Содержание к диссертации
Введение
1. Очистка магических состояний 8
1.1. Симплектические коды . 8
1.2. Вычислительная модель и формулировка задачи 10
1.3. Вычисления в группе Клиффорда 12
1.4. Универсальные вычисления с магическими состояниями . 16
1.5. Очистка магических состояний 18
2. Топологические квантовые коды 26
2.1. Торический код 26
2.2. Коды на решетке с границей 28
2.3. Исправление ошибок в торическом коде 32
2.4. Оптимальное кодирующее преобразование 34
3. Квантовые вычисления с фермионами 41
3.1. Локальные фермионные моды 42
3.2. Универсальный базис 43
3.3. Моделирование фермионов на квантовом компьютере . 47
3.4. Вычисления с майорановскими фермионами 52
3.5. Моделирование фермионов на графе 57
4. Энтропия запутанности многочастичных состояний 62
4.1. Запутанность в двухчастичной системе . . 62
4.2. Многочастичный аналог энтропии запутанности 64
4.3. Детерминантные состояния
4.4. Шестикубитное состояние 70
5. Совместимость многочастичных и локальных состояний 76
5.1. Постановка задачи и основные результаты 76
5.2. Совместимость с чистыми состояниями для кубитов . 80
5.3. Классическая задача о совместимости . 82
5.4. Точное решение для двух кубитов 85
Заключение 90
Публикации 91
Список литературы 92
- Вычисления в группе Клиффорда
- Исправление ошибок в торическом коде
- Моделирование фермионов на квантовом компьютере
- Детерминантные состояния
Вычисления в группе Клиффорда
В данном разделе мы охарактеризуем преобразования (супероператоры), которые можно реализовать только с помощью операций из Oideai выполняемых под управлением классического вероятностного компьютера. Важ ным примером такого преобразования является измерение собственного значения проверочного оператора из группы Паули. Описание вычислений в группе Клиффорда на языке таких измерений было предложено в работе [26]. Мы введем новый обьект — динамически определяемый сим-плектический код и покажем, что преобразование общего вида сводится к измерению собственных значений проверочных операторов динамически определяемого симплектического кода. На протяжении этого раздела вспомогательное состояние р использовать не разрешается. Пусть в начальный момент система состояла из некоторого числа кубит п и описывалась состоянием pin. Эволюция системы состоит из дискрет ных шагов, на каждом из которых мы можем применить одну из операций О ideal, см. раздел 1.2. На любом шаге і состояние всей системы (классиче ский вероятностный компьютер+кубиты) можно описать парой (оіі,раі), где ОІІ представляет собой классическую переменную, хранящую журнал вычисления доведенный до шага г, т.е. значения всех случайных перемен ных и результаты всех измерений известные на шаге г. Матрица плотно сти раі описывает состояние кубитов (число которых может зависеть от ОІІ) при заданном состоянии журнала. Она предполагается нормированной, т.е. tr(pai) = 1. Операция которую надо применить на шаге і + l является некоторой (вероятностной) функцией от а;. В результате выполнения всех шагов мы реализуем некоторое преобразование Т. Оно переводит началь ное состояние ріп в вероятностный ансамбль состояний: Т : pin- (ра,ра), (1.12) где а — состояние журнала в конце вычисления, {ра}а — распределение вероятностей различных состояний журнала, а ра —- нормированная матрица плотности конечного набора кубитов при условии, что состояние журнала а.
Для упрощения мы предположим, что конечное число кубитов не зависит от а, а все вспомогательные кубиты 0) вводятся в самом начале. Обозначим п полное число кубитов в начальном состоянии (кубиты состояния pin и вспомогательные кубиты). Тогда эволюция системы описывается последовательностью унитарных операторов из С1(п) и неразрушающих измерений некоторых кубитов в вычислительном базисе (которые эквивалентны неразрушающим измерениям собственных значений операторов az на каких-то кубитах). Если использовать гайзенбёрговское представление, такие измерения переходят в измерения собственных значений каких-то эрмитовых операторов из группы Паули Gn, см. раздел 1.1.
