Тормозное излучение заряженных частиц, проходящих через многослойную структуру рассеивающих центров в квазиоднородном квазистационарном электрическом поле Хомяков Владимир Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Аналитический обзор 10

1.1. Элементы квантовой теории излучения при нерелятивистском движении излучающих частиц 10

Глава II. Тормозное излучение электронов, проходящих через многослойную упорядоченную систему кулоновых центров, находящихся во внешнем электрическом поле 17

2.1. Постановка задачи 17

2.2. Анализ результатов 30

2.3. Выводы 42

Глава III. Тормозное излучение электронов ускоряемых однородным электрическим полем и проходящих через многослойную структуру кулоновых центров, находящихся в этом же поле 44

3.1. Постановка задачи и основные результаты 45

3.2. Анализ результатов 52

3.3. Выводы 68

Глава IV. Об особенностях поведения сечений тормозного излучения электронов, проходящих через упорядоченную структуру кулоновых центров и ускоряемых однородным электрическим полем, при малом внешнем электрическом поле 69

4.1. Вычисление сечений при E Ec 70

4.2. Расчет сечений с использованием численных методов 78

4.3. Анализ результатов 81

4.4. Выводы 88

Заключение 89

Литература

• Элементы квантовой теории излучения при нерелятивистском движении излучающих частиц
• Анализ результатов
• Анализ результатов
• Расчет сечений с использованием численных методов

Введение к работе

Актуальность исследований

В результате появления квантовых генераторов позволяющих индуцировать электромагнитные поля высокой интенсивности, во второй половине 20-го века в научных исследованиях появился интерес к влиянию таких полей на процессы упругого и неупругого столкновения частиц в поле таких генераторов.

Так в 70-х годах XX века было обнаружено, что при фоторасщеплении отрицательных ионов в поле лазера, возникают осцилляции в сечениях этих процессов, как функции частоты излучаемого фотона . В этих работах такие результаты были объяснены интерференционными эффектами, возникающими при отражении электрона иона от потенциального барьера лазерного поля, при условии, что это поле можно считать квазистационарным и квазиоднородным.

Впоследствии, было показано, что осцилляции в сечениях могут возникать и при упругих и неупругих, в, частности, с рождением фотонов, столкновениях заряженных частиц в таком же квазистационарном и квазиоднородном поле, что опять же связано с интерференционными эффектами при отражении от потенциального барьера внешнего поля.

Однако в работе [1], было установлено, что при расчете сечения тормозного излучения необходимо учитывать и вклад в тормозное излучение движения частиц во внешнем однородном поле, даже когда его величина значительно меньше атомного. При этом возникал эффект интерференции двух движений – в кулоновом и внешних полях, что приводило к достаточно заметным пространственным осцилляциям в сечениях, как функции углов волнового вектора фотона. Причем следует отметить, что однородное электрическое поле считалось индуцированным в макроскопической области пространства, и вклад тормозного излучения при столкновении с рассеивающими центрами оказывается сравнимым с излучением, вызванным взаимодействием с внешним полем, если число рассеивающих центров является макроскопическим.

Развитием работы [1] были исследования, проведенные в статьях [2] – [8]. Эти работы были посвящены изучению пространственно угловой структуры неполяризованного тормозного излучения при рассеянии на монослое упорядоченных кулоновых центров электронов, не только ускоряемых (как в [1]) но и замедляемых внешним квазистационарным квазиоднородным электрическим полем. В них было показано, что, в структуре сечений тормозного излучения возникают дополнительные элементы, связанные с интерференцией электронов при их отражении от потенциального барьера внешнего поля и суперпозиции их движений в кулоновом и внешних полях.

Известно, что наносистемы и тонкие пленки могут образовываться при воздействии на различные физико-химические соединения частицами плазмы; электромагнитными полями квантовых и плазменных генераторов

достигающих 10⁵ В/см;. В этом случае через такие соединения проходят нерелятивистские электроны или другие заряженные частицы с широким спектром энергии до значений порядка десятка кэВ. В результате рассеяния и движения во внешнем поле (в том числе и при отражении от его потенциального барьера) такие частицы будут излучать фотоны. Как показывают оценки (для напряженностей 10⁵ В/см внешнего поля и энергий электронов порядка десятка кэВ) среднее время нахождения частиц между рассеивающей системой и точкой отражения может быть значительно

меньше 10~ секунды, что позволяет считать поле с частотой порядка 10

с~ для таких частиц квазистационарным и квазиоднородным. Очевидно, что структура такого тормозного излучения должна представлять как прикладной, так и фундаментальный интерес.

