Взаимодействие магнонов и явления типа "порядок из беспорядка" в антиферромагнетиках с дипольными силами и критическая динамика, описываемая кинетическими уравнениями с дробными производными Баталов Лев Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Явления "порядок из беспорядка" в твердых телах и критическая динамика 7

1.1 Дипольные силы и методика их рассмотрения 7

1.2 Критическая динамика магнетиков с дальнодействием 25

2. Аномальное затухание длинноволновых магнонов в антифер ромагнетике Гейзенберга 35

2.1 Гамильтониан и 1/S - разложение 35

2.1.1 Спектр и анизотропия 39

2.1.2 Затухание

2.1.2.1 Кинематические соотношения 49

2.1.2.2 Затухание, обусловленное распадом магнонов 54

2.1.2.3 Затухание, обусловленное слиянием магнонов 56

2.1.2.4 Большие спины 59

2.1.3 Возможности экспериментальной проверки 61

2.1.3.1 Динамический структурный фактор 61

2.1.3.2 Конкурирующая магнитокристаллическая анизотропия 62

3. Упорядочение спинов в антиферромагнетиках на гранецен трированной решетке 67

3.1 Гамильтониан и 1/S - разложение з

3.1.1 Спектр магнонов и его ренормировка 73

3.1.2 Анизотропия типа "легкая плоскость" и анизотропия в плоскости 76

3.1.3 Сравнение с экспериментом 79

4. Критическая динамика намагниченности для антиферромаг нетика с дальнодействием 82

4.1 Методика описания систем с дальним порядком вблизи критической точки производными дробного порядка 82

4.2 Функционал действия и критические индексы 86

4.3 Анализ теоретико-полевой модели 88

4.4 Критические индексы модели с дробными производными и пределы её применимости 94

4.5 Парная корреляционная функция в статическом пределе 103

4.6 Анализ результатов и возможные приложения к описанию критической динамики спиновых стекол 109

5. Заключение 113

Литература

• Критическая динамика магнетиков с дальнодействием
• Затухание, обусловленное распадом магнонов
• Спектр магнонов и его ренормировка
• Функционал действия и критические индексы

Введение к работе

Актуальность темы.

Концепция элементарных возбуждений (квазичастиц) является мощным инструментом в современной теории многих тел. Согласно этой концепции, каждое слабо возбужденное состояние системы может быть представлено как набор слабо взаимодействующих квазичастиц, каждая из которых несет квант импульса к и энергии Єк. Процессы спонтанного распада и слияния между квазичастицами приводят к конечности их времени жизни Тк и появлению отличного от нуля затухания Гк ~ І/ть Представление о квазичастицах разумно вводить только при достаточно большом времени их жизни, когда их затухание много меньше их энергии Гк <С Єк. Так как наименьшую энергию имеют длинноволновые элементарные возбуждения, слабо возбужденное состояние представляет собой ансамбль длинноволновых квазичастиц. Поэтому в рамках концепции предполагается, что элементарные возбуждения с малыми к хорошо определены при низких температурах, когда систему можно считать слабо возбужденной. Это предположение подтверждено в многочисленных экспериментах на разных системах и в теоретических расчетах, выполненных в огромном количестве моделей. Что же касается коротковолновых квазичастиц, они могут быть плохо определенными или не существовать вовсе. Классическим примером является жидкий ⁴Не, спектр которого имеет точку окончания. [1] Однако обычно коротковолновые квазичастицы также оказываются хорошо определенными. Поэтому большое внимание в последнее время привлекает небольшое количество систем, в которых обнаружено аномально сильное затухание коротковолновых элементарных возбуждений. [6,9]

В связи с этим, тем более интересным становится вопрос о возможности обнаружения аномального затухания длинноволновых квазичастиц в магнитных системах при температурах много меньших критической. В работе [3] было показано, что в трехмерном антиферромагнетике Гейзенберга (АФГ) с малой одноионной анизотропией имеет место оценка Г_к < є_к при к < 1 и Т < Тдг, где T_N температура Нееля. В частности, было обнаружено, что Г_к - єітЧпт при S ~ 1 и к < г³, где т = T/T_N < 1. Для больших спинов S > 1, когда реализуется режим T_N/S <С Т < T_w, затухание оценивается как Гк ~ є|т² при к <С 1. Таким образом, согласно этим результатам, длинноволновые элементарные возбуждения в АФГ (магноны) — хорошо определенные квазичастицы, если в системе нет даль-нодействующих взаимодействий.

С другой стороны, недавно было обнаружено, что малое дальнодей-ствующее дипольное взаимодействие в двумерных и трехмерных ферромагнетиках Гейзенберга приводит к аномально сильному затуханию части

длинноволновых магнонов при Т <С Тс, где Тс — температура Кюри. [7,8] При очень малом, но конечном значении импульса, на графике Гк/бк возникает пик, высота которого порядка единицы. Было показано, что именно дальнодействующий характер дипольных сил приводит к такому эффекту. Этот результат не укладывается в рамки концепции квазичастиц. В связи с этим представляется важным и интересным изучить влияние дипольных сил на затухание магнонов в АФГ на простой кубической (ПК) решётке.