Важное наблюдение состоит в том, что для любого состояния журнала а семейство операторов Si,..., SK можно считать попарно коммутирующим, SiSj = SjSi. Более строго, если преобразование Т реализуется последовательностью Т (Т) операций из Oideai (с классическим вероятностным управлением), то Т (Т) можно легко преобразовать к другой последовательности V(T) реализующей тоже самое преобразование Т и генерирующей только попарно коммутирующие семейства операторов Si,..., SK. Действительно, допустим, что мы уже измерили собственные значения нескольких попарно коммутирующих операторов Si,...,Si Є Gn, получив при этом результаты Ai,..., А/. Тогда редуцированное состояние р (текущее состояние системы) удовлетворяет равенствам
Оно означает, что измерение собственного значения S можно заменить на следующую последовательность операций: (і) сгенерировать случайную переменную Л є {+1,-1} с равномерным распределением; (іі) Применить оператор V\ Є С1(п). Применяя подобную редукцию ко всем возможным состояниям журнала а мы получим искомую последовательность операций Т {Т). (Очевидно, что эта редукция однородна по состояниям журнала: она эквивалентна простому изменению алгоритма, которым пользуется классический компьютер при управлении.) Отметим также, что если очередной оператор S принадлежит подгруппе (Si,...,S{) С Gn порожденной операторами измеренными ранее, то результат измерения собственного значения S можно предсказать заранее, и такое измерение можно опустить. Итак мы доказали, что при данном состоянии журнала а преобразо вание ріп — ра эквивалентно проекции ріп на информационное подпро странство симплектического кода Са, проверочными операторами которо го являются Sf. Са = {Щ Є (С2)" : Si\f/ ) = \t\rp), І = 1,...,К}. После проецирования дополнительно примененяется некоторый унитарный оператор U(а) Є С1{п). Подчеркнем, что описание кода Са не известно заранее. Оно возникает динамически, так что очередной проверочный оператор Si является некоторой (вероятностной) функцией от собственных значений Ах,..., Aj_i измеренных перед ним. Мы будем называть совокупность этих функций динамически определяемым симплектическим кодом. 15 Если в нашем распоряжении нет никакого дополнительного устройства позволяющего производить измерения над конечным состоянием ра, то результатом преобразования Т фактически является только случайная переменная а с распределением вероятностей ра. В этом случае применение результирующего оператора U(a) бессмысленно и его можно опустить. Таким образом, мы доказали, что произвольное преобразование реализуемое операциями из Oideai с классическим вероятностным управлением эквивалентно измерению собственных значений проверочных операторов некоторого динамически определяемого симплектического кода.
Исправление ошибок в торическом коде
Замечательное свойство торических кодов состоит в том, что их проверочные операторы локальны — каждый оператор действует только на четыре кубита, а каждый кубит входит только в четыре проверочных оператора. Это означает, что в торическом коде преобразование измеряющее синдром ошибки Tsyn можно реализовать схемой фиксированной глубины D, не зависящей от размера кода п. Действительно, с каждым плакетом рис каждой вершиной s можно связать один вспомогательный кубит, в который мы поместим собственное значение оператора Вр или As. Вспомогательные кубиты инициализируются состоянием 0). Раскрасим все плакеты в шахматном порядке. Первые 4 слоя преобразования %уп измеряют собственные значения операторов Вр на черных плакетах (на каждом плакете р необходимо последовательно применить оператор CNOT к паре куби-тов (ребро j Є д(р), вспомогательный кубит р), а следующие четыре слоя — на белых плакетах. Чтобы измерить собственные значения операторов As, необходимо сначала подействовать на каждый кубит j Є L оператором Адамара Н, для каждой вершины s последовательно применить оператор CNOT к паре кубитов (ребро j Є d (s), вспомогательный кубит s), и, в завершении, компенсировать на каждом ребре j Є L примененный оператор Адамара. Эти операции также реализуются схемой из восьми слоев. На последнем шаге производится измерение вспомогательных кубитов для всех s и р. Таким образом измеряющее синдром преобразование Тауп реализуется схемой глубины D — 17. Это свойство позволяет использовать торические коды для построения квантовых схем устойчивых к ошибкам. Действительно, если при выполнении преобразования Tsyn произойдет одна ошибка, она сможет испортить не более 2D кубит, независимо от размера кода п.
В заключении этого раздела мы рассмотрим торические коды с точки зрения возможной экспериментальной реализации двухмерных квантовых систем с топологическим порядком и обсудим механизм топологической защищенности состояний от локальных ошибок. Сопоставим торическому коду гамильтониан где суммирование выполняется по всем вершинам и плакетам решетки. Гамильтониан Но точно решаем, поскольку все его слагаемые попарно коммутируют. Основное состояние HQ четырехкратно вырождено и совпадает с информационным подпространством торического кода , в то время как возбужденные состояния соответствуют нарушению фиксированного числа проверочных условий в торическом коде. Оказывается, что гамильтониан Н0 хорошо описывает низкоэнергетический сектор для топологи-чекого сверхпроводника — двумерной системы (правда, пока лишь гипотетической) сверхпроводящих островков соединенных джозефсоновскими контактами и помещенных во внешнее магнитное поле, см. [18]. В реальной ситуации на систему также могут действовать локальные возмущения, поэтому полный гамильтониан имеет вид где.слагаемое Vs действует на решетку только в окрестности вершины s, диаметр которой ограничен некоторой константой R. Если возмущение достаточно слабое, имеет смысл задача о нахождении расщепления основного состояния Но и амплитуды туннелирования между состояниями из С имеющими различные топологические числа. Для ее решения необходимо рассматривать гриновский оператор Ge//(e) описывющий эффективную динамику на информационном подпространсве: где G(e) = (є — H) l — гриновский оператор точного гамильтониана (2.5), а Не — проектор на информационное подпространство. Используя стандартную теорию возмущений, мы можем записать Ge//(e) = Y m=o ejf(e)- где a Go (є) = (є — H0) l — гриновский оператор невозмущенной задачи (2.4). Для вычисления (2.7) удобно представить V в виде V = Q Va, где операторы Va принадлежат группе Паули (см. раздел 1.1), а их степень локальности определяется тем же параметром R, что и степень локальности V3. Теперь мы можем переписать (2.7) в виде i,...,Qm Учитывая, что Va переводят собственные состояния Но в собственные состояния Яо, мы получаем в (2.8) сумму операторов пропорциональных Пс14ь...,атПс, где Уа1 ...)вт = VaiVa2 Vam. Такой оператор отличен от нуля, только если Vaij_tam коммутирует со всеми проверочными операторами торического кода. Но если мы рассматриваем достаточно низкий порядок теории возмущений, т n/R, оператор T4i,...,am не может содержать гомологически нетривиальных циклов и значит TlcVaij... amJIc Щ. Таким образом при т n/R все поправки к гриновскому оператору пропорциональны проектору на информационное подпространство:
Это значит, что расщепление уровней и амплитуда тунелирования имеют порядок У"/Й, где \V\ — характерная величина взаимодействия. Если вид возмущения V фиксирован, эта величина убывает экспоненциально при увеличении размера системы п. Другими словами, вероятность ошибки в единицу времени при хранении квантовой информации в С экспоненциально мала по п.
Хотя данные рассуждения проводились при нулевой температуре, их можно легко обобщить на случай конечной температуры (малой по сравнению с щелью в спектре гамильтониана Яо). Если тепловые флуктуации достаточно сильны, возможно рождение локализованной пары возбуждений, которые затем могут распространяться по решетке. Процесс распространения возбуждения описывается при помощи гриновских операторов формулами (2.б),(2.7),(2.8), если проектор на основное состояние Не заменить проектором на подпространство с данной конфигурацией возбуждений. Нетривиальные поправки к гриновскому оператору соответствуют процессам, в которых возбуждение обходит тор по гомологически нетривиальному контуру, и имеют порядок V ra/-R.