Нетрудно понять, что для экспериментальной проверки таких эффектов или их прикладного использования необходимо рассматривать тормозное излучение падающих частиц не на один (ортогональный к внешнему полю) слой рассеивающих центров, а на структуру, состоящую из достаточно большого числа таких слоев, не нуждающуюся в подложке (в отличие от монослоя).

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению пространственно угловой структуры тормозного излучения, возникающего при рассеянии на упорядоченной многослойной системе кулоновых центров заряженных частиц, ускоряемых или замедляемых внешним квазистационарным квазиоднородным электрическим полем.

В ней, также рассмотрена методика предельного перехода в сечениях тормозного излучения при стремлении внешнего электрического поля к нулю. Нетривиальность такой операции обусловлена особенностью рассматриваемой задачи - существованию квазиоднородного электрического поля в макроскопической области пространства, что не позволяет устремить к бесконечности (как это обычно делается в теории столкновений) нормировочную длину (вдоль внешнего поля), входящую в волновую функцию частицы, ускоряемой внешним полем.

Цель работы

Основная цель работы заключается в исследовании тормозного излучения ускоряемых, либо замедляемых внешним однородным электрическим полем электронов, при их прохождении через упорядоченную многослойную структуру рассеивающих центров, находящихся в этом поле.

Задачи исследований

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Вычисление (на основе принципов квантовой механики и квантовой электродинамики) и анализ сечений неполяризованного тормозного излучения, проходящих через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров электронов, падающих на потенциальный барьер внешнего квазистационарного и

квазиоднородного электрического поля индуцированного в полупространстве.

2. Проведение расчета и анализа сечений неполяризованного
тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним
квазиоднородным квазистационарным электрическим полем,
индуцированным в макроскопической области пространства между
двумя неограниченными плоскостями (к которым поле нормально), и
проходящих через многослойную структуру упорядоченных
кулоновых рассеивающих центров, находящихся в этом же поле.

3. Рассмотрение методических особенностей предельного перехода в
найденных сечениях неполяризованного тормозного излучения
электронов, ускоряемых внешним электрическим полем, при
стремлении его к нулю. Определение границ применимости
использованных ранее приближенных аналитических расчетов таких
сечений.

Связь с государственными программами и НИР

Диссертационная работа проводилась в рамках проекта «Исследование нестационарных процессов в атомных и наносистемах в электромагнитном поле», выполняемой на кафедре физики ДВГГУ, поддержанного Аналитической целевой ведомственной программой «Развитие научного потенциала высшей школы».

Научная новизна работы

1. Впервые, в первом борновском и нерелятивистском (по движению
заряженных частиц) приближении, получены и проанализированы сечения
неполяризованного тормозного излучения, возникающего при прохождении
через многослойную структуру рассеивающих центров, электронов,
падающих на потенциальный барьер внешнего электрического поля,
индуцированного в полупространстве. В этих сечениях учтена суперпозиция
движений электронов в поле рассеивающих центров и однородном внешнем
электрическом поле, и их интерференция при отражении от потенциального
барьера этого поля.

2. Впервые в первом борновском приближении получены и
проанализированы сечения тормозного излучения заряженных частиц в поле
многослойной структуры кулоновых центров и однородном электрическом
поле (индуцированном в макроскопической области пространства), которое
сразу ускоряет электроны после их эмитирования. В этих сечениях учтен
вклад в излучение фотона движения электрона в однородном внешнем
электрическом поле и в поле рассеивающих кулоновых центров.

3. Впервые рассмотрена методика предельного перехода в сечениях
тормозного излучения электронов (ускоряемых внешним полем) в поле
многослойной структуры кулоновых центров и однородном электрическом
поле при его стремлении к нулю. Найдены условия применимости сечений,
ранее вычисленных приближенными аналитическими методами.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использовались общепринятые методы теоретической физики и численные методы.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что

1. Найденные сечения могут быть использованы при диагностике наноструктур, а также тонких пленок с произвольным числом слоев.

2. Сравнение полученных и проанализированных сечений тормозного излучения с результатами эксперимента может служить проверкой принципов и методов расчета квантовой физики.