Серьезным препятствием для экспериментального наблюдения аномального затухания длинноволновых магнонов является тот факт, что в абсолютном большинстве реальных магнетиков этот эффект экранируется магнитокристаллической анизотропией, которая приводит к щели в спектре. Кроме того, довольно трудно наблюдать аномальное затухание экспериментально из-за очень маленькой величины соответствующего импульса (1(Г³ -ь 10"⁴A^_1 ). Поэтому, остается актуальной задача о нахождении соответствующих соединений для наблюдения описанного эффекта.

Огромное внимание сейчас привлекают явления типа “порядок из беспорядка”. В основе таких явлений лежит снятие вырождения в системе (часто бесконечного вырождения) квантовыми или температурными флук-туациями. Механизм снятия вырождения “порядок из беспорядка” играет особенно большую роль во многих активно исследуемых сейчас фрустри-рованных системах, основное состояние которых очень сильно вырождено (из-за фрустрации).

Одним из известных примеров системы, в которой реализуется “порядок из беспорядка”, является АФГ на гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке, в котором обменное взаимодействие с шестью следующими за ближайшими спинами (т.е., вдоль ребра куба) преобладает над обменом с ближайшими двенадцатью спинами. Такая система может быть представлена, в виде четырех антиферромагнитных кубических подрешеток, вложенных друг в друга (см. Рис. 1(a)). Причем любой спин из любой подрешетки находится в нулевом молекулярном поле спинов других подрешеток. То есть, классическое основное состояние имеет бесконечное вырождение, связанное с произвольной ориентацией намагниченности любой из подрешеток. Квантовые флуктуации снимают это вырождение и приводят к коллинеарной ориентации всех четырех подрешеток (явление типа “порядок из беспорядка”). Ранее было установлено также, что дипольные силы в пределе классических магнитных моментов еще больше уменьшают вырождение основного состояния и делают плоскости (111) “легкими” плоскостями для намагниченности (при этом магнитная структура выглядит, как ферромагнитные плоскости (111), упорядоченные антиферромагнитно (см. Рис. 1(b)).

Данная модель хорошо описывает следующие известные антиферро-

Рис. 1: (a) Антиферромагнетик на ГЦК решетке. Цифры показывают, к какой из четырех антиферромагнитных кубических подрешеток принадлежит данный спин. (b) Магнитная структура антиферромагнетика на ГЦК решетке, которая реализована в рассматриваемой модели через механизм “порядок из беспорядка”. Спины, принадлежащие различным ферромагнитным плоскостям (111) (заштрихованы), которые расположены в антиферромагнитном порядке вдоль направления [111], показаны разными цветами и обозначены стрелками t и |. Также показаны обменные константы J*, J₂ и векторы решетки Є1_,2,3.

магнетики: MnO, a-MnS, a-MnSe, EuTe и EuSe. Так как магнитные ионы Мп²⁺ и Еи²⁺ находятся в изотропных состояниях, характеризующихся почти нулевым орбитальным моментом, спин-орбитальное взаимодействие очень мало. Следовательно и магнитокричталлическая анизотропия чрезвычайно мала. Поэтому дипольное взаимодействие является основным источником анизотропии в этих материалах. В экспериментах на упомянутых выше веществах был обнаружен коллинеарный магнитный порядок, предсказанный теорией. Однако экспериментально было установлено также, что внутри легких плоскостей (111) есть направления легкого намагничивания: [112], [121] и [211]. Природа этой внутриплоскостной анизотропии до сих пор не установлена.

Ещё одним до конца не решённым вопросом является влияние даль-нодействующих взаимодействий на динамику систем вблизи критических точек. Недавно было показано, что дальнодействующие взаимодействия в системе могут приводить к тому, что кинетические уравнения, описывающие критическую динамику таких систем, имеют дробную пространственную производную. [4] С другой стороны, уравнения с дробной производной по времени описывают систему, подверженную действию цветного шума. [2] В тоже время до сих пор не были проанализированы кинетические уравнения с дробными производными как по времени, так и по координатам. Этот анализ представляется важной, не решенной до сих пор задачей.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы являлось

теоретическое исследование влияния дальнодействующих дипольных сил на свойства АФГ на ПК и ГЦК решетках, а также изучение кинетических уравнений с дробными производными. В частности, предполагалось сделать следующее.

1. Исследовать в первом порядке 1/б'-разложения (S величина спина) влияние квантовых флуктуаций на энергию магнонов в АФГ с дипольными силами на ПК и ГЦК решетках.

2. Рассчитать в первом порядке 1/б'-разложения затухание длинноволновых магнонов для АФГ с дипольными силами на ПК решётке. Предложить вещества, подходящие для экспериментального изучения эффекта аномально сильного затухания (если таковой обнаружится).

