— 140, 230, 235, 290]. В диссертации представлены результаты статей [230, 235], в которых было найдено новое точное решение для данной модели и показано, что анзац, используемый в работах [137, 138, 230, 290] для получения различных точных решений, приводит к уравнениям f(R) гравитации.
Нелокальная гравитационная модель [137] описывается действием
Удобно использовать безразмерные координаты хр = М хр и тр = Мр/М , для которых Т(П\/М2) = .F(O), при этом П — Даламбертиан в терминах безразмерных координат. В этой главе мы используем только безразмерные координаты (обозначаемые без надчёркиваний).
Система (2.2) является системой нелокальных нелинейных уравнений. Решение данной системы является сложной задачей даже после выбора вида метрики. В то же время, некоторые частные решения данного уравнения могут быть получены с помощью анзаца, который локализует систему (2.2). Следуя работам [137-139, 230], будем искать решения в классе функций, удовлетворяющих следующему условию:
Реконструкция функции /(ф) по заданному виду параметра Хаббла
В метрике ФЛРУ система уравнений Эйнштейна сводится к двум независимым уравнениям, например, уравнению следа и "00" уравнению. Последнее уравнение для удовлетворяющего анзацу решения уравнения следа имеет вид:
Подставляя решение (2.24), мы убеждаемся, что уравнение (2.26) выполнено. Таким образом, функция (2.23) удовлетворяет всем уравнениям Эйнштейна в модели без радиации. Данное решение соответствует решению Рузмайки-ных [107, 167, 295] для R2 гравитации. Как отмечено в статье [139], при Л 0 данное решение вряд ли пригодно для описания эволюции Вселенной, поскольку линейно растущий параметр Хаббла в этой модели затрудняет описание выхода из стадии сверх ускоренного расширения Вселенной. В тоже время, в модели с отрицательным Л данное решение не является решением типа "отскока", асимптотически идентично с решением, используемым в инфляции Старо-бинского [9, 10, 17] и является физически приемлемым. Для рассматриваемой нелокальной модели свойства решения Старобинского подробно исследованы в статье [140].
Отметим, что похожесть найденных с помощью дополнительных условий решений рассматриваемой нелокальной модели и известных решений R гравитации привела А.С. Кошелева и автора диссертации к мысли о связи этой модели нелокальной гравитации и R гравитации, описанной в работе [235
Рассматриваемая в диссертации модель была предложена в работе Де-зера и Вударда [142]. Отметим, что идея использовать обратный оператор Даламбера для модификации гравитации появилась гораздо раньше [141] и активно используется в настоящее время в разных космологических моделях [147-156, 159].
Модель Дезера-Вударда, подробно разобранная в недавнем обзоре [149], описывается следующим действием: где / — дифференцируемая функция, П-1 — обратный оператор Даламбера, Л — космологическая константа, а Сш — Лагранжиан материи. Варьированием действия (3.1) получаем следующие уравнения движения [142]:
Локализация данной модели была предложена Ноджири и Одинцовым в работе [143]. А именно, было предложено локальное действие с двумя скалярными полями, неминимально взаимодействующими с гравитацией:
Отметим, что данная локализация верна для произвольной нелинейной функции В случае линейной функции / достаточно одного скалярного поля ф для локализации действия [151]. Для решения проблемы фантомных степеней свободы нужно наложить дополнительные условия на функции Грина, определяемые обратным оператором Даламбера [142, 148]. Таким образом, без дополнительных условий локальная версия будет иметь лишние степени свободы, которые отсутствуют в исходной нелокальной модели. Как легко заметить, система (3.6) не включает в себя саму функцию ф: а только /(ф) и / (ф)7 вместе с производными функции ф. Отметим, что функция /(ф) может быть определена только с точностью до константы, так как добавление константы к /(ф) и вычитание этой же константы из не меняет уравнений.
Мы предположим, что материя имеет вид идеальной космической жидкости, то есть, Tmoo = An, Tmi0 = Тт0г = 0 и Tmij = Pmgtj. В метрике ФЛРУ плотность энергии и давление материи связаны уравнением непрерывности
Если Л = 0 и материя отсутствует, то уравнение (3.12) имеет решение Ф() = 0. Из уравнения (3.10) следует, что функции ф и суть константы. Из уравнения (3.13) следует, что в этом случае пространственная кривизна равняется нулю и пространство Минковского оказывается решением.