3. Использованные методики дают возможность определять сечения тормозного излучения, возникающего при прохождении заряженных частиц через многослойную структуру рассеивающих центров, находящихся в квазиоднородном и квазистационарном электрическом поле. Область применимости полученных результатов (при ускорении электронов внешним полем) соответствует более широким диапазонам значений частоты излучаемого фотона и величины внешнего поля, по сравнению с диапазонами этих параметров в подобных сечениях, найденных в ранее опубликованных работах (для монослоя рассеивающих центров). Последнее, в частности, позволяет рассмотреть предельный переход (в найденных сечениях) при стремлении внешнего поля к нулю.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

4. Двенадцатая региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование». Хабаровск, ТОГУ, 2013 г.

5. XVI краевой конкурс молодых ученых, Хабаровск, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, 18 января 2013 г.

6. XVII краевой конкурс молодых ученых, Хабаровск, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, 16 января 2015 г.

Публикации и вклад автора.

По результатам работы в соавторстве и лично автором опубликовано 7 научных работ. Научные результаты, изложенные в главах диссертации 2, 3 и 4, получены автором лично.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 78 наименований. Общий объем работы составляет 100 страниц, включая 40 рисунка.

7. Определение и анализ пространственно угловых осцилляций в сечениях неполяризованного тормозного излучения, возникающего при прохождении через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров электронов, падающих на потенциальный барьер внешнего квазистационарного и квазиоднородного электрического поля, индуцированного в полупространстве. Учет вклада в эти осцилляции интерференции электронов при их отражении от потенциального барьера внешнего поля и суперпозиции их движений во внешнем поле и в поле рассеивающих центров.

8. Определение и анализ пространственно угловых осцилляций в сечениях неполяризованного тормозного излучения ускоряемых внешним квазиоднородном квазистационарным электрическим полем (индуцированном в макроскопической области пространства) электронов, проходящих через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров, находящихся в этом же поле. Учет вклада в пространственно угловую структуру тормозного излучения суперпозиции движений электрона во внешнем поле и в поле рассеивающих центров.

9. Анализ и определение методических особенностей предельного перехода при стремлении внешнего электрического поля к нулю в сечениях неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним квазиоднородном квазистационарным электрическим полем (индуцированном в макроскопической области пространства), и проходящих через многослойную структуру упорядоченных рассеивающих центров, находящихся в этом же поле. Определение условий применимости сечений (подобной задачи, но для монослоя рассеивающих центров), рассчитанных ранее.

Элементы квантовой теории излучения при нерелятивистском движении излучающих частиц

Если внешнее поле, в котором движется излучающая частица, состоит, например, из поля кулоновых рассеивающих центров и внешнего квазиоднородного и квазистационарного электрического поля, находящегося в макроскопической области пространства, то за функции нулевого приближения Ч , ЧЛг можно выбрать волновые функции, описывающие движение заряженных частиц в однородном электрическом поле (функции Эйри). Поле же кулоновых центров, которое заметно в микроскопических областях пространства, можно рассматривать как возмущение.

Расчеты проведенные в работе [56], показали что матричный элемент Уф имеет следующий вид:

Следует отметить, что если в качестве волновых функция взять волновые функции свободных частиц, то первый интеграл в (1.10) даст трехмерную дельта-функцию, которая определяет закон сохранения импульса электрона и фотона. Так как, в сечение входит еще одна дельта-функция (см. (1.3)), отражающая закон сохранения энергии, то для свободной частицы, при излучении фотона с отличной от нуля частотой, эти два закона одновременно выполняться не могут, и первый интеграл вклад в сечение тормозного излучения не даст. Однако, если теперь, частицы движутся не только в кулоновом поле, но и в однородном поле, находящемся в макроскопической области пространства, то в этом случае волновые функции нулевого приближения будут определяться функциями Эйри. Тогда первый интеграл будет пропорционален только двум одномерным дельта-функциям, от поперечных компонент импульса. Аргументы этих функций будут равны нулю одновременно, с аргументом дельта функции, входящей непосредственно в сечение, а не в матричный элемент. В этом случае, и первый интеграл в (1.3) будет давать заметный вклад в сечение тормозного излучения. По-видимому, впервые это было замечено [56], а затем было развито в работах [57] - [62].

В работе [57] были получены дифференциальные сечения неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним однородным полем и проходящих через монослой кулоновых центров. Из полученных результатов в этой работе следует, что сечения неполяризованного и поляризованного тормозного излучения имеют заметные осцилляции, которые вызваны суперпозицией движения электронов в однородном поле и в поле рассеивающих центров. Выяснено, что вид сечений, полученных в этой работе, зависит от направления волнового вектора эмиттируемого электрона, ускоряемого внешним полем по отношению к этому полю. Вызван такой эффект анизотропией пространства, связанной с существованием двух различных выделенных направлений - внешним электрическим полем и импульсом в начальном состоянии падающих на слой частиц. Отметим, что возникающие в данной работе осцилляции тормозного излучения определяются суперпозицией движений эмиттируемого электрона в однородном поле и в поле кулоновых центров, а не интерференцией электронов, потому что электроны не отражаются от потенциального барьера внешнего электрического поля.