3. Исследовать влияние квантовых и температурных флуктуаций на энергию основного состояния АФГ с дипольными силами на ПК и ГЦК решетках. Установить наблюдаются ли при этом явления типа “порядок из беспорядка”. Найти выражение для вклада в анизотропию флуктуационной природы. Произвести соответствующие расчеты для MnO, a-MnS, a-MnSe, EuTe и EuSe и сравнить с экспериментальными данными.

4. Проанализировать кинетические уравнения с дробными производными как по времени, так и по координатам

Основные положения, выносимые на защиту.

5. Квантовые флуктуации снимают вырождение основного состояния антиферромагнетика Гейзенберга (АФГ) с дипольными силами на простой кубической (ПК) решетке и дают вклад в кубическую анизотропию через механизм “порядок из беспорядка”.

6. Квантовые флуктуации сильно перенормируют энергию Єк длинноволновых элементарных возбуждений АФГ с дипольными силами на ПК и гранецентрированной кубической (ГЦК) решетках: они приводят к появлению щели в спектре, пропорциональной характерной энергии дипольного взаимодействия.

7. Дипольные силы приводят к значительному увеличению затухания Гк длинноволновых магнонов в АФГ на ПК решетке при малых температурах Т <С Тдг. В случае величины спина S ~ 1 магноны остаются хорошо определенными квазичастицами, Гк <С Єк, в то время как в случае S ^> 1 для части магнонов Гк ~ Єк.

4. Затухание длинноволновых магнонов сильно увеличивается в АФГ с дипольными силами на ПК решетке при Т <С Тдг при наличии в системе кубической анизотропии, конкурирующей с дипольной. При этом Гк становится порядка Єк для части магнонов даже в случае S ~ 1. Это явление может наблюдаться экспериментально в Т1Мііі__жСо_жЕз и RbMni__xCo_xF3 при х « 0.0004 и х « 0.00034, соответственно.

5. Квантовые флуктуации через механизм “порядок из беспорядка” дают вклад в анизотропию в “легких” плоскостях (111), экспериментально обнаруженную в соединениях MnO, a-MnS, a-MnSe, EuTe и EuSe, которые описываются моделью АФГ с дипольными силами на ГЦК решетке. Флуктуационный вклад в эту анизотропию является одним из основных в EuTe.

6. В системах, критическая динамика которых описывается кинетическим уравнением с дробными производными по координатам и времени, индекс Фишера г) и динамический критический индекс z для порядка дробной производной по времени 1/2 имеют вид Г] = 0.0125Є² + 0(е³) и z = 4 + 0.1555Є² + 0(е³) во втором порядке Є-разложения.

Научная новизна и практическая значимость.

1. Найдено выражение для спектра АФГ с дипольными силами на ПК решетке в первом порядке по 1/S. Показано, что квантовые флуктуации сильно перенормируют энергию длинноволновых магнонов: они приводят к появлению щели в спектре, пропорциональной характерной энергии дипольного взаимодействия. Исследована зависимость величины щели от температуры. Такой расчёт проведен впервые.

2. Впервые рассчитано затухание длинноволновых магнонов в квантовом АФГ с дипольными силами на ПК решетке при малых температурах. Получено аномально сильное затухание части магнонов, и показана возможность экспериментального наблюдения этого явления в Т1Мпі__жСо_жЕ₃ и RbMni__xC_0a;F3 при х « 0.0004 и х « 0.00034, соответственно. Эти результаты должны использоваться при интерпретации соответствующих экспериментальных данных.

3. Впервые продемонстрировано, что дипольные силы приводят к вкладу флуктуационной природы в анизотропию, экспериментально обнаруженную в “легкой” плоскости (111) в антиферромагнетиках MnO, a-MnS, a-MnSe, EuTe и EuSe. Впервые произведен расчёт константы анизотропии и щели в спектре магнонов в соответствующей модели

и показано, что вклад в анизотропию флуктуационной природы является одним из основных в EuTe.

4. Впервые проанализирована модель релаксационной динамики на основе уравнений аномальной диффузии, включающих дробные производные по времени и координатам. Выполнен расчёт критических индексов для порядка дробной производной по времени 1/2 во втором порядке -разложения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях:

The European Turbulence Conference 14, г. Лион, Франция, 2013; Moscow International Symposium on Magnetism “МISМ-2014”, Москва, 2014; International Symposium “Spin Waves 2015”, Санкт-Петербург, 2015; и на российских конференциях и школах:

конференция “Физика и прогресс”, Санкт-Петербург, 2013; 48-ая Школа ПИЯФ по Физике конденсированного состояния, Санкт-Петербург, 2014; конференция “Совещание по использованию рассеяния нейтронов и синхротронного излучения в конденсированных средах”, Санкт-Петербург, 2014; I Конференция молодых ученых и специалистов ПИЯФ (КМУС-2014), Гатчина, 2014; 49-ая Школа ПИЯФ по Физике конденсированного состояния, Санкт-Петербург, 2015; II Конференция молодых ученых и специалистов ПИЯФ (КМУС-2015), Гатчина, 2015.

