Введение к работе
В общей теории относительности взаимосвязь геометрии пространства -времени (отождествляемой с гравитационным полем) с различными характеристиками и поведением других видов материи, заполняющей физическое пространство, определяется уравнениями Эйнштейна
Rij - ^Лдц т- Ьдц = ~кТЧ > (1)
где itj = 1,2,3,4; Rij -тензор Риччи, построенный по четырехмерной пространственно-временной метрике gij\ R = д,}Щ -скаляр Риччи; Л -космологическая постоянная; к = ^-эйнштейновская гравитационная постоянная; Ту-тензор энергии-импульса всех имеющихся в пространстве негравитационных видов материи с учетом их взаимодействия.
В теории гравитации Эйнштейна, как и в любой нелинейной те-оргат, при изучении сложного, нелинейного характера взаимодействия гравитационных полей различных источников друг с другом и с другими видами материи, особое место занимает поиск и исследование разнообразных семейств точных решепий уравнений поля. Выделение среди этих решений простых модельных конфигураций, их детальное исследование позволяет выявлять многие качественные особенности рассматриваемых полей и процесса их взаимодействия. Обладающие ясным физическим содержанием, ети модельные конфигурации могут оказаться весьма полезными при обсуждении многих вопросов теории гравитации и различных ее приложений в космологии, физике компактных космических объектов, теории излучения, распространения и взаимодействия волн. Очевидными примерами, когда точные решения сыграли очень важную роль для понимания и обсуждения физических проблем, являются решения Шварщнильда и Керра для черных дыр, решение Фридмана в космологии и решение для плоских воля, которые помогли преодолеть некоторые затруднения в вопросе о существовании гравитационного излучения. Несмотря на то, что в данной области работали большое число исследователей и йиттст достигнуты значительные успехи, к сожалению, у большинства известных решений отсутствует физическое
истолкование. В число задач, для которых не получено точного решения, входят: решение для вращающейся двойной звезды, внутреннее решение Керра, реалистическое описание нашей неоднородной Вселенной, генерация и распространение гравитационного излучения от реалистического ограниченного источника.
Поиск точных решений уравнений Эйнштейна представляет собой крайне сложную задачу, и как нам кажется, именно поэтому в течение первых нескольких десятилетий было получено ограниченное количество точных решений. Здесь необходимо заметить, что, по той же причине, термином «точные решения» во многих статьях и монографиях пользуются в смысле указания вида метрики с произвольными функциями от двух и трех переменных , на которые наложено минимальное число дифференциальных связей. Лля пояснения этих слов приведем цитату из известной монографии Крамера и др.: «Ясно, что если компоненты метрики можно задать в допустимой системе координат с помощью общеизвестных аналитических функций (полиномов, тригонометрических и гиперболических функций и т.п.), то эту метрику можно назвать точным решением. При атом нет оснований исключать какую-либо аналитическую функцию, даже если она определяется только некоторой системой дифференциальных уравнений. Поэтому смысл термина «точное решение» становится более расплывчатым, чем хотелось бы...».
В данной диссертационной работе постановка задачи предполагает нахождение точных решений уравнений Эйнштейна в вакууме (Tij = 0). Здесь уравнения Эйнштейна принимают вид
Яу = >Щ. (2)
В областях пространства с размерами порядка Солнечной системы эффекты от космологической постоянной пренебрежимо малы, и в следствие втого, наравне с уравнениями (2) в литературе рассматривают уравнения
Яу = 0, (3)
в котором космологическая постоянная считается равным нулю. Но с увеличением размеров рассматриваемой области эффекты от космологической постоянной возрастают, и поэтому наиболее общей постановкой задачи поиска точных вакуумных решений
нужно считать иитегрирование уравнений поля (2) с учетом космологической постоянной.
Решения уравнений (2) и (3) являются аналогом решений уравнений Лапласа в классической теории гравитационного поля и определяют геометрию пространства-времени в областях свободных от материи (ври островном распределении массивных объектов). Пространства-времена удовлетворяющие уравнениям поля (2) и (3) получили название пространств Эйнштейна.
В 1954 году А.З.Петровым в работе [1] была дана классификация пространств Эйнштейна в зависимости от алгебраической структуры тензора Вейля. Затем, благодаря работам Сакса были поняты оптические свойства алгебраически специальных вакуум-пых полей тяготения, являющиеся основным объектом изучения в диссертации. Оба эти новшества привели к развитию метода изотропных тетрад (формализм Ныомена-Пенроуза), который органически сочетается со структурой световых конусов алгебраически специальных полей и с классификацией Петрова. С помощью этого метода было получено большое количество точных решений, в том числе полное семейство вакуумных решений типа D по Петрову.
Алгебраически специальные поля тяготения образуют класс решений уравнений Эйнштейна, состояний из объединения всех решений типов II, D, III, N по Петрову. Такие решения обладают тем общим свойством, что допускают по крайней мере, двукратный изотропный собственный вектор тензора Вейля, который задает геодезическую, бессдвиговую конгруэнцию изотропных кривых, причем расширение и вращение конгруэнции однозначно определяется спиновым коэффициентом р = -(в + t'w), где 9, и> -действительные функции, соответственно, описывающие расширение и вращение.
