Введение к работе
Актуальность работы. Изучение квантовых систем открыло их уникальное свойство - явление запутанных состояний. Квантовые состояния двух и более запутанных объектов, входящих в квантовую систему, оказываются взаимозависимыми, причем эта зависимость сохраняется даже при разнесении их в пространстве за пределы любых известных взаимодействий. Подобное свойство играет центральную роль в квантовой теории информации и таких технологиях, как квантовые компьютеры, квантовые криптография и телепортация. Квантовые вычислительные системы предполагается строить из элементарных вычислительных элементов, а именно квантовых битов -кубитов. Единица измерения количества информации в классических компьютерах (бит) принимает два значения: логические ноль и единицу. Напротив, кубиты, квантовые объекты, могут находиться и в когерентной суперпозиции этих двух состояний, то есть описывать промежуточные состояния между логическими нулем и единицей. С возрастанием числа объединенных кубитов, мощность квантовой вычислительной системы экспоненциально растет. Предполагается, что квантовые компьютеры смогут за конечное время решать задачи, на которые у классических суперкомпьютеров уходит значительное время. Известным примером служит «взлом» криптографического алгоритма RSA, основанного на поиске разложения больших чисел на простые множители. Классический компьютер, решая подобную задачу методом полного перебора, затрачивал бы гигантское время, сопоставимое с временем существования вселенной, в то время как квантовая вычислительная система может решить эту проблему за минуты.
Реализация подобного компьютера имеет несколько препятствий. Квантовые состояния ионов, электронов и джозефсоновские контакты, используемые в качестве кубитов, крайне неустойчивы и сохраняются недолго, а для реализации вычислительных алгоритмов нужно иметь набор провзаимодей-ствовавших кубитов в определенном известном состоянии. За последние годы время устойчивости состояний кубитов увеличилось от наносекунд до миллисекунд. Контролировать состояние из большого числа кубитов до сих пор представляется сложной задачей. Для решения этой проблемы можно использовать в качестве квантовых объектов не кубиты, а кудиты, т.е. многоуровневые квантовые системы, число состояний которых больше двух. Этот прием сокращает размерность системы во много раз, а благодаря большей устойчивости требует меньших затрат. Таким образом, изучение кудитных систем представляет большой интерес для развития квантовых технологий.
В ряде работ изучаются различного рода характеристики для квантовых корреляций в системах с подсистемами. Например, понятие квантовой запутанности, изученное для двух частиц со спинами j = 1/2, служит ресурсом для развития квантовых технологий. Двухчастичные состояния системы определяются матрицей оператора плотности /5(1,2), который дей-
ствует в гильбертовом пространстве Н состояния системы, представимым тензорным произведением Н = Hi eg) Н2 гильбертовых пространств первого и второго состояний подсистем, соответственно. Такой подход позволяет сконструировать редуцированные операторы плотности, описывающие состояния первой и второй подсистем, как р(1) = Тг2/э(1, 2) и р(2) = Тг і/э(1, 2). Составные системы имеют корреляции между подсистемами, поэтому физический смысл запутанности для них определяется естественным образом [1]. Наличие корреляций в системах с подсистемами обнаруживается с помощью неравенства Белла, нарушающегося для запутанных состояний, а также энтропийных и информационных неравенств, известных как для классических функций распределения и классических наблюдаемых случайных величин, так и для матриц плотности составных систем. Для двух- и трех-частичных систем энтропийные неравенства задаются как неравенства субаддитивности и сильной субаддитивности, определяющие степень запутанности в системе.
В [3] показано, что квантовые корреляции, известные для многочастичных систем, существуют и в системах без подсистем, т.е. в системах из одного кудита. Такие корреляции названы «скрытыми» Исследованию квантовых характеристик систем без подсистем, таких как один кутрит или ку-дит, в литературе уделено мало внимания. В [6] предложено вероятностно-томографическое представление спинового состояния кудита. В этом представлении кудитное состояние ассоциируется со спиновой томограммой, являющейся вероятностью, определяемой оператором матрицы плотности состояния. Соотношение между спиновой томограммой и оператором плотности взаимнооднозначно и обратимо. Таким образом, томограмма содержит в себе всю информацию о квантовом состоянии системы. Для нескольких ку-дитов спиновая томограмма также является совместной функцией распределения. Это позволяет восстановить по ней оператор плотности. Так как кудитное состояние в томографическом представлении соответствует обычной функции распределения, ее можно использовать в энтропии и информации Шеннона и в других энтропиях, например, Реньи и Тцаллиса. В [8] показано, что энтропия фон Неймана является минимумом информации Шенона в спиново-томографическом представлении для всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве для кудитных систем. Неравенства, связанные со спиново-томографической энтропией и энтропией фон Неймана, используются для составных систем и для систем без подсистем [3].