Мы изучаем модель, в которой материя имеет постоянный параметр состояния wm, а также может присутствовать космологическая константа. Поскольку космологическая константа является космической жидкостью с wm = — 1, естественно наложить условие, что параметр состояния материи не равен —1.
Отметим, что случай показательной функции /(ф) наиболее активно исследовался [143-145, 160-162, 228, 233, 245]. Частные решения де Ситте-ра и степенные решения найдены в статье [143]. Исследование решений де Ситтера было продолжено в работах [161, 228, 245], а степенных решений — в [162, 231, 233]. Представленные в диссертации результаты работ [228, 229, 231] обосновывают выбор показательной функции /(ф) с помощью процедуры реконструкции.
Космологические модели часто включают в себя функции, которые не могут быть выведены из фундаментальной теории. Как правило, можно только предположить некоторое свойство такой функции, например, что функция должна быть полиномом или аналитической функцией. Для рассматриваемого типа нелокальной гравитации естественно возникают вопросы, почему выбирается некоторая специфическая форма функции f(\3 lR), а не другая, какова физическая мотивация этого выбора. Чтобы ответить на эти вопросы приходится прибегать к процедуре реконструкции, которая позволяет понять возможно ли описать данной моделью различные этапы эволюции Вселенной. Для рассматриваемой нелокальной модели метод выбора функции f(\3R) был предложен в статье [147].
В рамках подхода с использованием локального действия (3.5) процедура реконструкции с помощью функций масштабного фактора а была предложена в статье [145]. Метод реконструкции, рассматриваемый в диссертации, впервые предложен в статье [228] с целью получения модели с решением де Ситтера и обобщён в [229] на случай произвольного заданного параметра Хаббла. Дальнейшее обобщение было сделано в статье [231], где были получены функции /(V0 которые соответствуют решениям с параметром Хаббла Н = n/t, где п — действительное число. Эти решения соответствуют степенному масштабному фактору a = tn и называются степенными. Кроме того, были найдены функции /(ф), для которых модель имеет как решения де Ситтера, так и степенные решения. Отличительной чертой описываемого метода является использование только функций космического времени t.
Итак, необходимо выяснить при каких функциях /(ф) существует решение космологических уравнений (3.10)-(3.13) с заданным поведением параметра Хаббла H(t). Если параметр уравнения состояния wm известен, то для любого заданного H{t) уравнение (3.9) интегрируется и мы получаем pm(t). После этого можно решить уравнение (3.12) и получить Ф(). Знание H{t) также позволяет проинтегрировать (3.13) и получить ф{Ь).
Космологическая модель с точным решением типа кинка
Скалярные поля, неминимально взаимодействующие с гравитацией, естественно возникают в теориях с дополнительными измерениями, например, теории струн [109] и теориях квантовых полей в искривлённом пространстве-времени [27-29, 342]. Скалярно-тензорная гравитация была предложена Иорданом [343] и развита в статьях Бранса и Дикке [344, 345]. Особенностью космологических моделей с неминимально взаимодействующими скалярными полями является возможность описать немонотонное поведение параметра Хаббла с помощью только одного скалярного поля.
Несмотря на то, что космологические модели со скалярными полями приобрели большую популярность в последние десятилетия и активно исследуются [164-171, 346-362], найдено совсем немного интегрируемых космологических моделей. Наиболее известной подобной моделью является пространственно плоская модель Фридмана с минимально связанным скалярным полем и экспоненциальным потенциалом. Для такой модели общее решение было получено и подробно изучено в работах [188, 312-315]. Частное решение данной модели со степенным масштабным фактором активно используется [363-370] для описания эволюции Вселенной. Другой интересный класс интегрируемых моделей содержит потенциалы, являющиеся суммами экспонент со специальными значениями показателей [172, 371, 372].
