Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы составления задач как средства формирования познавательных умений в обучении геометрии учащихся 7-9 классов
1.1. Проблема составления задач в теории и практике обучения математике
1.1.1. Понятие задачи в педагогике, психологии и в методике обучения математике
1.1.2. Значение составления задач для умственного развития учащихся подросткового возраста 1.1.3. Отражение проблемы составления задач в диссертационных исследованиях и в методике обучения геометрии
1.2. Корректность геометрических задач как необходимое условие обучения их составлению
Логическая правильность постановки геометрической задачи
Составление геометрических задач и метрическая определённость многоугольников
Доказательство утверждений и составление геометрических задач
Функции познавательных умений в составлении геометриче ских задач учащимися
Познавательные действия как составляющая метапредметных результатов в контексте ФГОС основного общего образования 55-58
Взаимосвязь процесса составления задач с познавательными действиями 58-70
Модель формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии 70-82
1.4.1 Планируемые результаты формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач
1.4.2. Этапы формирования познавательных умений учащихся в обучении составлению геометрических задач
1.4.3. Критерии сформированности познавательных умений при обучении составлению геометрических задач
Выводы по главе 1
Включение формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению геометрических задач в курс гео
Глава 2. Методика формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению геометрических задач
Место формирования познавательных умений при обучении учащихся составлению задач в курсе геометрии
Планирование формирования познавательных умений при составлении геометрических задач на уровне учебной темы
Требования к заданиям для формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению задач
Методические рекомендации к обучению учащихся составле
Особенности обучения составлению задач на различных уровнях формирования познавательных умений
Использование метрической определённости фигур для со ставления задач
Организация и результаты педагогического эксперимента
Констатирующий этап педагогического эксперимента
Поисковый этап педагогического эксперимента 70-74
2.4.3. Обучающий и контролирующий этапы педагогического эксперимента 150-162
2.4.4. Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента 162-166
Выводы по главе 2 167-168
Заключение 169-170
Список условньгх обозначений 171
Список таблиц 172-173
Список иллюстративного материала 173
Список литературы
- Отражение проблемы составления задач в диссертационных исследованиях и в методике обучения геометрии
- Взаимосвязь процесса составления задач с познавательными действиями
- Планирование формирования познавательных умений при составлении геометрических задач на уровне учебной темы
- Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента
Введение к работе
Актуальность исследования. Модернизация российской школы, связанная
с введением ФГОС общего образования, нацелена на создание условий для
интеллектуального и субъектного становления обучающихся, что должно найти
отражение в обучении каждому учебному предмету. Согласно Концепции
развития математического образования в Российской Федерации, изучение
математики играет системообразующую роль в образовании, развивая
познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению,
влияя на обучение другим дисциплинам. Реализация идей ФГОС ООО и
Концепции предполагает такую организацию обучения математике, в частности
геометрии, которая обеспечит каждого обучающегося познавательной
деятельностью, способствующей формированию и развитию универсальных
учебных действий (УУД), которые становятся умениями по мере их
сформированности (Д. Н. Богоявленский, Е. Н. Кабанова-Меллер,
Н. А. Менчинская). Без познавательных УУД, включающих мыслительные операции, невозможно успешное решение математических задач, и чем осознаннее обучающийся их использует, тем лучший результат он получит.
Согласно результатам ОГЭ, треть учащихся не справляется с решением геометрических задач базового уровня, а к решению геометрических задач второй части КИМов ОГЭ большинство учащихся не приступает. Процесс решения геометрических задач тесно связан с их составлением – особым творческим процессом, отсутствие которого невозможно компенсировать решением задач, что отмечено в исследованиях Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, Ю. М. Колягина, В. А. Крутецкого, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Л. М. Фридмана, Р. С. Черкасова и др. Если при решении геометрических задач познавательные действия могут использоваться неосознанно, то при составлении задач они осознаются в полной мере.
Исследованию вопросов, затрагивающих проблему обучения учащихся
составлению математических задач, посвящены диссертационные исследования
Н. А. Астаховой, Н. Г. Воробьёвой, Т. Ю. Дюминой, Г. П. Недогарок,
А. Я. Цукаря, С. А. Чопчиян, А. В. Шатиловой, Е. Л. Шквыри, Л. В. Шоркиной, Э. А. Ясинового и др. Анализ этих работ показал, что: 1) составление задач организуется на основе данной задачи посредством использования аналогии, конкретизации, обобщения, а также обратных задач; 2) не используется компонентный состав задачи и не рассматриваются ориентиры, позволяющие учащимся осознанно выполнять умственную деятельность, связанную с составлением геометрических задач; 3) отсутствуют работы, исследующие взаимосвязь процессов составления учащимися геометрических задач и формирования познавательных УУД в контексте реализации ФГОС ООО; 4) наблюдается неоднозначное использование терминов, связанных с составлением задач.