Публикации. Содержание диссертации полностью отражено в трёх статьях (без учета материалов конференций), опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных Web of Science и Scopus. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все представленные к защите аналитические и численные результаты были получены диссертантом лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 114 страниц машинописного текста. Библиография содержит 112 наименований. Рисунки и таблицы нумеруются по главам.

Критическая динамика магнетиков с дальнодействием

Если операторы a\ а являются эрмитово сопряженными и подчиняются бозевским перестановочным соотношениям, то тогда операторы S+ и S не являются эрмитово сопряженными и соответственно преобразование (1.22) приводит к неэрмитову гамильтониану. В 1982 году В. Г. Барьяхтар, В. Н. Кри-воручко, Д. А. Яблонский [26] окончательно решили вопрос о влиянии неэр-митовости преобразования Дайсона - Малеева (1.22), сравнив корреляционные функции, получающиеся через точную диаграммную технику [27] и с обменным гамильтонианом, полученным через (1.22). Их результатом стало то, что неэрмитовость представления (1.22) не влияет на результаты вычислений корреляционных функций спинов, а вклад нефизических состояний (учет которых по Дайсону сводится к появлению кинематического взаимодействия) при температурах Т SJo оказывается экспоненциально малым, порядка ехр(—Т /Т), ГдеТ = S{2S+1)J0.

Диаграммная техника, оперирующая с операторами рождения и уничтожения магнонов, получила название 1/S - разложения, она дала возможность автоматически учитывать флуктуационные поправки, в том числе, используя технику суммирования по дискретным частотам Мацубары [28], и зависящие от температуры. Первая такая поправка для гамильтониана (1.21) - анизотропная поправка к энергии основного состояния. Она зависит от углов и определяет направление намагниченности в кристалле. Для трехмерного ферромагнетика с дипольными силами на кубической решётке поправка впервые была получена Тессманом в 1954 году [29] и в наших терминах записывается как АЕ = CN f i+Ж+-W), с1-23) где N - общее число спинов в образце, а константа С зависит от типа решетки: для UKC = 0.012, для ГЦК - С = -0.005, для ОЦК - С = -0.04. Это означает, что для ПК решётки ребро куба является легким направлением намагничивания, а для ГЦК и ОЦК таким направлением является главная диагональ. Аналогичное выражение для двумерного ферромагнетика с дипольными силами было получено А.В. Сыромятниковым [30], а для трехмерного антиферромагнетика автором совместно с А.В. Сыромятниковым [2].

Ещё одно проявление дипольных сил - появление в спин-волновом спектре щели, имеющей флуктуационную природу. Наличие щели ограничивает спектр снизу по энергии и помогает избежать инфракрасных расходимостей во всевозможных величинах, для расчёта которых требуется суммирование по числу состояний (которое в спин-волновом приближении заменяется интегрированием по квазиимпульсу): спонтанная намагниченность, спиновые восприимчивости, температура Кюри и т.д. Топервергом и Яшечкиным [31] было показано через точную диаграммную технику, оперирующую спиновыми компонентами [27], что дипольные силы приводят к сильным длинноволновым флуктуациям, проявляющимся в инфракрасной расходимости первых по возмущению поправок к однородной продольной спиновой восприимчивости: Х(бо — 0) iT/uo. Как отмечено в [31, 32], эта расходимость нефизическая, так как она приводит к ненулевому поглощению Qu ос ш1тх(ш) при ш = 0и образец нагревался бы постоянным магнитным полем. Поэтому можно ожидать сильной перенормировки Хц(о;,к) после учета высших поправок на малых квазиимпульсах и энергиях. Эксперимент [32] показывает, что почти изотропный ферромагнетик CdCr2Se4 показывает слабо степенную зависимость у интересующей нас восприимчивости: х( - 0) (i/u)0-28.

Последовательный анализ 1/S - поправок, проведенный в [33], показал, что дипольные силы обуславливают щель в спектре, пропорциональную сину 20 су угла между намагниченностью и квазиимпульсом магнона sin k- Эта щель "экранирует" все сингулярности в 1/S - поправках к спин-волновой жесткости и в продольной спиновой восприимчивости. Аналогичная ситуация возникает при вычислении спонтанной намагниченности в спин-волновом приближении для двумерного ферромагнетика [30], которая при больших температурах (больших, чем SUJO/(ln(D/SUJO))) содержит множитель где D - спин-волновая жесткость, определяемая через спектр Єк = Dk2 для

Наиболее интересным, по нашему мнению, феноменом, в котором диполь-ные силы проявляют себя с необычной стороны, является аномально большое затухание Г к длинноволновых магнонов. Процессы спонтанного распада квазичастиц и взаимодействие между ними приводят к конечности их времени жизни, что проявляется в существовании затухания Гк- Разумно вводить идею о квазичастицах, естественно, только тогда, когда их время жизни достаточно велико, другими словами, затухание много меньше энергии Гк С Єк [34, 35]. Так как наименьшими энергиями обладают длинноволновые квазичастицы, слабо возбужденные состояния системы многих тел могут быть представлены как набор длинноволновых элементарных возбуждений. Таким образом, согласно концепции квазичастиц, они хорошо определены.

