Содержание к диссертации
Перечень сокращений 8
Введение 9
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ КОНТУРОВ ПЛОСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
1.1. Математическое описание непрерывных и цифровых изображений 36
1.2. Дискретная модель контуров плоских изображений 40
1.2.1. Кодирование контуров бинарных изображений 40
1.2.2. Пространства контуров плоских изображений 45
1.2.2.1. Линейное комплексное пространство С (45).
1.2.2.2. Унитарное пространство С контуров плоских изображений (47).
1.2.2.3. Метрическое комплексное пространство С (48).
1.2.2.4. Изоморфизм комплексных линейных пространств контуров (48).
1.2.2.5. Автоморфизмы представлений контуров в линейном комплексном пространстве С (49).
1.3. Линейные преобразования пространства контуров плоских изображений 51
1.3.1. Основные виды линейных преобразований контуров на плоскости 51
1.3.2. Матричные представления линейных преобразований пространства контуров плоских изображений
1.3.3. Группы линейных преобразований контуров плоских изображений 51
1.3.3.1. Группы преобразований (57).
1.3.3.2. Представления групп преобразований (59).
1.3.3.3 Базисные функции неприводимых представлений ортогональной группы 0(2) для спектрального анализа комплекснозначных контуров (62).
1.4. Статистические модели контуров плоских изображений 63
1.5. Спектральные и корреляционные свойства контуров плоских изображений 66
1.5.1. Спектральный анализ контуров плоских изображений 66
1.5.2. Корреляционный анализ контуров плоских изображений 70
1.5.3. Специальные виды контуров 74
1.6. Линейная фильтрация контуров плоских изображений 79
1.6.1. Импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи контурного линейного фильтра
1.6.2. Контурная согласованная фильтрация 80
1.6.3. Фильтрация широкополосного шумового контура 81
1.6.4. Согласованная фильтрация зашумленного контура 84
1.6.5. Функции правдоподобия зашумленного и шумового контуров 85
1.7. Основные операции над зашумленными контурными сигналами 87
1.7.1. Оценки параметров линейных преобразований зашумленных контуров плоских изображений
1.7.2. Обнаружение зашумленных контуров плоских изображений 89
1.7.3. Распознавание зашумленных контуров плоских изображений 90
1.8. Формулировка задач диссертационного исследования 92
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
2.1. Кодирование контуров пространственных изображений 95
2.2. Пространство контуров 3D изображений 97
2.2.1. Линейное кватернионное пространство И 97
2.2.2. Евклидовое кватернионное пространство Н контуров ЗБ-изображений 100
2.2.3. Метрическое кватернионное пространство Н контуров ЗБ-изображений 102
2.2.4. Свойства кватернионных пространств контуров 102
2.3. Линейные преобразования пространства контуров ЗБ-изображений 104
2.3.1. Вращение 104
2.3.2. Смещение, сдвиг начальной точки, масштабирование 111
2.3.3. Симметрия 112
2.4. Группы линейных преобразований контуров ЗБ-изображений 113
2.4.1. Разновидности групп линейных преобразований контуров ЗБ-изображений 113
2.4.2. Неприводимые разложения подгрупп группы линейных преобразований GL(3) контуров ЗБ-изображений
2.5. Спектральный и корреляционный анализ кватернионных контуров ЗБ-изображений
2.6. Статистические модели кватернионных контуров ЗБ-изображений 120
2.6.1. Статистические характеристики шумового кватернионного контура 120
2.6.2. Статистические характеристики зашумленного кватернионного контура 122
2.7. Выводы 125
3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА N -МЕРНЫХ КОНТУРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ВЕКТОРАМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ d
3.1. Гиперкомлексные N -мерные пространства контуров изображений 128
3.1.1. Алгебра контуров плоских изображений d = 2 128
3.1.2. Процедуры удвоения размерности элементарного вектора 129
3.1.3. Алгебра контуров пространственных изображений d = 4 132
3.1.4. Алгебра контуров пространственно-временных изображений d = 8 133
3.1.5. Алгебра контуров над кольцом октав d = 8
3.2. Сравнительный анализ пространств октавных и бикватернионных контуров изо бражений
3.2.1. Октавные пространства контуров изображений
3.2.1.1. Линейное октавное пространство и контуров изображений (137)
3.2.1.2. Евклидово октавное пространство и контуров изображений (138)
3.2.1.3. Метрическое октавное пространство и контуров изображений (140)
3.2.2. Бикватернионные пространства контуров изображений
3.2.2.1. Бикватернионное пространство О контуров изображений (140)
3.2.2.2. Евклидово бикватернионное пространство О контуров изображений (143)
3.2.2.3. Метрическое бикватернионное пространство О контуров изображений (144)
3.2.3. Свойства пространственно-временных преобразований контуров 144
3.3. Линейные преобразования пространства контуров в случае размерности d 148
3.4. Группы линейных преобразований в случае d -мерного элементарного вектора 149
3.5. Статистические модели контуров с d -мерными элементарными векторами 152
3.5.1. Статистические характеристики шумового контура в случае d -ЭВ 152
3.5.2. Статистические характеристики зашумленного кватернионного контура 159
3.6. Выводы 164
4. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОГОМЕРНЫХ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ КОНТУРНЫХ СИГНАЛОВ
4.1. Постановка задачи синтеза фазокодированных сигналов с идеальными корреляционными свойствами
4.2. Математическая модель системы уравнений для решения задачи синтеза фазоко дированных сигналов
4.2.1. Базисные решения системы уравнений 175
4.2.2. Представление остальных решений системы уравнений на основе базисного решения
4.2.3. Группа Галуа возможных подстановок корней системы уравнений 180
4.2.4. Поле корней системы уравнений * 181
4.2.5. Аналитическое представление корней системы уравнений 185
4.2.6. Дополнительные подстановки корней системы уравнений в случае N = к 189
4.2.7. Алгоритм синтеза фазокодированных последовательностей заданной длины 195
4.2.8. Общее количество фазокодированных последовательностей заданной длины 202
4.2.9. Блок-схема алгоритма синтеза фазокодированных последовательностей с нулевыми боковыми лепестками циклической АКФ в случае N &4 203
4.2.10. Особый случай N = 4 206
4.3. Сравнительный анализ разработанного и известных методов синтеза фазокодиро ванных последовательностей с нулевыми боковыми лепестками циклической АКФ
4.4. Выводы 212
5. ОБРАБОТКА И РАСПОЗНАВАНИЕ ПЛОСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГРУППОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМ
5.1. Постановка задачи ориентации летательного аппарата по изображениям светил 216
5.2. Математическая модель кадра звездного неба 221
5.2.1. Математическая модель идеального кадра звездного неба 221
5.2.2. Математическая модель зашумленного кадра звездного неба 223
5.3. Обнаружение звезд в кадре изображения звездного неба заданного диапазона светимости
5.4. Оптимальные формы вторичных созвездий для решения задачи распознавания 229
5.4.1. Понятие формы плоских изображений 229
5.4.2. Требования к форме вторичных созвездий, используемых для ориентации летательных аппаратов
5.4.3. Форма уникального вторичного созвездия 234
5.4:4. Коэффициент монохроматичности формы вторичного созвездия 237
5.5. Характеристики уникальных вторичных созвездий 241
5.5.1. Алгоритм поиска УВС на небесной сфере 241
5.5.2. Результаты поиска квазиоптимальных ориентиров в виде УВС на небесной сфере
5.6. Оптимальные формы вторичных созвездий для идентификации звезд в их составе 247
5.7. Результаты экспериментального исследования по поиску УКВС для идентификации звезд в составе УВС
5.7.1. Алгоритм поиска УКВС третьего порядка , 253
5.7.2. Алгоритм поиска УКВС четвертого порядка 260
5.8. Характеристики распознавания и идентификации звезд в составе УВС при воздей ствии координатного шума, шумов дискретизации, пропадании полезных и появлении ложных отметок в кадре изображения
5.8.1. Алгоритм исследования характеристик правильного распознавания при воз действии координатного шума
5.8.2. Результаты экспериментальных исследований влияния координатного шума на характеристики правильного распознавания УВС
5.8.3. Характеристики правильной идентификации звезд в составе УВС при воздействии координатного шума
5.8.3.1. Методика проведения эксперимента и результаты исследования характеристик правильной идентификации (271).
