Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА 10
1.1. Логико-психологические основы образования понятий 10
1.2. Методика формирования математических понятий 26
1.2.1. Анализ практики формирования понятий, учебно-методической и научной литературы26
1.2.2. Особенности определения математических понятий и их усвоения 39
1.3. Дидактические возможности компьютера в формировании геометрических понятий58
Выводы по главе 1 77
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА 80
2.1. Основныеэтапы формирования геометрических понятий с применением компьютера 80
2.2. Формирование мотивации введения понятий с помощью компьютера 84
2.3. Выявление существенных свойств и введение определения понятия 91
2.4. Введение различных совокупностей существенных свойств понятия и усвоение логической структуры определения 96
2.5. Обучение школьников применению понятия с помощью компьютера 110
2.5.1. Обучение доказательству теорем как средство формирования понятий 114
2.5.2. Методика использования компьютера для доказательства теорем при формировании понятий 120
2.6. Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями 125
2.7. Экспериментальные исследования методики формирования понятий с использованием компьютера 140
Выводы по главе 2 150
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 152
ЛИТЕРАТУРА 154
- Логико-психологические основы образования понятий
- Методика формирования математических понятий
- Основныеэтапы формирования геометрических понятий с применением компьютера
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время значительное внимание уделяется вопросам совершенствования методических подходов к повышению качества обучения подрастающего поколения. Чем выше уровень сформированных знаний, в том числе математических (геометрических), тем легче ребенку приспособиться к условиям современного общества, найти свое место, почувствовать собственную значимость.
Важнейшим аспектом математической подготовки школьников является формирование понятий. Понятие, являясь элементом системы научных знаний, играет важную роль в процессе познания. Процесс формирования понятий находится в центре внимания многих методистов. Можно выделить работы А.К. Артемова, М.Б. Воловича, Я.И. Груденова, О.Б. Епишевой, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, СБ. Суворовой, П.М. Эрд-ниева и др.
Методика формирования математических понятий предполагает выполнение большого количества упражнений на формирование определенных действий на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам, на распознавание объектов, на выделение следствий из факта принадлежности объекта понятию, на составление родословной, на систематизацию, на применение понятия и др. Упражнения используются на всех этапах формирования понятий, начиная с мотивации и заканчивая установлением связи изучаемого понятия с другими понятиями.
В результате возникает противоречие между временем, необходимым для выполнения большого числа упражнений, нацеленных на формирование понятий, и временем, которое выделяется на изучение понятий.
Использование традиционных дидактических средств - карточек, таблиц, задач на готовых чертежах - безусловно, способствует незначительной интенсификации учебного процесса, но не всегда дает необходимый результат.
Гипотетично предположить, что разрешить данное противоречие можно, повышая интенсивность учебного процесса, за счет применения компьютера.
В связи с этим актуальной является задача исследования возможностей формирования математических понятий посредством компьютера.
Вопросам применения компьютеров в процессе обучения математике посвящены исследования А.П. Ершова, В.Г. Житомирского, А.А. Кузнецова, Э.И. Кузнецова, Е.И. Машбица, В.М. Монахова, М.Н. Марюкова и др.
Несмотря на то, что проблема формирования и развития понятий достаточно хорошо изучена как в психологии, так и в дидактике и в методиках, некоторые аспекты данной проблемы пока еще недостаточно глубоко разработаны и довольно слабо реализуются в практической деятельности учителей. В частности, речь идет о применении компьютера при формировании геометрических понятий.
" Объектом исследования является формирование геометрических понятий в школе.
Предмет исследования: этапы процесса формирования геометрических понятий, их содержание, формы и компьютерная поддержка.
Цель исследования: разработка методики формирования геометрических понятий с использованием компьютера.
В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие основные задачи.
1. Анализ философских, логических и психологических основ формирований понятий.
2. Анализ методики формирования математических понятий и опыта применения компьютера при формировании понятий.
3. Выделение основных этапов и определение методики формирования геометрических понятий в школе с использованием компьютера.
4. Исследование возможностей применения компьютера и разработка электронных дидактических средств для формирования геометрических понятий.
5. Оценка эффективности применения компьютера при формировании геометрических понятий в школе.
Гипотеза исследования: если для каждого этапа формирования геометрических понятий разработать необходимые педагогические программные продукты и методику их применения, то это будет способствовать интенсификации учебного процесса и повышению качества математических знаний.
