Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Томографическое представление в квантовой механике: обзор 14
1.1 Функция Вигнера 15
1.2 Функция Хусими-Кано 29
1.3 Функция Сударшана-Глаубера 31
1.4 Функция Ферми 33
1.5 Томографическое представление квантовой механики 37
Глава 2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях в томографическом представлении 49
2.1 Заряженная частица в постоянном магнитном поле 49
2.2 Движение заряженной частицы в переменном электрическом и посто янном магнитном поле 56
2.3 Движение заряженной частицы в переменном электромагнитном поле 61
Глава 3. Вычисление вероятностей переходов между энергетическими уровнями различных физических систем с квадратичным гамильтонианом в томографическом представлении
3.1 Вероятности переходов между уровнями Ландау в томографическом представлении 66
3.2 Вероятности переходов между энергетическими уровнями гармониче ского осциллятора 74
3.3 Вычисление факторов Франка-Кондона в многоатомных молекулах 85
Глава 4. Томогафическое описание гауссовских состояний с ненулевым орбитальным угловым моментом 95
Заключение 105
Список литературы
- Функция Сударшана-Глаубера
- Движение заряженной частицы в переменном электрическом и посто янном магнитном поле
- Вероятности переходов между энергетическими уровнями гармониче ского осциллятора
- Вычисление факторов Франка-Кондона в многоатомных молекулах
Функция Сударшана-Глаубера
Для последующего изложения также важно рассмотреть подходы к вычислению средних значений операторов физических величин, а также вероятностей переходов между квантовыми состояниями, выраженными с помощью функции Вигнера. Как известно, функция Вигнера подчиняется правилу сохранения следа [23]: 1 f Tr (pip2) = — Wp. (q,p)WP9 (q,p)dqdp, (8) 27ГД где Wpi (q,p) и WP2 (q,p) - функции, заданные матрицами плотности р\ и рч соответственно: f { і \ / и Wp. (q,p) = exp ——ри ( q -\— \ h J 2 f ( і \ I u - u\ won {q}p) = exp ——pu ( q H— pi q )du. n 2 2 и q аи, і 1 и —
Левая часть соотношения (8) соответствует вероятности перехода между смешанным квантовым состоянием, описываемым матрицей плотности р\ в состояние с матрицей плотности рч. Таким образом, как следует из (8), в терминах функций Вигнера вероятность перехода между двумя состояниями выражается интегралом перекрытия функций Вигнера, соответствующих начальному и конечному состояниям.
Для чистых состояний pi;2 = 1,2) ( 1,21, и таким образом, 1 Г {plp2) = 1 Г (1 1/( 1 I 4J2}\ip2\) = \\Фі І Щ/\ 1 fTir = — Wр. (q}p) Wp„ (q}p) dqdp. (9) 27ГД Эволюция функции Вигнера задается уравнением, аналогичным уравнению Шредингера на волновую функцию. Его можно легко вывести из уравнения Ли-увилля - фон Ноймана [145], определяющего временную эволюцию матрицы плотности:
Представленное уравнение движения для функции Вигнера (12) было впоследствии модифицировано Дж. Мойалом [125]. При этом Мойалом был введен особый класс функций, являющихся обобщением функции Вигнера. Рассмотрим набор состояний \ЕІ), которые являются собственными состояниями гамильтониана Н, описывающего некую квантовую систему: Н\ЕІ) = ЕІ\ЕІ). Состояния \ЕІ) образуют базис и, соответственно, отвечают условию полноты: / \Ei)(Ei\dEi = 1, У \ЕІ)(ЕІ\ = 1. (13) Первое из условий (13) соответствует случаю непрерывного спектра, а второе - дискретного. Дальнейшие рассуждения будут без ограничения общности приведены для системы с непрерывным спектром. Запишем выражение для функции Вигнера, которая соответствует матрице плотности p(t), взятой в момент времени t. Очевидно, что мы можем говорить о ней как о функции Вигнера, взятой в момент времени t: q аи Здесь было использовано соотношение для временной эволюции матрицы плотности с не зависящим от времени гамильтонианом, записанное через оператор эволюции. Используя условие полноты (13) получим: f (E2-E1)t W (q,p,t) = e n (E2\p{Q)\Ei)W\E2)(Ei\{(liP) dE\dE2-, где W ) ! (q,p) = j e f (д + E2)(E\ q — ) iw - функция Мойала.