5.8.3.2. Выводы по результатам исследования влияния флуктуационных координатных шумов на характеристики правильной идентификации звезд в составе уникальных вторичных созвездий (275).
5.8.4. Характеристики распознавания УВС при шумах дискретизации в матрице ПЗС
5.8.4.1. Алгоритм построения характеристик распознавания УВС при влиянии шумов дискретизации (276).
5.8.4.2. Результаты экспериментальных исследований влияния шумов характеристики правильного распознавания УВС (278).
5.8.4.3. Выводы по результатам исследования влияния шумов дискретизации на вероятность правильного распознавания УВС (284).
5.9. Обсуждение полученных результатов 284
6. ОБРАБОТКА И РАСПОЗНАВАНИЕ ПЛОСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГРУППОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ПУЧКАМ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ВЕКТОРОВ
6.1. Математическая модель заданных на плоскости пучков 287
6.2. Спектральный анализ изображений пучков 289 '
Р- 6.2.1. Связь между спектрами пучка и его контура 289
6.2.2. Элементарные пучки 290
6.2.3. Разложение произвольного пучка на элементарные пучки 293
6.3. Влияние преобразований пучка на вид его спектра 293
6.4. Согласованная фильтрация пучков 297
6.5. Специальные операции обработки пучков 299
6.5.1. Особенности пучка как зашумленного сигнала 299
6.5.2. Проблема нумерации радиус-векторов зашумленного пучка 302
6.5.3. Коэффициент устойчивости аналитического описания пучка при естествен «^' ном порядке следования радиус-векторов
6.6. Базовые операции обработки зашумленных пучков 307
6.6.1. Оценки параметров линейных преобразований 308
6.6.2. Обнаружение зашумленных пучков 314
6.6.3. Распознавание зашумленных пучков 318
6.7. Задача нумерации (упорядочения) точек ГрТО 321
6.8. Обработка изображений пучков для систем ориентации 325
6.9. Обсуждение полученных результатов 331
7. ОБРАБОТКА И РАСПОЗНАВАНИЕ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ 333 ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ПУЧКАМ КВАТЕРНИОННЫХ ВЕКТОРОВ
7.1. Постановка задачи определения параметров вращения пучка непронумерованных кватернионов
7.2. Методика определения параметров вращения пучка непронумерованных кватер нионов
7.3. Пример нахождения параметров вращения пучка непронумерованных кватернионов
7.4. Применение теории многомерного гиперкомплексного анализа к описанию динамики вращений элементарного вектора - вектора Блоха в трехмерном пространстве
7.4.1. Постановка задачи описания динамики вращений трехмерного вектора Блоха при анализе взаимодействия двухуровневой квантовой системы с внешним возбуждением с использованием алгебры кватернионов
7.4.2. Сравнительный анализ метрических свойств 4-мерного действительногомерного комплексного и 1-мерного кватернионного пространств
7.4.3. Динамические переменные для вектора Блоха в кватернионной модели 349
7.4.4. Дифференциальные уравнения динамики вращений вектора Блоха в кватернионной модели
7.4.5. Решение дифференциальных уравнений динамики вращений вектора Блоха в кватернионной модели
7.5 Обсуждение результатов 356
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 358
ЛИТЕРАТУРА 361
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных средств обмена информацией между людьми и вычислительными машинами являются сигналы и изображения. В связи с этим актуальными являются вопросы регистрации, хранения, передачи, автоматической обработки и понимания визуальной информации. Особый интерес представляют цифровые сигналы и изображения, получаемые из естественных непрерывных сигналов и изображений.
Само по себе понятие изображения представляет собой сложный объект в силу ряда специфических информационных характеристик: информационной емкости, компактности, наглядности, внутренней структуры, отражающей логические и физические взаимосвязи окружающего мира, контекстной информации, статистических свойств и т.д. Такая сложность объекта исследования -изображения приводит к тому, что на сегодняшний день не существует единой точки зрения на теорию обработки и понимания изображений. Поэтому не имеется окончательной формулировки даже такого важнейшего и первоначального понятия теории, как алгебра изображений [1-5].
Указанные факторы приводят к тому, что на современном этапе для анализа изображений применяется огромное количество самых разнообразных по своей природе подходов, среди которых не последнее место занимают эвристики ческие и слабо проверенные методы, что отмечено авторами работ [6-7]. В этой связи представляют интерес подходы, базирующиеся на строгих теоретических положениях, например, использующие аппарат теории сигналов, но применяющие упрощенные модели изображений объектов, не связанные со значительной потерей информации. Один из таких подходов заключается в отказе от обработки каждой точки изображения и переходе к обработке его контуров.
Контуры являются областями с высокой концентрацией информации, слабо зависящей от цвета и яркости. Они устойчивы к смене типа датчика, форми- Щ рующего изображения, к частотному диапазону, в котором он используется, не зависят от времени суток и года. Другие характеристики изображения при этом значительно варьируются. Контур целиком определяет форму изображения и содержит всю необходимую информацию для распознавания изображений по их формам. Такой подход позволяет не рассматривать внутренние точки плоского изображения и тем самым значительно сократить объем обрабатываемой информации за счет перехода от анализа функции двух переменных к функции одной переменной. Следствием этого является возможность обеспечения работы системы обработки в масштабе времени близком к реальному. Но даже в тех задачах, где нельзя пренебречь обработкой внутренних точек, методы контурного анализа дополняют другие и поэтому, безусловно, являются полезными. Методы контурного анализа в большей степени, чем растровые методы, дают возможность использовать модели, инвариантные к случайным переносам, поворотам и изменениям масштабов изображений. Контурный анализ значительно расширяет кругозор специалиста, позволяя с единых позиций подходить к обработке как акустических, радиотехнических и оптических сигналов, так и радиолокационных, телевизионных, оптических и других видов изображений.
Важная роль анализа контуров подчеркивается в целом ряде оригинальных и обобщающих работ по распознаванию и обработке зрительных образов [8-47].