В последующей работе [61], рассматривается случай, когда ускоряемые внешним однородным полем электроны, в результате взаимодействия с кулоновым полем и излучения тормозного фотона, переходят в состояние, в котором происходит отражение электронов от потенциального барьера внешнего поля. То есть, рассматривается случай, где при переходе в конечное состояние энергия продольного движения электрона становится меньше высоты потенциального барьера на поверхности, через которую электроны эмитируются в область внешнего однородного поля (где находится монослой рассеивающих центров) и они отражаясь от потенциального барьера внешнего поля интерферируют. Отметим, что полученные в этой работе результаты определяются модельной волновой функцией конечного состояния излучаемых частиц. В реальности переход в волновой функции от стоячей волны к бегущей должен, по-видимому, происходить не в нулевой плоскости z = О, а через пространственную область с продольным размером больше атомного (для монослоя рассеивающих центров).

Результатом следующей работы [62] стало определение сечений неполяризованного тормозного излучения электронов в случае, когда они при эмиттировании источником не ускоряются внешним полем, а замедляясь отражаются, от его потенциального барьера. При этом электроны проходят через монослой кулоновых рассеивающих центров, к плоскости которого внешнее электрическое поле нормально. Было установлено, что полученные дифференциальные сечения неполяризованного тормозного излучения в поставленной задаче принципиально отличаются пространственно-угловой структурой от сечений, найденных в работе [58].. Обусловлено такое явление существованием не только эффекта суперпозиции движения электрона во внешнем поле и поле рассеивающих центров, но и интерференцией отраженных от потенциального барьера внешнего поля электронов. Если сравнивать эти результаты с полученными сечениями в [61], то нетрудно заметить, что сечения из [62] имеют пространственно-угловые осцилляции по виду близкие к гармоническим, в отличие от более сложной структуры сечений, найденных в [61].

Настоящая работа является продолжением вышеизложенных исследований тормозного излучения электронов при их прохождении через многослойные упорядоченные структуры, содержащие кулоновые рассеивающие центры, и находящиеся в однородном стационарном поле.

Кроме того, будет исследован предельный переход в найденных сечениях, при стремлении внешнего поляк нулю. Нетривиальность такого предельного перехода, в частности, связана с необходимостью проводить расчет сечений в конечной (по направлению поля) области пространства. Тогда как в задачах рассеяния на изолированных рассеивающих центрах, область пространства, где происходит столкновение частиц, считается неограниченной.

Анализ результатов

Отметим, что значения St г в окрестности рассеивающих центров ограничены условием применимости асимптоты функции Эйри - наименьшее значение её аргумента должно быть больше трех: Stf = 2sz/- , I(2E) 3. 2.2. Анализ результатов F = , как функции 0ф, фф при фиксированных параметрах: ІІ = 0.001, Vv\ .off I T T Анализ сечения будем проводить численными методами, строя поверхности da d( dO со = 0.008, фг=0, =20, Z=l, =(1,0,0), а2= (0,1,0), а3= (0,0,1). Величине угла Qj придавались различные значения, что позволило наблюдать изменение сечений в зависимости от направления пучка электронов при их падении на слои рассеивающих центров. Для сравнения результатов полученных здесь и в работе [60], поверхности построены с параметрами такими же, как и в работе [60]. Так на рисунке 2.1 - 2.4 представлены поверхности і7(0А, фф) С величиной угла 0г = л, но с разным количеством слов N3: на рисунках 2.1 и 2.3 - А 3=1, а на рисунке 2.2 и 2.4 количество слоев равно 10. Рисунок 2.1. Поверхности .Р(0ф,фф), при Z = l; со=0,008; фг =0; к; = 20; Е = 0.001; а: = (1, 0, 0), а2 = (0,1, 0), а3 = (0, 0,1); 9г = 7г; А =1: на интервале 0ф є (ОД; 0,8), фф є (0; 2TZ) ; Отметим, что при направлении падающего потока электронов вдоль внешнего поля (0г- =7г), в сечениях возникает зависимость только от 9ф, что, связано с симметрией задачи. Рисунок 2.2. Поверхности (0х,фф), при Z = 1; со=0,008; фг = 0; к; =20; І? = 0.001; а: = (1, 0, 0), а2 = (0,1, 0), а3 = (0, 0,1); 0, = 7г;А =10: на интервале Ох є (ОД; 0,8), фф є (0;27г).