Методологической основой исследования послужили положения методики обучения математике, математической логики, психологической теории обучения, деятельностного подхода к обучению с использованием задач для формирования понятий.
Для проведения исследования применялись следующие методы:
• изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по исследуемой проблеме;
• анализ учебников и учебно-методических пособий по математике;
• беседы, анкетирование учителей средней школы;
• наблюдение за процессом обучения математике в средней школе;
• анализ опыта работы учителей математики и информатики по формированию понятий;
• экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования, применение разработанных учебно-методических материалов в учебном процессе;
• статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования заключается в том, что проблема формирования геометрических понятий в средней школе решается на основе применения компьютерных технологий. В результате проведенных исследований получены следующие научные результаты.
1. Разработана методика формирования геометрических понятий в школе с использованием компьютера, отличающаяся от традиционной методики содержанием этапов:
• введение различных совокупностей существенных свойств понятия,
• применение понятий,
• установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.
2. Разработана обобщенная формула родовидового определения понятий, работа с которой позволяет систематизировать различные виды упражне ний на усвоение логической структуры определений, а также упростить составление упражнений и представление их в компьютере. Разработана экранная форма для введения определений в компьютер и методика обучения формулировке определения понятия с помощью компьютера.
3. Предложена структура специальной электронной карточки, предназначенной для выполнения учащимися доказательства теорем. Разработана методика применения компьютера для доказательства теорем.
4. Разработана методика применения компьютера для систематизации понятий. Предложено графическое представление системы понятий на основе множества взаимосвязанных формул родовидового определения понятий.
Теоретическая значимость исследования заключается в развитии методики обучения математике в школе с использованием компьютера применительно к формированию геометрических понятий:
• разработана методика формирований геометрических понятий в школе с использованием компьютера,
• созданы компьютерные дидактические средства для реализации дея-тельностного подхода к формированию геометрических понятий.
Практическая значимость работы определяется следующими результатами. Разработаны педагогические программные продукты: "Конструктор определений", "Конструктор доказательств теорем", "Конструктор схем связей понятий", приведена методика формирования геометрических понятий с помощью компьютера. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке учебно-методических материалов и разработке педагогических программных продуктов для формирования геометрических понятий.
Организация и этапы исследования. Временные рамки работы можно обозначить 1996-2002 годами и выделить три основных этапа. В качестве основной опорно-экспериментальной базы был выбран Физико-математический лицей, а также школы № 21 и 29 г. Кирова.
На первом этапе исследования (1996-1998 гг.) осуществлялся анализ
философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, проводились беседы с учителями математики в школах. На основании анализа научно-методической литературы сформулированы гипотеза, цель и задачи исследования.
Второй этап исследования (1998-2000 гг.) был посвящен теоретико-экспериментальной работе, в ходе которой исследовались возможности применения компьютера и разрабатывались методические положения и экспериментальные программы для каждого этапа формирования геометрических понятий.
На третьем этапе исследования (2000-2002 гг.) проводился обучающий эксперимент, в ходе которого происходила корректировка программных продуктов и методических положений, были обобщены результаты исследования, сделаны выводы.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях Вятского государственного педагогического университета (Киров, 1997, 1998, 2001), международной конференции "Информационные технологии в образовании" (Москва, 1998), Всероссийской научной конференции "Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе" (Саранск, 1998), межрегиональных межвузовских научно-практических конференциях в Кировском филиале Московского гуманитарно-экономического института (Киров, 1999, 2001, 2002), межрегиональных научно-практических конференциях в Вятском социально-экономическом институте (Киров, 1999,2001).
Обоснованность и достоверность проведенного исследования обеспечивается опорой на фундаментальные положения философских, психологических и методических концепций формирования понятий; согласованностью полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний; проверкой методики в процессе опытно-экспериментального обучения школьников.
На защиту выносятся следующие положения:
1) подход к решению задачи повышения качества формирования геометрических понятий в средней школе на основе применения компьютерных технологий;
2) методика формирования геометрических понятий в школе с использованием компьютера, включающая обучение с помощью специальных программ формулировке определений понятий, применению понятий на основе доказательства теорем и установлению связей изучаемого понятия с другими понятиями;
3) педагогические программные продукты, повышающие эффективность работы учеников и позволяющие учителю экономить время на подготовку к занятиям за счет использования поставляемых с программами комплексов задач, а также за счет накопления собственных задач в этих программах.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 работах. Из них 5 статей и 7 тезисов докладов на научных конференциях. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 160 наименований. Основная часть работы изложена на 166 страницах. Работа содержит 30 рисунков и 7 таблиц.