Анализ действующих УМК по геометрии для 7–9 классов, проведённый с целью установления отражения в них проблемы составления геометрических задач учащимися, показал наличие в материалах, дополняющих учебники,
заданий, которые целесообразно использовать для подготовки учащихся к составлению задач. Учитель, обладая специальной компетенцией, должен уметь организовать обучение учащихся составлению геометрических задач. Однако, как показали результаты констатирующего этапа эксперимента, учителя математики обладают этой компетенцией в незначительной степени.
Таким образом, анализ нормативных документов в сфере модернизации школьного Российского образования, математической, психолого-педагогической и учебно-методической литературы в этой области, анализ теории и практики обучения математике, собственный опыт практической работы, результаты констатирующего этапа эксперимента позволили выявить противоречия между:
– требованиями к планируемым результатам освоения математики,
представленными в ФГОС ООО, в примерной основной образовательной
программе основного общего образования и реальным состоянием
математического, в частности, геометрического образования, зафиксированным в показателях ОГЭ, ЕГЭ;
– необходимостью развития универсальных учебных действий учащихся и недостаточной ориентацией на это существующей системы обучения геометрии;
– образовательным потенциалом процесса составления задач учащимися для достижения предметных и метапредметных результатов освоения математики и отсутствием методики формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению геометрических задач в условиях реализации ФГОС ООО.
Необходимость разрешения указанных противоречий обусловливают актуальность темы исследования «Формирование познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии». Проблема исследования заключается в поиске ответа на вопрос, какой должна быть методика формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению геометрических задач, чтобы улучшить предметные и метапредметные результаты освоения геометрии?
Объектом исследования является процесс формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов в обучении геометрии, а его предметом – методика формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов на основе обучения составлению задач в курсе геометрии.
Цель исследования заключается в теоретическом обосновании и разработке методики формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при составлении геометрических задач и её реализации в обучении геометрии.
Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что если для формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии: а) использовать специальные учебные задания для составления геометрических задач; б) выявить познавательные действия, релевантные процессу составления геометрических задач, их состав и выстроить их иерархию; в) обеспечить переход познавательных действий в познавательные умения учащихся в единстве с обучением составлению
геометрических задач, то повысится уровень достижения учащимися планируемых предметных и метапредметных результатов освоения геометрии.
Уровень достижения планируемых предметных и метапредметных результатов освоения геометрии определяется по результатам выполнения учащимися контрольных работ, включающих задания на составление и решение геометрических задач, при выполнении которых необходимо использовать релевантные познавательные умения.
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования позволили поставить следующие задачи исследования.
-
Выявить категориально-понятийный аппарат и теоретико-методологическую базу диссертационного исследования на основе анализа научной и учебно-методической литературы по проблеме исследования.
-
Разработать средства обучения учащихся 7–9 классов составлению геометрических задач, отобрать и систематизировать познавательные действия, релевантные этому процессу.
-
Разработать модель формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии.
-
В соответствии с созданной моделью разработать методику формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению геометрических задач.
-
Экспериментально проверить эффективность основных положений разработанной методики формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению геометрических задач.
Теоретико-методологическую основу исследования составляют:
– нормативные документы, относящиеся к сфере модернизации школьного, в том числе, математического образования в Российской Федерации;
– системно-деятельностный подход в обучении (Л. С. Выготский,
В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, Д. Б. Эльконин), основанная на
нём концепция формирования универсальных учебных действий (А. Г. Асмолов,
Г. В. Бурменская, И. А. Володарская, О. А. Карабанова, Н. Г. Салмина,
В. В. Фирсов);
– теоретические основы управления умственным развитием личности
(Д. Н. Богоявленский, А. В. Брушлинский, П. Я. Гальперин, Е. Н. Кабанова-
Меллер, О. А. Конопкин, В. А. Крутецкий, А. М. Матюшкин, Н. А. Менчинская, Н. Ф. Талызина, М. А. Холодная) и их отражение в обучении математике (Л. И. Боженкова, М. Б. Волович, Г. Ж. Ганеев, Э. Г. Гельфман, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, О. Б. Епишева, И. Г. Липатникова, Н. С. Подходова, Р. А. Утеева);
– теории учебных и математических задач (Г. А. Балл, В. М. Брадис, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, Л. М. Фридман, Р. С. Черкасов) и теоретические основы решения математических задач (Ж. Адамар, А. Адлер, И. И. Александров, Б. И. Аргунов, И. В. Арнольд, М. Б. Балк, Д. С. Людмилов, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, И. Л. Тимофеева);
– исследования в области геометрического, в том числе, школьного образования (А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, Н. М. Бескин, Л. И. Боженкова,
В. Г. Болтянский, В. А. Гусев, В. А. Далингер, М. В. Егупова, А. Н. Колмогоров, В. В. Орлов, Н. С. Подходова, В. А. Смирнов, И. М. Смирнова, Н. Ф. Четверухин, И. Ф. Шарыгин).
