Содержание к диссертации
Введение
2 Сигма-модельное представление в теории с р-бранами 14
2.1 Действие и уравнения движения 14
2.2 Анзатц для составных р-бран 15
2.3 Сигма-модель 17
2.3.1 Ограничения на р-бранные конфигурации 17
2.3.2 Действие сигма-модели в гармонической калибровке 18
2.3.3 Сигма-модель со связями 20
2.3.4 Общие конформные калибровки и случай d0 = 2 22
3 Решения с гармоническими функциями 24
3.1 Решения с блок-ортогональными наборами U и риччи-плоскими фактор-пространствами 24
3.1.1 Решения с ортогональными U* 27
3.1.2 Решения, отвечающие алгебрам Ли 29
3.1.3 Скаляр Кречмана, горизонт и обобщенные решения типа Маджумдара-Папапетру (МП) 35
3.1.4 Обобщение на не-риччи-плоские внутренние пространства . 39
3.2 Общие решения тодовского типа, полученные методом нулевых геодезических 42
3.2.1 Лагранжиан системы типа цепочки Тоды 42
3.2.2 Решения тодовского типа 44
3.2.3 Решения, отвечающие Лт-цепочке Тоды 46
4 Классические и квантовые решения космологического типа 50
4.1 Лагранжева динамика 50
4.2 Классические решения с Л = 0 52
4.2.1 Решения с риччи-плоскими пространствами 52
4.2.2 Решения с одним не-риччи-плоским пространством 53
4.2.3 Блок-ортогональные решения 55
4.3 Классические решения с Л ф 0 на произведениях пространств Эйнштейна 56
4.4 Квантовые решения 60
4.4.1 Уравнение Уилера-ДеВитта 60
4.4.2 Квантовые решения с одним фактор-пространством ненулевой кривизны и ортогональными U' 61
4.4.3 Уравнение УДВ с фиксированными зарядами 63
5 Р-бранные аналоги чернодырных решений 64
5.1 Решения с горизонтом 64
5.2 Полиномиальная структура Нй для алгебр Ли 69
5.2.1 Предположение о полиномиальной структуре 69
5.2.2 Проверка Гипотезы 1 для алгебр Ли Ат и Cm+i 70
5.3 Некоторые примеры 72
5.3.1 Решение для А2 72
5.3.2 Лг-дион в D = 11 супергравитации 72
5.3.3 Лг-дион в модели Калуцы-Клейна 73
5.4 Пост-ньютоновское приближение 74
5.5 Экстремальный случай 76
5.5.1 "Однополюсное" решение 76
5.5.2 Мультичернодырное обобщение 78
6 Симметрии пространства мишеней 79
6.1 Структура однородного пространства 79
6.2 Алгебра векторных полей Киллинга 80
6.3 Блок-ортогональное разложение 82
7 Многомерные космологические модели с "идеальной" жидкостью 84
7.1 Классическая и квантовая космология с многокомпонентной "идеальной" жидкостью 84
7.1.1 Сведение к лагранжевой системе 85
7.1.2 Классические решения 88
7.1.3 Квантовые решения 93
7.2 Однокомпонентная идеальная жидкость со скалярным полем 96
7.2.1 Классические решения 97
7.2.2 Квантовый случай: третично-квантованная модель 105
8 Бильярдное представление для многомерной космологии вблизи сингулярности 108
8.1 Бильярды в моделях с многокомпонентной идеальной жидкостью 108
8.2 Бильярдное представление для космологии с р-бранами вблизи сингулярности 126
8.2.1 Модель с -бранами 126
8.2.2 Бильярдное представление 128
8.2.3 Примеры двумерных бильярдов 131
8.2.4 D = 11 супергравитация 133
9 Космологические решения со скалярным полем 140
9.1 Решения с к < 1 не-риччи-плоскими пространствами 140
9.1.1 Решения казнеровского типа 140
9.1.2 Случай одной кривизны 141
9.2 Сингулярные решения 142
9.2.1 (n + 1)-мерное казнеровское решение 143
9.2.2 Решения типа казнеровских с риччи-плоскими пространствами 146
9.2.3 Решения с асимптотическим казнеровским поведением 148
10 Сферически-симметричные решения в скалярно-вакуумном случае 151
10.1 Сферически-симметричные решения с риччи-плоскими внутренними пространствами 151
10.1.1 Анализ сингулярностей 153
10.2 Многовременное обобщение решения Тангерлини 155
10.2.1 Уравнения геодезических 156
10.2.2 Многовременной аналог закона Ньютона 159
11 Многомерные дилатонные чернодырные решения 162
11.1 Сферически-симметричные решения 163
11.2 Неэкстремальные дилатонные заряженные черные дыры 164
11.3 Экстремальные дилатонные черные дыры с космологическим членом 167
12 Заключение 171
Приложение 1 174
Библиография 200
- Действие сигма-модели в гармонической калибровке
- Общие решения тодовского типа, полученные методом нулевых геодезических
- Классические решения с Л ф 0 на произведениях пространств Эйнштейна
- Классическая и квантовая космология с многокомпонентной "идеальной" жидкостью
Введение к работе
Необходимость изучения многомерных моделей гравитации и космологии [1, 2, 3, 4, 5] мотивируется рядом причин. Во-первых, основной тенденцией в современной физике является объединение всех известных фундаментальных физических взаимодействий: электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий, несколько более скромные достижения в теориях великого объединения (GUT), суперсимметричных, струнных и суперструнных теориях.
В настоящее время развиваются теории с мембранами, р-бранами - так называемые М- и F-теории, см., например, [22, 23, 24, 27, 28]. Хотя в настоящее время не построено никакой более или менее реалистичной теории объединения, представляется желательным изучение общих свойств этих теорий и их применений к решению основных проблем современной гравитации.
Во-вторых, многомерные гравитационные модели, также как и скалярно-тензорные теории гравитации, являются теоретической основой объяснения возможных временных и пространственных вариаций фундаментальных физических констант [6]. Эти идеи ведут свое начало от ранних работ П. Дирака (1937) по связи явлений микро-и макромиров и до настоящего времени являются объектом пристального внимания, как теоретиков, так и экспериментаторов [3].
