Введение к работе
Вторая половина XX века характерезуется бурной математизацией научного знания и практической деятельности человека. Являясь с давних времен фундаментом естествознания и техники, математика в последнее время необычайно расширяла сферы своей применимости. Математическое образование поэтому стало значительным средством повышения уровня подготовки будущих специалистов по большинству как естественнонаучных и технических, гак и гуманитарных дисциплин.
Всэ это привело к реформе школьного математического образования, в результате которого существенно изменилось его содержание. Происходит пересмотр и совершенствование методов обучения. С середины 60-х годов в.учебные планы общеобразовательных школ включены факультативные курсы по выбору, являющиеся составной частью всей учебно-воспитательной работы. Факультативные занятия призваны, учитывая интересы и наклонности учащихся, расширить я углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике.
Хотя и накоплен определенный опыт проведения факультативных занятий по математика, все же еще имеются некоторые проблеми, связанные с содержанием и методикой проведения . Поэтому обоснование целесообразности внесения тех или иных вопросов в программу факультативных занятий, выбор доступных вариантов изложения, составление системы упражнений - вот далеко неполный перечень вопросов, которые требуют специального исследования, опытной проверки. Выше изложенным определяется актуальность реферируемого исследования.
Методическая значимость настоящей диссертационной работы состоит в том, что мы предлагаем и исследуем один из возможных путей решения проблемы содержания и методики проведения факультативных занятий по одному из разделов математики для учащихся Х-Х1 классов. Этот факультативный курс назван нами : " Избранные вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии/". Он непосредственно примыкает к программному курсу математики общеобразовательной школы и, несомненно, включает арифметический,алгебраический и геометрический материалы.
Материал элементарной математики охватывает арифметику, -элементарную алгебру и евклидову планиметрию, тригонометрию и сте-. реометрюо, а также некоторые простейсше разделы теории чисел, алгебраической геометрии и ...атематического анализа. Одним из важных моментов начальной математики являются вопросы теории делимости натуральных чисел. Основяая цель изучения этих вопросов, определяемая в программе по математики У1 класса, - это завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для усвоения действий с обыкновенными дробями. В основном этот материал усваивается учениками прочно, но, без надлежащего доказательного фундамента. 'Гак, ученики хорошо знают основную теорему арифметики и используют ее при арифметических-вычислениях / например, при нахождении общего знаменателя дробей /, не сознавая того, что это глубокая теорема, требующая внимательного и подробного доказательства, В школе вопрос о разложении на множители рассматривается без теоретического обоснования : натуральное число питаются разложить на множители, затем множители снова разложить, пока -возможно, а единственность разложения преподносится как нечто само собой разумеющееся. Между тем вопрос о единственности совсем не является тривиальным.
Как известно, основная теорема арифметики содержит два ут
верждения : во-первых, утверждение о существовании представле
ния произвольного натурального числа в виде произведения прос
тых чисел, и во-вторых, утверждение о единственности такого
представления. Одно из следствий этой теоремы - любое составное
число можно представить в виде произведена? двух сомножителей;
это представление может бнгь не единственным, но число таких
представлений всегда конечно - позволяет решать неопределенные
уравнения видов : -Л в целых числах. Кроме
того, в курсе элементарной математики при изучении вопросов, связанных с нахождением наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, не рассматриваются алгоритмы их нахождения, ограничиваясь разбором нескольких частных примеров. Но подробное рассмотрение алгоритма определения наибольшего общего делителя / алгоритма Евклида / приводит к решению еще одного неопределенного уравнения вида : й-д+О'ІАс в целых числах.
Отметим также, что глубокие исследования в теории неопределенных уравнений, связанные с так называемой проблемой Ферма о возможности существования целых положительных чисел, удовлетворяющих неопределенному уравнению,/! * J " ь , пркП>2, бази-
- 5 -руются на вопросах элементарной математики, а точнее, теории делимости / однозначность разложения чисел определенной природы /,
Итак, Солее строгое / в смысле доказательности / изучение чисел а ах свойств, как порвый шаг в знакомстве с идеей математической абстоакции приводит к решению неопределенных уравнений. Решая такие уравнения, учащиеся на доступном для них материале получают представление не только о методах их решения, но и об основном математическом методе изучения действительности - методе моделирования, ибо уравнение - это основная модель, описывающая самые раз-нообразныз явления и процессы в природе и обществе. Отметим также, что на необходимость повышения роли доступной учащимся теории, на ее решающее влияние на развитие математического мышления указывает многие математики. В частности : И.К.Андронов, В.М.Брадис, Л.А.Ка-лужнин, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Л.Латышев и многие другие.