Логико-психологические основы образования понятий
Авторы специальных методических исследований особый акцент при формировании понятий делают либо на усвоении словесной формулировки определения понятия, либо на формировании отдельных действий, в соответствии с чем, приводятся рекомендации [30,44,45,53,106,113,118]. Для того чтобы согласовать эти точки зрения, необходимо проанализировать процесс формирования понятий с позиций философии, логики, психологии. В частности рассмотреть роль определений, их формы, основные положения, связанные с формированием понятий.
Организация целенаправленного процесса формирования системы понятий любого школьного курса, в том числе и математики, невозможна без философского понимания сущности понятий как неотъемлемой части мышления и познания, без знания логики их образования, оперирования ими. В связи с этим, представляется целесообразным в первую очередь провести анализ современных представлений о природе понятий.
Еще со времен Аристотеля логикой и философией изучались проблемы теории понятий, и на всем протяжении развития этих наук понятие в большей или меньшей степени интересовало ученых. Проблемами теории понятий занимались и занимаются такие исследователи, как B.C. Библер [14], М.А. Булатов [20], Д.П. Горский [42], Н.И. Кондаков [67], Ю.А. Петров [100] и Другие.
В современной философии вопросам теории понятий уделяется немало внимания, так как это одна из основных форм мышления, играющая главную роль в познании. Исследования философов последних лет конкретизировали тезис о решающей роли практической деятельности в процессе познания вообще, при формировании понятий в частности. Отечественные философы - А.С. Арсеньев, B.C. Библер, Б.М. Кедров, Е.К. Войшвилло [6,29] - указывают на исключительно сложную природу понятий. Это и объект познания, и его орудие, и одновременно результат. Е.К. Войшвилло, подчеркивая важность понятия для мышления, отмечал: "Само мышление может рассматриваться как процесс оперирования понятиями; именно благодаря понятиям мышление приобретает характер обобщенного отражения действительности" [29, с. 101]. Понятие - это мысль, фиксирующая признаки отражаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления.
Современные представления о понятии можно выразить следующим образом:
это схема воспроизведения, репродуцирования вещи в деятельности, то есть построение формы деятельности, адекватной форме вещи;
это основная форма мышления, которая может рассматриваться как процесс оперирования понятиями.
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. "Для формирования математических понятий необходимо понимание математического объекта, который в понятии характеризуется благодаря применению определенных умственных действий" [73 с.28].
Конечно, в процессе обучения математике большое внимание уделяется развитию математического мышления. "Математическое мышление - это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интегрироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения" [144 с.41]. Тем не менее, с нашей точки зрения, при формировании геометрических понятий, ведущую роль должно играть представление о понятии, как о схеме воспроизведения, репродуцирования изучаемого объекта в деятельности. Осознание предметно-деятельных истоков понятий обязывает рассмотреть понятие не только как идеальное воспроизведение объективных отношений, но и как выражение структуры той деятельности, посредством которой было достигнуто, объективное содержание понятийного знания.
Философия выделяет функции теоретических понятий: информационная, обобщающая, систематизирующая, объяснительная. Но реализуются эти функции только тогда, когда понятия рассматриваются как система. Всякая наука — это, прежде всего, система понятий, выраженных посредством терминов. Система понятий, выраженная в системе терминов, - не набор и не сумма понятий, а обязательно иерархия, имеющая уровневую организацию. Школьный курс математики, как и любая научная теория, может рассматриваться в виде системы понятий.
С логической точки зрения любое понятие характеризуется содержанием и объемом. В зависимости от содержания понятия делятся на следующие виды: конкретные и абстрактные, относительные и безотносительные, положительные и отрицательные, собирательные и несобирательные. В зависимости от объема понятия делятся на единичные, общие и категории. Между понятиями существуют, прежде всего, отношения по таким характеристикам, как содержание и объем.
Логика выделяет логические операции с понятиями: деление и классификация, обобщение и ограничение, а также определение. Определение -это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Определение решает две задачи. Оно отличает и ограничивает определяемый предмет от всех остальных. Все эти операции лежат в основе построения иерархической структуры понятийного аппарата любой науки, в том числе математики. Деление - это логическое действие, посредством которого объем делимого понятия распределяется на известные множества с точки зрения определенного признака (основания деления). Строго говоря, делится не понятие, а его объем.
Методика формирования математических понятий
Наблюдая за работой учителей и обращая особое внимание на формирование понятий, можно прийти к следующим выводам.
1. При формировании понятий большинство учителей опускают этап мотивации. Некоторые этот этап сводят к формулировке нескольких предложений, суть которых состоит в том, что данное понятие необходимо для дальнейшего изучения дисциплины.
2. Часто учителя начинают работу с понятием с его определения. Учителя редко знакомят учащихся с логической структурой определения. Не всегда проводится работа по выявлению существенных признаков понятия, составляющих его определение. Ограниченное количество предъявляемых для изучения объектов, стандартность чертежей, заранее нарисованных на плакатах и полностью совпадающих с книжными чертежами, наталкивает ребенка на признание несущественных признаков в качестве существенных.
3. Предъявляемое учителем требование заучивания определения приводит к тому, что на этапе применения в процессе решения задач или доказательстве теорем учащиеся не могут аргументировано воспользоваться определением. Формально заученное определение не позволяет ученику переставлять слова и фразы определения. Не ведется работа по конструированию предложений, эквивалентных определению.
4. Явно недостаточно ведется работа с остальными, не выделяемыми определением, свойствами объекта, неэффективно проводится работа с содержанием понятия. Это приводит к тому, что большинство понятий учащиеся отождествляют с каким-либо утверждением - признаком или свойством.
5. Недостаточно полно проводится работа по усвоению определения. Учителя ограничиваются несколькими упражнениями на распознавание и конструирование объектов, исключая комплексные задания.
6. Отработка действий, адекватных понятию (подведение объекта под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, конструирование объектов), как правило, отсутствует, особенно при формировании геометрических понятий. В учебниках геометрии упражнений, адекватных формируемым действиям, почти нет, ученикам остается заучить определение, приведенное в учебнике.
7. Крайне редко реализуется этап систематизации понятий. Организация такой работы не предусматривается учителями. Учащихся не знакомят с правилами классификации, которые играют важную роль в систематизации знаний, нет таких упражнений и в школьных учебниках, нет классификационных схем, систематизирующих таблиц.
Перечисленные выше недостатки во многом обусловлены содержанием используемой учителями учебно-методической литературы.
Обратимся к учебно-методической литературе с целью выявления в ней методических рекомендаций и сведений по организации помощи учителю при формировании математических понятий. Анализ позволяет сделать следующие выводы.
1. Методическим вопросам формирования математических понятий в используемой учителями учебно-методической литературе уделяется недостаточное внимание. В некоторых учебных пособиях формирование понятий не выделено ни в главу, ни в параграф. В работе "Методика преподавания математики в средней школе: общая методика" [86] рассматриваются такие вопросы, как содержание и объем понятия, формирование понятий, определение (способы определения, требования к определениям, структуры определений, примеры). Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение. Другие этапы формирования понятий четко не выделены. Полезные сведения по формированию понятий содержит работа "Методика преподавания математики в средней школе: общая методика" [85], в то же время за страницами учебника остались вопросы: каковы этапы формирования понятий? Каковы действия, адекватные этим этапам? Что значит усвоить понятие? 2. Отсутствует общепринятая методика формирования математических понятий, а во многих случаях используются лишь разрозненные методические рекомендаций. Так в учебном пособии [86] мы не найдем ни методической концепции формирования понятий, ни практических рекомендаций, система понятий оказывается лишь частично упорядоченной. В работе "Изучение геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации к учебнику" [60] основные понятия предлагается вводить на наглядно-индуктивной основе с учетом опыта учащихся, накопленного в предыдущие годы обучения. Авторы не отрицают и конструктивный способ введения понятий. Так, например, понятия перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника вводятся конструктивно. Один из параграфов учебного пособия [85] посвящен понятиям. Однако практическая ценность содержания этого параграфа не высока. Понятие там рассматривается
Основныеэтапы формирования геометрических понятий с применением компьютера