Что касается коротковолновых элементарных возбуждений, они могут быть плохо определены при некоторых значениях (квази)импульса. Эта ситуация имеет место, например, в жидком 4Не, имеющим точку остановки [36, 35]. Так как коротковолновые элементарные возбуждения обычно хорошо определены, отдельные системы с передемпфированными магнонами притягивают значительный интерес в последнее время [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44].

Концепция квазичастиц подтверждается многочисленными экспериментами в различных системах и численными микроскопическими вычислениями в конкретных моделях. Например, в классической работе Харриса, Кумара, Гальперина и Хоенберга [45] было найдено, что Г к С Єк при к С 1 и Т С Тдг в трехмерном антиферромагнетике Гейзенберга с малой одноионной анизотропией. Исследование было проведено методом 1/5 - разложения. В частности, было обнаружено, что Гк єт3 In г при S 1 и к С т3, где т = Т/Т С 1 и Тдг - температура Нееля. Для больших спинов S 1, когда реализуется режим Tjy/S СГ Тдг, затухание оценивается как Гк єт2 при fc C 1.

С другой стороны, А.В. Сыромятниковым недавно было найдено, что малое дальнодействующее дипольное взаимодействие в 2D и 3D ферромагнетиках Гейзенберга заставляет малую часть длинноволновых магнонов становиться сильно демпфированными [30, 46]. На очень малом, но конечном значении импульса, на графике Гк/бк возникает пик порядка единицы при температурах даже много меньших температуры Кюри (то есть, когда магнетик может рассматриваться как слабо возбужденная система). Эскиз примерного хода затухания при разных значениях квазиимпульса приведён на рис. 1.2 (а) для двумерного ферромагнетика и на рис. 1.2 (б) для трехмерного. Графики, иллюстрирующие зависимости от ориентации вектора к и от температуры приведены на рис. 1.3.

Затухание, обусловленное распадом магнонов

Хорошо известно, что затухание магнонов возникает в нефрустрирован-ных антиферромагнетиках Гейзенберга при Т 0 во втором порядке по 1/S: при Т = 0 же затухания нет [45]. Дипольные силы, тем не менее, из-за наличия процессов трехмагнонного взаимодействия дают вклад в затухание при Т 0 в первом порядке по 1/S. Математически это выражается в конечности петлевой диаграммы, изображённой на рис. 2.3.

Вклады от этой диаграммы в мнимую часть каждой из собственно - энергетических частей описывают или процесс распада одного магнона на два или процесс слияния двух магнонов в один. Для магнона с волновым вектором к имеется в общей сложности 23 = 8 возможных процессов распада типа к - 4 k-q = 0 (2.38) которые возникают при любой температуре Т и 2 = 8 процессов слияния 4-4 + 4-q = 0 (2-39) которые существуют только при ненулевой температуре Т О. Рассмотрим эти процессы подробнее.

Импульсы q, к, и q - к (или к — q) трех магнонов, участвующих в процессе распада (а) и слияния (Ь), согласно уравнениям (2.38) и (2.39), соответственно. Показаны также компоненты щ и q вектора q, направленные соответственно параллельно и перпендикулярно вектору к.

Процесс распада магнона будет осуществляться в системе только тогда, когда он энергетически выгоден, то есть энергии распадающегося магнона хватает, чтобы образовать два осколка. Опуская дипольное взаимодействие, мы имеем для длинноволнового спектра е = Dk — DL2k3 при fc 1 (как частный случай (2.25)). В этом случае получаются следующие выражения для процессов распада и слияния соответственно: где qy и q компоненты вектора q, параллельная и перпендикулярная к к (см. рис. 2.4), соответственно. Кроме того, видно, что q±_ в нашем случае является малым параметром, так как q и к практически параллельны друг другу (т.е., (7ц « q и q± С q). Из уравнений (2.40) и (2.41) следует, что процессы как слияния, так и распада невозможны без учета дипольных сил. Процесс распада магнона был бы осуществим, как видно из (2.40), если бы дипольные силы давали бы положительную добавку к выражению е — еч — бк-ф другими словами, изменение энергии распадающегося магнона Єк за счет дипольных сил превышало бы изменение энергии осколков. А это возможно только в случае распада магнона с "плюсовой" ветви на два "минусовых" или на "плюсовой" и "минусовой" магноны. Распадное взаимодействие магнонов с одной ветви невозможно из-за точной компенсации дипольных добавок. Итак, при наличии в системе дипольных сил возможны три процесса распада магнона: - 6q - 6k-q = єк - eq - Єк-q + 3DL2k3 x Г] = О, (2.42