Диагональная функция Мойала W\Ei)(Ei\ ІЯіР), очевидно, совпадает с функцией Вигнера для собственного состояния с энергией Е{. Она не зависит от времени и при этом определяет эволюцию функции Вигнера.
Уравнение эволюции функции Вигнера также можно получить в дифференциальной форме, используя свойства преобразования Фурье [5]. Отсюда получим, умножив слева обе части соотношения (7) на q :
Рассмотрим теперь нахождение средних значений операторов физических величин в терминах функции Вигнера. Несмотря на то, что функция Вигнера имеет вид распределения вероятности в фазовом пространстве, в квантовой механике невозможно ввести процедуру усреднения наблюдаемых по аналогии с классической физикой, заменив переменные соответствующими операторами. Возникающая проблема связана с тем, что в квантовой механике произведение функций, зависящих от операторов физических величин, в общем случае некоммутативно. Соответственно, чтобы найти связь между средними значениями квантовомеха-нических операторов и соответствующей рассматриваемому состоянию функцией Вигнера и, таким образом, «сшить» классическую физику с квантовой механикой, необходимо сперва решить вопрос корректного упорядочивания операторов.
Поставим каждому квантовомеханическому оператору в соответствие классическую функцию, заданную в фазовом пространстве: А — A (q,p). Функция A (q,p) будет называться символом Вейля оператора А. Также как оператор физической величины в квантовой механике связан со своим символом Вейля, его среднее значение, вычисленное с позиции квантовой механики, должно быть связано со средним, полученным через его символ Вейля в рамках классической физики.
Движение заряженной частицы в переменном электрическом и посто янном магнитном поле
В выражении (105) \jm) - это собственные состояния проекции момента на ось z: jz\jiri) = rn\jm), т - целый или полуцелый спин: т = — j, —j + 1,..., j — 1, j, направление задано вектором п = (sin # cos 0, sin sin 0, cos ), а D (и) матрица неприводимого представления группы вращений SU (2).
Выше была рассмотрена формулировка и основные свойства симплектической томограммы, описывающей квантовое состояние в одномерном (одномодовом) случае. При этом симплектическая и, аналогично, оптическая томограмма могут быть заданы и для многомерного случая, на который можно легко обобщить их свойства.
Введем обозначение для поэлементного умножения двух векторов а и Ъ: аоЪ = с, СІ = афі. Состояние в п х п - фазовом пространстве определяется функцией Вигнера W (q,р), где q= (qi, q2, ...,qn), p = {pi,P2, Pn). Этому состоянию соответствует симплектическая томограмма, зависящая от n-мерных векторов /2 = (/ІІ, /І2, , /in) — и v = (z/i, i/2,..., i/n), а также от вектора X, компоненты которого определяются как поэлементные произведения векторов /2, q, z? и р: X = jloq + vop. Такая многомерная симплектическая томограмма, включающая Зп переменных, выражается через функцию Вигнера W (q,p) следующим образом [34]: (v - -Л l f - -л Г -Г (v - - - -Д1 ,Г w,- 106) if ( X , /І, z/1 =—- W (a,p) exp —гк (A — /j, о q — v о p\ akaqap. ( (27г) L Для многомерной томограммы w (X,/2, v\ можно также записать интегральное соотношение, связывающее ее с волновой функцией, аналогично (85): w Х,/7, z/ = пп 2 -1 - Ф (Я) ехР —Д ( )Z ( 0 і Х о д о ({/) (107) где возведение векторов в степень следует также понимать в терминах поэлементного умножения: (а)0 = {а\,а\,...,ап).