Методы исследования: теоретические – анализ нормативных документов по вопросам школьного, в частности, математического образования; научной и учебной литературы, диссертаций по проблеме исследования; обобщение результатов анализа, моделирование процесса обучения; эмпирические – изучение и обобщение педагогического опыта, анкетирование и тестирование учащихся; педагогический эксперимент, статистическая обработка его результатов.
Этапы исследования. Указанные цель и задачи определили ход исследования, которое проводилось поэтапно в 2010–2016 гг.
На первом – констатирующем этапе (2010–2011) с целью выявления степени разработанности проблемы исследования в теории и практике обучения геометрии, выполнен анализ научной и учебно-методической литературы, изучена практика обучения составлению геометрических задач, установлено значение этого процесса для умственного развития учащихся и его неразрывная связь с познавательными умениями. В результате обоснована актуальность исследования, определены его характеристики, разработан категориально-понятийный аппарат.
На втором – поисковом этапе (2012–2013) с целью создания методики
формирования познавательных умений учащихся при составлении
геометрических задач, исследован вопрос корректности математических задач, разработано методическое обеспечение процесса обучения составлению геометрических задач в единстве с формированием познавательных умений. В результате разработана модель формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач учащимися 7–9 классов и соответствующая ей методика обучения учащихся составлению геометрических задач в единстве с формированием и развитием их познавательных умений, разработано и опубликовано учебно-методическое пособие.
На обучающем и контролирующем этапах (2013–2016) с целью проверки выдвинутой гипотезы проведена апробация разработанной методики в обучении геометрии учащихся 7–9 классов; осуществлены обработка и обобщение полученных результатов; сформулированы выводы и оформлены результаты диссертационного исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что процесс формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов рассмотрен в единстве с обучением составлению геометрических задач на основе использования текстов задачных ситуаций. Отобраны познавательные действия, релевантные процессу составления геометрических задач; выявлен их состав и выстроена иерархия этих действий. Разработана и теоретически обоснована модель формирования познавательных умений учащихся в процессе обучения составлению геометрических задач, базирующаяся на теории умственного развития личности в обучении математике, требованиях ФГОС ООО к предметным и метапредметным результатам освоения геометрии. Разработана соответствующая этой модели методика формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению геометрических
задач, базирующаяся на целевом, содержательном, организационно-методическом и результативно-оценочном блоках модели.
Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что они вносят вклад в теорию и методику геометрической подготовки учащихся, заключающийся в следующем:
– сформулированы трёхуровневые планируемые результаты формирования познавательных умений при обучении учащихся составлению геометрических задач на основе использования текстов задачных ситуаций; эти результаты являются, в соответствии с ФГОС ООО, значимой составляющей планируемых предметных и метапредметных результатов освоения геометрии;
– разработаны наборы заданий для формирования познавательных умений
учащихся 7–9 классов при обучении составлению задач, включающие тексты
задачных ситуаций, базирующиеся на соответствующих схемах, и
удовлетворяющие требованиям: целесоответствие, полнота, вариативность, доступность;
– предложен способ диагностики сформированности у учащихся 7–9 классов познавательных умений, релевантных составлению геометрических задач на уровнях: базовом репродуктивном, базовом продуктивном, продвинутом; введён и охарактеризован компенсирующий уровень обучения составлению задач, на котором осуществляется формирование познавательных умений;
– показано, что выполнение требования геометрической задачи обеспечивается существованием математических методов решения, базирующихся на: теории геометрических построений с помощью циркуля и линейки; алгебраическом методе решения задач; аксиоматическом строении геометрии; исследованы возможности их использования при обучении учащихся составлению геометрических задач с помощью познавательных умений, соответственно – на построение, вычисление, доказательство.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нём:
– разработано примерное тематическое планирование формирования
познавательных умений при обучении составлению геометрических задач,
отражающее последовательность введения познавательных действий,
предписаний для составления задач на занятиях основного курса геометрии и дополнительного образовательного модуля;
– разработаны методические рекомендации для обучения составлению геометрических задач, как средства формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов, отражённые в созданном учебно-методическом пособии «Составление и решение геометрических задач»;
– сформулированы требования к текстам задачных ситуаций – понятности, доступности, целесообразности, которые могут быть использованы учителем математики для конструирования текстов задачных ситуаций – базы для составления геометрических задач в обучении геометрии учащихся 7–9 классов;
– отобран учебный материал для рассмотрения вопроса о корректно поставленных геометрических задачах и установлена последовательность его введения в процессе обучения составлению геометрических задач, что
необходимо для установления факта: является ли составленная учеником геометрическая задача корректно поставленной.
Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования
обеспечиваются теоретико-методологической базой исследования,
использованием методов исследования, адекватных его цели, задачам, предмету; соответствием полученных результатов требованиям ФГОС ООО.
На защиту выносятся следующие положения.