Сравнивая найденные поверхности, показанные на рисунках 2.1 и 2.2 заметим, что при увеличении количества слоев N3 наблюдается заметный рост амплитуд осцилляции (0х,фф), при этом величина самой функции также растет. Однако вид осцилляции практически не меняется. Рисунок 2.3. Поверхности (0ф,фф), при Z = 1; со=0,008; фг = 0; к; = 20; Е = 0.001; а: = (1, 0, 0), а2 = (0,1, 0), а3 = (0, 0,1); 9, = 7г; А =1, на интервалах 9х є (0,515; 0,565), фф є (0;2тс). Для более детального изучения функции (0х,фф), с числом слоев Аз=1, построен трехмерный график с увеличенным масштабом поверхности, представленной на рисунке 2.1, т. е. на интервале: 9ф є (0.515, 0.517), Фф є (0, 2к). 34 Рисунок 2.4. Поверхности (0ф,фф), при Z = 1; со=0,008; фг = 0; kj = 20; і? = 0.001; а: = (1, 0, 0), а2 = (0,1, 0), а3 = (0, 0,1); 9, = 7г;Л з=Ю: на интервале 0ф є (0,515; 0,565), фф є (0;27г) . Так же как и на рисунках 2.1 - 2.4, на рисунках 2.5 - 2.8 отражены графики функции F\Qx, Фф) с соответствующим числом слоев N3, но величина угла Q; здесь принимает значение равное 0,496тг. 35 Рисунок 2.5. Поверхности (0х,фф), при Z = 1; со=0,008; фг = 0; kj = 20; Е = 0.001; а: = (1, 0, 0); а2 = (0,1, 0); а3 = (0, 0,1); 9г = 0,496тс: на интервале 9ф є (0,1;0,8); фф є (0;27г); 7Vj=l.

В отличие от поверхностей (0ф,фф) при значении угла, определяющего направления потока электронов вдоль внешнего поля 9г = 7Г, представленных на рисунках 2.1 - 2.4, при изменении угла 9г появляется зависимость и от фф, что и представлено на рисунке 2.5. Это объясняется анизотропией, вызванной появлением двух различных направлений: вдоль импульсов рассеивающих электронов в их начальном состоянии и вдоль внешнего поля.

Как уже было отмечено, метод расчета, используемый здесь, позволяет проводить вычисления при произвольном числе слоев, т. е. величине N3 (конечно, в рамках теории возмущений). Поверхности (9ф, Фф) с числом слоев N3 = 50 и N3 =100 представлены на рисунках 2.9 - 2.12; функции на рисунках 2.9 и 2.10 получены при количестве слоев равных 50, а на рисунках 2.11 и 2.12 -N3 =100. Рисунок 2.9. Поверхности .Р(9ф,фф), при Z = 1; ю=0,008; фг = 0; &г- = 20; ii = 0.001; aj = (1, 0, 0); а2 = (0,1, 0); а3 = (0, 0,1): на интервале 0ф є (ОД; 0,8), фф є (0; 2%), Аз=50, 9, = п;

Сравнивая поверхности .Р(9ф,фф) при разном количестве слоев 7Уз=1, А =10 и 7 3=50, показанные на рисунках 2.1, 2.2 и 2.9 соответственно, отметим, что как было сказано ранее, наблюдается существенный рост амплитуд осцилляции (0ф,фф) и величины самой функции (9ф,фф). При этом характер осцилляции практически не меняется.

Представленная функция на рисунке 2.11 отображает вид полученного дифференциального сечения тормозного излучения электронов, падающих на потенциальный барьер квазиоднородного электрического поля и рассеивающихся на многослойной (7 3=100) упорядоченной системе кулоновых центров. Отметим, что как и в предыдущих результатах, с меньшим количеством слоев, при направлении первичного потока электронов вдоль внешнего поля (Э; = 7г) , существует зависимость только от 9ф, что связано с симметрией задачи.