Как было показано в цикле работ [34] - [33], если перейти в выражении (107) от поэлементного произведения к скалярному, можно получить функцию, зависящую не от Зп переменных, как симплектическая томограмма, а от 2п + 1 переменных, причем данная функция также будет являться функцией распределения вероятности и может описывать квантовое состояние. Такая функция получила название томограммы центра масс.
Томограмма центра масс связана с многомерной функцией Вигнера через следующее интегральное преобразование [34]: wcm {X, Д, у) =—- W (q, р) ехр — ik (X — jlq — vp)\ akaqap, (108) (27г) где X = jlq + vp. Переменная X имеет физический смысл, аналогичный центру масс в механике. Если приписать каждой степени свободы вес rrij, который можно формально интерпретировать как массу, выражение для X можно переписать mjXj в следующем виде: X = - к . Из-за соответствующей механической аналогии данный вид томографического представления получил название томограммы центра масс. Для случая чистого состояния связь с волновой функцией томограммы центра масс выражается следующим соотношением [34]: с - $х — Х =і Yj (2 ГЩ=іМ Шст (X, p,,v)= dY (g) exp - І /І о z/jo 1 (q о gj — г І у о ( z/jo 1 q (109) Как показано в [34] - [33], томограмма центра масс сохраняет такие свойства симплектической томограммы как нормированность на единицу, положительная определенность и однородность. Она также связана с симплектической томограммой обратимым интегральным преобразованием [34]:
В квантовой механике задачу о движении заряженной частицы в постоянном магнитном поле в нерелятивистском приближении впервые рассмотрел Е. Кеннард [88], получивший выражения для волновой функции заряженной частицы в гаус-совской форме, а также для ее пропагатора. В более поздней работе И.А. Малки-на и В.И. Манько [16] квантовое состояние электрона, движущегося в постоянном магнитном поле, было получено в терминах когерентных состояний с помощью метода интегралов движения. Данный метод основывается на классической работе В.П. Ермакова [10], которая была позднее обобщена на квантовый случай [98], и в которой впервые вводились квадратичные по координатам и импульсам интегралы движения для систем с квадратичным гамильтонианом. Метод поиска собственных состояний для операторов интегралов движения, которые являются решениями уравнений Шредингера для соответствующей системы с квадратичным гамильтонианом, был представлен в работах [97] и [75]. Недавняя работа [4] показывает, что метод интегралов движения применим для нахождения когерентных состояний в произвольных системах с квадратичным гамильтонианом, в том числе, для систем с непрерывным спектром. (Впервые задача о нахождении состояния свободной частицы с помощью линейных интегралов движения обсуждалась в [75]).
Вероятности переходов между энергетическими уровнями гармониче ского осциллятора
Как было показано выше, основным достоинством томографического подхода является переход к описанию квантовых состояний с помощью всюду положительной вещественной функции распределения вероятности. Причем, помимо концептуального преимущества, описание в терминах функций распределения вероятности упрощает решение ряда вычислительно сложных задач. Одной из них является нахождение вероятностей переходов между различными квантовыми состояниями в многомерных нестационарных физических системах.
Среди них наибольшей практической значимостью обладает задача о нахождении вероятностей переходов между энергетическими уровнями ядер в многоатомных молекулах. Эта задача является одной из центральных вопросов спектроскопии сложных молекул. Однако в рамках общеупотребимого подхода, основанного на нахождении в терминах волновой функции указанных вероятностей переходов, называемых факторами Франка-Кондона, вычислительная сложность задачи сильно возрастает с ростом числа рассматриваемых атомов. В работе [151] нами был предложен метод вычисления факторов Франка-Кондона в терминах томографического подхода, который позволит несколько сократить вычислительную сложность задачи за счет того, что подынтегральное выражение, зависящее от многомерного вектора, по которому производится интегрирование, при данном методе вещественно и знакопостоянно.