1) Понятие “геометрическая задача” рассматривается как частный случай
понятия “математическая задача” в традиционном смысле (условие и требование
указаны); геометрическая задача имеет четырёхкомпонентный состав и
характеризуется в соответствии с той предметной областью, на которой она
рассматривается.
2) Введённое понятие «схема задачной ситуации» характеризует
взаимосвязи между известными и неизвестными компонентами, причём условие
и/или требование неизвестны. Наполнение известных компонентов схем задачных
ситуаций адекватным геометрическим содержанием позволяет получить текст
задачной ситуации, удовлетворяющий требованиям понятности, доступности,
целесообразности, и сформулировать учебную задачу: «Составить
геометрическую задачу, используя предложенный текст задачной ситуации».
3) Решение учебной задачи выполняется с помощью познавательных
действий, релевантных процессу составления геометрических задач. Отбор,
конструирование и систематизация познавательных действий, выявление их
состава и иерархии, является необходимым условием, обеспечивающим их
формирование в неразрывной связи с процессом обучения учащихся 7–9 классов
составлению геометрических задач.
-
Дидактическая модель формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению геометрических задач основана на идеологии ФГОС ООО (целевой блок); на теориях умственного развития личности, учебной и математической задач; требованиях к предметным и метапредметным результатам (содержательный блок); на системно-деятельностном подходе в обучении и положениях теории и методики обучения математике, в частности, геометрии (организационно-методический блок). Результативно-оценочный блок включает критерии и показатели сформированности познавательных умений при составлении задач и умений составлять геометрические задачи на уровнях: компенсирующем, базовом репродуктивном, базовом продуктивном, продвинутом.
-
Разработанная методика формирования познавательных умений учащихся 7–9 классов при обучении составлению геометрических задач в соответствии с созданной дидактической моделью, позволяет организовать целенаправленную учебно-познавательную деятельность учащихся, способствующую достижению предметных и метапредметных результатов освоения геометрии, что подтверждается статистической обработкой результатов педагогического эксперимента.
Апробация результатов исследования осуществлялась посредством
выступлений: на международных (Ульяновск: 2016; Красноярск: 2016; Москва:
2013–2016; Калуга: 2015; Казань: 2015, 2016; Санкт-Петербург: 2011–2013, 2015,
2016; Zakopane: 2013; Тамбов: 2011, 2012; Plock: 2010), всероссийских (Н.
Новгород: 2013; Москва: 2011, 2012; Елабуга: 2011) и региональных (Москва:
2013–2016; Реутов: 2015) конференциях; на научных сессиях и семинарах
математического факультета МПГУ (2012–2014), научно-методическом семинаре
(Москва, МПГУ, 2016), а также через участие автора в апробации и внедрении
результатов исследования в образовательную практику школ Московской области:
проведены семинары и мастер-классы для методистов, специалистов
методических служб, учителей математики (Мытищи, Люберцы, Павловский Посад, Раменское: 2012–2016); осуществлено руководство творческой группой учителей математики МОУ лицей № 1 г. Павловского Посада (2011–2013); научное сопровождение академической площадки кафедры математических дисциплин ГБОУ ВО МО «Академия социального управления» (ГБОУ ВО МО «АСОУ») (2014–2016).
Основные результаты диссертационного исследования отражены в 51 публикации общим объёмом 33,86 п. л. В их числе учебно-методическое пособие, шесть статей, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации.
Внедрение результатов исследования проводилось на базе
образовательных учреждений: МОУ лицей № 1, МОУ СОШ № 9 Павлово-Посадского муниципального района Московской области, ГБОУ ВО МО «АСОУ».
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, основной части (две главы), заключения, списков: условных обозначений, таблиц и иллюстративного материала, литературы и приложения. Общий объём диссертации 233 с. Основная часть – 154 с.; список литературы (201 наименование) – 20 с.; семь приложений – 40 с. В диссертации 27 рисунков, в том числе диаграммы; 60 таблиц.
Отражение проблемы составления задач в диссертационных исследованиях и в методике обучения геометрии
Сам Г. А. Балл рассматривает задачу как систему с обязательными тремя компонентами (Таблица 1). С точки зрения формальной структуры, задача состоит из целей, выраженных в требовании задачи, предметной области с заданными в ней отношениями (условия) и совокупности действий (операторы), с помощью которых преобразуются условия задачи для достижения её целей. При этом он отмечает, что задача представляет определённую ситуацию, в зависимости от вида которой, возможны три подхода к понятию задачи. Это ситуация, когда от субъекта требуется: а) выполнение некоторого действия; б) выполнения действия, направленного на нахождение неизвестного на основе существующей связи его с известным; в) найти действие, направленное на установление связи неизвестного с известным, но в тех условиях, когда субъект не владеет способом (алгоритмом) этого действия.
Анализ трактовок понятия задачи, представленных в психолого-педагогической литературе (Таблица 1) показывает следующее.