С развитием экспериментальной базы возникают проблемы, связанные с оценкой и фильтрацией квантовых состояний. Проблема фильтрации неизвестного сигнала из смеси с шумом хорошо изучена в классической теории вероятностей. В [9] известная процедура Калмановской фильтрации применена к квантовым задачам. Фильтр Калмана дает оптимальное решение для линейной рекуррентной модели наблюдения с гауссовым шумом. Однако на практике, как в классической, так и в квантовой механике, модели наблюдения нелинейны. Известно, что фильтр Калмана не дает оптимального реше-
ния задачи фильтрации для нелинейных моделей. Поэтому применяются методы линеаризации моделей наблюдения и псевдо-Калмановские фильтры, которые могут не давать оптимальных решений.
Диссертационная работа посвящена изучению свойств и характеристик квантовых систем без подсистем. Решены следующие задачи: Первая задача связана с нахождением новых информационных характеристик квантовых состояний систем без подсистем. Понятия квантовой запутанности и корреляции изучаются для систем из одного кудита со спином j = 3/2 и одного кутрита, как известно, не содержащих подсистем. Для таких многоуровневых квантовых систем получены характеристики запутанности: отрицательность и согласованность.
Вторая задача посвящена исследованию зависимости запутанности и сепарабельности от системы координат. В частности, исследуются квантовые корреляции в четырехуровневом атоме с использованием универсальных унитарных преобразований классической (диагональной) матрицы плотности. Рассматриваются такие частные случаи, как чистое состояние, X -состояние и состояния Вернера. Обсуждается геометрический смысл унитарных вращений гильбертовой системы координат, порождающих запутывание в первоначально сепарабельном состоянии. Характеристики запутанности в терминах отрицательности, согласованности и энтропии получены как функции унитарной матрицы вращения. Исследуется система из двух частиц в двумерном конфигурационном пространстве S. Показано, что независимое от времени уравнение Шредингера этой системы может не разделяться на два одномерных одночастичных уравнения Шредингера при наличии таких специальных граничных условий, как удержание в ограниченной области S и/или введение условий непроницаемости частиц. Рассматриваемая задача может быть приведена к задаче о движении одной частицы, находящейся в ограниченной области в двумерном конфигурационном пространстве. Рассмотрены случаи квадратного, треугольного, ромбовидного и прямоугольного квантовых «бильярдов». С помощью соответствующих функций Грина, выраженных через 9% -функции Якоби, изучена временная эволюции кова-риации координат центра масс систем.
Третья задача посвящена квантовому стирингу в системах без подсистем. Известные корреляционные неравенства для обнаружения стиринга в системах с подсистемами распространены в работе на случай одиночных многоуровневых систем. Для систем без подсистем введены такие их характеристики, как томографическая энтропия Шеннона и энтропии фон Неймана, Реньи и Тцаллиса, относительная энтропия, вместе с соответствующими им информационными неравенствами. Следовые неравенства типа Минковско-го, известные для систем из двух кубитов, распространены на случай системы из одного кудита со спином j = 3/2. Исследован случай неравенства с одним параметром и с двумя. Все результаты рассмотрены на примерах известных состояний Вернера, Гиссина и Х-состояния.
С помощью полученных энтропийных неравенств и унитарных неприводимых представлений групп SU{2) и SU{1,1) в четвертой задаче диссертации получены новые неравенства для полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита и для Гауссовой гипергеометрической функции. Исследовано влияния невыполнения квадратурного соотношения неопределенностей на существование функции распределения проведено для линейного и нелинейного когерентных состояний и сжатого и зависимого состояния.
Пятая задача посвящена разработке метода фильтрации, оптимального для нелинейных квантовых процессов. С этой целью, общее уравнение фильтрации Стратоновича применено для квантовой модели наблюдений, основанной на двух кубитах. Автором доказано, что оптимальное уравнение фильтрации есть фильтр Калмана в случае линейной модели с Гауссовым шумом. Так как оптимальное уравнение фильтрации не содержит явных вероятностных характеристик неизвестной ненаблюдаемой последовательности, предложенный в диссертации метод позволяет найти оптимальную оценку квантового состояния, зная только наблюдаемые случайные величины, а именно измерения, произведенные на пробном кубите в известном состоянии. Предложена квантовая модель измерения для состояния из одного кудита. Метод оптимальной фильтрации, предложенный для двухкубитной модели, распространен для такой модели наблюдения. Новый тип моделей наблюдения полезен для возможного практического использования многоуровневых атомов.
Методы и подходы. В диссертации для всех задач используется томографико-вероятностное представление квантовой механики [7]. Это представление основано на описании квантовых состояний в терминах функций распределения вероятностей, называемых квантовыми томограммами. Томограммы содержат всю доступную информацию о квантовом состоянии и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Существует несколько видов томограмм, связанных между собой. Для непрерывных переменных - это симплектическая [7], оптическая, центра масс и Френелевская томограммы, а для дискретных случайных величин - это томограммы спиновая и счета фотонов. Такой подход позволяет использовать классический математический аппарат для функций распределения вероятностей, энтропии и информации. При этом функция распределения, определяющая квантовое состояние, может быть померена непосредственно.