Памятуя о том, что многомерные гравитационные модели суть обобщения общей теории относительности, которая надежно проверена для слабых и частично для сильных полей (двойные пульсары) с точностью до 0.001, совершенно естественно поставить вопрос о их возможных наблюдательных и экспериментальных "окнах" [34]-[3б]. В настоящее время имеются следующие "окна":
возможные отклонения от законов Кулона и Ньютона;
возможные изменения эффективной гравитационной постоянной с временными масштабами меньше планковского;
возможное существование монопольных мод в гравитационных волнах;
возможные проявления объектов сильного поля, таких как многомерные черные
дыры, "кротовые норы" и р-браны;
- пост-ньютоновские параметры, стандартные космологические тесты и т. п.
Поскольку на сегодняшний день нет приемлемой модели объединения, представляется целесообразным рассматривать простые, но в тоже время достаточно общие с точки зрения числа дополнительных измерений модели, основанные на многомерных уравнениях Гильберта-Эйнштейна в вакууме или с источниками различной природы, такими как:
космологическая постоянная,
"идеальная" и вязкая жидкости,
скалярные и электромагнитные поля,
поля антисимметричных форм (ассоциированные ср-бранами),
их взаимодействия и т.д.
Основная цель диссертации состоит в получении точных решений (интегрируемых моделей) и анализ их в космологических, сферически-симметричных и др. случаях. Это, как показывает опыт, наиболее естественный и надежный способ изучения нелинейных систем.
История многомерного подхода в гравитации берет начало с известных работ Т. Калуцы и О. Клейна [37, 38] по 5-мерной теории гравитации, которые положили начало исследованиям в многомерной гравитации (см. также [1, 39,110, 40]). Эти идеи в дальнейшем были развиты П. Иорданом [41], который рассмотрел общий случай <755 ф const, приводящий к теории с дополнительным скалярным полем. Работы [37, 38, 41] были в некотором смысле источником вдохновения для К. Бранса и Р. Дикке в их известной работе [42], посвященной скалярно-тензорной теории гравитации. Эта работа во многом стимулировала исследования моделей со скалярными полями (с конформной и неконформной связями) [6].
Возрождение интереса к "многомерию" началось в 70-х годах и продолжается до сих пор. Это связано, главным образом, с развитием объединенных теорий. Интерес к многомерной гравитации стимулировался в значительной степени: і) развитием теории калибровочных полей (предложенной Янгом и Миллсом) [9, 10], приведшей к неабелеву обобщению подхода Калуцы-Клейна, и іі) построением супергравитационных теорий [43, 44, 291]).
В 80-е годы на смену супергравитационным теориям пришли суперструнные модели [12] (см. также [И])- В настоящее время определенные ожидания связаны с так называемой ЛГ-теорией, а также с .F-теорией и др. Во всех этих теориях 4-мерные гравитационные модели с дополнительными полями получаются из многомерных моделей путем размерной редукции, основанной на представлении исходного многообразия в виде М = М4 х Mint, где М4 - 4-мерное многообразие и Mint - некоторое "внутреннее" многообразие (обычно компактное).
В ранних работах по многомерной космологии обычно рассматривался случай
блок-диагональной космологической метрики
заданной на многообразии
М = Шх М0х ... х Мп,
где (Мт,дг) - пространства Эйнштейна, г = 0,... ,та [45]-[76].
В работах [54, 55, 59, 64, 66, 71, 84, 86] изучались модели с многомерной (многокомпонентной) "идеальной" жидкостью. В этих моделях давления (для каждой компоненты) пропорциональны плотности
где dr - размерность Мг, щ = const, г = 0,... ,п. Такие модели могут быть сведены к псевдоевклидовым системам типа цепочек Тоды с лагранжианом
1 m
и нулевым уровнем энергии Е = 0. В классическом случае точные решения с риччи-плоскими пространствами (Мг,дт) и 1-компонентной идеальной жидкостью рассматривались многими авторами (см., например, [52, 53, 64, 66, 84, 86, 119] и ссылки там).
В [129] были получены точные вакуумные решения в случае задачи с двумя кривизнами, когда п = 2 и (di,d2) = (2,8), (3,6), (5,5). (Эти решения содержат подкласс "особых" решений, а также его расширение [135]). Для 2-компонентной идеальной жидкости и двух риччи-плоских пространств аналогичные решения были получены также в [130]. Для любого п имеется семейство точных решений милновского типа в задаче о п кривизнах [130].
Необходимо отметить, что псевдоевклидовы системы типа цепочек Тоды до сих пор еще мало изучены. Однако существуют некоторые специальные классы уравнений состояния идеальной жидкости, которые приводят к евклидовым цепочкам Тоды. Впервые решения такого типа были рассмотрены в работе [86] для алгебры Ли А2. В работе [128] был рассмотрен общий случай для алгебр Ли Ап = в1(те + 1), где космологические решения были выписаны в терминах нового представления решений А„ цепочки Тоды, полученного А. Андерсен [250].
Среди решений космологического типа были получены также решения: і) со спонтанной и динамической компактификациями; іі) с казнеровским поведением вблизи сингулярности; ііі) изотропизацией на больших временах (см. например [85, 84]).
Также были получены решения, у которых вблизи сингулярности наблюдается осциллирующее поведение, схожее с поведением решений в хорошо известной модели Бьянки-ІХ. Многомерное обобщение этой модели рассматривалось многими авторами, см., например, [45, 93, 94, 98].
В работах [99, 100, 101] получено бильярдное представление для многомерных космологических моделей вблизи сингулярности и сформулирован критерии конечности объема бильярда и его компактности в терминах освещения единичной сферы точечными источниками света. Для модели с идеальной жидкостью бильярдное представление было детально рассмотрено в работе [101]. В работе [102] рассматривалось обобщение модели на неоднородный случай.
Многомерные космологические модели также могут быть обобщены на случай вязкой жидкости. В работах [131, 132, 133] были получены некоторые классы точных решений, в том числе несингулярные космологические решения.
Важным направлением в современных исследованиях многомерных космологических моделей является многомерная квантовая космология, которая основывается, главным образом, на уравнении Уилера-ДеВитта (УДВ)
ЯФ = 0,
где Ф - так называемая "волновая функция Вселенной". Многомерное конформно-ковариантное обобщение уравнения Уилера-ДеВитта в случае вакуумной космологической модели с п пространствами постоянной кривизны было впервые получено в работе [65] и проинтегрировано в частном случае двух фактор-пространств (одно из которых риччи-плоское). Конформно-ковариантное уравнение УДВ в общем контексте рассматривалось также в [77, 78] (см. также [80] и ссылки там.)
Уравнение УДВ для случаев космологической постоянной и идеальной жидкости было исследовано в работах [83, 85] и [84], соответственно. Точные решения в случае 1-компонентной идеальной жидкости со скалярным полем детально изучались в [119]. В работе [74] были получены многомерные квантовые кротовые норы - решения с особым поведением волновой функции (см. [79]). Эти решения были обобщены на случай космологической постоянной и идеальной жидкости в работах [83, 85] и [84, 119], соответственно. В [101] было получено "квантовое бильярдное" решение уравнения УДВ (точнее, его аппроксимация вблизи сингулярности). В ряде работ также были рассмотрены "третично-квантованные" многомерные космологические модели [73, 127, 119].
Космологические решения в гравитации тесно связаны со сферически-симметричными решениями. Впервые многомерное обобщение решений такого типа было получено Д. Крамером [107] и затем переоткрыто А.И. Легким [108], Д. Гроссом и М. Пери [109] и другими. В работе [112] решение Шварцшильда было обобщено на случай п внутренних риччи-плоских пространств. Было показано, что конфигурация типа черной дыры имеет место только в случае постоянных масштабных факторов
внутренних пространств. В работе [113] было получено аналогичное обобщение решения Тангерлини [111]. Эти решения были обобщены на электровакуумный случай в [115, 118, 117]. В [310, 117] рассматривались также решения типа дилатонных черных дыр. В [117] была доказана теорема о неустойчивости нечернодырных решений (относительно монопольных возмущений). В работе [121], посвященной экстремальным заряженным дилатонным черным дырам, были получены обобщенные решения типа Маджумдара-Папапетру с ненулевой космологической постоянной. Следует отметить, что в работе [190] были получены пионерские решения типа Маджумдара-Папапетру в размерности D = 4 с конформным скалярным и электромагнитным полями.
В настоящее время существует большой интерес к так называемой М-теории [22, 24, 27] (а также F-теории [28]). Эта теория является супермембранным аналогом суперструнных моделей [12] в D — 11. Низкоэнергетический предел теорий суперструн и М-теории приводит к моделям с лагранжианом следующего вида
С = R[g] - hapgMNdMfadN^ - -^exp[2Aa(y>)](Fa)2,
где д - метрика, Fa = dAa - форма ранга па, и ра - дилатонные скалярные поля.
Простейшая D-мерная теория со скалярным полем, 2-формой и константой ди-латонной связи A2 = (D — 1)/(D — 2) может быть получена размерной редукцией (D + 1)-мерной теории Калуцы-Клейна (в этом случае скалярное поле (р определяет размер (D + 1)-го измерения). Заметим, что космологическая постоянная Л может имитироваться /^-слагаемым с rankF = D.
При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности D, рангов пау констант дилатонных связей А0 и Л = 0 такие лагранжианы возникают в "усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых Черна-Саймонса) определенных теорий супергравитации или в низкоэнергетическом пределе суперструнных моделей [43, 44, 12]. Для D = 11 супергравитации [43], которая рассматривается сейчас как низкоэнергетический предел гипотетической М-теории [22, 25, 24, 27, 26], бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). При D = 10 можно рассматривать в качестве примера супергравитацию типа / с метрикой, скалярным полем и 3-формой, супергравитацию типа IIА с бозонными полями супергравитации типа /, образующими NS — NS-сектор (NS - сокращение для "Neveu-Schwarz") и, кроме того, 2-формой и 4-формой в R — Д-секторе (R - сокращение для "Raraond"), а также супергравитацию типа ИВ с бозонными полями супергравитации типа / (NS — NS сектор) и, кроме того, 1-формой, 3-формой и (самодуальной) 5-формой (R — R сектор). Как полагают сейчас, все пять суперструняых теорий (/, IIА, IIВ и две гетеротических с калибровочными группами G — Е& х Е& и Spin(32)/^) [12] вместе с 11-мерной супергравитацией [43] являются предельными случаями М-теории. Все эти теории связаны между собой преобразованиями дуальности [22, 26].
Список теорий супергравитации не ограничивается только размерностями D = 10,11 и сигнатурой ( —, +,..., +). Можно изучать супергравитации в размерностях D < 11 (в т.ч. полученные размерной редукцией из 11-мерной супергравитации [138]) или 12-мерную супергравитацию с двумя временами [31], или евклидовы супергравитации [32]. Также было высказано предположение, что теория суперструны типа IIB может быть получена из 12-мерной теории, называемой F-теорией [23, 28]. В работе Н. Кхвиенгиа и др. [33] был получен (деформированный) низкоэнергетический эффективный (бозонный) лагранжиан для F-теории. Полевой состав этой 12-мерной полевой модели таков: метрика, одно скалярное поле (с отрицательным кинетическим членом), 4-форма и 5-форма.
В работе [167] было показано, что в случае композитного электромагнитного р-бранного анзатца после размерной редукции на многообразии М0 х Mi х ... х Мп исходная модель сводится к гравитирующей самодействующей «г-модели со связями (в электрическом случае см. также [164, 165, 168]). В случае одномерных М» сигма-модельное представление было распространено в работе Д.В. Гальцова и О.А. Рычкова [236] на не-блок-диагональный случай (для одной и двух р-бран). Следует отметить, что гравитационный сектор сигма-модели [167] рассматривался ранее в работах В.А. Березина и др. [67], М. Райнера и А.И. Жука [134], а также в [135] (в этой работе рассмотрен случай общего конформного фактора для М0 и исправлена неточность в потенциале, допущенная в [67].) (Обзор по гравитирующим сигма-моделям см. в [16]).
Сигма-модельное представление является мощным инструментом в получении различных решений с пересекающимися композитными (составными) р-бранами (аналогами мембран). В рамках данного подхода было найдено большое количество различных типов решений. В работах [167, 168, 185, 248] были получены решения типа Маджумдара-Папапетру (в некомпозитном случае см. [164, 165]). Эти решения, соответствуют риччи-плоским внутренним пространствам (Mi,gl), г = 1,... ,7г. В [167] было также получено обобщение решений на случай дополнительных эйнштейновских внутренних пространств (ненулевой кривизны).