В этом плане оригинальными являются монографии [48-49] авторского коллектива под руководством проф. Фурмана Я.А., полностью посвященные вопросам контурного анализа и его применений к обработке сигналов и изображений. Монографии [48-49] подготовлены по результатам работ [24-25, 50-145]. Отметим, что работы [50-145] были опубликованы за период с 1979 по 2004 и приведены в хронологическом порядке. В теорию контурного анализа и его применений к обработке сигналов и изображений заметный вклад внесли и работы автора настоящей диссертации [48-49, 67-69, 77-78, 85, 87-92, 97-100, 106-116, 118, 120-128, 135-140,145].
При использовании контурных признаков для анализа и распознавания изображений на первом этапе требуется решить задачу выделения контуров изображений. Решение разбивается на следующие шаги: 1) обнаружение перепадов яркости на монохроматическом изображении (или перепадов координат цвета отдельно в каждом канале цветного изображения) и выделение граничных точек объектов изображения; 2) устранение разрывов граничных точек изображения; 3) прослеживание и аналитическое описание кода контуров изображений, полученных аппроксимацией обнаруженных граничных точек.
При решении задачи обнаружения граничных точек предварительно требуется применить линейные или нелинейные методы предварительного подчеркивания перепадов яркости [8,11,13,146]. Среди линейных методов повышения контраста перепадов широко применяются градиентные методы с использованием операторов Превитта [147], Щарра [146], Собеля [146], Робертса [146], учитывающие ориентацию границы. К другим линейным методам относятся методы частотной фильтрации, инвариантные к ориентации перепадов, например, операторы Гаусса с импульсной характеристикой, определяющей весовые функции гауссовой формы, предложенные Аргайлом [148] и Маклеодом [150,151], операторы Лапласа [146], фильтры верхних и нижних частот [146], Sharpen-фильтры [146]. Из нелинейных дифференциальных фильтров широкое распространение получили фильтры первого, второго и третьего порядков Робертса [31], Собела [23], Кирша [152], Лапласа [146], Щарра [146] и Blur-фильтры [146]. Уоллис [8] предложил использовать нелинейный метод повышения контрастности перепадов, основанный на гомоморфной обработке изображения. Розенфельдом были разработаны нелинейные методы повышения контраста и выделения перепадов, основанные на вычислении произведения некоторых средних разного порядка [153,154]. Перечисленные методы не учитывали функцию яркости (цвета) изображения в местах выделения перепадов. Хюккель [31] разработал процедуру аппроксимации двумерного перепада. В результате чего оператор Хюккеля дает достаточно хорошие характеристики даже на зашумленных изображениях.
После подчеркивания перепадов яркости (цвета) выполняется пороговая обработка и выносится решение об обнаружении (не обнаружении) граничных точек объектов изображения. Для вычисления пороговых значений обнаружителей используются собственные значения и (или) собственные векторы неко торых матриц, полученных по значениям профильтрованных изображений [146]. Кроме однопорогового обнаружителя границ, часто используется двух-пороговый обнаружитель границ - Саппу-детектор [155].
Тем не менее, как подчеркивалось в обзорной работе американского профессора А. Розенфельда «до сих пор нет сколько-нибудь удовлетворительной модели краев областей цифровых изображений, хотя она бы была очень полезна при построении оптимальных операторов обнаружения границ». Поэтому все рассмотренные выше методы подчеркивания и обнаружения граничных точек являются сугубо эвристическими. Отсутствие адекватных моделей сигналов и помех для большинства реальных сцен приводит к тому, что в общем случае неизвестны оптимальные решающие процедуры обнаружения граничных точек изображений.
Оптимальный обнаружитель граничных точек в пределах локально однородного участка сцены в общем случае должен содержать фоноподавляющее, согласованное и пороговые звенья [48,49]. В качестве критерия работы такого обнаружителя часто выбирается критерий Неймана-Пирсона [48,49]. В соответствии с ним обнаружитель должен обеспечивать максимум вероятности правильного обнаружения при заданном уровне вероятности ложной тревоги. В работах Хафизова Р.Г. [101,48] рассмотрен метод согласованно-избирательной фильтрации для квазиоптимального выделения контуров изображений с прямо- ,v линейными границами, базирующийся на гипотезе экспоненциально косинусной АКФ фоновых шумов и слабой информативности низкочастотной части спектра изображения. Кроме перечисленных обнаружителей граничных точек используется также г-обнаружитель [48], в соответствии с которым по нескольким первым моментам статистических характеристик в двух соседних локально ограниченных областях выносится решение - проходит ли граница в пределах этих областей или нет.
Вследствие статистических неоднородностей отдельных областей объекту тов и фона изображения объектов становятся многосвязными из-за образующихся полостей и разрывов, при этом сильно искажается линия контура. Раз рушения из-за указанных факторов односвязной структуры цифрового воздействия приводят к тому, что вместо одного контура, описывающего форму исходного изображения, мы получаем набор контуров различной формы в пределах контура одного изображения. Поэтому для улучшения качества обнаружения границ на втором шаге задачи выделения контуров изображений необходимо применять дополнительные меры, связанные с устранением разрывов граничных точек изображений объектов и фильтрацией ложных контурных линий. Среди известных подходов устранения разрывов граничных точек используются: метод релаксации [13], основанный на понятии силы границы и связанным с ним обнаружением и восстановлением разорванной границы в пределах определенной локальной области; метод морфологического анализа изображений с использованием операторов слияния и разделения [13,146], сглаживающих границы объектов без существенных изменений их площадей. При обнаружении граничных точек можно использовать также априорную информацию о форме контурных линий изображений. Большое распространение получило преобразование Хоха для обнаружения границ заданной формы [156]. В работах Фурмана, Егошиной рассмотрены вопросы квантования границ изображений объектов прямолинейной протяженной формы [48,79,93,104].
Завершающим шагом этапа выделения контуров изображений является процедура прослеживания и непосредственного формирования аналитического описания кода контуров. В качестве базового алгоритма прослеживания линии контура, при котором последовательно, без разрывов выделяются контурные точки изображения и формируется код контура, целесообразно использовать алгоритм, предложенный Розенфельдом [9]. Среди других известных алгоритмов прослеживания можно выделить алгоритм «жука» [23], алгоритм поиска в четырех направлениях [13], алгоритмы поиска по круговой [157] и треугольной траекториям [158], алгоритм поиска по графу [13].
При аналитическом описании полученного контура цифрового изображения формируется дискретный сигнал. Для плоских изображений каждый элемент кода контура можно рассматривать как направленный отрезок (элемен тарный вектор (ЭВ)) в некотором линейном двумерном пространстве {d-2, где d - размерность ЭВ). Выбор линейного пространства для представления ЭВ существенно определяет все характеристики результатов, полученных при решении задач второго этапа контурного анализа изображений, таких как: обнаружение, разрешение, распознавание и оценка параметров преобразований.
Один из первых способов кодирования ЭВ был предложен Фрименом в работах [16,43,159], в зависимости от восьми возможных направлений на квадратной сетчатке каждый стандартный элементарный вектор кодируется соответствующим целым числом от 0 до 7. В работе [20] рассмотрено кодирование по трем признакам: длине текущего вектора, направлению поворота при переходе к следующему ЭВ и углу между соседними ЭВ. Кодирование текущего ЭВ может производиться также двумя его проекциями на оси координат с началом отсчета, совмещенным с началом ЭВ. В работах Фурмана Я.А. [25,50] предложено ЭВ контура задавать восемью комплексными числами. Данный код впоследствии получил название комплекснозначного кода контура. Комплексно-значное задание кода контура, т.е. выбор TV-мерного линейного дискретного комплексного пространства для описания контуров плоских изображений (где N - количество ЭВ в составе контура), позволило использовать хорошо разработанные методы обработки непрерывных и дискретных комплекснозначных сигналов в радиотехнических системах [160-199] для решения задач анализа комплекснозначных контуров изображений.