1) Понятие задачи связывается с субъектом, выполняющим целенаправленную деятельность по её решению (Г. А. Балл, Ю. Н. Кулюткин, А. Н. Леонтьев, А. М. Матюшкин, Ю. М. Колягин). Раскрывая содержание понятия задачи, Г. А. Балл отмечает, что задача представлена в ситуации, которая требует от субъекта некоторого действия, направленного на установление связи неизвестного с известным, в тех условиях, когда субъект не владеет способом этого действия.
2) Задача связывается с проблемной ситуацией и с проблемой, не совпадая с ними. Так А. В. Брушлинский указывает, что задача рассматривается как объективное отражение проблемной ситуации, возникновение и последующее преобразование которой в исходную задачу, характеризуют начальные стадии в формировании мыслительного процесса человека. А. М. Матюшкин отмечает, что «задачи (интеллектуальные) по общему строению представляют собой объективированную знаковую модель проблемной ситуации, в которой условия как бы моделируют наличные, известные знания человека, а искомое моделирует неизвестное, те закономерности, которые будут раскрыты в проблемной ситуации» [112, с. 172]. По его мнению задачи должны использоваться для создания проблемных ситуаций и являться одним из средств управления процессом усвоения новых знаний. Л. М. Фридман видит основное различие между задачей и проблемной ситуацией в следующем. В проблемной ситуации центральный элемент -субъект, и поэтому её нельзя передать никому другому. Задачу же, как знаковый объект, можно передать другому субъекту, «её можно изменять, переделывать, даже придумывать» [175, с. 20]. Таким образом, задача может существовать с одной стороны, объективно и быть способом знакового предъявления задания, а с другой, она существует в мышлении субъекта, решающего её. При этом мышление осуществляется через разрешение субъектом проблемных ситуаций. Процесс решения задач в этом случае включает ряд этапов, зависящих как от специфики решаемой проблемы, так и от возможностей человека. В первую очередь это -поиск средств анализа условий проблемной ситуации и её анализ этими средствами, который позволяет выявить новые связи и отношения между элементами. Затем выявляется принцип действия, происходит его понимание, выполнение и проверка правильности решения проблемы [175, с. 94]. Описанная деятельность применима и к процессу решения математических задач.
Трактовка общего понятия задачи по Ю. М. Колягину, как и подход В. Г. Балла, базируется на понятии системы, в которую входит субъект (человек) и объект - специально определённое множество. А именно: имеется система (S; P), где S - субъект (человек), P - задачная система - множество, состоящее из объектов, их свойств и отношений между ними. Если у субъекта есть «выраженная потребность и возможность в установлении неизвестных ему элементов, свойств и отношений из множества P, проблемный характер которого зафиксирован, последнее (Рх) становится задачей для данного субъекта». Множество Рх -подсистема системы (S; P), т. е., также система [84, с. 50]. Важным является то, что общее понятие задачи Ю. М. Колягин трактует в связи с понятием проблемы, что характерно для понимания задачи с психолого-педагогических позиций.
Рассмотренные трактовки понятия "задача" позволили в качестве общего понятия задачи в нашем исследовании выбрать подход Ю. М. Колягина, тем более что этот подход автор распространяет и на понятие математической задачи.
Понятие "математическая задача" характеризует специфику школьного курса математики и рассматривается в методике обучения математике достаточно давно, но единое мнение на содержание этой категории отсутствует. Известный русский математик и педагог С. О. Шатуновский, исследуя проблему решения геометрических задач с помощью циркуля и линейки, считал, что в этом случае и вообще «задача есть изложение требования "найти" по данным "вещам" другие искомые вещи , находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных отношениях» (1923 г.) [190, с. 3-4]. Относительно понятия "вещи", он отмечал, что каково бы ни было их реальное содержание важно, что существует два их класса: данные (известные) и неизвестные. Найти "вещь" - значит обязательно причислить её к классу известных вещей. Поэтому задача не будет иметь содержания, термин "найти" не будет ничего обозначать, если не указаны те условия, осуществление которых позволит перевести "вещь" из класса неизвестных в класс известных. В каждом отдельном случае термин найти должен быть определён, т. е. «явно должны быть указаны те условия, при осуществлении которых искомая вещь считается найденной» [190, с. 4].
Согласно В. М. Брадису, математической задачей является любой математический вопрос, для ответа на который недостаточно простого воспроизведения чего-либо из пройденного курса: какого-нибудь определения, текста или доказательства теоремы, текста аксиомы или правила (1948 г.) [31]. Эта трактовка математической задачи используется В. Г. Болтянским [29].
Такая достаточно широкая трактовка понятия "математическая задача" характерна для методических работ конца XIX и первой половины XX вв., в которых это понятие специально не исследовалось. Претерпев значительные изменения, оно получило своё развитие и детально исследовано в последней четверти XX в. в классических трудах по методике математики таких учёных как Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, А. А. Столяр, Л. М. Фридман [83, 84, 88, 159, 174, 175, 176]. Наиболее полно эта категория разработана в трудах Ю. М. Колягина [83, 84], в которых понятие математической задачи базируется на его общем понятии задачи (п. 1.1.1).