Введя переменную z = q(l — q), меняющуюся в силу условия q 1 в пределах 0 z 1/4, замечаем, что уравнение (2.42) является квадратным относительно z: а условие его выполнения, сводится к выполнению q\ 0, что в переменных С, и г] записывается как z. q(l-q) z+, (2.47) z± = 2 C + »7±VK + ) -4CJ- (2-48 Удобно сразу рассмотреть предельный случай г] (7 который означает следующее условие на к: Противоположный предел Г] С С не имеет смысла, так как он реализовался бы только при ( 4, что невозможно при z 1. Получаем из уравнения z+ «77, z_ « -. (2.50) Затухание, естественно, не будет малым только если количество процессов типа (2.42) достаточно велико. Поэтому в дополнение к условию Г] $ ( необходимо наложить условие хорошей разделенности корней z+ z_, что приводит к сильному неравенству sin » А. (2.51) Из (2.46) видно, что 77 С 1, если выполняется соотношение (2.49). Как результат, мы имеем два интервала по q, внутри которых неравенство (2.47) выполняется: q Є ( ,77), (2.52) q Є (l-77,l-). (2.53) Соотношения (2.52), (2.53) означают, что при заданной длине вектора q, существуют такие его направления, для которых возможен процесс распада.

Будем пытаться теперь решить неравенство q\ 0 для уравнений (2.43) и (2.44). Заметим, во-первых, что уравнения (2.43) и (2.44) получаются одно из другого посредством преобразования q — 1 — q. Оценим соответствующие интервалы. Заметим, что процесс, описываемый уравнением (2.42) должен выполняться с большей вероятностью, так как велика добавка за счёт дипольных сил: "плюсовой" магнон распадается на два "минусовых". В уравнениях (2.43) и (2.44) "плюсовой" магнон распадается на "плюсовой" и "минусовой" магно-ны, вероятность таких процессов ниже и, следовательно, область допустимых q должна быть ниже. Так как уравнение (2.43) переходит в (2.42) при q 1, а уравнение (2.44) - при q 0, окончательно устанавливаем следующий факт: решения уравнений (2.43) и (2.44) существуют для q: лежащих внутри интервалов 2.53) и (2.52), соответственно.

Спектр магнонов и его ренормировка

Из уравнений (2.72)-(2.73) и (2.76)-(2.77) видно, что затухание Гк спадает как к2 при уменьшении волнового числа из значений к 1 до величины & л/ j в области которой спад сменяется подъёмом и имеет форму 1/к . Подъём имеет место вплоть до точки к A/D, вблизи которой возрастание сменяется резким падением из-за щели в спектре. Таким образом, Гк имеет пик при к A/D, высота которого по порядку величины оценивается как UOQT/D , а отношение затухания к энергии магнона Гк/єк пропорционально вблизи пика T/D С 1 (см. рис. 2.6). Исходя из этого можем заключить, что магно-ны - хорошо определенные квазичастицы в квантовом антиферромагнетике с дипольными силами при Т С Тдг, где Тдг JS - температура Нееля. 0.1

Спонтанная намагниченность как функция безразмерного параметра SJ/T. При малых температурах намагниченность стремится к постоянному значению MQQ = —0.35, а при больших поведение определяется формулой (2.80).

Рассчитаем, прежде всего, блуждающую намагниченность в приближении спиновых волн. Простой анализ показывает, что включение в гамильтониан дипольных сил не влияет на выражение для намагниченности М. SM{SJ/T) = Eq Ец{1+2 ц) = = f фр f f f І coth wd(l d(lyd(lz J2.79) График функции M(SJ/T) приведён на рис. 2.7. При Т JS котангенс раскладывается как coth ж 1/ж, поэтому в этом случае имеем y4z SM{SJ/T) JQT І S2 (2тгУ dqxdqydq, T2 - Т2 0.24Т 1 1 2: [2.80) откуда, приравнивая спонтанную намагниченность нулю, имеем оценку для температуры Нееля Тдг 2JS2. Таким образом, Тдг S2J в то время как D SJ. Температура при этом может лежать в интервале Тдг Т D для достаточно больших S. Кроме того, квантовые поправки к наблюдаемым уменьшаются при возрастании S и исчезают в пределе S .

Предельным случаем больших спинов является классический предел S -+ ос, /г О, J,w0 0 (2.81 в предположении hS = const, JS2 = j = const, UJQS2 = w = const. Более того, этот предел можно получить, заменив операторы рождения и уничтожения 2к и ак на классические операторы /3 = 2к/л/о,/3 = аул/S, числа заполнения которых конечны. В результате спектр и поправки к нему по 1/S в классическом пределе получаются путём умножения на S и взятия предела, указанного выше.