Ранее некоторые специальные классы таких решений рассматривались в работах [149, 150, 170, 171, 172]. Полученные решения имеют место при определенных соотношениях на параметры модели (дилатонные константы связи, размерности р-бран и их пересечений, общую размерность исходного многообразия). Эти соотношения суть соотношения ортогональности некоторых векторов, ассоциированных с р-бранами. В ортогональном случае широкий класс решений космологического типа (в т.ч. сферически-симметричных) был получен в [200] (см. также частные случаи в [151, 179, 180, 178]). Решения с горизонтом (чернодырные и их мембранные обобщения) рассматривались также в работах [152, 173, 174, 175, 200, 261, 262, 263] и др. В [175, 235] был доказан ряд утверждений, относящихся: к связи между температурой Хокинга и сингулярностью кривизны и к многовременным решениям. В работе К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [264] подробно исследовалась проблема стабильности
сферически-симметричных решений с р-бранами (о проблеме устойчивости см. также [14]). В работах [118, 194], были получены многовременные обобщения решений Шварцшильда и Тангерлини, где также было найдено обобщение закона Ньютона на многовременной случай.
Следует отметить, что наиболее широкий класс р-бранных решений с одной гармонической функцией и пересечениями общего вида был получен в [248], путем сведения задачи к лагранжевой системе тодовского типа с помощью метода нулевых геодезических [216, 217]. Частные подклассы этих решений ("ортогональных" и "блок-ортогональных") были получены ранее в [200, 5]. В работе [200] (см. также [187]) было также проинтегрировано конформно-ковариантное уравнение УДВ в случае "ортогонального" пересечения р-бран. (В некомпозитном случае см. также [180].) В менее общем случае несколько иной подход (с классическими полями форм) был предложен в работе американской группы [181]. В работах [188, 241] были получены точные решения в моделях с пересекающимися р-бранами в случае статических внутренних пространств. Был рассмотрен способ генерации эффективной космологической постоянной с помощью р-бран.
В работах [252, 253] рассматривалось бильярдное представление для многомерной космологии с р-бранами. Построен ряд примеров бильярдов с конечным объемом и на конкретном примере D = 11 супергравитации показано, что добавление слагаемого Черна-Саймонса может разрушить "удерживающий" бильярд. Полученные в [252] неравенства на казнеровские параметры сыграли ключевую роль в "доказательстве" хаотического поведения решений в моделях суперструн [254].
Отметим, что в настоящее время большое число публикаций посвящено многомерным моделям "(мем)бранного мира" (см., например, [17]-[21]). В этом подходе предполагается, что мы живем в (1 + 3)-мерном тонком (или "толстом") слое ("3-бране") в многомерном пространстве, и существует удерживающий потенциал, т.е. калибровочные и другие поля материи локализованы на (мем)бране, в то время как гравитация "живет" в многомерном "объеме". Этот подход, предложенный первоначально В.А. Рубаковым и М.Е. Шапошниковым [17], получил мощный импульс после работ Л. Рэндалл, Р. Сандрума и др. [18, 19]. В работе [18] была предложена конкретная схема возникновения удерживающего потенциала (см. также [20]) за счет склейки двух симметричных копий части 5-мерного анти-де-ситтеровского пространства. В рамках данного подхода были получен аналоги уравнений Фридмана и закона Ньютона. В работе диссертанта ([21] была рассмотрена модель толстого "мембранного мира" с цепочкой риччи-плоских внутренних пространств и материального источника в виде (анизотропной) "идеальной" жидкости. Тем не менее, следует отметить, что данный подход находится все еще в стадии "формирования", и каждая новая публикация в огромном потоке статей может существенно изменить ситуацию в данной области исследований.
Следует отметить, что имеется ряд хороших обзоров, посвященных различным аспектам р-бранных решений (см., например, [137, 138]). Однако эти обзоры, главным
образом, имеют дело с более или менее частными классами решений р-бранных решений и их применениями в теориях суперструн, М-теории и.т.д. В настоящей диссертационной работе, также как и в обзорной статье [340], рассматриваются общие классы решений с композитными (нелокализованными) р-бранами и блок-диагональными метриками, заданными на произведении риччи-плоских и эйнштейновских пространств произвольных размерностей и сигнатур.
Диссертация состоит из 12 глав и Приложения. Данная глава носит вводный характер.
В главе 2 изучается сигма-модельное представление со связями для гравитиру-ющей системы композитных р-бран, возникающее в многомерной гравитационной модели со скалярными полями и внешними формами. В разделе 2.1 определяется действие модели и выписаны уравнения движения. В разделе 2.2 формулируется исходная модель, определенная на многообразии М0 х Мх х ... х Мп, где "внутренние" пространства Мі, і > 1? суть пространства Эйнштейна, метрика берется в блок-диагональном виде, и все поля и масштабные факторы метрики являются функциями на Mq. В "чисто" электрическом и магнитном случаях число связей равно га(га —1)/2, где т - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Mq равна 1 или 3, возникает т дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран, при которых связи удовлетворяются тождественно.
В главе 3 рассматриваются решения с гармоническими функциями. В разделе 3.1 для риччи-плоских внутренних пространств и Mq получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В п. 3.1.2 выделены специальные классы новых решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрами Ли: конечномерным и гиперболическими, в т.ч. решения в 10-мерной IIА и 11-мерной моделях супергравитации, и в так называемых Др-моделях в размерностях D > 12. В п. 3.1.3 в частном случае плоского пространства Mq размерности d0 > 2 и гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта и сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В п. 3.1.4 получено обобщение этих решений на случай не-риччи-плоского М0, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. В разделе 3.2 в случае зависимости от одной гармонической функции получено общее семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. В п. 3.2.3 выделен подкласс решений, отвечающих Ат цепочке Тоды, т = 1,2,....
Действие сигма-модели в гармонической калибровке
Простейшая D-мерная теория со скалярным полем, 2-формой и константой ди-латонной связи A2 = (D — 1)/(D — 2) может быть получена размерной редукцией (D + 1)-мерной теории Калуцы-Клейна (в этом случае скалярное поле (р определяет размер (D + 1)-го измерения). Заметим, что космологическая постоянная Л может имитироваться / -слагаемым с rankF = D.
При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности D, рангов пау констант дилатонных связей А0 и Л = 0 такие лагранжианы возникают в "усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых Черна-Саймонса) определенных теорий супергравитации или в низкоэнергетическом пределе суперструнных моделей [43, 44, 12]. Для D = 11 супергравитации [43], которая рассматривается сейчас как низкоэнергетический предел гипотетической М-теории [22, 25, 24, 27, 26], бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). При D = 10 можно рассматривать в качестве примера супергравитацию типа / с метрикой, скалярным полем и 3-формой, супергравитацию типа IIА с бозонными полями супергравитации типа /, образующими NS — NS-сектор (NS - сокращение для "Neveu-Schwarz") и, кроме того, 2-формой и 4-формой в R — Д-секторе (R - сокращение для "Raraond"), а также супергравитацию типа ИВ с бозонными полями супергравитации типа / (NS — NS сектор) и, кроме того, 1-формой, 3-формой и (самодуальной) 5-формой (R — R сектор). Как полагают сейчас, все пять суперструняых теорий (/, IIА, IIВ и две гетеротических с калибровочными группами G — Е& х Е& и Spin(32)/ ) [12] вместе с 11-мерной супергравитацией [43] являются предельными случаями М-теории. Все эти теории связаны между собой преобразованиями дуальности [22, 26]. Список теорий супергравитации не ограничивается только размерностями D = 10,11 и сигнатурой ( —, +,..., +). Можно изучать супергравитации в размерностях D 11 (в т.ч. полученные размерной редукцией из 11-мерной супергравитации [138]) или 12-мерную супергравитацию с двумя временами [31], или евклидовы супергравитации [32]. Также было высказано предположение, что теория суперструны типа IIB может быть получена из 12-мерной теории, называемой F-теорией [23, 28]. В работе Н. Кхвиенгиа и др. [33] был получен (деформированный) низкоэнергетический эффективный (бозонный) лагранжиан для F-теории. Полевой состав этой 12-мерной полевой модели таков: метрика, одно скалярное поле (с отрицательным кинетическим членом), 4-форма и 5-форма.
В работе [167] было показано, что в случае композитного электромагнитного р-бранного анзатца после размерной редукции на многообразии М0 х Mi х ... х Мп исходная модель сводится к гравитирующей самодействующей «г-модели со связями (в электрическом случае см. также [164, 165, 168]). В случае одномерных М» сигма-модельное представление было распространено в работе Д.В. Гальцова и О.А. Рычкова [236] на не-блок-диагональный случай (для одной и двух р-бран). Следует отметить, что гравитационный сектор сигма-модели [167] рассматривался ранее в работах В.А. Березина и др. [67], М. Райнера и А.И. Жука [134], а также в [135] (в этой работе рассмотрен случай общего конформного фактора для М0 и исправлена неточность в потенциале, допущенная в [67].) (Обзор по гравитирующим сигма-моделям см. в [16]).
Сигма-модельное представление является мощным инструментом в получении различных решений с пересекающимися композитными (составными) р-бранами (аналогами мембран). В рамках данного подхода было найдено большое количество различных типов решений. В работах [167, 168, 185, 248] были получены решения типа Маджумдара-Папапетру (в некомпозитном случае см. [164, 165]). Эти решения, соответствуют риччи-плоским внутренним пространствам (Mi,gl), г = 1,... ,7г. В [167] было также получено обобщение решений на случай дополнительных эйнштейновских внутренних пространств (ненулевой кривизны).
Ранее некоторые специальные классы таких решений рассматривались в работах [149, 150, 170, 171, 172]. Полученные решения имеют место при определенных соотношениях на параметры модели (дилатонные константы связи, размерности р-бран и их пересечений, общую размерность исходного многообразия). Эти соотношения суть соотношения ортогональности некоторых векторов, ассоциированных с р-бранами. В ортогональном случае широкий класс решений космологического типа (в т.ч. сферически-симметричных) был получен в [200] (см. также частные случаи в [151, 179, 180, 178]). Решения с горизонтом (чернодырные и их мембранные обобщения) рассматривались также в работах [152, 173, 174, 175, 200, 261, 262, 263] и др. В [175, 235] был доказан ряд утверждений, относящихся: к связи между температурой Хокинга и сингулярностью кривизны и к многовременным решениям. В работе К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [264] подробно исследовалась проблема стабильности сферически-симметричных решений с р-бранами (о проблеме устойчивости см. также [14]). В работах [118, 194], были получены многовременные обобщения решений Шварцшильда и Тангерлини, где также было найдено обобщение закона Ньютона на многовременной случай.
Следует отметить, что наиболее широкий класс р-бранных решений с одной гармонической функцией и пересечениями общего вида был получен в [248], путем сведения задачи к лагранжевой системе тодовского типа с помощью метода нулевых геодезических [216, 217]. Частные подклассы этих решений ("ортогональных" и "блок-ортогональных") были получены ранее в [200, 5]. В работе [200] (см. также [187]) было также проинтегрировано конформно-ковариантное уравнение УДВ в случае "ортогонального" пересечения р-бран. (В некомпозитном случае см. также [180].) В менее общем случае несколько иной подход (с классическими полями форм) был предложен в работе американской группы [181]. В работах [188, 241] были получены точные решения в моделях с пересекающимися р-бранами в случае статических внутренних пространств. Был рассмотрен способ генерации эффективной космологической постоянной с помощью р-бран.
В работах [252, 253] рассматривалось бильярдное представление для многомерной космологии с р-бранами. Построен ряд примеров бильярдов с конечным объемом и на конкретном примере D = 11 супергравитации показано, что добавление слагаемого Черна-Саймонса может разрушить "удерживающий" бильярд. Полученные в [252] неравенства на казнеровские параметры сыграли ключевую роль в "доказательстве" хаотического поведения решений в моделях суперструн [254].
Общие решения тодовского типа, полученные методом нулевых геодезических
Здесь мы рассмотрим важный класс решений с постоянными масштабными факторами (так называемые решения типа Фройнда-Рубина). Такого рода решения содержат анти-деситтеровские пространства (AdS), которые "возникают вблизи горизонта" экстремальных заряженных р-бранных конфигураций из главы 3.