Для уравнений поля Я,;- = 0, в случае р ф О, рядом авторов [2], [4], [7J был найден общий вид метрики для алгебраически специальных полей, который задается с точностью до трех действительных функций от трех переменных удовлетворяющих системе из четырех дифференциальных уравнений. Из этой метрики при некоторых допущениях математического и физического характера были выделены классы вакуумных точных решений.
Случай р — 0 первым рассмотрел Кундт, поэтому класс реше-
Таблица 1: Алгебраически специальные вакуумные решения уравнений Эйнштейна
D Киннерсли Киннерсли Гарсиа, Гарсиа,
(общее (общее Плебаньски, Плебаньски,
решение). решение). Демьянски Демьянски
(общее (общее
решение). решение).
ний, допускающий нерасширяющуюся изотропную конгруэнцию без вращения называется классом Кундта. При А = 0, для класса Кундта были получены все решения принадлежащие к типам D, III и N, а для типа II известны только частные решения.
Необходимо отметить, что в литературе большинство алгебраически специальных вакуумных точных решений приведены без учета космологической постоянной.
Ситуацию сложившуюся, в настоящее время, для вакуумных алгебраически специальных точных решений уравнений Эйнштейна, в зависимости равна нулю или нет космологическая постоянная можно представить в виде таблицы 1 ( область, исследуемая в диссертации обозначена звездочкой- { * }).
Целью диссертационной работы является отыскание алгебраически специальных вакуумных точных решений уравнений Эйнштейна Rij = бЛд,,-, где А = 6Л -космологическая постоянная.
-
Выбирая подходящую тетраду и систему координат, а также применяя теорему Гольдберга-Сакса, в случае, когда изотропная геодезическая конгруэнция обладает расширением, упростить вид основам* уразяеаий формализма Ньюмена-Пепроуза и найти зависимость от координаты х1 = г компонент изотропной тетрады, спиновых коэффициентов и скаляров Вейля. Затем подставляя эти результаты в оставшиеся уравнения привести их в полиномы по степеням г и приравнивая коэффициенты при различных степенях получить дифференциальные уравнения для функций от трех переменных (r2,r3,i4) - систему редуцированных уравнений.
-
С номощыо оставшегося произвола допустимых преобразований тетрады и коррдинат упростить редуцированные уравнения и постараться сократить число неизвестных функций. Вывести класс метрик для алгебраически специальных вакуумных полей тяготения с учетом космологической постоянной.
-
При дополнительных допущениях относительно свойств изотропной геодезической конгруэнции и групповых свойств пространства-времени выделить подклассы общего класса алгебраически специальных решений с космологической постоянной
Методы исследования. Используется формализм Ньюмена-
Пенроуза, теорема Гольдберга- Сакса и инвариантно групповые
методы. '
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие основные новые результаты:
-
В выбранной изотропной тетраде применяя теорему Гольдберга-Сакса и выбирая аффинный параметр г вдоль лучей конгруэнции за координату я1 интегрирована по координате г часть основных уравнений формализма Ньюмена-Пенроуза и найдена зависимость от г всех компонент тетрады, спиновых коэффициентов и скаляров Вейля. Оставшаяся часть основных уравнений сведена к системе редуцированных уравнений, т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка с меньшим числом неизвестных функций, которые зависят от трех координат (в2,*3,*4).
-
Получен класс метрик для алгебраически специальных вакуумных полей тяготения с космологической постоянной с точностью до четырех функций (две комплекснозначные функции L
и Фг) удовлетворяющих системе из четырех дифференциальных уравнений.
3) Рассмотрены алгебраически специальные поля тяготения
допускающие однопараметрическую группу изометрий. Получен
класс метрик для алгебраически специальных пространств Эйн
штейна допускающих вакуумно-нерасходящееся векторное поле
Киллинга, где вектор Киллинга называется вакуумно-нерасходя-
щимся, если, в случае Л = 0, квадрат нормы вектора в пределе
г — со не зависит от координаты г.
-
Найдены частные алгебраически специальные решения уравнений Rij = бЛду относящиеся к типу II по Петрову.
-
Обобщены на случай Л ф 0 результаты Уэйра и Керра, которые рассмотрели случай, когда функции входящие в метрику не зависят от координат и .
-
В классе решений Кундта (р = 0) обобщены на случай Л ф О решения полученные Кундтом для типов III и N по Петрову.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты полученные в диссертационной работе могут быть использованы при обсуждении многих вопросов теории гравитации. В частности, в приложениях ОТО в космологии, физике компактных космических объектов, теории излучения, распространения и взаимодействия гравитационных волн.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно обсузкдались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории относительности и гравитации под руководством проф. В. Р. Кайгородова, а также докладывались на международном научном семинаре, посвященном 100-летию со дня роясдения П. А. Широкова (г. Казань, 1995 г.), на международной конференции «Геометризация физики» (г. Казань, 1995 г.) и на 9 российской гравитационной конференции (г. Новгород, 1996 г.).
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 81 названий. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста.