Взаимосвязь процесса составления задач с познавательными действиями
Первые два условия понятны и проверяемы; для задач, в которых они выполняются, используется термин «строго определённые задачи» (или определённые задачи), в противном случае - «неопределённые задачи» [105, 176, 200]. Третье условие в рамках школьных математических задач не рассматривается [200].
Таким образом, по соотношению между условиями и требованиями все задачи делятся на неопределённые задачи и строго определённые, которые имеют необходимое и достаточное число условий для решения задачи [21, 104, 105, 176]. Неопределённые задачи представлены двумя группами некорректных математических задач: переопределёнными или задачами с избыточными данными (содержат лишние условия) и неопределёнными или задачами с недостающими данными (содержат недостаточное число условий) [176, с. 123, 125]. Ясно, что если математическая задача является корректной в приведённом понимании, основанном на трактовке Ж. Адамара, то она будет правильно-поставленной. Поэтому, объединяя эти требования, можно говорить о корректно поставленной геометрической задаче в контексте нашего исследования. Под корректно поставленной геометрической задачей понимается такая задача, для которой выполняются следующие требования: 1) все указанные в задаче геометрические фигуры должны существовать; 2) для геометрических фигур, данных в условии задачи, все указанные отношения должны быть действительно определены; 3) все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными; 4) данные в задаче величины должны быть независимы между собой; 5) задача имеет решение; 6) это решение определяется однозначно.
В исследованиях Н. М. Бескина и Л. М. Фридмана отмечается, что для строго определённых задач всегда должен существовать эффективный методу с помощью которого можно установить, что требование задачи осуществимо [21, 176]. Этот метод должен быть представлен в рамках некоторой математической теории, на базе которой решается задача.
В контексте нашего исследования в результате деятельности, направленной на составление учеником геометрической задачи, рассматриваются корректно поставленные геометрические задачи, которые всегда являются строго определёнными задачами. Покажем, что существуют эффективные методы, представленные в рамках определённых математических теорий, позволяющие установить этот факт. Для составленной задачи на построение эффективный метод её решения представлен в теории геометрических построений на плоскости с помощью циркуля и линейки, трансформированной в курс геометрии 7-9 классов. Согласно И. И. Александрову и А. Адлеру, задача на построение в планиметрии считается решённой, если она приведена к решению конечного числа задач, из которых каждая есть одна из пяти следующих задач: 1) через две заданные точки провести прямую или отрезок, их соединяющий; 2) из точки описать окружность заданного радиуса или начертить дугу окружности по её концам или её центру; 3) найти общую точку двух заданных прямых; 4) найти общие точки заданных прямой и окружности; 5) найти общие точки двух заданных окружностей. Решение всякой другой задачи должно сводиться к перечисленным задачам [2, 3]. Обсуждение возможности выполнения построения с помощью циркуля и линейки приводит к выявлению условия разрешимости таких задач (глава 2).
Если выясняется, что составленная учеником задача на построение неразрешима с помощью циркуля и линейки, а для установления этого факта уже необходимо выполнить определённые вычисления, то те же данные позволяют составить задачу на вычисление. Для составленной задачи на вычисление в качестве эффективного метода её решения используется алгебраический метод, связанный с теорией равносильности уравнений и их систем. Идея алгебраического метода решения геометрической задачи основана на методе математического моделирования, который включает этапы: построение модели, внутримодельное решение, интерпретация полученных результатов. Для построения модели используются метрические теоремы, в соответствии с которыми данные в условии и неизвестные геометрические величины (длины отрезков, величины углов, площади фигур) и отношения между ними включаются в связи, позволяющие составить уравнения, в соответствии с содержанием этих теорем. Получается математическая модель геометрической задачи - уравнение, система уравнений, которые решаются на основе выполнения равносильных преобразований, либо при помощи преобразований, приводящих к уравнению-следствию. Полученные при решении задачи результаты переводятся с алгебраического языка на геометрический язык.
Эффективный метод решения составленной задачи на доказательство это -дедуктивные рассуждения - отражение аксиоматического метода в геометрии, под которыми понимают цепочку «правильных умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемым (заключительным) тезисам»; истинность посылок устанавливается заранее [149, с. 117]. В основе дедуктивного рассуждения лежит способность к дедукции, под которой понимают "движение мысли от общего к частному и единичному, выведение частного и единичного из общего" [70, с. 64]. Способность к дедукции развивается посредством совершенствования дедуктивного мышления, при котором логические (дедуктивные) умозаключения выводятся из имеющихся посылок. Дедуктивное умозаключение - такое, у которого «между посылками и заключением имеется отношение логического следования» [60, с. 114]. Так как в дедуктивном умозаключении происходит объединение знаний, данных в отдельных посылках, то его связывают с анализом и синтезом. Известный отечественный математик В. И. Арнольд, обсуждая проблемы математического образования в современном мире, отмечал: "Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надёжные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холмса - каждый школьник должен овладеть этим умением" [12, с. 197]. Некоторые схемы дедуктивных рассуждений используются в процессе доказательства математических утверждений и используются нами для составления задач (п. 1.2.3).