Степень разработанности темы. В [3] показано, что квантовые свойства систем без подсистем могут быть сформулированы при помощи метода взаимнооднозначных отображений. Это означает, что целые числа 1, 2, 3,..., являющиеся индексами элементов матриц плотности, могут быть отображены на пары (тройки и т.д.) чисел (i,j),i,j = 1,2,.... Например, состояние одного кудита со спином j = 0,1/2,1, 3/2, 2,... может быть отображено на оператор плотности системы, содержащей подсистемы, как например, состояние из двух кубитов. Известные корреляционные свойства составных систем
такие, как запутанность, корреляция, стиринг и дискорд сформулированы для систем без подсистем в [5]. Квантовые корреляции для системы из одного кудита используются для формулировки квантового контекста в [5]. В [2] обсуждалось понятие запутанности и корреляции для системы из одного кудита. Предложено использовать метод кубитного портрета для получения новых энтропийных неравенств для кудитных систем, а также получено новое энтропийное неравенство для системы из одного кутрита (j = 1). До сих пор не проводилось подробного исследования понятия запутанности, стирин-га, корреляций и их природы в системах без подсистем, несмотря на фундаментальный характер этих задач. В последние годы системы без подсистем были реализованы как, например, трехуровневый искусственный атом на базе джозефсоновского контакта.Матрица плотности такого кутритного состояния может быть измерена методом квантовой томографии, где квантовые состояния ассоциируются с вероятностями.
Актуальность задач диссертационной работы определяется необходимостью рассмотрения новых многоуровневых квантовых систем, таких как кудитные квантовые системы без подсистем, в связи с развитием квантовых технологий в квантовых коммуникациях, вычислениях и криптографии.
Целью диссертационной работы является дальнейшее исследование свойств многоуровневых квантовых систем без подсистем, включая квантовые корреляции, явления запутанности, соотношения неопределенностей и неравенств для статистических характеристик (энтропии и информации) квантовых систем кубитов и кудитов, систем с непрерывными переменными типа квантовых цепочек и многоуровневых атомов.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в том, что рассмотренные в ней формулы, выводы и свойства квантовых и классических систем являются новыми, выведенными в соответствии с вероятностным представлением квантовых состояний, полученным в последнее десятилетие.
На защиту выносятся следующие положения:
-
получены новые энтропийные и информационные неравенства, а так же следовые неравенства типа Минковского, характеризующие запутанность для систем из двух кубитов, одного кудита со спином j = 3/2 и кутрита;
-
выведены условия на унитарную матрицу поворота, переводящую систему четырехуровневого атома из сепарабельного состояния в запутанное;
-
получены специальные ограничения типа удержания и непроницаемости, влияющие на сепарабельность в системе, а так же граничные условия для частицы, заключенной в «ящики» сложных форм;
-
получено выражение квантового стиринга в терминах спиновых томограмм на основе введенных понятий квантовой корреляции и квантового стиринга в системе из одного кудита со спином j = 3/2;
-
предложен и применен метод получения новых соотношений для классических математических полиномов Эрмита, Лагерра, Лежандра и гипергеометрической функции, основанный на использовании известных энтропийных неравенств для квантовых систем и неприводимых унитарных представлений групп SU{2) и SU{1,1);
-
реализован новый общий метод квантовой фильтрации для нелинейной квантовой модели наблюдения, обеспечивающий оптимальное решение задачи оценивания состояния при известных наблюдаемых случайных величинах.
Практическая значимость полученных результатов определяется тем, что с их помощью выясняются фундаментальные аспекты квантовой теории, на основе которых базируется развитие новых квантовых технологий, таких как криптография, квантовый компьютер и телепортация. Методы фильтрации, предложенные в работе, могут найти широкое применение во многих областях квантовой механики, где наблюдаемые случайные величины загнум-лены. Результаты, относящиеся к классическим полиномам, имеют важное значение в теории групп, так как позволяют получать множество различных неравенств для часто используемых на практике специальных функций.
Апробация работы. Результаты доложены на международных конференциях:
Advances in foundations of quantum mechanics and quantum information with atoms and photons (Quantum 2014, 2017) (Турин, Италия),
Quantum theory: from problems to advances (Вакша, Швеция, 2014),
57-й, 58-й, 59-й, 60-й научных конференциях МФТИ (г. Долгопрудный, Московской области, 2014-2017 гг.),
Quantum Networks (Барселона, Испания, 30 марта- 1 апреля, 2016),
Quantum Roundabout, Student conference on the mathematical foundations of quantum physics. (Ноттингем, Англия, 6-8 июля, 2016),
Information Technology and Systems 2016, The 40th Interdisciplinary Conference and School (Санкт Петербург, Россия, 25-30 сентября, 2016),
Семинар Structural Lerning в ИППИ РАН (Москва, Россия, 13 октября, 2016).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 статьях из перечня рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, и SCOPUS.
Личный вклад автора. Все теоретические результаты диссертации получены автором самостоятельно. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем, задача в Главе 2 поставлена проф. Мессиной. Обсуждение результатов работ проводилось совместно с соавторами.
Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 153 страницы. Библиография включает 255 наименований на 18 страницах. Содержание работы