С методической точки зрения изучение предлагаемых вопросов способствует углублении тооретико-числовых представлений учащихся; уяснению алгебраических и геометрических способов решения задач и" их взаимосвязь; развитию логического мышления, математических способностей; воспитанию устойчивого интереса к математике. Правильно выбранные для факультатива вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии / способствуют более глубокому пониманию и усвоению определенных положений основной школьной программы. Вопросы изучения методов, решения неопределенных уравнений помогают учащимся глубже осмыслить такие понятия обязательной программы, как "функция", "уравнение", "графический метод решения уравнений" и др. Кроме того, на доступных я простых фактах проводится большая самостоятельная исследовательская работа, которая необходима для поддержания интереса к предмету и для повышения общей математической культуры.
Таким образом, поскольку образовательное и прикладное значение вопросов элементарной математики не снижается и при работе по новым программам, а возможности новых программ в этом отношении ограничены, при изучении предлагаемого раздела прежде всего можно осуществить обобщение, углубление и некоторое расширение этих вопросов. Ученики, которые проявляют интерес к математике, знакомятся с теми областями этой науки, которым принадлежат арифметика, алгебра и'геометрия, получают первые представления об их методах,
V:
-6-.
лсняют прямую связь арифметики, алгебры и геометрии. ;
Основная цель исследования - методическое обоснование целесообразности проведения данного факультативного курса.
Объект исследования - процесс формирования знаний у учащихся о методах репвния неопредапеннкх уравнений, исходя из углубленного изучения некоторых вопросов элементарной математики / в частности, вопросов теории делимости /, и овладение навыками решения этих уравнений.
Предмет- исследования - методика обучения избранным вопросам элементарной математики / теория чисел и геометрии / на Факультативных занятиях в Х-Х1 классах.
Гипотеза исследования : проведение факультативных занятий по избранным вопросам элементарной математики / теории чисел и геометрии / для учащихся Х-Х1 классов ведет к выработка обобщенных алгоритмических умений решения неопределенных уравнений, -что служит установлению внутрипредметных связей / арифметики, алгебры и геометрии /, способствует глубокому пониманию некоторых вопросов обязательной программы и воспитанию у. учащихся навыков самостоятельной исследовательской работы.
ИСХОДЯ ИЗ СфорМуЛИрОВаННОЙ.ГИПОТвЗЫ, ДЛЯ ДОСТИЖеНИЯ ЦбЛИ.ИС-',
следования были поставлены следующие задачи :
1/ определение методических и психолого-педагогических требований к факультативным курсам по математике, выявление общих закономерностей их проведения;
2/ выяснение принципов отбора материала, предлагаемого на рассмотрение учащимся;
3/ определение содержания и объема материала факультативных занятий;
4/ установление последовательности подачи материала;
5/ разработка системы упражнений.
Конкретное решение выдвинутых проблем заключается в следующем:
изучение и анализ опыта работы общеобразовательных школ по проведению факультативных занятий;
составление программы факультативного курса;
изложение материала факультатива в соответствии с составленной программой;
разработка методических рекомендаций относительно изучения основных вопросов программы;
- экспериментальная проварка доступности излагаемого мате
риала.
При проведении исследования нами использовались следующие методы:
анализ научной, педагогической и учебно-методической литературы по теме диссертации;
изучение и обобщение опыта работы школ г.Майкопа по проведению внеклассных и >{>акультативных занятий;
экспериментальная проверка эффективности программы, ее содержания и методических рекомендаций.
Научная новизна исследования состоит в разработке методики формирования алгоритмических умений решения неопределенных уран-нений с использованием алгебраико-геомегрических способов на факультативных занятиях в-старших классах средней школы.
Практическая значимость исследования состоит в том, что:
создана / с учетом дидактических и психологических требований / программа по избранным вопросам элементарной математики / теории чисел я геометрии /, предназначенная для учащихся Х-Х1 классов;
экспериментально доказана оптимальность объема материала и эффективность методических рекомендаций по проведению факультативных занятий;
создан сборник "двофантозы уравнения и задачи, приводящие . к ним"с соответствующими указаниями и решениями.
Теоретическая значимость. Результаты и выводы исследования, содержание факультативного курса и методические рекомендации по проведению занятий могут быть использованы для внедрения"в учебный процесс.
На защиту выносится, методически обоснованная программа фа-,культативных занятий "Избранные вопросы элементарной математики / теории чисел и геометрии /" для учащихся Х-Х1 классов, способствующая установлению внутрипредметных связей / арифметики, алгебры и геометрии /, и положительно влияющая на осмысление учащимися многих разделов обязательной программы по математике.
Атюбация исследования. Основные методические выводы и ре- . зультаты исследования обсуждались на научных конференциях в Московском педагогическом университете / тй 1993г. /, в Адыгейском государстве ином университете / апрель 1991г., апрель 1993г. /,на
- 8 -научно-практической конференции Института переподготовки и повышения квалификации научно-педагогических кадров / апрель 1993г. /, на заседаниях кафедры геометрии МПУ, .кафедры мат. анализа и методики математики АТУ / апрель 1993 г. /.