Планирование формирования познавательных умений при составлении геометрических задач на уровне учебной темы
Этапы формирования познавательных умений учащихся в обучении составлению геометрических задач. П. Я. Гальперин выявил систему психологических условий, обеспечивающих процесс формирования умственного действия: а) мотивация освоения и осуществления действия; б) обеспечение полноценной ориентировки и исполнения осваиваемого действия; в) воспитание желаемых свойств действия; г) перенос действия в идеальный (умственный план) [42, с. 18]. Реализация этой системы условий обеспечивается «шкалой поэтапного формирования» или теорией поэтапного формирования умственных действий. Необходимым условием использования этой теории является понятие ориентировочной основы действия (ООД) [42]. В качестве ООД может выступать предписание для выполнения определённого действия, представленное в различной форме от алгоритмического предписания до предписания-плана (приёма, схемы). На первом этапе осуществляется мотивация действия, на втором - «открытие» ООД. [28]. На третьем, четвёртом, пятом этапах организуется формирование действия соответственно: в материализованном виде, в форме громкой речи, в форме речи «про себя»; на шестом этапе действие переходит в исполнение в «умственном плане» [42]. В таком случае становление умения выступает как процесс постепенной передачи учителем функций управления этим процессом самим учащимся.
Проиллюстрируем применение этой теории к процессу формирования познавательных умений при составлении геометрических задач. Этот процесс строится на мотивационно-подготовительном, операционно-познавательном, коррек-ционно-контролирующем этапах. Каждый этап имеет общую дидактическую цель, которая наполняется конкретным содержанием в зависимости от выполняемого действия. Рассмотрим цели, содержание деятельности учителя и учащихся на указанных этапах.
Включение в первый этап подготовительной составляющей обосновано неразрывной связью процесса составления задач с познавательными действиями (п. 1.3.2). А именно, формирование познавательных умений при обучении составлению задач начинается в самом начале обучения систематическому курсу геометрии, когда учащиеся испытывают значительные трудности. На этом этапе учащиеся слабо осознают состав и причинно-следственные связи утверждений, не знают познавательные логические действия, релевантные составлению задач, затрудняются использовать их для построения высказываний, поэтому одна из функций первого этапа - нивелировать указанные трудности.
Цель мотивационно-подготовителъного этапа: целеполагание и актуализация познавательных умений, релевантных составлению задач по предложенным текстам задачных ситуаций. На этом этапе осуществляется: а) целеполагание и иллюстрация необходимости выполнения действия; б) обеспечение учащихся знаниями и умениями, необходимыми для осуществления новой для них учебно-познавательной деятельности - составление геометрических задач, выполняемой посредством решения учебных (учебно-познавательных) задач. Иллюстрация необходимости выполнения действия способствует формированию мотивацион-ной основы предстоящей деятельности. Деятельность учителя здесь зависит от содержания конкретной учебной задачи, в частности, от использованной в ней схемы задачной ситуации, которая будет предъявлена на следующем этапе. Поэтому учитель при подготовке к уроку на основе анализа учебной задачи, определяет состав учебной информации и перечень познавательных действий, необходимых для её выполнения (Таблица 11). На уроке он организует актуализацию знаний и умений, а при необходимости - усвоение этой информации и познавательных действий. В ходе проблемного диалога учитель иллюстрирует применение необходимых логических познавательных действий. Учащиеся в процессе фронтальной работы выполняют задания, направленные на формирование познавательных умений [7].
Цель операционно-познавателъного этапа - открытие определённых познавательных действий, используемых при составлении геометрической задачи и входящих в предписания; становление у учащихся умений составлять геометрические задачи в неразрывной связи с формированием познавательных действий. На этом этапе учитель предъявляет учебную задачу, включающую текст задачной ситуации и выступающую в качестве проблемы: «Составить геометрическую задачу, используя данный текст; выполнить анализ и обобщение собственной умственной деятельности». В процессе проблемного диалога и фронтальной работы учащиеся под руководством учителя составляют задачу, а затем анализируют, обобщают, перечисляют выполненные действия и конструируют соответствующий приём. Так, в результате составления геометрической задачи на основе текста задачной ситуации xPyz, «открывается» эвристический приём составления задачи на доказательство (п. 1.3.2, пример № 2, Таблица 8). На этом этапе используются и формируются познавательные действия, соответствующие данному тексту задачной ситуации (Таблица 12).
Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента
Констатирующий этап педагогического эксперимента. Целью констатирующего этапа педагогического эксперимента (2010-2011 гг.) являлось обоснование актуальности темы исследования на теоретическом и практическом уровнях. На этом этапе решалась первая задача исследования, в соответствии с которой, в частности, была подтверждена возможность, целесообразность и актуальность формирования познавательных умений учащихся посредством их обучения составлению геометрических задач.
Для изучения состояния проблемы обучения учащихся составлению геометрических задач и средств, используемых в этой деятельности, было проведено анкетирование 150 учителей математики, повышающих квалификацию в системе ДПО в ГБОУ ВО МО «АСОУ» (Приложение 1). Анкетирование показало, что от всего числа опрошенных учителей: 1) 98% - знакомы с проблемой формирования и развития познавательных действий учащихся в обучении математике на основной ступени общего образования; при этом они не видят связи развивающих целей обучения математике с познавательными умениями; 5% - назвали такие познавательные действия, как сравнение и анализ; 2) 19% - считают, что необходимо использовать формы и технологии обучения математике, способствующие развитию познавательных действий; 3) 7% - отмечают, что уделяют внимание развитию познавательных действий учащихся; 4) 90% - отмечают недостаток или отсутствие специально разработанных готовых средств обучения, способствующих развитию познавательных умений учащихся; 5) 43% - используют в практике обучения задачи на готовых чертежах; 3% - дают задание учащимся: «Перевести текст задачи из одной формы в другую»; 6) 0,1% - дают учащимся задание: «Составить геометрическую задачу», объясняя этот факт отсутствием таких заданий в учебниках геометрии; 7) все учителя, принявшие участие в анкетировании, считают, что выполнение учениками задания «Составить геометрическую задачу» будет способствовать достижению развивающих целей обучения математике.
Наблюдение и анализ обучающей деятельности учителей математики (посещено 24 урока геометрии) позволяют сделать вывод о том, что положительные ответы на вопросы анкеты не всегда находят воплощение в практической деятельности учителей. Так, посещение уроков геометрии показало, что, в подавляющем большинстве, достижение развивающих целей обучения осуществляется стихийно, в процессе обучения геометрическим понятиям, теоремам, при организации решения геометрических задач практически не используются общие и специальные приёмы умственных действий; основным методом обучения геометрии является объяснительно-иллюстративный, при этом чаще всего используются фронтальная или коллективная формы работы. Установлено, что незначительное внимание уделяется поиску решения задач; формирование приёмов поиска происходит у учащихся стихийно. Результаты наблюдения были подтверждены итогами тестирования учащихся и результатами анализа контрольных работ по геометрии, выполненных учениками.
Для исследования состояния и возможностей обучения учащихся составлению геометрических задач было проведено анкетирование 100 учащихся (Приложение 1). Анкетирование показало следующее: 1) 80% учащихся проявляют интерес к предмету геометрии на начальном этапе её изучения; 15% - на заключительном этапе; 2) 8% учащихся решают геометрические задачи, так как этого требует учитель; 15%о - интересен процесс решения задачи; 65% - решают задачи для получения хорошей отметки; 3) 57% учащихся решают самые простые задачи, 33% - среднего уровня сложности, 7% - повышенного уровня сложности, 3% -исследовательские задачи; 4) 18% учащихся испытывают затруднения при выделении условия или требования задачи; 33% - при выполнении чертежа; 83% - при поиске решения задачи; 65% - при обосновании своих рассуждений; 5) 37% учащихся отметили, что они приводят свои примеры и составляют задачи по алгебре, им было бы интересно попробовать составить геометрическую задачу; 6) 94% учащихся отметили, что им не предлагают задания на составление геометрических задач. Наблюдение за деятельностью учащихся на уроках геометрии показало, что учащиеся затрудняются назвать свойства и признаки, необходимые для решения задачи, вследствие чего не справляются с решением задач, теряя постепенно интерес к учению. Решение и составление задач - взаимосвязанные процессы, поэтому недостатки в обучении решению задач затрудняют и обучение их составлению.
Полученные в ходе констатирующего этапа эксперимента результаты позволили выявить в организации процесса обучения геометрии противоречия целям современного школьного образования и сделать следующие выводы.
1. На теоретическом уровне определено, что составление математических задач является эффективным средством умственного развития учащихся, поэтому его целесообразно использовать для достижения предметных и метапредметных результатов изучения геометрии учащимися 7-9 классов. Однако, в диссертационных исследованиях, посвященных составлению задач учащимися, предлагается использовать аналогию, конкретизацию и обобщение данной задачи.
2. На практическом уровне выявлены недостатки в обучении геометрии, связанные, в частности, с неосознанным использованием познавательных действий при решении задач, что затрудняет организацию процесса составления учащимися задач.
3. Необходимо разработать методическое обеспечение, позволяющее учителю организовать обучение учащихся составлению задач, как средства формирования познавательных умений в соответствии с требованиями ФГОС ООО.