Предложенный подход к вычислению факторов Франка-Кондона будет подробно описан в данной главе. Поскольку в задаче о нахождении факторов Франка-65
Кондона предполагается быстрая перестройка электронного облака (по сравнению с изменением положения и состояний ядер), а для описания рассматриваемой молекулы используется модель гармонического осциллятора, перед введением метода вычисления факторов Франка-Кондона в рамках томографического подхода будут рассмотрены две базовые задачи. Это нахождение вероятностей переходов между уровнями одномерного гармонического осциллятора при мгновенном смещении положения равновесия, а также при мгновенном изменении жесткости осциллятора.
Кроме того, для более полной иллюстрации подхода, в данной главе будет приведено решение задачи о вероятностях переходов между уровнями Ландау, полученное через симплектические томограммы начальных и конечных состояний системы с использованием результатов
В данном параграфе мы рассмотрим задачу о переходе между энергетическими уровнями заряженной частицы, параметрически возбуждаемой переменным электромагнитным полем. В данной задаче необходимо предположить, что при временах t 0 и t — оо магнитное поле становится постоянным, а электрическое поле исчезает:
Тогда на больших временах относительно времени параметрического возбуждения у системы существуют энергетические уровни Ландау, между которыми можно вычислить вероятности переходов. Общий подход к вычислению вероятностей перехода между состояниями произвольной системы в квантовой механике был разработан Фейнманом [70] в терминах интегралов по траекториям.
В рамках этого подхода вероятность перехода из некоторого начального в некоторое конечное состояние равна квадрату модуля амплитуды вероятности того, что траектория рассматриваемой системы имеет соответствующую начальную и конечную точки в пространстве-времени.
Вычисление факторов Франка-Кондона в многоатомных молекулах
Квантовые состояния с ненулевым орбитальным угловым моментом, иначе говоря, «закрученные» состояния, широко используются в прототипах квантовых коммуникационных решений и по этой причине часто выступают предметом фундаментальных, как теоретических, так и экспериментальных исследований [73], [94], [71], [72], [126].
Как правило, при рассмотрении состояний с ненулевым орбитальным угловым моментом имеют в виду состояния Лагерра-Гаусса, однако есть также ряд работ, посвященных исследованию волновых пакетов Инса-Гаусса( [38], [39], [93]), Бесселя ([144], [124]) и др. В недавно опубликованных работах [61], [62] было показано, что ненулевым орбитальным угловым моментом обладает также особый тип гауссовских состояний, свойства которых были подробно описаны в указанных статьях.
В связи с перспективами использования закрученных состояний в квантовых коммуникациях приобретает актуальность вопрос об их оптимальной томографии. Как было показано ранее, в этом отношении томографический подход имеет объективные преимущества, поскольку позволяет получать функцию распределения вероятности, однозначно определяющую квантовое состояние, напрямую из измерений, не прибегая к алгоритмам восстановления. Особенно актуально в этом отношении использование томографического подхода для описания оптических состояний, в том числе, закрученных состояний, для которых развит экспериментальный метод гомодинного детектирования (см., например, [95]).
Еще одним аргументом в пользу предпочтительности описания закрученных оптических состояний в рамках томографического подхода является его универсальность, позволяющая единообразно описывать как квантовые, так и классические состояния. Поскольку состояния с ненулевым орбитальным угловым моментом формулируются в рамках классической оптики, и потом обобщаются на квантовый случай, универсальный квантово-классический способ описания представляется для них наиболее естественным.
Впервые в терминах томографического подхода закрученные состояния были представлены в нашей работе [152].
Рассмотрение «квантовоподобных» (в англоязычной литературе - quantumlike) состояний, в качестве которых может выступать закрученный свет в классическом приближении, имеет также практический интерес: как было показано в исследованиях [110], [52] и [25], подобные системы также могут проявлять свойства, аналогичные квантовой запутанности, и могут использоваться для симуляции квантовых вычислений.