Заметим, что недавно возрос определенный интерес к решениям типа Фройнда-Рубина [219, 220] в многомерных моделях с р-бранами, заданными на произведении пространств Эйнштейна (см., например, [223, 224]). Этот интерес во многом вызван работами, посвященными дуальности между определенным пределом некоторой суперконформной теории в і-мерном пространстве и теорией струны (или М-теорией) на пространстве AdSd+i х W, где W - компактное многообразие (в т.ч. сфера) [225] (см. также [227, 228]). В [221] было показано, что решения в D = 10,11 супергравитациях, описывающие DZ—, М2—, М5-браны, интерполируют между пространственно-плоским вакуумом и компактификациями на Ас?5-пространство.
Ниже рассмотрен достаточно общий класс решений со спонтанной компактифика-цией для модели (2.1), определенной на многообразии М0 х Мі х ... х Мп, и метрикой где и дг - эйнштейнова метрика на М», удовлетворяющая уравнению (2.12), і — 0,-.., гг. Заметим, что в чисто гравитационных моделях с космологической постоянной Л уравнение движения Ric[#] = - z g имеет весьма простое решение [87, 88, 85, 91] і — 0,... ,п, которое было также обобщено на некоторые другие поля материи, в т.ч. на скалярное поле (см. [231] и ссылки там). Рассматриваемое здесь решение дается соотношениями (4.48) и (4.50)-(4.53) (см. ниже). В случае несоставных р-бран "космологический вывод" решения был проделан в [188]. Решения Фройнда-Рубина [219] в Г) = 11 супергравитации: AdS± х57и AdSy х 54, отвечают М2-бранам, "живущим" на AdS± и 54, соответственно. "Популярное" ныне решение AdSb х S5 в модели ИВ (D = 10) супергравитации [224] отвечает составной самодуальной конфигурации с двумя р-бранами, живущими на AdS$ и 55 и порожденными 5-формой. Рассмотрим модель с действием (2.1) и уравнениями движения (2.4)-(2.6). Уравнения Гильберта-Эйнштейна (2.4) могут быть записаны в эквивалентном виде (2.60). Здесь мы придерживаемся мультииндексных обозначений с fi = $IQ, определяемым как множество всех непустых подмножеств в {0,..., п}. Решение имеет следующий вид: многообразие и метрика определяются соотношениями (2.10), (4.48), (2.12) (с і = 0,...,п); поля форм и скалярные поля имеют вид Здесь Q,a С fi - непустые подмножества, удовлетворяющие Ограничению 3, представленному ниже и Qai суть константы, / Є Г2а, а Є Д. Параметры решения удовлетворяют соотношениям Решение имеет место, если удовлетворяется следующее ограничение на множества 0„, а А, (аналогичное "электрической части" Ограничения 1). Ограничение 3. Для любого а А и /, J Є la d{lC\J) na 2. (4.54) В силу соотношений из Приложения 2 (В.38), (В.39), (В.46) и (В.47) это ограничение гарантирует блок-диагональную структуру Е д -тензора в (2.62). В силу (4.50) должно выполняться следующее условие (самосогласованности) d(/) - п„, (4.55) для всех /Gfia,ae Д. Простой пример: для D — 11 супергравитации с па = 4 пересечение р-бран: d(IiC\ /2) = 3 "запрещено" в силу Ограничения 3. Упомянутое выше решение может быть получено прямой подстановкой полей (4.48), (4.50), (4.51) в уравнения движения (2.60), (2.5)-(2.6) с использованием соотношений из Приложения 2. Электромагнитное представление В силу соотношения г(/) - є(І)8(І)т(І), (4.56) где = [д] - оператор Ходжа на (М, д), I = {0,... ,га} \ / - "дуальное" множество, и S(I) = ±1 определено соотношением т{1) Л т(7) = (/)т({0,...,«}), электрические р-браны, "живущие" на Mi (см. (2.17)) могут также рассмариваться, как магнитные р-браны, "живущие" на Mj. Сотношение (4.50) может быть записано в "электромаг нитном виде Рассмотрим примеры решений в случае, когда "наше" пространство (Мо,д) псевдоевклидово, и, следовательно, е0 = —1, а "внутренние" пространства (М,-, 7 ) евклидовы, и, как следствие, є; = 1, і = 1,..., п. Положим й„ = 1ип0 1)-1 для всех а Є Д. Решение с одной р-браной. Пусть 1а = {/}, Аа = 0 для некоторого о 6 Д и fij пусто для любого Ь ф а, Ь Д. Уравнения (4.52) удовлетворяются тождественно в этом случае, а уравнения (4.53) имеют вид Здесь Hd - cf-мерное пространство Лобачевского; Мп — Hdn для к п и Мп = Sdn для к = п. Для 2Л = Q2(na — 1) получим решение с плоским "нашим" пространством: М = К х 5dl х ... х б" х Rd +! х .... Мы можем получить тонкую подстройку космологической постоянной, когда Л и Q2 имеют планковский масштаб, а параметр о достаточно мал в согласии с данными наблюдений. р-брана "живет" в М0. Для / = {0,..., fc}, 0 к те, получим є(І) = —1 и Для Л = О, Q ф О, получим &+1 = . = п 0 и & = - = & 0. Среди этих решений содержится решение с многообразием М = AdSdo х Hdl х ... х Hdk х Sd +1 x ... x Mn. (4.64) Здесь Mn = Sdn для к n и Mn = #dn для fc = n. Для 2Л = Q2(D — na — 1) получим решение с плоским "нашим" пространством: М = Rd х Sdl х ... х 5а х Edfe+ х — Здесь также может быть рассмотрен механизм тонкой подстройки. Решение с двумя р-бранами. Пусть п = 1, do = di = па = d, tla = {IQ = {0}, I\ = {1}} для некоторого а, и остальные Г2ь (Ь ф а) пусты. Обозначим Qo — Qal„ и Q\ — Qaix- Для полей форм получим из (4.50) Fa Q0T0 + Qir1. (4.65) При \а ф 0 уравнения (4.52) удовлетворяются лишь тогда, когда Ql = Q\ = Q2. Соотношения (4.53) имеют вид Для Л = 0 и Q ф 0 получим решение, определенное на многообразии М = AdSd х 5d. Для нечетных d форма (4.65) самодуальна при QoQi 0 (см. (2.22)). Решение описывает составную р-бранную конфигурацию, содержащую как частный случай решение AdSb х Sb в ИВ супергравитации.