В настоящее время теория контурного анализа, охватывающего вопросы задания, преобразования, извлечения информации из плоских изображений контуров и групповых точечных объектов и представляющая раздел теории комплекснозначных сигналов, достаточно хорошо развита и апробирована в работах Фурмана Я.А., Кревецкого А.В., Передреева А.К., Роженцова А.А., Ха-физова Р.Г., Егошиной И.Л. и автора этой диссертации [24-25, 48-145]. В частности, обоснован выбор комплексного TV -мерного линейного пространства для представления комплекснозначного контура и его линейных преобразований. Введено /V -мерное унитарное пространство для представления операции ска лярного произведения контуров плоских изображений. Показано, что по сравнению с другими пространствами, задающими контуры плоских изображений, N -мерное унитарное пространство является наиболее «информативным» за счет наличия дополнительной мнимой части. Введено Гильбертово пространство для задания метрических свойств комплекснозначных контуров. Проработаны вопросы линейной фильтрации контуров изображений, основанные на использовании импульсной характеристики или частотного коэффициента передачи фильтра. Введены математические модели шумовых контуров с использованием двумерного нормального закона распределения и получены модели за-шумленных контуров. Рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации зашум-ленных контуров с учетом нормального закона распределения шумового контура. Синтезирована структура контурного согласованного фильтра и сопряженно-согласованного фильтров. Получены статистические характеристики шумового и зашумленного контуров на выходе линейного, согласованного и сопряженно-согласованного фильтров. Решены задачи оптимального обнаружения, распознавания, разрешения и оценки параметров зашумленных сигнальных контуров с учетом введенных моделей шумовых контуров.
Однако контурный анализ [48] применим лишь к обработке плоских двумерных изображений. Переход в третье измерение (d = 3) связан не только со значительным ростом количества обрабатываемых пикселов, но, в первую очередь, с отсутствием удобных теоретических подходов к обработке трехмерных форм. Рядом известных в области обработки изображений и сигналов -В.В.Яншиным, И.Н.Синициным, В.М.Черновым, на конференциях РОАИ-2...РОАИ-5 высказывались предположения о возможности создания для обработки пространственно заданных групповых точечных объектов на базе гиперкомплексных чисел непротиворечивой теории обработки 3D - изображений. В этом плане в коллективной монографии [49] с участием автора данной диссертации рассматривается один из возможных подходов к созданию теории кватернионных сигналов, базирующейся на основе контурного анализа. По существу в данной монографии, впервые, систематически рассмотрены вопросы связанные с обработкой N -мерных дискретных кватернионных сигналов. Теория гиперкомплексных систем существует давно [200-230], но ее применение для практических целей крайне ограничено по сравнению с другими математическими конструкциями, например, комплексными числами. Основная сложность создания теории кватернионных сигналов заключается в отсутствии меры схожести таких сигналов, например в виде их скалярного произведения. Наличие такой меры схожести позволяет использовать методы теории сигналов применительно к кватернионным моделям. Скалярное произведение рассматриваемых в качестве векторов сигналов позволяет задать ортогональную систему отсчета, ввести понятие спектра, авто и взаимнокорреляционной функций, синтезировать согласованный фильтр, являющийся базовым звеном в устройствах оптимального обнаружения, распознавания и оценки параметров сигнала. При рассмотрении вопросов, связанных с созданием теории кватернионных сигналов [49], была использована тесная связь кватернионов с комплексными числами, лежащими, в свою очередь, в основе контурного анализа. Были получены i,j,k- комплексные формы кватернионов, позволяющие представить ква-тернионный сигнал в виде пучка "комплексных" векторов. В результате скалярное произведение комплекснозначных векторов обобщено на случай скалярного произведения кватернионных сигналов. В монографии [49] также проработаны вопросы, связанные со спектральным анализом и сопряженно-согласованной фильтрацией кватернионных сигналов с учетом некоммутативности операции умножения кватернионов. Однако, не все вопросы обработки N -мерных контурных сигналов, состоящих из d -мерных ЭВ при d 3, на сегодняшний являются проработанными. Поэтому необходимо сформировать концепцию и предложить конкретную реализацию контурного подхода к распознаванию образов на изображениях больших размерностей. Диссертация посвящена разработке многомерного гиперкомплексного контурного анализа и его использованию в приложениях по обработке изображений и сигналов.
Цель и задачи исследований. Цель диссертационной работы заключается в разработке многомерного гиперкомплексного контурного анализа и его прак ическом применении в приложениях по обработке и распознаванию изображений и сигналов. Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Формулировка и обоснование основных положений теории кватернион-ных контуров пространственных изображений.
2. Формулировка и обоснование основных положений теории гиперкомплексных контуров динамических пространственных изображений.
3. Разработка аналитического регулярного метода синтеза и исследование всех возможных равномерных по модулю фазокодированных комплекснознач-ных контуров с идеальными свойствами циклической АКФ, определяющих оптимальные формы для решения задачи оценки параметров.
4. Формулировка и обоснование основных положений теории оптимальных форм изображений для решения задач распознавания и оценки параметров.
5. Формулировка и обоснование основных положений теории обработки изображений групповых точечных объектов на базе аналитических моделей в виде пучков векторов.
6. Практическая реализация разработанных положений многомерного гиперкомплексного анализа для решения следующих задач:
- обработка и распознавание изображений звездного неба с целью определения параметров ориентации летательных аппаратов на основе оп г, тимальных форм вторичных созвездий;
- обработка и распознавание плоских изображений групповых точечных объектов по сигналам в виде пучков векторов;
- обработка и распознавание изображений трехмерных групповых точечных объектов на основе сферических гармоник;
- применение многомерного гиперкомплексного контурного анализа для описания и решения пространственно-временного уравнения вращения вектора Блоха в трехмерном пространстве в динамике взаимодействия ( двухуровневой квантовой системы с внешним возбуждающим полем.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы распознавания образов, контурного анализа, цифровой обработки сигналов и изображений, теории вероятностей, теории Галуа, теории групп, теории функции комплексного переменного, алгебры гиперкомплексных чисел, методы математической физики, численные методы и методы математического моделирования.
Научная новизна, определяется полученными в диссертации новыми результатами и заключается в следующем:
1. Разработаны основы теории анализа пространственных изображений на базе аналитических моделей в виде кватернионных контуров: введены линейное, евклидовое и метрическое пространства контуров, определены меры схожести кватернионных контуров, получены статистические модели и характеристики шумовых и зашумленных контуров пространственных изображений, рассмотрены вопросы спектрального и корреляционного анализа контуров пространственных изображений, решена задача определения параметров вращения кватернонных контуров.