В циссертации представлены результаты исследований по развитию методов поиска интегрируемых моделей и процедуры реконструкции потенциала в моделях с неминимально связанным скалярным полем [232, 234, 246, 247]. В работе [232] метод суперпотенциала был впервые использован для реконструкции космологических моделей с неминимально взаимодействующим скалярным полем и были получены потенциалы скалярного поля, которые приводят к решениям де Ситтера, к асимптотическим решениям де Ситтера (в том числе и с немонотонным поведением параметра Хаббла). В последующей работе [247] получены условия стабильности для асимптотических решений де Ситтера и показано, что существуют подобные стабильные решения с немонотонным поведением параметра Хаббла. Необходимые условия для получения полиномиального потенциала методом суперпотенциала приведены в статье [246].
В нашей работе [234] показано, как знание интегрируемой системы с минимально связанным скалярным полем позволяет найти интегрируемую систему с неминимально связанным полем, и получено соответствие между интегрируемыми космологическими моделями с минимально и неминимально связанными скалярными полями. Известно, что космологические модели с неминимальной связью могут быть преобразованы в модели с минимальной связью с помощью правильно подобранного конформного преобразования метрики в сочетании с параметрическим преобразованием скалярного поля. Эту процедуру называют переходом от формулировки Иордана к формулировке Эйнштейна. Использование параметрического времени в метрике ФЛРУ позволяет получить простые формулы, связывающие интегрируемые модели с минимально и неминимально связанными скалярными полями. С их помощью можно построить общие космологические решения для моделей с неминимально связанными скалярными полями, в частности, моделей индуцированной гравитации и моделей, включающих член Гильберта-Эйнштейна и скалярное поле, конформно связанное с гравитацией. Явные формы потенциалов самодействия скалярного поля шести точно решаемых моделей представлены в работе [234]. Для одной из интегрируемых моделей, а именно, индуцированной гравитационной модели со степенным потенциалом мы получили общее решение и проанализировали его свойства.
Задача состоит в построении модели с точным частным решением требуемого вида. При этом получаемые функции U(a) и V{a) должны удовлетворять определённым свойствам. Отметим, что модели с неминимально взаимодействующим скалярным полем, например, модели типа Бранса-Дикке [344, 345], рассматриваются и в теориях с дополнительными пространственными измерениями [204, 373]. Задача реконструкции потенциала и получения точного частного решения с помощью суперпотенциала решалась в работе [204]. В этой работе функция U(а) предполагалась заданной и шёл поиск только потенциала. При этом метод реконструкции был основан на методе суперпотенциала для минимально связанного скалярного поля и конформном преобразовании метрики. Данный подход легко можно переформулировать для космологии. Рассматриваемый в диссертации подход не предполагает знания функции U(a). Поэтому он применим к более широкому классу моделей и не является простым аналогом метода, предложенного в [204].
В пространственно-плоской метрике ФРЛУ получаемые варьированием действия (5.1) уравнения записываются следующим образом [232, 360]: Напомним, что точка обозначает производную по времени, а штрих — производную по скалярному полю, которое в данной главе обозначим как а.
Данная система уравнений является интегрируемой только для очень небольшого числа потенциалов V{a) (примеры интегрируемых космологических моделей с неминимально взаимодействующим скалярным полем даны в [234]). В то же время, для построения космологических моделей оказывается достаточным знание частного точного решения, поэтому в космологии активно развиваются методы реконструкции потенциала по заданному поведению параметра Хаббла. В частности, известен метод [360], позволяющий получать потенциал модели индуцированной гравитации (U(IJ) = а /2), если поведение параметра Хаббла как функции времени или масштабного фактора задано. Отличительной особенностью данного метода является то, что для построения (реконструкции) потенциала требуется решать только линейные дифференциальные уравнения. На данный момент этот метод развит только для моделей индуцированной гравитации и возможность его обобщения на случай произвольного U(а) не очевидна. Другой проблемой данного метода является то, что потенциалы оказываются очень сложного вида. В то же время, для построение реалистичной космологической модели, особенно мотивированной фундаментальной физической теорией, обычно требуются потенциалы простого вида, выражаемые в терминах элементарных функций, например, полиномы. Важной задачей является исследование возможности построения космологических моделей с полиномиальными потенциалами, обладающими точными решениями и требуемым поведением параметра Хаббла.