Поведение решения вблизи горизонта для Аг-диона в D = 11 супергравитации. Рассмотрим дионное решение (3.47), (3.48) в D = 11 супергравитации. Пусть д = dRdR + R2g[S2], Н = С + %, где С и М - константы и g[S2] - метрика на S2. Для С = 1 4-мерное сечение метрики описывает экстремальную заряженную черную дыру (Рейснера-Нордстрема) массы М в области вне горизонта: R 0. Положим теперь С = 0 и М = 1 (т.е. рассмотрим так называемый "предел вблизи горизонта"). Получим решение
Классические решения с Л ф 0 на произведениях пространств Эйнштейна
Вакуумные состояния 0,т и 0, out унитарно неэквивалентны. Стандартное вычисление [280, 281] дает для плотности числа out-квазичастиц ("игрушечных out-вселенных" "инфляционного типа"), содержащихся в "in-вакууме" ("казнеровского типа") Таким образом, получено планковское распределение с температурой
Температура (7.210) зависит от вектора и = (щ) (т.е. от уравнения состояния): Тр\ = Tpi(u). Например, получим Tpi(u ) = 2Tpi(u ). В пределе материи Зельдовича и —У 0 получим Tpi —ї-\-0. Отметим, что рассмотренная выше задача может быть сведены (надлежащим выбором временной калибровки) к задаче о квантовом скалярном поле в конформно-плоском фоне (см. в качестве примера работу Н.А. Черникова и Е.А. Тагирова [282]).
Замечание. Виков поворот [290]. В [285] была предложена регуляризация про-пагаторов (в квантовой теории поля) с помощью комплексной сигнатурной матрицы где w Є С \ (—оо,0] - комплексный параметр ("виков" параметр). Континуальные интегралы сперва определяются (ковариантным образом) для w 0 (т.е. в евклидовой области) и затем аналитически продолжаются на отрицательные ги. Предел пространства Минковского отвечает w = — 1 + гО (в обозначениях [285] w l = —а). Это предписание [285] является естественной реализацией поворота Вика. В [286] были доказаны аналоги теорем Боголюбова-Парасюка [8] для широкого класса про-пагаторов, регуляризованных комплексной метрикой (7.211). Этот формализм может быть также применен для третично-квантованной модели многомерной космологии. В этом случае соответствующие континуальные интегралы должны быть аналитически продолжены из интервала 1 D 2 (D - размерность), где минисуперметрика dj - евклидова, BD = Do —г0, DQ = l + ?=i к- Заметим также, что Дж. Гринсайтом была предложена идея рассматривать сигнатуру пространства-время как динамическую степень свободы [287] (см. [288, 289]; несколько иной подход рассматривался в [291]).
В этой главе рассматривается осциллирующее поведение решений вблизи сингулярности в многомерных космологических моделях [45]-[100]. Это направление в многомерной гравитации возникло как обобщение известных результатов для "миксмас-терной" космологической модели Бьянки-ІХ [295]-[305]. Оно использует простое объяснение стохастического поведения масштабных факторов вблизи сингулярности с помощью бильярдного представления. В модели Бьянки-ІХ такой подход был предложен Читром [304, 305]. (См. также [306, 124, 125, 297].) В подходе Читра модель Бьянки-ІХ вблизи сингулярности сводится к бильярду на пространстве Лобачевского Н2 (см. Рис. 7.4 ниже). Объем этого бильярда конечен. Этот факт вместе с известным поведением (экспоненциальной расходимостью) геодезических на пространстве отрицательной кривизны приводит к стохастическому поведению динамической системы в рассматриваемом режиме [298, 299].
В многомерном случае обобщение подхода Читра [304] было впервые получено в [99, 100, 101]. Оно позволяет получить более ясную картину возникновения осциллирующего поведения вблизи особой точки, используя формирование стенок бильярда.
Этот раздел посвящен построению "бильярдного представления" для многомерной космологические модели из предыдущей главы, описывающей эволюцию п пространств Эйнштейна в присутствии [тп + 1)-компонентной идеальной жидкости [84] (см. пункт 8.1.1 ниже). Одна из этих компонент отвечает космологической постоянной [83]. В некотором смысле модель из [84] может рассматриваться в качестве "универсальной" космологической модели: многие космологические модели (не обязательно многомерные) могут быть вложены в эту модель. (В некоторых частных случаях модель из [84] рассматривалась также в [49, 52, 54, 59, 63], [66]-[71].)
Здесь мы наложим ограничения на параметры космологической модели и сведем ее динамику вблизи сингулярности к бильярду на (п — 1)-мерном пространстве Лобачевского ifn_1 (см. 8.1.2). Будет предложен геометрический критерий конечности объема бильярда и его компактности. Этот критерий сводит рассматриваемую задачу к геометрической (или топологической) задаче об освещении (п — 2)-мерной единичной сферы Sn 2 несколькими: т+ га, точечными источниками расположенными вне сферы [300, 301]. Эти источники отвечают компонентам с (и )2 0 (см. 8.1.2). Источники освещают сферу тогда, и только тогда, когда бильярд имеет конечный объем. В этом случае космологическая модель обладает осциллирующим (и возможно стохастическим) поведением решений вблизи особой точки. В этом случае из топологических ограничений следует ограничение на число компонент с («(а )2 0: т+ п, т.е. это число должно быть не меньше, чем размерность минисуперпро-странства. (Заметим, что для космологической постоянной и членов с кривизнами (и( ))2 - о и этими слагаемыми, как показано ниже, можно пренебречь вблизи особой точки). В случае бесконечного объема бильярда космологическая модель имеет казнеровское поведение вблизи сингулярности [72]. Если включить в рассмотрение безмассовое скалярного поле с минимальной связью, то временная эволюция будет ограничена по (гармоническому) времени: t t0 и предел t —у 0 отвечает приближению к особой точке. В этом случае стохастическое поведение вблизи сингулярности отсутствует.