Температурные поправки к наблюдаемым, в отличие от квантовых, содержат степени выражения T/S J Т/Тдг, поэтому эти поправки дают конечный предел в случае больших спинов. Мы вычислили щель в спектре при Тдг » Г » D и 5 1, заменив A/"q на T/eq в (2.32) и (2.34) и опустив Т-зависимые члены. Вместо (2.36) получаем для щели: Al = C ySW0 -r (2.82 где константа С определена как (ср. (2.19)) , ІГ№ІЩІМІМЯЙ0Ж (,83 wj N (4-JIY Суммирование по области q 1 вносит основной вклад в выражение (2.83). Оценим максимальное затухание для классического предела. Из (2.75) вытекает, что в этом пределе В = 0, а А - константа порядка единицы. Тогда д из уравнений (2.72) и (2.73) для sin6 kv/ » fc » f и Т№ » Т » D вытекает для отношения затухания к спектру Гк/єк щТ/к JD . Тогда, используя д 2.82) вблизи пика при к -yf- и фиксированных углах ( к и #к получаем Г± - const. (2.84) Таким образом, продемонстрировано аномально сильное затухание малой части магнонов (с к -jj- и sin 26 k 1 ) для 5 1 при малых температурах Т С Т/у. D 2.1.3. Возможности экспериментальной проверки 2.1.3.1. Динамический структурный фактор Выражение для магнонного спектра может быть проверено, например, через экспериментальное измерение динамического структурного фактора (англ. Dynamic Structure Factor, DSF), проявляющегося, в частности, в опытах по рассеянию нейтронов. По сути, динамический структурный фактор сводится к сумме мнимых частей от соответствующих функций Грина. Сосчитаем два DSF: Sxx(u,k) = Im{S%S%) и Syy(u,k) = lm(SykSyk). Пользуясь преобразованием Дайсона-Малеева (2.3), получаем: Sxx(co, к) = lm{SxkSxk) = lm{SxkSxk) = lm((ak + ajj(ak + ajj) = О 4- 4- 4- 4 = —Im ((akak + a a{. + э ак + akak)) = = lm(G(w, k) + G(u, k) + F{OJ, k) + F\UJ, k)). (2.85) Аналогично, получаем для Syy(uj,k): Syy(uj, к) = lm(G(w, к) + G{u, к) - F{UJ, к) - T w, к)). (2.86) Факторы типа Sxy {uo, k), очевидно, будут содержать и гриновские функции F(w,k), .7 (a;,к) и (/(о;, к), Q{uj,k). Мнимая часть функций Грина получается если применить формулу Со 62 ходкого к знаменателям гриновских функций со2 (4J2)(-2-fe)2) = о(+ + -U+ - \{ (2-87) 1 1 1 1 60k(W Є0к) Є0к( Є0к) Є0к( Є0к) Є0к( Є0к) В исходных терминах задачи, DSF 5жж( х ,к) имеет следующий вид при к0: Sxx(uj} k) ос Im(G(w, к) + G{u , к) + F{u , к) + F (ш, к)) = = (і(ш _ Єо+к) + % + 4)) (і - (і + 36с») у) S Jo + 7Г ( (Ш - %J + % + еі)) (і + (1 + 36с») 0 ) где мы использовали уравнения (5.1) для функций Грина в приближении спиновых волн. Сумма Sxa;((x ,k) + Syy( x ,k) имеет более простой вид, так как не зависит от углов: с Т SXX(UJ, k)+5w(w, к) ос 2тг— ( J(w - є+J + J(w + є+J + 8(ш - Єок) + 8(ш + є )) где к ко. Схематично эта формула проиллюстрирована на рис. 2.1, причём мы приняли во внимание, что дельта-пики из-за рассматриваемого затухания становятся лоренцианами.

Функционал действия и критические индексы

Модели, основанные на стохастических процессах с непрерывным временем широко используются в современных подходах к изучению фазовых переходов [94], различных видов турбулентности [95] и турбулентного транспорта. Эти модели применимы также к биологическим [96] и даже социальным [97] системам. Каждая из таких моделей принадлежит к определенному классу универсальности, который характеризуется набором взаимно независимых критических индексов (критических экспонент). Эти индексы оказывается возможным измерить экспериментально [94, 57]. В настоящей главе принята терминология теории поля [98, 99]: физическая система локально полностью описывается полем - скалярной функцией координат и времени. Уравнения типа уравнения Ланжевена, которым подчиняется это поле, можно обобщить, введя в них дробную производную по времени и дробный лапласиан [100]. Заметим, что в последнее время растёт число публикаций, в которых сами порядки производных являются случайными величинами, распределенными по некоторому закону [101].

Динамическая модель Гинзбурга - Ландау (модель А в классификационной схеме Гальперина и Хоенберга [55]) была впервые предложена Ландау и Халатниковым для описания аномального затухания звука в жидком гелии вблизи Л - точки. В дальнейшем в рамках этой модели была успешно описана критическая динамика других систем, например, магнетиков Изинга. Пусть неравновесная система описывается однокомпонентным вещественнозначным полем (p(x,t), зависящим от d - мерного радиус-вектора х и времени t. Одно-компонентной модели А соответствует следующее стохастической уравнение: dtip = Х(Ар - дірУб + Tip) + F, (4.1) где Л 0 - кинетический коэффициент, д 0 - константа связи, которая определяет вершину флуктуационного взаимодействия, г - отклонение от критической температуры г Т — Тс, a F - случайная внешняя сила. Для F мы предполагаем гауссово распределение с нулевым средним (F(x)) = 0 и корреляционной функцией (F(x,t)F(x ,t )) = А(х,х )( - ), (4-2) где А(х,х ) - произвольная симметричная положительная функция. Существование ИК - стабильной точки в модели А было установлено Де Доминиксом и другими в [102] с помощью теоретико-полевого подхода и метода ренормализационной группы. Динамический критический индекс z был вычислен в третьем порядке є - разложения в [70].

В последние годы возрастает количество публикаций, посвященных дробной версии уравнения (4.1) с временной производной порядка а и лапласианом порядка о" [103, 99, 104]. Такие модели смогут объяснить аномальный скей-линг, наблюдаемый во многих реальных случаях [100]. Тем не менее, теоретико-полевое рассмотрение слагаемых с временной и пространственной производными (из иногда называют также не-марковским и дальнодействующим членами соответственно) приводит к неренормируемому функционалу действия. Поэтому, для корректного применения метода ренормализационной группы необходимо также наравне с нелокальными оставить также локальные вклады. Замена в уравнении Ланжевена, записанном в импульсном представлении к — ка приводит к хорошо известным в теории перколяции потокам Леви. Управляющим параметром здесь является и. Эта замена эквивалентна использованию дробного лапласиана — (—А)а вместо обычного оператора А при О а 2. (4.3) Дробный лапласиан — (—А)а/2 действует на произвольную функцию /(х) следующим образом: (_ДП(х) - 2-УГ( ) г /(х)-/(х ) 1 J Л " т?Ч Т(\ - о/2) ] х-хГ+» ( где Р.V. означает главное значение. Для удобства мы используем одинаковые обозначения для функций и их Фурье-образов. Как показано Дженссе-ном и другими в [105], посредством указанной выше замены могут описываться процесс Грибова и процесс общего распространения эпидемий. Для правильного описания подобных процессов необходима замена более общего вида А — А — Ъ{—А)а 2 с неренормируемым параметром Ъ [105, 106]. Даже если в исходную модель не включен целочисленный лапласиан А, он будет сгенерирован через преобразования ренормгруппы [105].

Представляет интерес соотношение между короткодействующей и дально-действующей моделями. Такой кроссовер анализировался Хонконеном и Нали-мовым [107] для статической теории if с дробным лапласианом в рамках аналитической и размерной схем ренормировки. Год спустя было показано [108], что кроссовер из короткодействующего в дальнодействующий режим имеет место благодаря сингулярному поведению трехпетлевого и высших вкладов в функцию Гелл-Манна-Лоу, которая отвечает за скейлинговое поведение дальнодей-ствующей модели. Мы используем похожую методику, обеспечивающую совпадение функции Гелл-Манна-Лоу и критических индексов при а = 1, а = 2 с моделью А.

Обсудим теперь не-марковскую модификацию уравнения (4.1). Такая версия этого уравнения может быть интерпретирована как включение эффекта памяти или как времена инкубации, распределенные согласно распределению Леви [109]. Обычно предполагается, что эти времена инкубации tinc распределены асимптотически при t;mc — оо как t n a. Для того, чтобы обеспечить неотрицательность среднего времени инкубации, необходимо положить 0 а 1. (4.5) В дальнейшем будем считать условия (4.3) и (4.5) выполненными.

Довольно часто аномальный скейлинг рассматривается в публикациях в рамках теоретико-полевого подхода в частотном (энергетическом) представлении с соответствующей переменной ш. Это приводит к появлению в пропага-торах членов типа {iuS)a [109]. В случае, когда порядок производной по времени а = p/q - рациональная дробь, пропагатор становится q - значной функцией частоты. Через условие стабильности динамической задачи [57] мы можем отбросить ветви, дающие полюса в верхней полуплоскости по ш. Однако, для оставшихся [q/2] ветвей нет физически обоснованного правила отбора при q 2. На наш взгляд, более корректным является рассмотрение пропагато-ров во временном представлении, которое имеет прозрачный физический смысл неренормированных корреляционных функций, убывающих со временем. Временные пропагаторы находят применением к исходным уравнениям преобразования Лапласа с последующим восстановлением оригинала. Такая процедура, как указано в [109], очень сложна для дробной производной Римана-Лиувилля. Поэтому мы используем более удобную производную Капуто [69]. Мы выбрали временную производную порядка а в представлении Капуто D" с нижним индексом а, который обычно выбирается из условия обнуления первообразной [69]. Мы имеем при а 1: