Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая задача оптимальной многопараметрической коррекции 23
1.1. Основные понятия, свойства и методы исследования устойчивости нелинейных систем в приложении к задаче управления хаотической динамикой 23
1.2. Постановка общей задачи 35
1.2.1. Переход к скорректированной системе 35
1.2.2. Определение понятия модификации хаотического аттрактора 40
1.2.3. Формулировка задачи и способы ее решения 44
1.3. Исследование общей задачи для случая постоянных во времени корректирующих функций 52
1.3.1. Постановка задачи статической коррекции 52
1.3.2. Коррекция автономных хаотических систем с критерием устойчивости Рауса-Гурвица 56
1.3.3. Коррекция двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением с критерием устойчивости Мельникова 64
Глава 2. Оптимальная многопараметрическая динамическая коррекция хаотических систем 71
2.1. Постановка задачи 71
2.2. Условия оптимальной модификации 77
2.2.1. Необходимые условия оптимальности структуры корректирующих функций 79
2.2.2. Динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Основная теорема 83
2.3. Алгоритм оптимальной коррекции. Примеры 94
Глава 3. Скорректированная система: анализ инвариантных свойств и оптимальный синтез 119
3.1. Постановка и анализ задачи оптимального синтеза на основе метода динамического программирования 119
3.2. Инвариантные свойства и синтез особых оптимальных корректирующих функций на поверхности переключения 126
3.3. Численный эксперимент 137
Заключение 143
Приложение 1 146
Приложение 2 152
Литература 156
- Исследование общей задачи для случая постоянных во времени корректирующих функций
- Динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Основная теорема
- Постановка и анализ задачи оптимального синтеза на основе метода динамического программирования
- Инвариантные свойства и синтез особых оптимальных корректирующих функций на поверхности переключения
Введение к работе
Актуальность. Развитие теории оптимального управления (ТОУ) динамическими системами, фундамент которой заложен в трудах Л.С. Понтрягина1 [58], Р. Беллмана [12], В.Г. Болтянского [15], A.M. Летова [78] и др., характеризуется расширением множества объектов исследования. Как правило, новые объекты (одного и того же типа) оказываются более сложными (например, конструктивно, по управлению), чем предыдущие. Для исследования таких объектов иногда удается использовать классические результаты ТОУ, однако чаще всего невозможно не только применение данных результатов, но и формализация оптимизационной задачи оказывается весьма проблематичной. Указанные трудности в полной мере сопутствуют попыткам- исследования динамических систем, описываемых нелинейными математическими объектами.
Анализ нелинейных динамических систем, демонстрирующих сложное, включая хаотическое, поведение, в настоящее время является одним из важнейших научных направлений [5, 34, 43-44, 47, 50, 55, 61, 63-66, 97, 101]. Среди разнообразных приложений, охватываемых этим направлением, важное место занимают сбор и обработка информации, без-которых невозможен процесс воздействия на объект или явление с помощью управлений. Особенно это касается управления с обратной связью, которое учитывает информацию о текущем состоянии системы. После обработки такой информации принимается решение о дальнейшем функционировании объекта или протекании явления. Поэтому исследование управляемых динамических систем (которыми могут быть любые допускающие целенаправленное воздействие на себя объекты или явления) укладывается в рамки общей теории принятия решений, активно разрабатывавшейся в работах Р. Акофа и М. Сасиени [2], Г. Вагнера [16], Е.С. Вентцель [19], Ю.Б. Гермейера [23], А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова [35], Н.Н. Моисеева [62], и являющейся составной частью научной дисциплины "Теоретические основы информатики" (ТОЙ). Находясь в непрерывном взаимодействии с другими научно-техническими областями, ТОЙ фокусирует внимание на информационных процессах, протекающих в сложных управляемых системах. Функционирование динамических систем неизбежно подвержено действию неопределенных факторов или неконтролируемых возмущений и в зависимости от их свойств может протекать по-разному, в частности, оно может быть в определенной степени неустойчивым. Центральной частью математической теории управления, как и теории динамических систем, является анализ свойств устойчивости. Методы исследования устойчивости нелинейных систем заложены в работах A.M. Ляпунова [54], Е.А. Барбашина [9], Н.Н. Красовского [42], ИТ.Малкина [57], Н.Г. Четаева [100], В.В.Румянцева [20], Н.Е.Жуковского [32], Ж. Ла-Салля [46] и др. На их основе сформулирована одна из основных задач теории оптимального управления - задача оптимальной стабилизации - и возникли классы задач об оптимальном управлении при случайных возмущениях (В.Б. Колмановский, Ф.Л. Черноусько, М.Х.А. Девис, К. Острем), в условиях неопределенности (В.В. Альсевич, Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, В.В. Федоров), при накоплении возмущений (Б.В. Булгаков), задачи робастной оптимизации и максиминного тестирования качества стабилизации (В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак) и др., развитые в тесной связи с математическим аппаратом теории устойчивости.
Начиная с 90-х годов XX в. (исторически проблема целенаправленного воздействия на хаотическую систему впервые обсуждалась в работах В.В. Лоскутова (1985) [3], A. Hubler, Е. Luscher (1989) [125], E.Jackson (1990) [128]), богатый арсенал методов ТОУ стал вливаться в новое направление исследований - управление хаосом [5-6, 34, 51-52, 55, 66, 97, 112, 115, 120, 129, 134] (интенсивным толчком к развитию послужила работа Е. Ott, С. Grebogi, J. Yorke (1990) [148]), с отличными от известных стохастических моделей объектами изучения - хаотическими динамическими системами [77]. К этому времени в нелинейной динамике под влиянием работ А.А. Андронова, Д.В. Аносова, В.И. Арнольда, А.Н. Колмогорова, В.К. Мельникова, Ю:И. Неймарка, Я.Г. Синая, А.Н. Шарковского, Л.П. Шильникова, Е. Lorenz, J. Yorke, Е. Hopf, D. Ruelle, F. Takens, M. Feigenbaum и др. были вскрыты основные причины, описаны механизмы возникновения хаотической динамики и определены основные подходы к анализу хаотических свойств. Общим выводом оказалось, что существование в параметрическом пространстве системы областей, отвечающих хаотической динамике, является типичным свойством нелинейных диссипативных динамических систем. Основными условиями, определяющими природу динамического хаоса, являются глобальная ограниченность и локальная неустойчивость траекторий системы.
Хаотические системы существенно нелинейны, имеют несколько неустойчивых состояний равновесия [22], распределение векторного поля в их фазовом-пространстве неоднородно. При исследовании хаотической динамики традиционный метод линеаризации с последующим локальным анализом-устойчивости состояний равновесия или отдельной фазовой-траектории принципиально недостаточен для полного понимания поведения системы. Информация, полученная в результате анализа линеаризованной модели, может оказаться неверной для понимания шел инейных эффектов [66]. Линеаризация является лишь предварительным этапом исследования [4]. На первый план выходят анализ, устойчивости траекторий, принадлежащих предельным множествам [63], и методы численного (имитационного) моделирования (часто единственно осуществимые [5]), приводящие к необходимости разработки и оптимизации алгоритмов-численного анализа и синтеза сложных нелинейных управляемых систем [14, 27, 44, 122, 140, 145].
Включение хаотических систем в класс управляемых объектов потребовало не только модернизации классической теории устойчивости движения (Г.А. Леонов, 2006 [47]). Предложенный Отто, Гребоджи и Йорком [148] OGY-алгоритм стабилизации хаоса показал, что свойство рекуррентности траекторий хаотических систем позволяет малым воздействием в дискретные моменты времени на параметр стабилизировать заданный неустойчивый предельный цикл, вложенный в хаотический аттрактор системы. Ключевое требование «малости» воздействия определило как общую концепцию управления хаотическими системами (Т. Shinbrot и др., 1993 [167]), так и направление развития двух основных групп методов управления хаосом: 1. Методы подавления хаоса с помощью программного управления и = u{t)
с заданной структурой (метод резонансного [107, 121, 137, 143J 109410]; и высокочастотного [130] подавления хаоса). В их основе лежит критерий Мельникова (В!К. Мельников, 1963 [49; 59]) (область применения., ограничена слабо-диссипативными: системами и требованием малости возмущений);.который: позволяет по границе появления хаотической динамики аналитически; оценить эффективность воздействия. Требование «малости» выражается, в минимизации? допустимого уровня стабилизирующего воздействия т] на параметр: р , возмущенный способом p(t) - pQ (1 + u{t)) , n(t) = rj cos(a) t + cp). В" последнее время это направление получило перспективное продолжение открытием.: новой фор мыстабилизирующего воздействия(А.К. Dzhanoev, 2007 [102]); ,
2. Методы- стабилизации хаоса:с помощью управления,в виде обратной связи: по состояниюи = и(х) (алгоритмы: Отта-Гребоджи-Йорка [148]; эпизодической пропорциональной обратной связи (Е. Hurt 1991 [127]); обратной связи сзапаздыванием - TDE-алгоритмс (К. Pyragas, 1992 [155]) и дрф .Попытктунифигкации; показали, что широкое применение- алгоритмов ограниченно; и; можете встретить трудности, навязанные особенностями- конкретной: хаотической системы. Например, для наиболее употребительного OGY-алгоритма это: низкая скорость сходимости, возникающая при удаленности контролируемой траектории от целевого множества; неточности, вызываемые линеаризацией модели; и др. Естественным образом возникли вопросы о соотношении метода GY и традиционной? теории управления (С. Romeiras и др., 1992 [116]), включая; вопросы оптимальности (G. Chen, 1994 [113]). В дальнейшем для. снятия? этих идругих проблем были предложены различные развития:; алгоритмов! этой группы;
К настоящему времени предложено, проанализировано и: нашло приложение большое число алгоритмов: управления: хаотической, динамикой- [5-6; 52, Г19],.позволивших глубже понять особые свойства; хаотических систем. Управление хаосом стало частью общей задачи управления динамическими системами. Для исследований в области теоретических основ современных информационных технологий ценность этого включения состоит в открытии новых возможностей в анализе моделей управляемых процессов и решении проблем обработки и хранения информации [6, 28, 50]. Управляемые хаотические системы являются новым классом моделей информационных процессов. Их анализ открыл перспективные направления исследований в области ТОЙ, связанные с созданием принципиально новых основ построения алгоритмов и методов хранения информации (кодирование информации методами символической динамики хаотических систем), методов передачи и защиты информации (хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, хаотическая синхронизация и др.), разработкой новых систем обработки информации (хаотические процессоры), моделей ассоциативной памяти и др.
В связи с тем, что часть алгоритмов верифицирована только посредством численных экспериментов и до сих пор аналитически строго не обоснована, исследования сохраняют свою актуальность. Одним из возможных путей повышения эффективности алгоритмов подавления хаоса является привлечение математических методов ТОУ. Такой синтез оказался обоюдным (А.Л. Фрадков, 2003 [97]). Под оптимальным управлением хаосом понимается перевод динамической системы из начального состояния в конечное либо с наименьшими затратами энергии [103, 113, 141-142]), либо времени [79, 106, 124, 150, 158, 164]). В работах В. Epureanu, Е. Dowell [117] и С. Piccardi, S. Rinaldi [152] с учетом требования минимума энергии управления непосредственно усовершенствован OYG-алгоритм. Варианты оптимального TDF-алгоритма рассмотрены в [146, 156].
Часть работ посвящена прямому применению принципа максимума к задаче управления хаотической динамикой. Например, D.G. Luchinsky и др. [147] исследован переход с минимальными энергозатратами на аддитивное управление без ограничений между сосуществующими в фазовом пространстве системы хаотическим аттрактором и устойчивым циклом. Без теоретического обоснования в [157, 166] на поверхности переключения осуществлен синтез аддитивных локально оптимальных управляющих функций. Их стабилизирующий характер при произвольных ограничениях продемонстрирован только в численном эксперименте, но осталось неясным, как специфика хаотической динамики влияет на использованные условия оптимальности.