В пункте 8.1.3 предложенный подход рассматривается на примере модели Бьянки-IX и ее обобщения на случай цепочки внутренних пространства Эйнштейна. Получена казнеровское параметризация асимптотических решений. В п. 8.1.4 рассматривается уравнение УДВ в специальной временной калибровке [103]. "Вблизи сингулярности" это уравнение имеет приближенное решение, обобщающее решение для модели Бьянки-1Х [125]. Это решение может рассматриваться как отправная точка для построения третично-квантованных космологических моделей в окрестности сингулярности (для "миксмастерного" случая одна из таких моделей была рассмотрена в [125]).
Классическая и квантовая космология с многокомпонентной "идеальной" жидкостью
Каждый из этих членов является (ті — 2)-мерной "площадью" (объемом) поперечного сечения деформированной пирамиды с вершиной в некоторой точке yki к = 1,...,/. Эта многомерная пирамида образуется определенными частями сфер ортогональными Sn 2 в точке их пересечения t/fc. Следовательно, длины всех сечений "пирамид" гиперповерхностями г = const ведут себя как (1 — г)2, когда г — 1, что согласуется с (8.56). Но единичная сфера Sn 2 освещается источниками (8.45) только в случаях і) и ііі). Предложение доказано. Задача о освещении выпуклого тела в многомерном векторном пространстве точечными источниками впервые рассматривалась в [300, 301]. Для случая Sn 2 эта задача эквивалентна задаче покрытия сферы сферами [302, 303]. Существует топологическое ограничение на число точечных источников ттг+, освещающих сферу 5П_2 [301]:
Таким образом, мы приходим к следующему утверждению. Предложение 8.1.2. Пусть т+ п, т.е. число компонент с (иа)2 0 меньше, чем размерность минисуперпространства. Тогда бильярд В из (8.43) имеет бесконечный объем: vo\B — +оо. В этом случае существуют открытые зоны на сфере Sn 2 и колебательное поведение вблизи сингулярности отсутствует. (Т.е. мы получим казнеровское поведение для t — —со). Замечание. Пусть точки (8.45) образуют открытый выпуклый полиэдр Р С Rn 1. Тогда источники в (8.45) освещают 5П_2, если D" 1 С Р, и строго освещают 5п-2,если IF C Р. Обобщение на случай скалярного поля. Рассмотрим дополнительно (т + 1) ую компоненту с уравнением состояния pi = р(т+1\ і = 1,... ,п. Эта компонента описывает материю Зельдовича [7] во всех пространствах и эквивалентна однородному безмассовому свободному скалярному полю с минимальной связью [6]. В этом случае щт = 0, і = 1,... ,тг, и потенциал (8.3) модифицируется добавлением постоянной Ат+і 0. Тогда потенциал К из (8.33) видоизменяется добавлением следующего члена AV = Ат+1 ехр(-2у). (8.58) Это не препятствует формированию стенок бильярда, но изменяет временную зависимость у-переменной: (u 0) вместо (8.49). В пределе t —» t0 + 0 получим у0 — —оо и y(t) — уо Є В. Таким образом, осциллирующее поведение вблизи особой точки отсутствует в этом случае. Здесь мы рассмотрим известную миксмастерную модель [295, 296] с метрикой где 1-формы ег = e\,{Qd(,u удовлетворяют соотношениям i,j, к = 1,2,3. Формы ег определены на 53 5(7(2) и суть компоненты формы Морера-Картана на 5(7(2). Уравнения Эйнштейна для метрики (8.60) приводят к лагранжевой системе (7.24), (8.2) (см., например, [296]) с п = 3, di — d% — d3 = 1, т = б, Ах = А2 = А3 = 1/4, А4 = А5 = А6 = -1/2, А0 = А7 = А8 = А9 = 0, и «!а) = 4 f, «і3+а) = 2(1 - 6f), (8.62) а = 1,2, 3. В этом случае 70 = X)=i ж% минисуперметрика в (7.24) есть G,-_/ = Si:j — 1, а потенциал (8.3) имеет вид а = 1,2,3. Таким образом, условия (8.20), (8.21) удовлетворяются тождественно. Компоненты с а - 4,5,6 не "выживают" при приближении к сингулярности (см. (8.40)). Для векторов (8.45) получим v1 = (1, -V3), v2 = (1,+л/З), 3 = (-2,0), (8.67) т.е. треугольник, изображенный на рис. 8.4 (см. также [306]). В этом случае окружность S1 освещается источниками в точках гЛ, і = 1,2,3, но освещается нестрого. В силу Предложения 8.1.1 бильярд В имеет конечный объем, но В не компактно. 8.1.3.2. Миксмастерная космология с цепочкой внутренних пространств Эйнштейна Рассмотрим космологическую модель с метрикой определенной на многообразии где метрика дт{х определена в (8.60), и (Мі,дг) - пространство Эйнштейна размерности di, і = 4,... ,n; п 4. Действие модели имеет стандартный вид: S — f dDx\g\i (R — 2Л), где Л - космологическая постоянная. Уравнения Эйнштейна RMN — \RgMN = —к-дмы Для метрики (8.68) эквивалентны уравнениям Лагранжа для лагранжиана (7.24) с d\ = 4 = 4 — 1 и потенциалом Л-член и компоненты кривизн в потенциале (8.70) не образуют стенок вблизи сингулярности, так как отвечающие им инварианты (и )2 отрицательны (см. (8.17) и (8.40)). Для "миксмастерных" компонент получим Вычисление (иа)2 дает тот же результат, что и в чисто "миксмастерном" случае (см. (8.66)). Из (8.71) получим ?=1 «i4 = 2(D 2) 0 и, следовательно, м 0, к = 1,..., 6 (см. (8.14)). Для компонент кривизн и Л-члена и% 0 в силу (8.15), т.е. условия (8.20) и (8.21) удовлетворяются тождественно. Таким образом, получим т+ — 3 и неравенство (8.57) в рассматриваемом случае не удовлетворяется (те 4). Существует непустая "теневая область" на сфере Sn 2. Бильярд (8.43) имеет бесконечный объем (Предложение 8.1.2). Осциллирующее поведение вблизи сингулярности отсутствует для рассмотренного расширения модели Бьянки-1Х.