Методика формирования геометрических понятий. На основании анализа методических основ формирования математических понятий в работе выбрана методическая концепция формирования математических понятий, развиваемая Г.И. Саранцевым (см. раздел 1.2). В соответствии с этой концепцией выделяются следующие этапы формирования геометрических понятий: мотивация введения понятий; выявление существенных свойств и введение определения понятия; введение различных совокупностей существенных свойств понятия и усвоение логической структуры определения; применение понятия; усвоение связей изучаемого понятия с другими понятиями. В предлагаемой методике формирования геометрических понятий с использованием компьютера для каждого этапа можно выделить соответствующие методические рекомендации и приемы, а также применяемые средства компьютерной поддержки (см. табл. 2.1, курсивом выделены новые методические приемы и программы).Мотивация введения понятий. Первым этапом учебной деятельности, влияющим на весь ее дальнейший ход и результаты, является мотивация. Мотивация в соответствии с "Логическим словарем-справочником" Н.И. Кондакова - это "система побудительных причин человеческого поведения, теоретической и практической деятельности" [67, с.317]. Такими побудителями могут стать чувства, переживания, идеи, в которых раскрываются интересы ребенка, его потребности. Одной из основных задач, стоящих перед каждым учителем, является задача формирования у учащихся положительной, устойчивой мотивации к учебной деятельности, такой мотивации, которая побуждала бы к упорной систематической учебной работе. Необходимость включения этапа мотивации в процесс формирования понятий обосновывается в исследованиях психологов и дидактов. (см. раздел 1.2).
Выявление существенных свойств и введение определения понятия. На данном этапе вводятся существенные свойства (характеристические признаки) изучаемого объекта и дается определение понятия. Данный этап реализуется, как правило, посредством упражнений, основное назначение которых заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания школьников. Важной особенностью математики является то, что почти все понятия вводятся посредством определений. Роль определений в формировании математического мышления учащихся общепризнанна (см. раздел 1.1). Основное определение понятия - условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия. В определении указываются некоторые специфические свойства понятия, называемые характеристическими признаками, по которым можно определить, принадлежит ли данный объект к объему этого понятия.
Введение различных совокупностей существенных свойств понятия и усвоение логической структуры определения. Усвоение логической структуры определения понятия является важнейшим этапом методики формирования понятий. Предполагается, что к началу данного этапа учащиеся уже знают существенные свойства изучаемого понятия и его определение. Как показывает практика, знание формулировки определения еще не гарантирует усвоения понятия. Целью обучения на данном этапе является выявление различных сочетаний существенных свойств, необходимых и достаточных для определения понятия и усвоение логической структуры эквивалентных определений понятия.
Применение понятий. Учащиеся при изучении математики должны научится не просто воспроизводить знания в неизменном виде. Они должны умело применять эти знания, быстро видоизменяя свои выводы в зависимости от условия решаемой задачи. Научиться, применять понятие, можно только опираясь на деятельностный подход! При формировании умения применять понятия основная роль отводится системе задач, так как именно в процессе решения задач происходит применение понятия (см. раздел 1.2). К этапу применения понятия учащиеся владеют определением понятия, могут распознать объекты, относящиеся к данному понятию, выводить следствия из факта принадлежности объекта понятию. Признаки понятия, выделенные в его определении, применяются при решении простейших задач и доказательстве новых свойств. В процессе применения понятия учащиеся должны заменить понятие его определением, воспользоваться для решения задачи нужным свойством и, наоборот, от определения перейти к понятию.
Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями. Важным этапом работы над понятием является установление сходства и различия между новым понятием и уже известными, установление различных связей и отношений между ними.-Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями является важнейшим этапом методики формирования понятий. Предполагается, что к началу данного этапа учащиеся уже знают существенные свойства изучаемого понятия, его основное определение и определения, эквивалентные основному. Целью обучения на данном этапе является выявление различных связей изучаемого понятия с другими понятиями и усвоение системы выделенных понятий. Этому способствует раскрытие связи между понятиями с помощью определения и классификации. Результатом обучения должно быть усвоение не только отдельных понятий, но и всей системы понятий каждой отдельной темы и математической дисциплины в целом. Систематизация помогает учащимся глубже осознать связи между понятиями, их свойствами и отношениями, более четко придать структуру учебному материалу (см. раздел 1.2).