Согласно анализу целей управления Б.Р. Андриевского и А.Л. Фрадкова [5, 97], включение хаотических систем в класс управляемых объектов определило особый класс целей воздействия на систему. Он заключается в выборе управления, модифицирующего предельное множество (аттрактор) системы из неустойчивого в устойчивое с учетом требования малости воздействия. Речь идет не об управлении динамикой хаотической системы путем перевода в заданное множество состояний (т.е. стабилизации), когда количественные характеристики стабилизируемого множества системы известны (такой подход характерен OGY-алгоритму и его вариантам). При модификации-для первоначально хаотической системы существенным оказывается требование обеспечить желаемое свойство системы — динамический режим с заданным типом устойчивости. Такая постановка задачи типична для группы методов подавления хаоса, смежной к области управления хаосом - управлению бифуркациями [111, 131], включая оптимальное управление бифуркациями [108, 135] . Отличие модификации от традиционных целей ТОУ заключается в «размытости» информации о поведении системы, возникающем при смене режима функционирования с нерегулярного на регулярный (дело в том, что хаотический аттрактор содержит множество неустойчивых состояний - циклов, положений равновесия, - потенциально допускающих превращение их в устойчивые), что актуализирует проблему учета динамических свойств объекта.
В условиях, диктуемых хаотической системой, возможна ситуация, когда заранее нет полной информации (точные количественные характеристики целевого множества неизвестны), как будут вести себя траектории, если она окажется в устойчивом режиме. Полученные результаты [104, 126] касаются лишь частного случая этой проблемы - стабилизации неизвестного состояния равновесия хаотической системы. В силу высокой чувствительности параметров системы к малым возмущениям также неясно, какие допускающие изменения па 10 раметры и способы изменения их значений будут наилучшими при осуществ-лении управляющих воздействий. В результате хаотическая система определяет обстановку, в которой происходит процесс выработки предпочтений в выборе управляющего воздействия. Получение информации и принятие решений в таком случае происходит в условиях хаотической неопределенности, которая характеризуется потерей памяти о начальных условиях и проявляется в принципиальной невозможности долгосрочного прогноза хаотических процессов (ошибка прогноза растет экспоненциально).
При рассмотрении хаотических систем как класса моделей неопределенности с отличающимися от стохастических (вероятностных) моделей свойствами [68] возникает дополнительная сложность в анализе механизмов появления/исчезновения хаотического поведения. Параметрическое пространство многих из них многомерно, и структура границ областей регулярной и хаотической динамики приобретает разнообразный (иногда нетривиальный) характер [144]. Это определяет важность разработки эффективных средств многопараметрического анализа устойчивости процессов, протекающих в хаотических системах. Непосредственно в нелинейной динамике на основе идей ренорм-группового анализа развит многопараметрический подход, позволяющий исследовать разнообразные критические ситуации и универсальные характеристики, возникающие на границе перехода "регулярная динамика-хаос" (теория многопараметрической критичности [132-133, 144]). Для» многопараметрического случая созданы новые и обобщены известные алгоритмы управления хаосом [105, 138, 151, 168].
Актуальность многопараметрического анализа затрагивает не только хаотические системы. На основе критериев устойчивости Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара, Михайлова, Найквиста, Харитонова, Цыпкина-Поляка и др. возникли и продолжают продуктивно развиваться методы многопараметрического анализа устойчивости нелинейных управляемых динамических систем в первом приближении. К ним относятся: методы исследования геометрии многомерных областей устойчивости, основанные на анализе пространства коэффициентов характеристического полинома системы [69]; метод многопараметрического бифуркационного анализа собственных значений матриц (зависящих от многих параметров) и способы аппроксимации особенностей границ областей устойчивости (многопараметрическая теория устойчивости [163]); методы исследования устойчивости систем управления с учетом неопределенности в пространстве параметров (робастная теория устойчивости [73, 159]) и др: Изучение границ их применимости к хаотическим системам составляет дальнейшую задачу.
Ситуация, сложившаяся к настоящему времени в исследовании сложных нелинейных управляемых систем и определении новых целей воздействия на систему, а также тенденции развития теории управления хаосом и постоянно возникающие новые ее приложения требуют совершенствования средств многопараметрического анализа хаотических систем, как класса моделей неопределенности. Целенаправленное воздействие на систему в условиях хаотической-неопределенности зависит как от выбора способа воздействия на параметры:, так и от собственных особенностей объекта. Ситуации управления, здесь в-большей степени соответствует термин "корректирующее воздействие". Сам термин «коррекция» в широком смысле означает обеспечение желаемых динамических свойств системы. Тем самым, он оказывается близким к определенному в области управления хаосом и требующему формализации новому классу целей воздействия на систему, выражающемуся в обеспечении устойчивости (желаемое свойство) модели объекта, достижение которой сопровождается модификацией его хаотического аттрактора в некоторое устойчивое предельное множество.
Таким образом, актуальной научной проблемой является развитие средств многопараметрического анализа в области управления хаосом, в которой основной целью является модификация хаотического аттрактора системы, позволяющих ставить и решать различные варианты оптимизационных задач1 с учетом динамических свойств хаотических систем.
Объектом исследования являются параметрические способы воздействия на сложные динамические процессы, протекающие в нелинейных системах.
Предмет исследования - оптимальная коррекция параметров хаотических систем.
Цель работы — разработка и обоснование метода оптимальной многопараметрической коррекции, позволяющего обеспечить устойчивый (по заданному критерию) динамический режим хаотической системы, а также исследовать оптимальные переходные процессы от хаотической динамики к регулярной.
В основу исследования положена гипотеза о том, что внутренние свойства хаотической системы, обусловленные ее математической моделью и значениями параметров, являются определяющими для процесса оптимальной по выбранному критерию многопараметрической коррекции и осуществления модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество.
В соответствии с целью были поставлены следующие задачи: 1. Провести анализ понятия модификации предельного множества (аттрактора), как особой цели воздействия на динамическую систему, и исследовать условия, ведущие к исчезновению/возникновению хаотической динамики.
2. Определить форму корректирующего воздействия на параметры и возможные структурные ограничения на систему.
3. На основе необходимого требования малости воздействия на параметры хаотической системы формализовать общий критерий оптимальности коррекции параметров, выполнение которого обеспечивает устойчивый динамический режим скорректированной системы.
4. Исследовать варианты решения оптимизационной задачи для различных форм корректирующих функций (статическая и динамическая коррекция, синтез) и получить условия их оптимальности.
5. Разработать вычислительные алгоритмы коррекции, провести численные эксперименты и описать особенности оптимальных переходных процессов эталонных хаотических систем, выяснить границы применимости метода, как средства многопараметрического анализа хаотических систем.