Таким образом, полученные функции (0ф,фф), иллюстрирующие сечения и пространственно угловую структуру неполяризованного тормозного излучения, вызванного электронами, проходящими через слои упорядоченных кулоновых центров и отражающимися от потенциального барьера внешнего электрического поля, содержат подобные элементы сечений, полученных в работах [56] - [59] (для однослойной системы кулоновых центров), которые обязаны интерференции электронов при их отражении от потенциального барьера внешнего электрического поля и суперпозиции движений в этом поле и поле кулоновых центров. В тоже время найденные здесь ,Р(9ф,фф) отличаются от полученных в работах [56] - [59]. Это обусловлено более заметным проявлением эффекта суперпозиции движения электрона во внешнем поле и поле рассеивающих центров, что математически проявляется в изменении второго слагаемого в сечении (2.21), за счет усложнения второго слагаемого матричного элемента излучения фотона, которое определяет вклад отраженных от потенциального барьера внешнего поля и падающих на него электронов в тормозное излучение при рассеянии на кулоновых центрах.

Анализ результатов

Вторая плоскость - z = L полностью поглощает электроны (абсолютно черная стенка). Предполагаем, что ez- энергия продольного (вдоль Е) движения электронов больше ЕЕ\ : sz EL\ (как и в главе 2, используем атомные единицы с масштабом длины a = h2/(тее2)). Физически это означает, что такие частицы не отражаются от потенциального барьера внешнего поля, таким образом, здесь мы не рассматриваем рождение фотонов, происходящих при переходе рассеянных частиц в состояния, когда они отражаются от потенциального барьера внешнего поля.

Рассматривая взаимодействие электронов с рассеивающими центрами как возмущение, выберем невозмущенные волновые функции \\fj начального И \\lf конечного состояний, в которые электроны переходят при излучении фотона (учитывая, что ускоряемые однородным полем электроны создают поток с ненулевой продольной плотностью), в виде: где LX,L - длинны сторон нормированного прямоугольника вдоль осей х,у; ку± и к/±- волновые векторы, определяющие поперечный (относительно Е) импульс электронов конечного и начального состояний соответственно- энергии продольного (невозмущенного) движения электрона в однородном поле в конечном и начальном состояниях соответственно; Q у - постоянные, которые выбираем из условия нормировки на нормировочный объем LXL(L + Lx).

Выражения (3.1) (конечно, удовлетворяющие соответствующему уравнению Шредингера) построены из асимптот функций Эйри таким образом, чтобы переходить в волновые функции свободной частицы с определенным импульсом, при стремлении Е к нулю.

Для определения сечения тормозного излучения в борновском приближении используем хорошо известную формулу: плотность потока падающих на рассеивающие центры электронов (на границе поля), которые переходят излученный фотон и рассеянный электрон, а = е {he) -постоянная тонкой структуры. Матричный элемент V n имеет следующий вид (подробнее см. [56]):

Первое слагаемое матричного элемента (3.3) описывает излучение в результате ускорения электрона во внешнем электрическом поле, а второе слагаемое дает вклад в сечение тормозного излучения движения электронов в поле рассеивающих центров.

Для дальнейшего удобства записи формул разделим волновые функции (3.1) на поперечную и z-составляющую:

Подставляя найденные интегралы (3.5) и (3.11) в выражение для квадрата матричного элемента (3.3), и проводя стандартную процедуру суммирования по поляризациям (см., например [73]), а также учитывая, что при Л — о, Л —»о функция

На рисунке 3.1 представлена поверхность F\Qx, фф) при величинах угла Qt =0, соответственно, на интервале:9ф є (0,7; 0,73), фф є (0, 2%), с количеством слоев Л з = 1, которые также были получены в [58]. Рисунок 3.2. Поверхность FyQ , фф) на интервалах0ф є (0,7; 0,73), фф є (О, 2iz), при N3=1, 0, = 1,545 . При величине угла 0, отличном от нуля, например, 0, = 1,545, изображенная поверхность (бф, фф) на рисунке 3.2 будет заметно отличаться от представленной на рисунке 3.1. На рисунке 3.2 в отличии от рисунка 3.1 появляется зависимость сечения не только от 9ф, но и от фф, связано такое явление с симметрией задачи. Отметим, что случаи соответствующие рисункам 3.1 и 3.2 были также рассмотрены в [58]. Нетрудно заметить, что функция F\Qx, фф] (рисунок 3.2), несколько отличается от приведенной в статье [58]. На рисунке 3.2 мы видим, что при ф ф« л имеется минимум, тогда как, в [58] при этом же ф х F\Qx, фф j имеет максимум. Связано это с тем, что в работе [58] в выражение для энергии szr =k/1/2 + sz/ -со-(кг1 -k f /2 поперечный волновой вектор фотона кф1был опущен, тем самым была отброшена не только квадратичная величина (acoj , но и линейная асо г1, что, как мы видим, делать нельзя. Рисунок 3.3. Поверхность і7 (0 А, фф) на интервалах 0ф є (0; 0,73), фф є (О, 2л), при 7Уз=10, 0- =0. На рисунке 3.3 изображена поверхность .р(0ф,фф), иллюстрирующая поведение функции do/(LxL dmdO) на интервале 0ф є (0; 0,73), фф є (О, 2п) и при числе слоев 7Уз=10. Как было отмечено ранее, при направлении первичного потока электронов вдоль внешнего поля (Qj = О), существует зависимость только от 0ф, что и отражено из рисунке 3.3.

