Введение к работе
Актуальность исследования. Одним из центральных понятии школьной) курса математики является понятие числа. Его без преувеличения называют стержнем, фундаментом школьного курса математики. Это и одно из наиболее трудных понятий. Его особенностью является то, что оно находится в развитии, формируется у учащихся постепенно. На протяжении школьною * обучения понятие числа обогащается по содержанию, включая в себя все новые классы чисел и качественно изменяется вместе с сознанием учащихся, приобретая новые черты и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и лошческой завершенности. Последним этапом развития понятия числа в курсе математики школ и классов с углубленным изучением этот підмета является шакомство с множеством комплексных чисел.
Тема "Комплексные числа" имеет немаловажное идейно-научное шаченпе. Она предоставляет большие воіможностп для математическою раївитня учащихся. Действительно, в лой теме подводится итог учению о числе, излагавшемуся в различное время в течение предшествующих чет обучения; учащиеся получают представление о современных алгебраических понятиях, знакомятся с нетривиальным примером алгебраическою объекта -полем, двумерной алгеброй, с рядом основных положенні! теории мношчлешш и алгебраических уравнений; аппарат комплексных чисел является хорошим средством решения геометрических задач, в следствие чего этот материал ласі большие возможности для показа связи алгебры и геометрии, елнпсим математики как науки.
Вместе с тем, рассматриваемая тема, как правило, плохо усванвасіся
учащимися. Об этом свидетельствуют выступления в печати математиков и
мелодистов (П.Я.Внленкинн, А.II.Колмогорова, А.И.Маркушеиича.
СИ.Новоселова, А.И.Фетисова, А.Я.Хннчина), данные днесерпшиоииыч исследований (В.М.Кухарь, Э.АЛаудынн, О.П.Шаровой), беседы с учителями, преподавателями вузов, результаты наших наблюдений за выпускниками шкот. Можно выделить следующие основные недостатки в знаниях учащихся по л он теме: непонимание реального смысла комплексных чисел и оісуіспінс ігредставленніі об нх приложениях. Одним из эффективных путей преодоления укаїанньїх недостатков является изучение геометрических приложении комплексных чисел. Действительно, знакомство школьников с этим материалом иоишзяет расширить их представления о применениях комплексных чисе і. покайсь in шачнмость: в то же в|>емя оно способе і пусі «минанню уі.ніііімін я шнможноеш ікио it idh.iiiiih комптексных чисе І ДІЯ
характеристики векторных величин, а следовательно, раскрытию реального смысла новых чисел.
Методические особенности изучения комплексных чисел в школе раскрыты в статьях многих математиков и методистов (И.Я.Баркова, И.Я.Внленкнна, Е.Г.Гаркави, М.В.Гиршовича, Г.В.Дорофеева, М.Е.Драбкиноіі, A.If.Колмогорова, А.И.Маркушевнча, С.И.Новоселова, А.И.Фетисова и др.). В них предлаї-аютея различные подходы к введению этот понятия, анализируются вопросы, связанные с изучением свойств новых чисел, правил действии над ними. Некоторые аспекты изучения геометрических приложении комплексных чисел раскрыты в работах Е.Д.Куланннл, Г.Л.Луканкина, П.Я.Понарина, Ч.А.Скопеиа, И.М.Яглома и др. В них нредлапіется теоретический и заданным материал, но остаются без внимания вопросы методики шученнн соответствующих понятии, метопов и т.н.
Проблемы и (учения' комплексных чнее і в средней школе рассматривались в диссертациях Н.М.Кухарь, 'О.А.Лаулыни, О.М.Шаровон и Ю.И.Гольдберіа.
В диссертационной работе ІО.И.Гии.лберін исследован вопрос о воіможности органи іашіп повторения и углубления основных скелетні о действительных числах до введения мнимых чисел и прослежено влияние этой работы на туче и не учащимися мнимых чисел и формирование понятия комплексного числа. Однако, разработкой вопросов методики изучения комплексных чисел автор занимается фрагментарно, об их приложениях не упоминается.
В.М.Кухарь в своеіі диссертации приводит исторические сведения о развитии понятия комплексного числа, которые мшуг быть использованы в средней школе в процессе преподавания, дает краткий об юр теории комплексных чисел с точки зрения возможности их использования в средней школе. Автор анализирует трудности введения мнимых чисел и основные ошибки учащихся, связанные с этими трудностями, на этой основе с учетом различных подходов к введению комплексных чисел разрабатывает методические рекомендации по подготовке к введению мнимых чисел в ереднеіі школе и обеспечению дальнейшего закрепления и полного осознания учащимися этого понятия. Вместе с тем автор не занимается разработкой вопросов методики изучения приложении комплексных чисел и подготовки к изучению этого материала.
Вопросы изучения приложении комплексных чисел рассмотрены в диссертациях О.П.Шаровой и Э.А.Лаудынн.