Методологическую основу исследования составляют: функциональный анализ [39, 53], теория динамических систем [10, 13, 36-37, 96], методы и принципы теории устойчивости [9, 42, 46-47, 57, 76, 100] и оптимального управления [8, 11-12, 15, 17, 42, 48, 58, 62, 70], методы нелинейной динамики и теории динамического хаоса [44, 49-50, 55, 60, 80, 101], современные методы и подходы к управлению хаотическими системами [5-6, 51-52, 55, 66, 97, 112, 115, 120, 129, 134].
Научная новизна. Разработан и математически обоснован метод оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем, относящийся к области исследований специальности 05.13.17 — теоретические основы информатики: разработка методов обеспечения высоконадежной обработки информации и обеспечения помехоустойчивости информационных коммуникаций для целей передачи, хранения и защиты информации; разработка основ теории-надежности и безопасности использования информационных технологий. Основные результаты состоят в следующем:
1. Выбором целевого множества, отражающего свойства фазового пространства хаотической системы, формализована цель воздействия на систему, заключающаяся в обеспечении модификации предельного множества из неустойчивого в устойчивое, и с учетом требования малости воздействия поставлена общая задача оптимальной многопараметрической коррекции.
2. Исследована общая задача оптимизации:
• для случая постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция), решение которой получено для двух классов хаотических систем в виде численной (алгоритм по критерию устойчивости Рауса-Гурвица) и аналитической (по критерию устойчивости Мельникова), оценок минимальных корректирующих поправок;
• для случая зависящих от времени корректирующих функций (численно аналитическая двухэтапная схема динамической коррекции), при обосновании которой доказано существование класса оптимальных динамических корректирующих функций, получены условия оптимальности их структуры выяснены динамические свойства, обеспечивающие сходимость траекторий на целевое множество (свойство аттрактивности).
3. На основе двухэтапной схемы разработан алгоритм динамической коррекции, реализующий поиск оптимальных корректирующих функций, с использованием которого проведен многопараметрический анализ устойчивости эталонных хаотических систем и с учетом структурных ограничений найдены оценки ограничения (радиус коррекции) на корректирующие функции.
4. На основе условий оптимальности метода динамического программирования и метода функций Ляпунова проведен анализ инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения, осуществлен синтез оптимальных корректирующих функций и реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции.
Практическая значимость. Математический аппарат оптимальной многопараметрической коррекции и полученные на его основе алгоритмы применимы для проектирования сложных систем и управления возникающими в процессе их функционирования динамическими процессами, где приходится сталкиваться с хаотическим поведением системы. Результаты работы составляют основу подхода, позволяющего в зависимости от допустимых видов корректирующего воздействия (статическая и динамическая коррекция, синтез) эффективно обеспечить устойчивость хаотической системы, а также на основе многопараметрического анализа получить информацию о свойствах объекта (оптимальный радиус коррекции и характеристики оптимального предельного множества, чувствительность параметров к воздействиям).
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Определение понятия модификации аттрактора в устойчивое предельное множество, как цели воздействия на систему, и формализация общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию.
2. Способ сведения общей задачи к оптимизационной задаче статической коррекции, решением которой является наиболее значимый параметр, корректирование которого обеспечивает устойчивость системы.
3. Аналитические и численные оценки минимальных корректирующих поправок, полученные при решении статической, задачи коррекции (с критериями, отвечающими механизмам хаотизации динамики двух классов хаотических систем).
4. Обоснование двухэтапной схемьг оптимальной динамической многопараметрической коррекции, включающее условия оптимальности структуры и динамические свойства найденного класса корректирующих функций.
5. Алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции.
6. Оптимальный синтез особых оптимальных корректирующих функций, основанный на инвариантных свойствах скорректированных систем на поверхности переключения.
7. Численные эксперименты, демонстрирующие практические возможности метода оптимальной коррекции как средства многопараметрического анализа хаотических систем.
Апробация.. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих международных конференциях: VI-VII конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, ИПУ РАН, 2007, 2008); 6th EURO-MECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); 3rd" IEEE Scientific Conference on Physics and Control (Германия, Университет Потсдама, 2007 (приглашенный доклад, мини-симпозиум «Recent Developments in Controlling Chaos in Nonlinear Dynamical Systems»)); «Общие проблемы управления- и их приложения» (Тамбов, ТГУ, 2007); «Современные методы физико-математических наук» (Орел, ОГУ, 2006); «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее» (Самара, СГПУ, 2006).
Материалы работы представлялись на X Международном семинаре им. Е.П. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2008); VIII международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, СГУ, 2007); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, ГОУ ВПО БГПИ, 2005, 2006).
Структура и краткое содержание работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы.
Во введении раскрыты проблемы анализа сложных нелинейных управляемых систем, сделан обзор методов управления хаосом. Особое внимание уделено особенностям целей воздействия, возникших при исследовании управляє 17 мых хаотических систем как класса моделей неопределенности, подходам и результатам оптимального управления хаосом, роли многопараметрических методов в исследования устойчивости и результатам, полученным к настоящему времени в решении задач оптимальной матричной (многопараметрической) коррекции. В связи с этим выделены актуальные нерешенные проблемы. Приведены общая характеристика и содержание диссертационной работы.
Первая глава посвящена теоретическому анализу, формализации общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем и ее исследованию для: случая,постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция).
В. п. 1.1 даны необходимые сведения о динамических процессах, протекающих в хаотических системах. В связи с проблемой управления хаотической динамикой приведены используемые в дальнейшем определения и теоремы, рассмотрены условия хаотизации динамики системы, выделены критерии для; исследования устойчивости.
В п. 1.2 рассматриваются способы корректирования параметров системы (п. 1.2.1), определяется понятие модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество (п.1.2.2), с использованием которого вп.1.2.3- поставлена задача оптимальной многопараметрической коррекции в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию. Обсуждаются способы ее решения.
В п. 1.3 исследуется случай, когда корректирующие функции постоянны во времени, и исходная задача сводится к задаче оптимизации и анализу устойчивости скорректированной системы по выбранному критерию устойчивости.