Для более детального рассмотрения структуры поверхности F\Qx, Фф), показанной на рисунке 3.3, на рисунке 3.4 построен график с увеличенным масштабом по координате 0А, т. е. 0ф є (0,7; 0,73). Из рисунках 3.3 и 3.4 видно, что величина самого сечение растет при увеличении угла 0А, однако амплитуды осцилляции постепенно падают. Поведение дифференциального сечения тормозного излучения при изменении угла 0, показано на рисунке 3.5, где изображена поверхность F((L, фф) при угле Qt = 1,545 . В этом случае, появляется зависимость функции от параметра фф. Из построенной поверхности (9ф,фф) на рисунке 3.5 и из более детального изображения этого графика (рисунок 3.6), видно, что кроме увеличения самого сечения и уменьшении относительных амплитуд осцилляции при возрастании угла 0А, наблюдается спад величин осцилляции при стремлении параметра фф к л.

Отметим, что при увеличении количества слоев рассеивающих центров амплитуда сечения заметно возрастает. Например, при значениях параметров N3=50 и 0/, = 0 значения функции FyQ , фф), представленные на рисунках 3.7 и 3.8 на порядок больше, чем рассчитанные сечения тормозного излучения, возникающего при прохождении электронов через упорядоченную десятислойную структуру кулоновых центров (рисунки 3.3 и 3.4).

Кроме того, при изменении угла вылета первичного потока электронов, величина самого сечения падает, что и показано на рисунке 3.9, где отображена поверхность (Эф, фф) с аналогичными параметрами построенной поверхности, представленной на рисунке 3.7, но с измененным значением угла 0,.

Расчет сечений с использованием численных методов

При величине угла 0, отличном от нуля, например, 0, = 1,545, изображенная поверхность (бф, фф) на рисунке 3.2 будет заметно отличаться от представленной на рисунке 3.1. На рисунке 3.2 в отличии от рисунка 3.1 появляется зависимость сечения не только от 9ф, но и от фф, связано такое явление с симметрией задачи. Отметим, что случаи соответствующие рисункам 3.1 и 3.2 были также рассмотрены в [58]. Нетрудно заметить, что функция F\Qx, фф] (рисунок 3.2), несколько отличается от приведенной в статье [58]. На рисунке 3.2 мы видим, что при ф ф« л имеется минимум, тогда как, в [58] при этом же ф х F\Qx, фф j имеет максимум. Связано это с тем, что в работе [58] в выражение для энергии szr =k/1/2 + sz/ -со-(кг1 -k f /2 поперечный волновой вектор фотона кф1был опущен, тем самым была отброшена не только квадратичная величина (acoj , но и линейная асо г1, что, как мы видим, делать нельзя. Рисунок 3.3. Поверхность і7 (0 А, фф) на интервалах 0ф є (0; 0,73), фф є (О, 2л), при 7Уз=10, 0- =0. На рисунке 3.3 изображена поверхность .р(0ф,фф), иллюстрирующая поведение функции do/(LxL dmdO) на интервале 0ф є (0; 0,73), фф є (О, 2п) и при числе слоев 7Уз=10. Как было отмечено ранее, при направлении первичного потока электронов вдоль внешнего поля (Qj = О), существует зависимость только от 0ф, что и отражено из рисунке 3.3. Рисунок 3.4. Поверхность F((L, фф) на интервалахОф є (0,7; 0,73), фф є (О, 27г), при 7Уз=10, 0- = 0 . Для более детального рассмотрения структуры поверхности F\Qx, Фф), показанной на рисунке 3.3, на рисунке 3.4 построен график с увеличенным масштабом по координате 0А, т. е. 0ф є (0,7; 0,73). Из рисунках 3.3 и 3.4 видно, что величина самого сечение растет при увеличении угла 0А, однако амплитуды осцилляции постепенно падают. Рисунок 3.5. Поверхность F\ x, фф) на интервалах 0ф є (0; 0,73), фф є (О, 2iz), при N3=10, Qj =1,545. Поведение дифференциального сечения тормозного излучения при изменении угла 0, показано на рисунке 3.5, где изображена поверхность F((L, фф) при угле Qt = 1,545 . В этом случае, появляется зависимость функции от параметра фф. 58 Рисунок 3.6. Поверхность (0ф, фф) на интервалахОф є (0,7; 0,73), фф є (0, 27г), при N3=10, Qj =1,545. Из построенной поверхности (9ф,фф) на рисунке 3.5 и из более детального изображения этого графика (рисунок 3.6), видно, что кроме увеличения самого сечения и уменьшении относительных амплитуд осцилляции при возрастании угла 0А, наблюдается спад величин осцилляции при стремлении параметра фф к л. 59 Рисунок 3.7. Поверхность F((L, фф) на интервалах 9ф є (0; 0,73), фф є (о, 2л), при N3=50, 0, = 0.