Введение состояний с ненулевым орбитальных угловым моментом основано на аналогии между классической и квантовой оптикой, на которую впервые указали Фок и Леонтович [14]. Из уравнений Максвелла следует, что электрическая компонента электромагнитного поля в области без зарядов и токов подчиняется следующему уравнению: V Е = 0. (230) с1 at1 В уравнении (230) использованы следующие обозначения: с - скорость света, є - диэлектрическая проницаемость. В случае монохроматической волны уравнение (230) сводится к уравнению Гельмгольца: V Е + к Е = 0, (231) где к - волновое число, связанное с частотой рассматриваемой монохроматической с волны UJ и показателей преломления среды п: к = Рассмотрим электрическое поле в плоскости xz. Найдем решение уравнения (230) в следующем виде: ik In (0, я) d$ ) o \Jn (0, z) O h (x} z) = exp ik n (0, я) d , (232) где ф (ж, z) - комплексная амплитуда классического электрического поля. Если подставить выражение (232) в уравнение Гельмгольца (231), получим следующее условие на комплексную амплитуду электрического поля и функцию показателя преломления: лдф(х,г) A2 д2ф(х,г) 7г \п2 (0, z) — п2 (ж, z)] іл Ь 7г ) Ф \Х} z) = 0. (233) OZ 4-7ГП (0, z) ox1 n(0,z) Воспользуемся параксиальным приближением, в рамках которого в (233) можно пренебречь производными второго порядка от ф (ж, z) по z. Также в рамках параксиального приближения выполняется следующее условие: Ап2 (0,z) dn (0, z) dz С 1, где A = nr - длина волны. Введем следующий гамильтониан: Н = - + U (ж, t). (234) Тогда уравнение (233) можно формально трактовать как уравнение Шредин-гера для системы с гамильтонианом (234), если выполнить следующие замены: переменная z будет играть роль времени (z — t), А - роль постоянной Планка (А — і), масса М будет обозначена как 2-7rn(0,z). При этом эффективный потенциал U (х, z) будет иметь вид U (х, z) = 7Г [п2 (0, z) — п2 (х, z) \ п 1 (0, z), а функция ф (ж, z) будет играть роль волновой функции. Таким образом, в параксиальном приближении квантовая оптика формально эквивалентна классической.
Как показано в [61], состояние закрученного света может быть представлено в форме гауссовского пакета. Рассмотрим общий вид двумерного гауссовского состояния: ф (ж, у) = TVexp [—к, [ах + Ъху + су ) + Fx + Gy\ , (235) где к - постоянный масштабный коэффициент, N выполняет роль нормировочного множителя, а комплексные параметры а, 6, с, F и G имеют следующую структуру: а = —Ь %Xai о = р + ip, с = —Ь %Xci F = F\ + iF2, G = Gi + iG 2 2 2 При определенных значениях коэффициентов квадратичной формы в экспоненциальной части (235) указанный гауссовский пакет приобретает ненулевой угловой орбитальный момент. Плотность вероятности рассматриваемого состояния \1р{х,у)\ представляется как плотность вероятности состояния центра волново-го пакета \гр{Хо,уо)\ , умноженная на зависящую от времени экспоненциальную часть:
Можно формально выделить из орбитального углового момента «внутреннюю» и «внешнюю» части, первая из которых отвечает движению центра волнового пакета, а вторая соответствует зависящей от времени экспоненциальной части. Возможность представления плотности вероятности закрученного гауссовского состояния в виде (236) накладывает условия на значения коэффициентов а, 6, с, F и G.
Чтобы ввести томографическое описание закрученных гауссовских состояний, получим сперва симплектическую и оптическую томограммы для состояния в форме (235), а затем учтем условия на коэффициенты.