Вп.1.3.1, в терминах разреженных корректирующих векторов, сформулирована задача оптимальной многопараметрической статической коррекции (задача 1), которая, вместо общего условия оптимальности- (по всем корректируемым параметрам) содержит совокупность условий по каждому параметру в отдельности. Ее решением является наиболее значимый по критерию параметр, корректирование которого обеспечивает устойчивость системы. Задача 1 допускает комбинирование различных критериев устойчивости, что позволяет для корректируемой системы: 1) определить для каждого корректируемого параметра границы устойчивости скорректированной системы; 2) сравнить влияние на устойчивость отдельных параметров; 3) выявить параметр, коррекция которого обеспечивает устойчивость с наименьшей корректирующей поправкой; 4) установить вид предельного множества скорректированной системы, возникающего при оптимальной коррекции.
Далее в п. 1.3.2 для допускающих линеаризацию хаотических систем предлагается способ решения задачи 1 путем ее сведения к задаче оптимизации и анализу устойчивости линеаризованных уравнений скорректированной системы на основе коэффициентного критерия Рауса-Гурвица. Особенностью предлагаемой методики коррекции является учет наличия у хаотической системы нескольких состояний равновесия. На основе исследования коэффициентов характеристического полинома линеаризованной матрицы скорректированной системы реализован алгоритм полного перебора, позволяющий численно найти наименьшую (по условию положительности главных миноров матрицы Гурви-ца) поправку параметра и оказывающееся устойчивым соответствующее состояние равновесия. Результативность алгоритма проиллюстрирована на примере коррекции системы Лоренца.
В п. 1.3.3 рассмотрена статическая коррекция двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением, демонстрирующих хаотическую динамику. Структура допустимого множества задачи 1, на котором минимизируются величины корректирующих поправок, определена на основании свойственному данному классу хаотических систем механизму хаотизации и, согласно критерию Мельникова, состоит из тех значений, для которых функция Мельникова возмущенной системы всегда одного знака (знакопостоянна). В качестве примера осуществлена статическая коррекция эталонной (ві рассматриваемом классе) системы Дуффинга-Холмса, значения параметров которой лежат в области пространства параметров, соответствующей ее хаотической динамики. Решение получено в виде многопараметрической аналитической оценки минимальной поправки, при которой динамика скорректированной системы будет преобразована в устойчивую.
Вторая глава непосредственно посвящена исследованию сформулированной в первой главе общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции, в которой искомые корректирующие функции зависят от времени.
Динамический характер коррекции хаотических систем требует внимания не только к характеристикам установившегося режима, но и к переходному процессу, в течение которого система демонстрирует поведение, отличающееся! от свойственного ей при f-»oo. В связи с этим в п. 2.1 для рассматриваемой? формы корректирующего воздействия общая задача, определенная на бесконечном полуинтервале времени, сведена к аналогичной задаче, но переопределенной на конечный интервал. Выбор длины интервала, на котором исследуется решение скорректированной системы, принимается JJLL1P на основании условия, чтобы на нем система однозначно демонстрировала свой установившийся, динамический режим. Помимо учета динамических свойств системы, это позволяет записать вспомогательный критерий общей задачи в форме функционала Лагранжа (интеграла энергии), отвечающего за оптимальность структуры корректирующей функции на заданном интервале времени, и сформулировать 2-х критериальную задачу оптимальной многопараметрической динамической коррекции (задача 2). Дано определение оптимальной динамической корректирующей функции, являющейся ее решением.
Упорядоченность критериев оптимальности в задаче 2 позволяет провести ее решение в два этапа как последовательное решение двух задач. Особенность двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции заключается в комбинировании методов теории оптимального управления с численным тестированием качества достижения системой требуемого характера устойчивости. На I этапе схемы, решением при фиксированном ограничении задачи оптимального управления для скорректированной системы (внутренняя задача) ищется оптимальная структура корректирующей функции. На II На II этапе решается задача минимизации по параметру ограничения (радиуса коррекции).
Материал п. 2.2 посвящен выводам условий оптимальности и обоснованию двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции. В рамках двухэтапной схемы введено определение процесса оптимальной динамической модификации хаотического аттрактора. В п. 2.2.1 на основе соотношений принципа максимума найден класс динамических корректирующих функций и получены необходимые условия оптимальности их структуры. В п. 2.2.2 исследованы динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Доказана основная теорема, которая устанавливает, что динамические свойства компонент корректирующих функций обеспечивают сходимость соответствующих траекторий на целевое множество (свойство аттрактивное™) и существование в задаче 2 минимального радиуса коррекции, обеспечивающего переход от корректирующей функции с оптимальной структурой к оптимальной корректирующей функции.
В п.2.3 предложен выполненный в пакете MATHCAD алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции. Рассмотрены варианты аппроксимации корректирующих функций гладкими функциями. Приведены и проанализированы результаты трех примеров коррекции различных хаотических систем.
Третья глава посвящена анализу инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения и решению на их основе задачи синтеза особых оптимальных корректирующих функций.
В п. 3.1 сформулирована задача оптимального синтеза корректирующих функций (задача 3), решение которой позволяет получить допустимые корректирующие функции в виде обратной связи по состоянию скорректированной системы. Анализ условий, необходимых для реализации двухэтапной схемы решения задачи 3, проведен на основе условий оптимальности метода динамического программирования Беллмана и их связи с обобщениями метода функ -1! ций Ляпунова на случай устойчивости инвариантных предельных множеств системы. В результате для выбранной на первом этапе схемы корректирующей функции с оптимальной структурой показано, что функция Беллмана одновременно является оптимальной функцией Ляпунова, для которой выполнены требующиеся условия сходимости скорректированных траекторий на целевое множество.
В п. 3.2 для решаемой задачи определена поверхность переключения знака корректирующей функции, в точках которых обращается в нуль полная производная функции Ляпунова, и исследованы инвариантные свойства скорректированных систем, движения которых направлены вдоль поверхности переключения (особые корректирующие функции и траектории). В результате доказана теорема, дающая условия оптимального синтеза скорректированных систем. Она утверждает существование замкнутой ограниченной поверхности переключения, для всех точек которой можно осуществить эквивалентную замену компонент особой корректирующей функции, меняющих знак в момент переключения, и путем выбора минимальной величины ограничения (минимизации радиуса коррекции) обеспечить оптимальную модификацию хаотического аттрактора системы. Здесь же рассмотрены особенности предложенного способа решения задачи синтеза (инвариантность к выбору корректируемого параметра) и представлена схема оптимального синтеза.
В п.3.3 представлены результаты численного эксперимента с системой Лоренца, иллюстрирующие эффективность методики синтеза особых оптимальных корректирующих функций. Для оценки минимальной величины ограничения (радиуса коррекции) в пакете MATLAB реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции исследуемой системы.
В заключении приведены основные результаты и выводы работы.
В приложения 1 и 2 вынесены рабочие листы MATHCAD с реализованными в них алгоритмами. Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 17 работах [25, 81-95, 165], из них 4 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК [89-90, 94-95], 2 из которых в журналах непосредственно по специальности [89-90].
Исследование общей задачи для случая постоянных во времени корректирующих функций
Динамический характер коррекции хаотических систем требует внимания не только к характеристикам установившегося режима, но и к переходному процессу, в течение которого система демонстрирует поведение, отличающееся! от свойственного ей при f-»oo. В связи с этим в п. 2.1 для рассматриваемой? формы корректирующего воздействия общая задача, определенная на бесконечном полуинтервале времени, сведена к аналогичной задаче, но переопределенной на конечный интервал. Выбор длины интервала, на котором исследуется решение скорректированной системы, принимается JJLL1P на основании условия, чтобы на нем система однозначно демонстрировала свой установившийся, динамический режим. Помимо учета динамических свойств системы, это позволяет записать вспомогательный критерий общей задачи в форме функционала Лагранжа (интеграла энергии), отвечающего за оптимальность структуры корректирующей функции на заданном интервале времени, и сформулировать 2-х критериальную задачу оптимальной многопараметрической динамической коррекции (задача 2). Дано определение оптимальной динамической корректирующей функции, являющейся ее решением.
Упорядоченность критериев оптимальности в задаче 2 позволяет провести ее решение в два этапа как последовательное решение двух задач. Особенность двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции заключается в комбинировании методов теории оптимального управления с численным тестированием качества достижения системой требуемого характера устойчивости. На I этапе схемы, решением при фиксированном ограничении задачи оптимального управления для скорректированной системы (внутренняя задача) ищется оптимальная структура корректирующей функции. На II
На II этапе решается задача минимизации по параметру ограничения (радиуса коррекции).
Материал п. 2.2 посвящен выводам условий оптимальности и обоснованию двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции. В рамках двухэтапной схемы введено определение процесса оптимальной динамической модификации хаотического аттрактора. В п. 2.2.1 на основе соотношений принципа максимума найден класс динамических корректирующих функций и получены необходимые условия оптимальности их структуры. В п. 2.2.2 исследованы динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Доказана основная теорема, которая устанавливает, что динамические свойства компонент корректирующих функций обеспечивают сходимость соответствующих траекторий на целевое множество (свойство аттрактивное) и существование в задаче 2 минимального радиуса коррекции, обеспечивающего переход от корректирующей функции с оптимальной структурой к оптимальной корректирующей функции.
В п.2.3 предложен выполненный в пакете MATHCAD алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции. Рассмотрены варианты аппроксимации корректирующих функций гладкими функциями. Приведены и проанализированы результаты трех примеров коррекции различных хаотических систем.
Третья глава посвящена анализу инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения и решению на их основе задачи синтеза особых оптимальных корректирующих функций.
В п. 3.1 сформулирована задача оптимального синтеза корректирующих функций (задача 3), решение которой позволяет получить допустимые корректирующие функции в виде обратной связи по состоянию скорректированной системы. Анализ условий, необходимых для реализации двухэтапной схемы решения задачи 3, проведен на основе условий оптимальности метода динамического программирования Беллмана и их связи с обобщениями метода функ -1! ций Ляпунова на случай устойчивости инвариантных предельных множеств системы. В результате для выбранной на первом этапе схемы корректирующей функции с оптимальной структурой показано, что функция Беллмана одновременно является оптимальной функцией Ляпунова, для которой выполнены требующиеся условия сходимости скорректированных траекторий на целевое множество.
В п. 3.2 для решаемой задачи определена поверхность переключения знака корректирующей функции, в точках которых обращается в нуль полная производная функции Ляпунова, и исследованы инвариантные свойства скорректированных систем, движения которых направлены вдоль поверхности переключения (особые корректирующие функции и траектории). В результате доказана теорема, дающая условия оптимального синтеза скорректированных систем. Она утверждает существование замкнутой ограниченной поверхности переключения, для всех точек которой можно осуществить эквивалентную замену компонент особой корректирующей функции, меняющих знак в момент переключения, и путем выбора минимальной величины ограничения (минимизации радиуса коррекции) обеспечить оптимальную модификацию хаотического аттрактора системы. Здесь же рассмотрены особенности предложенного способа решения задачи синтеза (инвариантность к выбору корректируемого параметра) и представлена схема оптимального синтеза.
Динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Основная теорема
В п. 2.2.1 для первого этапа задачи 2 (J2{h() #) = nrin J2(h(-),a)) ОПреде-лены необходимые условия оптимальности структуры функции h(t). Однако для осуществления модификации хаотического аттрактора системы не менее важным требованием, предъявляемым к h(t) на втором этапе коррекции (переход /г(-)і— /г (-) в задаче J](h (-),amm) = mmJ](h( ),a), является наличие у нее особых динамических свойств. Необходимо, чтобы для соответствующих траекторий x(t) функция h(t) обеспечивала их сходимость к МЕ и характер устойчивости множества М Е определялся значением а в ограничении В первую очередь установим важную для дальнейшего анализа особенность, касающуюся роли сопряженной системы для хаотических систем с расширенным фазовым пространством посредством условий принципа максимума. Для этого рассмотрим систему (2.7), которая за счет введения сопряженной переменной y/(t) расширяет фазовое пространство системы х = f(x,p). Особенностью системы (2.7) является то, что она не может быть одновременно устойчивой по переменным х и ц/ . Траектории хаотических систем сосредоточены в ограниченной области x(t)\\E L фазового пространства.
Глобальная ограниченность динамики нелинейных систем известна как устойчивость по Лагранжу и говорит о присутствии аттрактора. Важно, что ограниченность сохраняется при оптимальной коррекции параметров системы. Тогда введение согласно принципу максимума сопряженной системы оставляет в силе условие x(t) \\E L и приводит к тому, что норма y/(t) \\Е неограниченно возрастает на [О, Г]. Указанное свойство системы (2.7) сформулировано ниже в виде леммы. После линеаризации (2.7), ее доказательство немедленно следует из общего результата [62, с.90], полученного для случая, когда система x = f(x,p(h)) линейна по х. Приведенная лемма обобщает данные результаты, поскольку она формулируется и доказывается для нелинейных скорректированных систем общего1, вида. Предварительное замечание. Как уже было, указано, особенность h(t) с компонентами вида (2.6) состоит в аппроксимации евклидовой нормы /г(-)ІІ-а кубической /z(-)с а. При этом условия \hj(t)\ a, j = l,r, в большей степени относятся к вычислительным процедурам нахождения h(t). Поскольку обе нормы ограничены, во избежание разночтений в доказательствах ниже, где будет использоваться обозначение /г(-) а, подразумевается, что на вычислительном этапе, следуя (2.6), евклидова норма аппроксимируется кубической.
Поэтому норма (0ІІ неограниченно возрастает при t - Т. Лемма 1 доказана. Замечание 2.2. Согласно лемме, норма вектора у/{і) неограниченно возрастает на [0,Г]. Учитывая особенности хаотических систем, важно отметить, что при этом координаты векторов состояний x(t)GR" и i//(t)GR" могут осциллировать. Сформулированная ниже теорема является в работе центральной. Она имеет конструктивный характер и в ней доказывается, что при соответствующем выборе ограничения h(-)\\E а интегрирование канонической системы в прямом времени с помощью корректирующей функции (2.6), структура которой получена из условий принципа максимума, дает при любом /г0(-) а глобальные условия притяжения к целевому множеству, а при /? () с атт приводит к сходимости траекторий в окрестность одного из состояний равновесия хіе) є МЕ и устойчивости динамического режима скорректированной системы.
Постановка и анализ задачи оптимального синтеза на основе метода динамического программирования
Как и прежде, предполагается, что дана хаотическая система (1.1) и соответствующая ей скорректированная система вида (1.3). Для определенности рассмотрим скорректированную систему с целевым множеством МЕ = {(х, И) f(x, р) + g(x, p)h = О}. Предполагается, что все решения x(t) скорректированной системы определены на интервале 0 t T. Момент времени Т фиксирован ЛПР и удовлетворяет условию Т Т . Это означает, что к моменту времени Т система однозначно достигает установившегося состояния, демонстрируемого ею при / — +00 . Поскольку предварительный анализ задачи оптимального синтеза корректирующих функций (далее задача 3) будет проведен на основе условий оп тимальности метода динамического программирования Беллмана, допустимыми корректирующими функциями считаются вектор-функции вида После конкретизации корректирующей функции до вида h[t] = h(x(t)), согласно с задачей 2, вспомогательный критерий, отвечающий за оптимальность структуры корректирующей функции на [О, Т], запишется как и в развернутой записи задача 3 примет вид: допустимых значений параметра а, обеспечивающих устойчивость скорректированной системы на [О,Г], ищется для функции с ограничивающим множеством G = [h[-] є L2[О, T] [ h(x(t)) \\Е а, Т Т }. Так же как и задача 2, (3.1) может решаться в два этапа: Однако при реализации двухэтапной схемы коррекции следует учитывать существенное отличие задачи (3.1), которое заключается в характере корректирующих функций, которые должны быть получены не в виде программного сигнала h = h(t) є U (см. задачу 2 в п.2.1), а в виде обратной связи по состоянию скорректированной системы h = h[t] = h(x(t)) є G. В результате решением задачи (3.1) будет пара (h [-],amm), которая, удовлетворяя неравенству обеспечивает с условием Л,(атіп) 0 оптимальную модификацию Ар ь» МЕ.
Указанная особенность в общем характере корректирующей функции проявляется в ходе определения динамических свойств оптимальной корректирующей функции h[t]. Согласно 7-му этапу схемы коррекции (3.2), для фиксированного а необходимо решить задачу в которой оптимальная структура h[t] находится, как решение задачи оптимального управления (задача Лагранжа) с учетом выбранного способа коррекции с начальными и терминальными условиями х0 є ВА, х(Т) є МЕ и ограничением heG = \h[-]eL2[0,T] /гИ а}Г Г }, в целом аналогичным условиям внутренней задачи (2.3). Во второй главе в ходе решения задачи (2.3) использовались, условия оптимальности в форме принципа максимума, относящиеся к программным воздействиям вида h(t). Решая задачу (3.3), здесь мы рассматриваем ситуацию h(x(t)), когда при коррекции используется информация не о текущем времени, а о реализующемся фазовом векторе системы. В этом случае удобным аппаратом для анализа условий осуществления оптимальной модификации является метод динамического программирования Беллмана. С одной стороны, он предоставляет достаточные условия оптимальности процесса Cs = {x(t),(h0[tla),t =[0,T]}, с другой, - позволяет связать полученные условия оптимальности с методом функций Ляпунова, являющимся эффективным при исследовании устойчивости инвариантных предельных множеств систем
Такая возможность следует из связи между динамическим программированием и методом функций Ляпунова в задаче оптимальной стабилизации [41; 29, с.378], в качестве которой в нашем случае выступает внутренняя задача (3.3). Введем функцию и рассмотрим процесс Cs — {x(t),(h[t],a),tє[0,Т]}, Т Т , переводящий заданную начальную точку х0 є ВА скорректированной системы в целевое множество МЕ. Пусть минимальным значением критерия качества будет то есть V(x0) - минимальное значение функционала для всех допустимых процессов, протекающих внутри области ВА \ МЕ. Согласно методу динамического программирования, рассмотрим функцию V(x), как удовлетворяющую уравнению Беллмана и определим г-мерную вектор функцию h[t] = (h[t],h%И,— М) с оптимальной структурой с компонентами в виде Равенство (3.9) играет важную роль, показывая, что в рассматриваемой за даче функция Беллмана V = V(x(t)) одновременно является оптимальной функцией Ляпунова. При этом, согласно (3.5), в области, определяемой неравенствами x L и /z tf, функция Ляпунова непрерывна, ограничена при t— Т, поэтому для x(t) из процесса Cs будет V(x(t)) 0. Кроме того, для каждого решения x(t), начинающегося в какой-либо точке Q, (см. теорему 3.1), на основании (ЗЛО) автоматически (/г2 0) выполнено неравенство V(x(t)) 0, означающее, что функция V0 знакопостоянная (отрицательная) для МЕ.
Следовательно, в области Q, выполнены условия 1), 2) теоремы Ла-Салля. Тогда в случае выполнения для некоторого инвариантного множества М с Q = {х є R" V(x) = 0} с: Q, локализованного на МЕ условия V(x) = 0 оказывается возможной сходимость скорректированных траекторий х (t) в малую окрестность МЕ. Последнее является необходимым требованием для реализации второго этапа схемы коррекции (3.2), где, напомним, осуществляется численное тестирование качества модификации А \- МЕ и необходимо, чтобы функция h[t] обеспечивала сходимость соответствующих траекторий x(t) к МЕ и характер устойчивости множества МЕ определялся значением а в ограничении
Инвариантные свойства и синтез особых оптимальных корректирующих функций на поверхности переключения
Хорошо известно, что в основе исследования устойчивости методом функций Ляпунова лежит выбор функций, обеспечивающих условие устойчивости V 0. При этом в исследовании инвариантных свойств особый интерес представляют точки, в которых V = 0, поскольку именно они могут служить предельными для решений системы. Выше при анализе задачи оптимального синтеза было показано, что для оптимального процесса Cs {x0(t),(h0[t],a),t е[0,Г] в задаче (3.3) выполнено важное условие V0 0, необходимое для осуществления свойства Ар \- МЕ. Учитывая осциллирующую природу объекта коррекции, в (3.7) каждая из г компонент hj[t] функции h[t] в общем случае может менять знак. Следовательно, корректирующая функция h[t] тождественно не равна нулю, но может принимать значения h[t] = 0. Согласно (3.10), как раз в этом случае в точках траектории x(t) обращается в нуль полная производная функции Ляпунова Определение 3.3. Множество точек Pz = {х є R" h(x) = 0} назовем поверхностью переключения знака функции h. Как видно из (ЗЛО), точки x(t) траектории х(-), удовлетворяющие равенству V(x (t)) = 0, таковы, что х (t) е Pz. В результате приходим к тому, что задача 3 характеризуется наличием поверхности переключения разбивающей пространство R" на две непересекающиеся области N+ и N , в которых соответственно h = +a и h--a. При этом эквивалентность условий V(x (t))= 0 и S(x(ty)=0 позволяет ввести множество 127 MS={XBR"\ S(X,(V(X))=0} и определить на нем компоненты особой корректирующей функции h (х, V{x)) = sat{h{x, V(x))):
Замечание 3.1. Выше при определении поверхности переключения вместо S(x) введено обозначение S(x, gradV(x)), дополнительно указывающее на зависимость уравнения поверхности переключения от функции Ляпунова. Особенность функции h(x,V), выбор которой произведен из условия (3.11), состоит в том, что с ее помощью движение системы можно направить собственно вдоль поверхности S(x,V(x)) = 0. Траекторию х системы (3.1), соответствующую особой функции h(x,V(x)), также назовем особой. Целесообразность использования в задаче оптимального синтеза свойств множества Ms фиксируют следующие его свойства. Свойство 1. Множество Ms - {х є R"\ S(x,V(x))= 0 } инвариантно. Доказательство. Пусть тройка (x(t),h(x(t)),V(x(t))) обеспечивает равенство B(V(x(t)),x(t),h(x(t))) = 0 для всех te[0,T], и функция h(x(t)) на [О,Г] меняет знак в моменты tk, то есть h(x(tk)) = 0. Тогда имеем равенство которое, очевидно, выполнено и для всех x(tk ) є Ms. Тогда, согласно определению 1.4, множество Ms инвариантно. Свойство 1 доказано. Согласно свойству 1, любая особая траектория х, соответствующая особой корректирующей функции h(x,V(x)) и начинающаяся на множестве Ms, останется на нем при всех t є [О, Т]. Свойство 2. Инвариантное множество Ms = {х є R"\ S(x,V(x))= 0 } компактно.
Доказательство. Хорошо известным [46, с.75] является следующее свойство инвариантных множеств: если решение x(t) системы (3.1) ограничено для всех t є [О, Г], то его со -предельное множество непусто и компактно. Поскольку все х є Ms определены условием переключением знака функции h, то в силу системы (3.1) приходим к исходной системе х = f(x,p), одним из основных свойств которой является ограниченность ее траекторий: х , te[0,T]. Таким образом, условие компактности множества Ms выполнено. Свойство 2 доказано. Из свойства 2 получаем, что поверхность переключения ограничена. Свойство 3. Инвариантное множество Ms -{х є R"\ S(x, V(x))= О } асимптотически устойчиво в смысле определения 1.6, то есть является глобально притягивающим множеством. Доказательство. Вначале покажем, что функция Ляпунова-Беллмана V(x) отвечает необходимым требованиям функции Ляпунова [см, например, 4, с.270], которая: 1) непрерывна и непрерывно дифференцируема по х в некоторой области фазового пространства, содержащей начало координат; 2) V(0) = 0; 3) положительно определена, то есть V V(x) О.
В силу свойств хаотической системы (1.1) функция V(x) определена в области x L, где на основании требования о непрерывной дифференцируемо-сти на оптимальной траектории функции Ляпунова-Беллмана требование 1) выполнено. Пусть h(x,V(x)) их0- особая корректирующая функция и соответствующая траектория. Требования 2), 3) автоматически вытекают из особенностей целевой функции /z(x)2 /2. А именно, в начале координат имеем h(0,V(0)) = 0, что на ос 1 Т новании условия F(jc0) = min— [/гИ]2 dt (х0єВА - начальная точка) дает F(0) = 0. Далее, в силу своей непрерывности и неравенства x[ Z, функция V(x) ограничена. А так как из леммы 2.1 следует существование конечного числа моментов переключения корректирующей функции, то h(x0,V(x0)) 0 тождественно, и поэтому в силу V(xQ) 0 будет V(x) 0.
Следовательно, функция Ляпунова-Беллмана V{x) в рассматриваемой задаче является положительно определенной. Согласно свойству 1, множество Ms инвариантно для всех начальных условий, то есть является максимальным инвариантным множеством, причем Тогда оказываются выполненными условия теоремы 3.1, на основании которой имеем, что каждое решение притягивается к Ms, то есть р(х(ґ),М5)-»0= при! t — Т. Свойство 3 доказано.