Для более детального изучения дифференциального сечения тормозного излучения с разным количеством слоев рассеивающих центров построим поверхности .р(0ф,фф) на меньших интервалах угла 9ф. Так, на рисунке 3.7 показан трехмерный график функции F\Q,L, фф) при N3=50, а на рисунке 3.8 та же поверхность, но с увеличенным масштабом. Поверхность F((L, фф) на интервалахОф є (0,7; 0,73), фф є (О, 2п), при N3=50, Qj = 0.

Отметим, что при увеличении количества слоев рассеивающих центров амплитуда сечения заметно возрастает. Например, при значениях параметров N3=50 и 0/, = 0 значения функции FyQ , фф), представленные на рисунках 3.7 и 3.8 на порядок больше, чем рассчитанные сечения тормозного излучения, возникающего при прохождении электронов через упорядоченную десятислойную структуру кулоновых центров (рисунки 3.3 и 3.4).

Кроме того, при изменении угла вылета первичного потока электронов, величина самого сечения падает, что и показано на рисунке 3.9, где отображена поверхность (Эф, фф) с аналогичными параметрами построенной поверхности, представленной на рисунке 3.7, но с измененным значением угла 0,. Рисунок 3.10. Поверхность i7 , фф) на интервалах0ф є (0,7; 0,73), фф є (О, 27г), при N3=50, Qj = 1,545 . Также, легко заметить, что кроме уменьшения величины сечения, относительные амплитуды осцилляции тоже заметно падают. Этот эффект хорошо заметен при сравнении трехмерных графиков F(0x, фф) с увеличенным масштабом, показанных на рисунках 3.8 и 3.10. Рисунок 3.11. Поверхность F\Qx, фф) на интервалах 9ф є (0; 0,73), фф є (о, 2л), при N3=100, Qj =0.

Заметим, что хоть и наблюдается рост сечения при увеличении слоев рассеивающих центров, характер самого сечения не изменяется. Это легко понять, сравнивая поверхности F\ x, x) с разными значениями параметра N3, изображенные на рисунках 3.3, 3.7 и 3.11, где число слоев равно 10, 50 и 100, соответственно.

Из рисунка 3.12, где построена поверхность .Р(9ф,фф) с увеличенным масштабом по сравнению с рисунком 3.11 видно, что при увеличении количества слоев относительные амплитуды осцилляции заметно сглаживаются. Возникает это из-за того, что второе слагаемое в матричном элементе (3.3), ответственное за излучение фотонов при взаимодействии электронов с кулоновыми центрами быстро увеличивает вклад в полное сечение.

Из вышеизложенного следует, что при прохождении электронов, ускоряемых внешним однородным электрическим полем, через многослойную структуру упорядоченных кулоновых центров, сечение их тормозного излучения может иметь пространственно осцилляционную структуру, вызванную суперпозицией движений излучающих электронов в кулоновом и внешнем ПОЛЯХ похожую на ту, которая может возникнуть в однослойной задаче. Существуют и некоторые отличия. При увеличении числа слоев рассеивающих центров, амплитуда осцилляционной структуры сечений растет (пропорционально N3). Вклад же в сечение рассеяния электронов на кулоновых центрах пропорционален N3, что приводит к относительному сглаживанию всей пространственно осцилляционной картины.