2. Аналитически регулярным методом решена обобщенная задача синтеза дискретных фазокодированных последовательностей с идеальными корреляционными свойствами при заданной размерности N. Определено общее количество р возможных кодовых последовательностей при заданных начальных условиях, не ограничивающих общности решений. Получен класс дискретных фазокодированных сигналов с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ.
3. Разработаны требования к оптимальным формам плоских изображений ГрТО для решения задач распознавания с позиций критерия минимального расстояния и оценки параметров астроориентиров методом максимального правдоподобия. На небесной сфере найдены оптимальные ориентиры в виде уникальных вторичных созвездий и уникальных композиционных вторичных созвездий для последовательного решения задач распознавания и идентификации звезд в их составе.
4. Развита теория обработки плоских изображений ГрТО по сигналам в виде пучков векторов и проведена ее апробация при распознавании изображений светил с целью определения параметров ориентации летательных аппаратов.
5. Развита теория обработки трехмерных групповых точечных объектов по сигналам в виде пучков векторных кватернионов и проведена ее апробация при решении задачи определения параметров поворота неупорядоченного кватер-нионного пучка с целью определения ориентации ЛА на основе спектрального разложения исходного и повернутого пучков в базисе сферических гармоник.
6. Выполнена апробация методики многомерного гиперкомплексные анализа к решению системы уравнений, описывающих вращение элементарного вектора - вектора Блоха, в пространстве трех измерений.
Практическая значимость работы.
1. Разработанная теория многомерного гиперкомплексного контурного анализа применена для решения задачи распознавания астроориентиров и идентификации звезд в их составе на изображениях звездного неба. Полученные решения могут использоваться в бортовых вычислительных системах с целью определения параметров трехосной ориентации при полной априорной неопределенности положения ЛА. Полученные оптимальные формы изображений ориентиров позволяют реализовать потенциальные возможности системы ориентации ЛА. Разработанный метод идентификации звезд по пучкам векторов обеспечивает вероятность правильной идентификации звезд не хуже 0,95 при допустимом СКО координатных шумов, не превышающем 10 угловых минут. Для сравнения, используемый в настоящее время метод угловых расстояний для определения параметров ориентации обеспечивает ту же вероятность правильной идентификации при допустимом СКО координатных шумов, не превышающем 30 угловых секунд. Разработанный метод определения параметров вращений кватернионного контура, образуемого пространственным групповым точечным объектом, позволяет определить параметры ориентации ЛА по изо бражениям звездного неба без предварительной идентификации наблюдаемых звезд.
2. Решенная обобщенная задача синтеза фазокодированных сигналов с идеальными корреляционными свойствами позволяет получить гораздо большее количество кодовых комбинаций по сравнению с известными при заданной размерности N сигнала. В радиолокации при изменении тонкой структуры излучаемого зондирующего сигнала в каждом новом периоде улучшаются тактико-технические характеристики. При этом большое количество фазокодированных последовательностей с нулевым уровнем циклической АКФ позволяет излучать сигналы меньшей размерности, при этом уменьшаются градации фазы в одном кодовом интервале. При использовании кодового разделения каналов с применением фазокодированных последовательностей резко увеличивается количество адресатов получателей информации, которое определяется общим количеством возможных фазокодированных последовательностей.
3. Применение методов контурного анализа к решению уравнений Блоха, описывающих динамику квантового перехода двухуровневой системы, позволяет представлять отклики эхо-сигналов не комплексными, а кватернионными величинами, что, в свою очередь, может найти применение при обработке информации в оптических эхо-процессорах.
Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в следующих НИР, выполняемых автором в качестве исполнителя по грантам, выделенных МарГТУ и МарГУ:
1. Грант Министерства общего и профессионального образования РФ "Электрофизические особенности фотонного эха в газе", 1996г.
2. Грант РФФИ, проект №96-02-18223а «Поляризационные свойства фотонного эха в газах», 1996-1998гг.
3. Грант РФФИ «Новые оптимальные сигналы для задач разрешения/распознавания», проект №97-01-00906,1997-1998гг.
4. Грант Министерства общего и профессионального образования РФ «Интеллектуальные системы ориентации летательных аппаратов на базе систем об работки изображений ориентиров оптимальной формы, расположенных на подстилающей поверхности или небесной сфере», 1997-1998гг.
5. Государственная программа 011 «Перспективные информационные технологии», грант Миннауки и технологий «Распознавание изображений дорог и других нитевидных объектов в сценах с аэроландшафтами», №0201.05.021, 1998г.
6. Грант РФФИ «Оптимальные сигналы в виде форм точечных изображений. Поиск уникальных звездных образований для ориентации летательных аппаратов», проект 99-01-00186, 1999-2000гг.
7. Грант Минобразования РФ по программе 001 - «Научные исследования высшей школы в области производственных технологий» раздел «Робототех-нические технологии», проект 03.01.06.001, «Робототехническая производственная технология дефектоскопии корпусов интегральных схем на базе контурного анализа их изображений», 2000г.
8. Программа Минобразования РФ «Университеты России - Фундаментальные исследования», проект №015-01.01.68, «Пространственно-временные и поляризационные свойства фотонного эха в постоянном продольном магнитном поле в парах молекулярного йода», 2000-2002гг.
9. Грант РФФИ проект № 00-02-16234, «Деполяризующие столкновения и информативные свойства фотонного эха в парах молекулярного йода в режиме лазерного охлаждения», 2000-2002.
10. Грант РФФИ, проект № 01-01-14029, Издание монографии «Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов», 2001.
П.Грант РФФИ, проект № 01-01-00298, «Новые подходы к решению класса задач обработки изображений и сигналов, связанного с фиксацией максимума взаимнокорреляционной функции и подавлением корреляционных шумов», 2002-2003.
12. Программа Минобразования РФ «Университеты России - Фундаментальные исследования», проект №УР.01.01.048, «Пространственно-временные и поляризационные свойства стимулированного фотонного эха в постоянном продольном магнитном поле в парах молекулярного йода»
13. Грант РФФИ, проект № 03-01-14065д, Издание монографии «Ком-плекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов», 2003.
И.Грант РФФИ, проект №03-02-17276, «Фундаментальные физические проблемы построения квантовых компьютеров на основе гиперкомплексных взаимосвязей характеристик фотонного эха», 2003-2004.
15. Грант РФФИ, проект №04-01-00243, «Определение потенциальной эффективности распознавания образов, задаваемых векторными сигналами», 2004.
Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в следующих НИР, выполняемых автором в качестве руководителя по грантам:
1. Грант Марийского государственного технического университета для молодых ученых «Проблема выбора сигнала для системы ориентации космического аппарата при визировании звезд в условиях априорной неопределенности оптической оси астродатчика», 2001г.
2. Грант РФФИ, проект MAC № 02-02-06123, «Деполяризующие столкновения и информативные свойства фотонного эха в парах молекулярного йода в режиме лазерного охлаждения».
а также внедрены в учебный процесс по специальностям 200700, 201100 и 190600.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на LII, LIV, LV научных сессиях, посвященных Дню Радио (Москва, 1997, 1999, 2000); на 1-ой региональной и И-ой, Ш-ей, IV-ой и VII-ой Всероссийских, молодежных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 1997, 1998, 1999, 2000, 2004); на 1-ой, И-ой и Ш-ей Всероссийских междисциплинарных научных конференциях «Вавиловские чтения» (Йошкар-Ола, 1996, 1997, 1999); на XIII и XV Международных межвузовских школах-семинарах «Методы и средства технической диагностики» (Йошкар-Ола, 1996, 1998); на Всероссийской конференции «Структура и динамика молекулярных систем» (Йошкар-Ола, 1998); на Международных конференциях ("Lasers", 1998, USA, New Mexico; "Lasers", 1999, USA, Albuquerque; "Lasers", 2000, Canada, Quebec); на Международных конференциях «Фотонное эхо и когерентная эхо-спектроскопия» (Йошкар-Ола, 1997; В. Новгород, 2001); на Международных конференциях «Лазерная физика» (Москва, 1996, 2001); на Международных конференциях «Чтения по квантовой оптике» (Казань, 1999; С.-Петербург, 2003); на 1-ой Международной конференции и выставке «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, 1998); на Всероссийской научной конференции «Телекоммуникационно-информационные системы» (Йошкар-Ола, 1998); на 1-ой Всероссийской научно-технической конференции «Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве» (Н. Новгород, 1999); на Ш-ей Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (Чебоксары, 1999); на IV-ой и VI-ой Международных научно-технических конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» (Курск, 1999, 2003); на Ш-ей Международной конференции «Космонавтика, Радиоэлектроника, Геоинформатика» (Рязань, 2000); на V-ой (Самара, 2000), VI-ой (В.Новгород, 2002) Международных конференциях «Распознавание образов и анализ изображений»; на VI Всероссийской с участием стран СНГ конференции «Методы и средства обработки сложной графической информации» (Нижний Новгород, 2001); на Международной научной конференции «Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котел ьникова» (Москва, 2003); на XI Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», (Пущино, 2003); на ежегодных научных конференциям по итогам НИР МарГТУ и научных семинарах кафедры Радиотехнических и медико-биологических систем МарГТУ.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 79 работ из них 2 коллективные монографии, выпущенные издательством «ФИЗМАЛИТ»; статей - в международных изданиях, 16 - в центральных рецензируемых научных журналах, 33 - материалы конференций, 13 - депонированных, 2 - рукописные работы. При участии автора подготовлено 12 отчетов по НИР.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 7 глав, Заключения, содержит 72 рисунков и 24 таблиц. Список литературы включает 341 наименования.
На защиту выносятся.
1. Основы теории многомерного гиперкомплексного анализа контуров изображений:
•линейные, евклидовые и метрические пространства для аналитического описания гиперкомплексных контуров;
• аналитические модели и статистические характеристики шумового и за-шумленного N -мерных гиперкомплексных контуров;
• меры схожести /V-мерных гиперкомплексных контуров в виде модуля нормированных скалярных произведений;
• синтезированный ортонормированный базис для спектрального анализа гиперкомплексных контуров изображений в виде базисных функций неприводимых представлений ортогональной группы;
•решение задач распознавания и оценки параметров ГрТО.
2. Регулярный метод решения обобщенной задачи синтеза дискретных фа- /f зокодированных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ:
• алгоритм синтеза всех возможных сигналов с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ для заданной размерности N;
• количество возможных кодовых последовательностей для заданной размерности N;
• синтезированный алфавит сигналов.
3. Оптимальные формы изображений для решения задач:
«распознавания по критерию минимального расстояния - форма изображе ния оптимального объекта при решении задачи распознавания должна иметь дельтовидный спектр и может быть реализована на основе элементарного контура;
• оценки параметров по методу максимального правдоподобия - форма изображения оптимального объекта при решении задачи оценки параметров должна иметь равномерный спектр и может быть реализована на основе контуров, ассоциированных с дискретными фазокодированными сигналами с нулевым уровнем боковых лепестков.
4. Алгоритмы и результаты поиска оптимальных форм изображений в виде уникальных вторичных и уникальных вторничных композиционных созвездий на небесной сфере.
5.Теория обработки плоских изображений групповых точечных объектов по сигналам в виде пучков комплекснозначных векторов • аналитические модели и статистические характеристики шумового и за-шумленного комплекснозначных пучков;
• спектральный и корреляционный анализ комплекснозначных пучков;
• согласованная фильтрация комплекснозначных пучков;
• специальные операции обработки комплекснозначных пучков;
• решение задач обнаружения, распознавания, оценки параметров и нумерации комплекснозначных пучков векторов.
6. Основы теории обработки изображений пространственных групповых точечных объектов по сигналам в виде пучков векторных кватернионов • аналитические модели и статистические характеристики шумового и за-шумленного кватернионных пучков;
• синтезированный ортонормированный базис для спектрального анализа кватернионных пучков на основе сферических гармоник;
• методика определения параметров вращений непронумерованных пучков кватернионных векторов на основе вычисления характера неприводимых представлений ортогональной группы 0(3).
7. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов •распознавания уникальных вторичных созвездий и идентификации звезд в составе уникальных композиционных вторичных созвездий;
• идентификации звезд при задании группового точечного объекта в машинном кадре в виде пучка векторов.
Содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель, направление исследований и основные научные положения, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.
В первой главе произведен обзор состояния вопроса аналитического представления математических моделей TV -мерных контурных сигналов, вложенных в двумерное линейное пространство (/ = 2), и рассмотрены основные положения контурного анализа комплекснозначных контуров. Приводятся выражения для математических моделей непрерывных и цифровых изображений. Вводится дискретная модель контура плоского изображения Г = { Л/ }0 дг—1 Подробно рассмотрены способы кодирования контуров бинарных изображений. Рассмотрены пространства комплекснозначных контуров плоских изображений: линейное комплексное пространство С ; унитарное комплексное про странство С с введенными операциями скалярного произведения двух комплекснозначных контуров, неравенством Коши-Буняковского и понятием нор мы контура; метрическое комплексное пространство С контуров плоских изображений. Доказано свойство изоморфизма любых двух произвольных N -мерных линейных комплексных пространств контуров плоских изображений. Доказано свойство автоморфизма представлений комплекснозначных контуров в суммарном и разностном коде в линейном комплексном пространстве С . Рассмотрены вопросы линейных преобразований пространства контуров плоских изображений: масштабирование, поворот, сдвиг начальной точки и отражение контура относительно произвольно ориентированной оси на плоскости. Рассмотрены вопросы матричных представлений линейных преобразований пространства контуров плоских изображений. Вводится понятие группы линейных преобразований контуров плоских изображений GL{7) И рассмотрены некоторые специальные группы преобразований комплекснозначных контуров:
унимодулярная группа в случае двух измерений SL(l), двумерная ортогональная группа 0(2). Рассмотрены вопросы матричных представлений групп линейных преобразований комплекснозначных контуров, в том числе и неприводимые представления групп линейных преобразований. Показано, что непрерывную контурную линию плоского изображения можно разложить по базисным функциям неприводимых представлений группы вращений ОІ2). В случае d = 2 такое разложение будет являться разложением в ряд Фурье. Выполняя переход к дискретному комплекснозначному контуру, получим дискретное преобразование Фурье. Рассмотрены статистические характеристики моделей контуров плоских изображений. Вводится модель шумового контура = {Сп )о N-\ = ри Є + л"1 Jo N \ с ДВУМЯ независимыми случайными составляющими „ е и пт, каждая из которых имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми СКО сг. Зашумлен-ный контур определяется как аддитивная смесь некоторого сигнального контура Г и шумового контура Z. Рассмотрены вопросы спектрального и корреляционного анализа контуров плоских изображений. Приведены специальные виды контуров, среди которых особое внимание уделено семейству элементарных контуров, образующих ортонормированный базис для разложения произвольного контура. Рассмотрены вопросы линейной фильтрации контуров плоских изображений. Обсуждаются вопросы согласованной фильтрации зашумленного контура: приводятся статистические характеристики зашумленного контура на выходе согласованного фильтра, функции правдоподобия зашумленного и шумового контуров. Рассмотрены вопросы: оценки параметров линейных преобразований, обнаружения и распознавания зашумленных контуров плоских изображений по критерию максимального правдоподобия. Приведены требования к оптимальным контурам для решения каждой из перечисленных задач в соответствии с заданным критерием.
Во второй главе диссертации развиваются и формулируются основные положения контурного анализа 3d изображений. В качестве математической мо дели контуров 3d изображений предложено использовать N -мерный кватерни-онный контур. Рассматриваются свойства правого и левого линейного кватер нионного пространства Н над телом кватернионов. Подчеркнуто, что любые линейные пространства кватернионных контуров одинаковой размерности N являются изоморфными. Вводится евклидовое кватернионное пространство Н контуров пространственных изображений с евклидовой нормой кватерни-онного контура, показано, что при этом справедливым остается неравенство Коши-Буняковского. Введена мера схожести двух кватернионных контуров в виде модуля нормированного скалярного произведения двух кватернионов. Доказано, что модуль скалярного произведения в правом (или левом) Н пространстве кватернионных контуров инвариантен к линейным преобразованиям сдвига, поворота и масштабирования контуров. Вводится расстояние между двумя кватернионными контурами и метрическое кватернионное пространство JV-ОЙ размерности. Предложено использовать теоретико-групповой подход к описанию линейных преобразований кватернионного пространства Н контуров пространственных изображений. Для этого рассмотрены соответствующие подгруппы линейной группы GL(3): унимодулярная группа 5Х(з), трехмерная ортогональная группа 0(з) - задающая вращения кватернионных контуров в пространстве и группа евклидовых движений в трехмерном пространстве. Так как характер неприводимых представлений нормального делителя ортогональной группы 0+(з) зависит лишь от угла вращения кватернионного контура вокруг оси вращающего кватерниона и не зависит от выбора направления этой оси, то при описании вращений контуров пространственных изображений предлагается использовать неприводимые представления ортогональной группы 0+(3). Вводится спектральный и корреляционный анализ кватернионных контуров пространственных изображений на основе базиса неприводимых представлений ортогональной группы 0+(з), представляющего собой сферические гармоники с соответствующими нормировочными коэффициентами. Для спектрального анализа кватернионных контуров пространственных изображений предложено использовать разложение в ряд Лапласа сферических функций контуров. Получены выражения для вычисления ВКФ двух сферических функций кватернионных контуров в пространственной и спектральной областях. Для векторного кватернионного контура Q с единичной нормой каждого элементарного вектора в его составе предложено использовать сферическую функцию в виде сумм двумерных 8-функций. Показано, что спектр такой функции выражается через значения сферических гармоник в точках, где 8-функции не равны нулю. Предложена методика определения угла вращения кватернионных контуров с непронумерованными кватернионами в их составе. Для этого используется связь спектра сферических функций исходного и повернутого кватернионных контуров на основании свойства разложения матрицы неприводимых представлений в базисе сферических гармоник. Рассмотрены статистические характеристики моделей контуров пространственных изображений. Вводится модель шумового кватернионного контура с тремя независимыми случайными составляющими, каждая из которых имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми СКО а. Зашумленный контур определяется как аддитивная смесь некоторого сигнального кватернионного контура и шумового кватернионного контура.
Третья глава диссертации посвящена обобщению контурного анализа на случай пространства произвольной размерности d. С этой целью проводится выбор гиперкомплексного пространства и соответствующей алгебры контуров, состоящих из d -мерных элементарных векторов. Рассмотрены процедуры удвоения для d -мерного элементарного вектора в составе N -мерного контура в гиперкомплексном пространстве соответствующих размерностей d = 2 (для плоских изображений), d = 4 (для пространственных изображений) и d = 8 (для динамических пространственных изображений). Проводится сравнительный анализ двух гиперкомплексных систем - октав и бикватернионов для аналитического задания элементарного вектора динамического пространственного изображения в восьмимерном пространстве (с? = 8). С этой целью вводятся: N мерное линейное бикватернионное пространство О для задания контуров динамических пространственных изображений, а также линейное октавное пространство U над кольцом октав контуров в случае d = 8; //-мерные евклидо-вые бикватернионные и октавные пространства со скалярным произведением и евклидовыми нормами; меры схожести двух октавных (бикватернионных) контуров в виде модуля нормированного скалярного произведения двух октав (би-кватернионов); расстояния в метрических пространствах. Рассмотрены линейные преобразования в октавном и бикватернионном пространствах. В виду того, что линейные преобразования пространственно-временного контура могут быть представлены наиболее просто специальными преобразованиями Лоренца с использованием бикватернионов, то в качестве математической модели контуров динамических пространственных изображений предложено использовать //-мерный бикватернионный контур. Введены линейные преобразования пространства контуров в случае d измерений. Особое внимание уделено описанию и построению неприводимых представлений ортогональной подгруппы 0(d) группы линейных преобразований GL{d) в случае d -мерного элементарного вектора с использованием схемы Юнга. Определена статистическая модель контура, состоящего из d -мерных элементарных векторов. Координаты каждого элементарного вектора в составе шумового контура являются независимыми и некоррелированными и подчиняются нормальному закону распределения. Выбрана аддитивная модель формирования зашумленного контура. Для произвольного ЭВ в составе шумового и зашумленного контуров определены: совместная плотность распределения вероятностей модуля и сферических углов, плотность распределения вероятности модуля, плотность распределения вероятности сферических углов, условная плотность распределения вероятности модуля при заданных значениях сферических углов, условная плотность распределения вероятности сферических углов при заданном значении модуля.
В четвертой главе приводится полное решение одной из основных задач теории синтеза оптимальных сигналов с идеальными свойствами циклической АКФ (уровень боковых лепестков равен нулю) - задачи синтеза N -мерных унимодулярных комплекснозначных фазокодированных сигналов. Задача синтеза сводится к решению системы уравнений, полученной на основе спектральных частотных характеристик фазокодированной последовательности. В ходе анализа системы уравнений показано, что ее решения образуют группу Галуа изоморфную группе автоморфизмов поля деления круга на N равных частей для нечетных N, а в случае четных N группу изоморфную группе автоморфизмов поля деления круга на 2N равных частей. Кроме того, если N является квадратом некоторого целого числа, то группа Галуа системы уравнений является также в случае нечетных к изоморфной группе автоморфизмов поля деления круга на к равных частей, а в случае четных к изоморфной группе автоморфизмов поля деления круга на 2к равных частей. Для определения численных значений системы уравнений рассматривается поле деления круга. Определено количество Р всех возможных фазокодированных последовательностей для заданной размерности N. Найдены аналитические соотношения, полностью определяющие любую фазокодированную последовательность с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ. Разработан алгоритм синтеза всех возможных фазокодированных последовательностей заданной размерности N. Представлены результаты синтеза всех фазокодированных последовательностей для некоторых размерностей N. В рамках разработанного общего подхода удалось объединить все существующие на сегодняшний день различные кодовые конструкции для синтеза фазокодированных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ. Общее количество вновь синтезируемых кодовых последовательностей значительно превышает общее количество известных фазокодированных последовательностей и с ростом размерности N сигнала доля вклада известных кодовых комбинаций в общее количество возможных кодовых комбинаций стремится к нулю.
В пятой главе решена проблема обработки и распознавания плоских изображений групповых точечных объектов на основе понятия оптимальной формы. Формулируется задача ориентации летательного аппарата по изображениям звездного неба, составляется математическая модель эталонного и зашумленно го кадров изображений звездного неба с (и без) учета влияния атмосферы. В соответствии с разработанной математической моделью зашумленного кадра изображения звездного неба рассмотрено оптимальное по критерию Неймана-Пирсона решение задачи обнаружения светил в наблюдаемом кадре. При решении задачи распознавания сформулированы требования к оптимальной форме вторичных созвездий, используемых для ориентации летательных аппаратов при полной априорной неопределенности углового положения оптической оси астродатчика. Показано, что для оптимального решения задачи распознавания необходимо использовать вторичное созвездие, представляющее собой групповой точечный объект, связанных с концами элементарных векторов, составляющих семейство элементарных контуров порядка к. В качестве критерия оптимальности предложено использовать коэффициент монохроматичности спектра формы вторичного созвездия. С использованием введенного коэффициента сформулированы в аналитическом виде условия, при которых вторичное созвездие может быть признано уникальным. Для решения задачи идентификации звезд в составе такого созвездия предлагается использовать контур, ассоциированный с многофазным кодом класса р (в случае уникального вторичного созвездия четвертого порядка), и контур, ассоциированный с аналогом ЛЧМ сигнала (для уникального вторичного созвездия третьего порядка). В качестве критерия оптимальности вводится коэффициент дельтовидности циклической АКФ формы вторичного созвездия. С учетом введенного коэффициента сформулированы в аналитическом виде условия, при которых вторичное созвездие может быть принято в качестве уникального композиционного созвездия. Синтезируются алгоритмы поиска уникальных вторичных и уникальных композиционных вторичных созвездий и представлены результаты экспериментальных исследований по их поиску. Исследуются характеристики вероятности правильного распознавания уникальных вторичных созвездий и правильной идентификации звезд в их составе при воздействии координатных шумов и шумов дискретизации.
В шестой главе рассматриваются вопросы обработки и распознавания плоских изображений групповых точечных объектов с использованием развитой теории сигналов в виде пучков векторов. Приводится решение задачи идентификации произвольной звезды по ее портрету в машинном кадре астродатчика, образованном окружающими в заданной окрестности звездами. Групповой точечный объект представляется пучком комплекснозначных векторов. Вводится аналитическая модель заданных на плоскости пучков, в которой учитываются как расстояния между произвольно выбранной на плоскости точкой (полюсом) и всеми остальными точками, задающими групповой точечный объект, так и фазовые соотношения между полученными векторами. Вводится ортонормиро-ванный базис в виде семейства элементарных пучков векторов. Рассматривается вопрос разложения произвольного пучка на элементарные пучки. Исследуются задачи спектрального анализа пучков и дается представление согласованных фильтров, формирующих меру схожести сигналов в виде пучков векторов. Выявлены особенности пучка как зашумленного сигнала, связанные с тем, что при одной и той же дисперсии координатного шума, вызванного ошибками измерения положения точек множества, каждый радиус-вектор характеризуется своим отношением сигнал/шум. Синтезируются алгоритмы базовых операций обработки плоских пучков, присущие контурам плоских изображений: оценки параметров, обнаружения и распознавания пучков. Решена специфическая задача обработки пучков - задача нумерации точек подмножества. Синтезируются алгоритмы идентификации произвольной звезды с использованием разработанной теории обработки и распознавания изображений пучков. Пучок формируется по изображениям соседних звезд в машинном кадре, полюс пучка задает идентифицируемая звезда. Приводятся результаты экспериментальной проверки эффективности алгоритмов идентификации светил по методу угловых расстояний и по разработанному методу с использованием сигналов в виде пучков.
В седьмой главе рассматриваются прикладные вопросы, связанные с применением кватернионного многомерного контурного анализа к обработке и распознаванию изображений трехмерных групповых точечных объектов и опи санию динамических пространственных систем на примере динамики взаимодействия двухуровневой квантовой системы с внешним возбуждающим полем. Рассматривается решение задачи определения параметров вращения кватерни-онного контура с непронумерованными кватернионами в его составе на базе неприводимых представлений группы вращений трехмерного пространства. Доказано, что параметры вращающего кватерниона могут быть найдены на основе сферических гармоник и характера группы вращений. При этом исходному и повернутому кватернионным контурам ставятся некоторые функции, не зависящие от порядка кватернионов в составе контура. Синтезируется алгоритм оценки параметров вращений кватернионных контуров, не требующий нумерации кватернионов в его составе. Приводятся результаты оценки параметров вращения произвольного кватернионного контура с непронумерованными кватернионами в его составе. Цикл работ автора диссертации [239-263] был посвящен физическим аспектам и обработке оптических сигналов — сигналов фотонного эха [231-236]. Причем в работах [255, 258, 262-268] рассмотрены вопросы использования гиперкомплексных пространств для развития математического формализма формирования сигналов фотонного эха и для решения задач оптической обработки информации. В связи с этим в диссертации развит кватернионный формализм расчетов динамики квантовой системы при внешнем воздействии, рассматриваемый как изменение ориентации вектора Блоха в трехмерном пространстве с течением времени. В кватернионной модели представления двухуровневого атома волновая функция квантовой системы в фиксированный момент времени рассматривается как вектор одномерного кватернионного пространства Я1. Вместо оператора плотности для описания динамики взаимодействия внешнего поля с двухуровневым атомом используется вращаемый кватернион, где коэффициенты вращающегося кватерниона являются компонентами вектора Блоха. В кватернионной модели уравнение Ливуилля-фон Неймана для эволюции матрицы плотности заменяется дифференциальным кватернионным уравнением. При решении данного уравнения получен вид вращающего кватерниона, соответствующего унитарному оператору вращения в матричном представлении. Показано, что решение дифференциального ква-тернионного уравнения не требует трудоемких математических операций, связанных с вычислением экспоненты от матрицы.
Личный вклад автора в основные публикации. Диссертация написана на основе цикла работ, выполненных в 1995-2004 годах. Все основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [48-49,67-69,77-78,85,89-92,97-100,106-116,118,120-128,135-140,145,239-263]. Во всех перечисленных работах автор принимал непосредственное участие, причем вклад автора в соответствующие разделы был определяющим. В диссертации подробно излагаются лишь те результаты, вклад автора в которые был существенным на всех этапах работы. Автору принадлежат все выводы и научные положения настоящей работы.