Моделирование фермионов на квантовом компьютере
В предыдущем разделе мы отождествили фоковское пространство т локальных фермионных мод Н и пространство состояний т кубитов (С2)т при помощи стандартного преобразования Иордана-Вигнера (3.3). Это позволило нам рассматривать фермионные операции X{j, к} Є С? С L(7i) как операторы действующие на пространстве (С2)т. Мы увидели, что 2-локальные фермионные операции в худшем случае могут действовать на все т кубитов. Это показывает, что преобразование Иордана-Вигнера является не очень удачным с точки зрения моделирования. Например, если гамильтониан фермионной системы является суммой 2-частичных ферми-онных взаимодействий, оператор эволюции представим как произведение 2-локальных фермионных операций (формула Троттера). В худшем случае моделирование одной такой операции потребует порядка т кубитных операций. Отметим, что моделирование с замедлением 0(т) заведомо возможно, см. [34].
Чтобы ввести на фоковском пространстве структуру тензорного произведения, можно использовать произвольное унитарное вложение (J называется унитарным вложением если Р J — единичный оператор на Н.) Мы будем говорить, что оператор U Є L((C2)m ) моделирует оператор U Є Q если диаграмма
Преобразование J используемое при моделировании будет называться кодировкой. В этом разделе мы опишем кодировку, для которой любой 2-локальный фермионный оператор U Є Q можно промоделировать O(logm)-локальным кубитным оператором U . При этом для U можно будет построить квантовую схему размера О (log га) которая использует 0(1) дополнительных кубитов.
В начале мы опишем удобный универсальный способ моделирования локальных фермионных операторов. Предположим, нам требуется применить 2-локальный элемент U к ЛФМ с номерами j ж k (j к). Для этого можно ввести две дополнительные ЛФМ с номерами —2 и —1 и числами заполнения 0, переставить ЛФМ -2 с ЛФМ ; , переставить ЛФМ -1 с ЛФМ к, применить оператор U{—2, —1} = U[—2, —1] и произвести обратные перестановки (порядок перестановок не существенней, поскольку соответствующие операторы коммутируют, см. (3.4)). Подобные перестановки удобно описывать при помощи специальной операции которая будет называться извлечение ЛФМ из памяти и обозначаться { =j}, где j — номер извлека емой ЛФМ. Мы определим ее следующим образом:
(3.20) Очевидно, что { =j} является унитарным вложением пространства Н в пространство С2 8 Ті. Извлечение ЛФМ из памяти позволяет ввести на Н структуру частичного тензорного произведения, так что одна из ЛФМ фактически превращается в кубит. Можно легко проверить, что применение U{j, к} до извлечения j а к эквивалентно применению U[—2, — 1] после извлечения:
Отметим, что если J — преобразование Йордана-Вигнера (3.3), то {$=j} включает в себя умножение на фазовый множитель (—1)Т1 в=т1а и поэтому является сильно нелокальным оператором. Решим ли мы задачу, если будем хранить в кубитах частичные суммы вида у = Y s=Qnj При этом умножение на фазовый множитель (—\)ПІУІ в (3.20) становится локальной операцией, однако при изменении щ нам придется изменять все частичные суммы У]+1,..., ут, в которые входит rij. Таким образом { =j} также будет сильно нелокальной операцией. Оказывается, что существует "компромис-ная" кодировка, при которой в кубитах хранятся определенные частичные суммы 2s=ans, а операции умножения на фазовый множитель (—1)пз П и обнуления rij являются 0(] т)-локальными. Эта кодировка имеет следующий вид:
Здесь j - к означает, что j к, но j ф к. Отметим, что если j - к, то j к. Теперь мы можем определить искомую кодировку (3.23) для произвольного т:
Существенно, что каждая переменная ns входит максимум в logm переменных x j, поэтому изменение ns требует О (logm) локальных кубитных операций. Чтобы извлекать ЛФМ из памяти, нам нужно уметь выражать ns через Xj. Нетрудно проверить, что де множество K(j) содержит все s - j из которых можно попасть в j ровно за один шаг вверх по иерархии (3.24). Более формальное определение
K(j) состоит в том, что ат-г ... а0 К(/Зт-х ... $ ) если для некоторого 1о Є [0, т — 1] выполнены следующие условия: (і) для всех / /0 У,\ = /Зі; (ii) alo = 0, pk = 1; (iii) для всех I l0 щ = Pi = 1.
Существенно, что сумма в формуле (3.26) содержит максимум logm слагаемых, поэтому получение значения ns требует О (logm) локальных кубит-ных операций. Для извлечения ЛФМ из памяти нам также нужно уметь выражать у = Ss=ons чеРез переменные xs. Эта сумма разбивается на О (logm) частичных сумм вида xs:
Нам осталось построить квантовую схему представляющую оператор { j} , см. (3.22), моделирующий операцию извлечения ЛФМ из памяти в кодировке (3.25). Поскольку { =j} увеличивает число кубитов на единицу, нам будет удобно заранее добавить этот кубит и инициализировать его сото-яниём 0). Этому кубиту будет присвоен номер —1. На первом шаге мы копируем в него число заполнения rij применяя последовательность операторов A(ax)[s, — 1], s Є K(j) U {j} (см формулу. (3.26)). На втором шаге мы должны занулить rij. Для этого применяется последовательность операторов А(ах)[—1, к], к У j (см. формулу. (3.25)). Последний шаг — умножение состояния на фазовый множитель (—1)J%. Для этого применяется последовательность операторов Л( тг)[—1, s], s Є L(j) (см. формулу (3.27)). Обьединяя все три шага мы получаем квантовую схему
Из сказанного выше следует, что схема (3.28) имеет размер О (logm).
Отметим, что моделирование кубитных квантовых вычислений с помощью фермионных вычислений гораздо проще. Например, можно закодировать каждый кубит двумя фермионными модами, так что 0) кодируется состоянием 0,0), а 1) — состоянием 1,1). Операторы UQ и а,\ при этом будут появляться только в паре (например а$а\), поэтому любая локальная кубитная операция является также и локальной фермионной операцией.
Детерминантные состояния
Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:
1. Предложен новый подход к построению устойчивых квантовых схем основанный на очистке "магических" состояний. Для описанного в диссертации метода очистки найдена пороговая точность.
2. Построено семейство квантовых кодов с локальными проверочными операторами обобщающее торические коды Китаєва на случай планарных решеток с границей. Показано, что логические операторы этих кодов описываются при помощи относительных гомологических классов и найдено их кодовое расстояние.
3. Исследован вопрос о взаимном моделировании фермионных и кубит-ных реализаций квантового компьютера. Построен универсальный базис локальных по фермионам унитарных операторов. Показано, что при моделировании системы п фермионных мод на квантовом компьютере любой локальный фермионный оператор можно реализовать схемой размера О (log (га)). Предложено описание квантовых кодов Шора на языке майро-новских фермионов.
4. Рассмотрено обобщение энтропии запутанности на случай многочастичных чистых состояний. Построено семейство состояний для которого обобщенная энтропия запутанности оказывается близкой к своей верхней оценке — энтропии однородного распределения.
5. Исследован вопрос о совместимости между многочастичными чистыми состояниями и наборами редуцированных одночастичных матриц плотности. Точное решение получено для систем (С2)" иС2 С2 8 С4. Найдена связь с задачей о совместимости распределений вероятности и с задачей о совместимости коприсоединенных орбит группы Ли и ее подгруппы.
Полученные результаты могут быть полезны при проектировании двухмерных квантовых систем с топологическим порядком, при исследовании возможности использования фермионных мод для хранения и обработки квантовой информации, при конструировании квантовых схем устойчивых к ошибкам, при изучении свойств запутанных многочастичных состояний.