О.П.Шарова на тише анализа содержания темы "Комплексные числа" н различных подходов к введению понятия комплексного числа в
отечественной и зарубежной учебно-методической литературе с учетом недостатков в знаниях учащихся по данной теме разработала вариант ее изучения в 10 классе средней школы. Основной его особенностью является сочетание обучения комплексным числам на уроках математики и внеклассных занятиях, при этом обращается внимание на геометрические приложения комплексных чисел. Ею также разработан вариант факультативного изучения этой темы в 9-10 классах по программе факультативного курса "Дополнительные главы н вопросы математики", расширенной вопросами, связанными с приложениями комплексных чисел в различных разделах школьного курса математики (комплексные числа и решение алгебраических уравнений, геометрические преобразования) и физики (сложение и разложение скоростей и сил, использование комплексных чисел при расчете цепей переменного тока).
Диссертация Э.АЛаудыни посвящена методической разработке преподавания некоторых вопросов геометрии в школе и пединституте на базе комплексных чисел. В ней показана плодотворность использования этих чисел в преподавании некоторых вопросов школьной геометрии, представлен материал факультативного курса в школе и спецкурса для студентов педвузов по геометрии комплексных чисел.
Таким образом, в диссертациях О.П.Шаровой и Э.АЛаудыни рассмотрены вопросы изучения геометрических приложений комплексных чисел. Однако, указанные авторы не вычленяют принципы отбора содержания, подлежащего изучению, требования к системе упражнений, не разрабатывают методику обучения учащихся решению геометрических задач с помощью комплексных чисел.
Итак, вопросы отбора содержания и методики изучения геометрических приложений комплексных чисел в школе остались недостаточно разработанными. Преподавание математики в классах с углубленным изучением этого предмета имеет особенности, которые должны учитываться при отборе материала, задач, отражаться в акцентах методики преподавания, в применяемых средствах обучения. Таким образом, налицо противоречие между необходимостью совершенствования методики изучения комплексных чисел посредством включения в содержание обучения их геометрических приложений и недостаточной разработанностью принципов отбора соответствующего материала и методики его изучения. Это и определяет актуальность нашего исследования.
Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования методики изучения комплексных чисел и их геометрических приложений в классах с углубленным изучением математики.
Иеліг_исслелоііалил - разработать методику изучения комплексных и дуальных чисел, направленную на осознание учащимися реального смысла этих чисел и формирование представлений об их приложениях.
О&ь^м^сиелшшш - процесс обучения математике учащихся классов с углубленным изучением математики.
Прелмех-Исслсдовашш - содержание и организация познавательной деятельности учащихся при изучении комплексных чисел и их приложений.
В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: изучение комплексных чисел с ориентацией на их геометрические приложения будет спіхгобствовпть формированию прелставленнй о приложениях комплексных чисел и осознанию реального смысла комплексных чисел.
Для реализации поставленной пели необходимо было решить следующие .задачи:
-
Обосновать целесиобрашості» изучения геометрических приложений комплексных чисел, дуальных чисел и их геометрических приложений.
-
Выявить особенности методики изучения комплексных чисел, ориентированной на знакомство сих геометрическими приложениями.
-
Определить содержание и разработать методику изучения геометрических приложений комплексных чисел.
-
Определить содержание и разработать методику изучения дуальных чисел, элементов геометрии Галилея и приложений дуальных чисел к решению задач галнлеевоіі геометрии.
Проблема, пели, задачи исследования обусловили выбор методов исследования: анализ психолого-иедагогичесмні, математической н методической литературы, школьных программ но математике, учебных и учебно-методических пособий по математике для средней школы: наблюдение уроков учителей: беседы с учителями, иреполавазелямн вузов; экспериментальная работа.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в разработке концепции изучения комплексных и дуальных чисел, ориентированной на раскрытие реального смысла этих математических объектов и их геометрических приложений.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его
результаты могут быть использованы при разработке методических пособий
для учителей; в учебном процессе при изучении курса алгебры и начал
аналнм в классах с уїлубленннм изучением маїсматнкп. на факультативных
{.тятях с учащимися II класса: н .іекіїнях дія учителей и студентов
млк'машчсскич <|мк\ Htctott пе.чнуюн. ,
На зашиту выносится:
-
Методика изучения комплексных чисел и их геометрических приложений в курсе алгебры и начал анализа классов с углубленным изучением математики.
-
Методика изучения дуальных чисел, геометрии Галилея и приложении дуальных чисел к решению задач галнлеевой геометрии на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов и выводов обеспечивается использованием разнообразных методой исследования, соответствующих поставленным задачам; опорой на результаты психолого-пелагошческнх и методических исследований.
Дцро^іиш.осііодц^х_гш!ШЖУШЦиіі-рСЗУі1ьтатов исследовашіз. Основные результаты исследования были представлены автором на Всероссийским семинаре преподавателей математики педвузов "Подготовка учителя математики в педвузах в условиях профильной и уровневой дифференциации обучения" (Елабуга, 1994 г.), на межрегиональной научно-практической конференции "Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе" (Орехово-Зуево, 1995 г.), на Гериенонскнх чтениях "Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов" (С.-Петербург, 1995 г.), на заседании кафедры алгебры и геометрии МГОПУ (1995 г.).
Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях.