Содержание к диссертации
Введение
Глава I Основные направления в обучении доказательству одаренных учащихся 14
1. Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми 14
2. Роль математики в познании, обучении и воспитании 27
3. Теоретическое обоснование целесообразности выделения предла
гаемой совокупности направлений в обучении доказательству 35
4. Наглядная геометрия как начальный этап обучения доказательству 52
5. Аксиоматическое построение математических теорий в школе и процесс аксиоматизации63
б Использование различных методов обучения для вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность 76
Глава II Методика практической реализации совокупности направ лений в обучения доказательству одаренных учащихся 87
7 . Первоначальное обучение доказательству при решении задач на клетчатой бумаге 87
8. Методика изучения аксиоматической математической теории на примере решения функциональных уравнений 110
9. Методика вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность на материале планиметрии Лобачевского 138
10. Организация работы в выделенных направлениях с математически одаренными учащимися Рязанской области 162
Заключение 172
Литература 174
- Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми
- Роль математики в познании, обучении и воспитании
- . Первоначальное обучение доказательству при решении задач на клетчатой бумаге
Введение к работе
Актуальность исследования. Отечественная система образования является важным фактором сохранения места России в ряду ведущих стран мира, ее международного престижа как страны, обладающей высоким уровнем культуры, науки, образования.
В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» подчеркивается, что современное общество нуждается в воспитании самостоятельного, ответственного, думающего человека. Направленность на формирование этих качеств должно быть главным приоритетом учебно-воспитательного процесса в российских школах.
Успешность реализации модернизации российского образования в значительной мере определяется системой работы с одаренными детьми.
Анализ современной педагогической литературы показывает, что большинство стран мира выносит вопросы формирования интеллектуальной элиты общества в приоритетные задачи развития образования. В нашей стране на федеральном, региональном и муниципальном уровнях также активно поддерживаются и реализуются целевые программы «Одаренные дети».
Количество одаренных детей, по мнению различных исследователей, колеблется от 5 до 15 процентов от общего числа школьников, что для Рязанской области составляет в среднем около 16 тыс. человек, причем около 10 тыс. из них живут в г. Рязани.
Значительную часть одаренных учащихся занимают дети, увлекающиеся предметами естественно-математического цикла (математика, физика, химия, биология). Не случайно, что именно по этим предметам российские школьники являются лидерами международных олимпиад.
Таким образом, важность формирования интеллектуальной элиты общества для развития современной России и сохранения ее в ряду ведущих государств мира, и наличие достаточно большой группы российских
школьников, имеющих способности и проявляющих особый интерес к математике, определяют социальную значимость выбора темы исследования.
В нашей стране накоплен большой опыт работы с математически одаренными школьниками (А.Н. Колмогоров, И.М. Яглом, В.Г. Болтянский и др.). Однако в настоящее время в большинстве случаев работа с этими детьми «носит однобокий характер» [39, С. 10], она ведется бессистемно и нерегулярно, активизируясь в период олимпиад. Это приводит к воспитанию «не математиков, а, в сущности, спортсменов-"решателей"» [39, С. 10], «в сфере интересов математически одаренных детей математика вытесняется более легкими околоматематическими занятиями» [39, С. 11].
На наш взгляд одной из причин этого является то, что при работе с математически одаренными учащимися акцент делается на умение решать задачи, а формирование математической культуры (культуры математической речи, культуры доказательств) отступает на второй план.
Особенно плохо дело обстоит с обучением доказательству: строгие логические рассуждения заменяются суррогатами, а иногда и картинка-ми-"комиксами". Эти проблемы отмечаются многими, но попытки создания единой системы, призванной их разрешить, нам не известны. Таким образом, обнаруживается противоречие. С одной стороны от математически одаренных школьников естественно ожидать боле высокого уровня культуры доказательств, а с другой стороны именно в этом направлении с ними не ведется достаточной систематической работы.
Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, состоящей в разрешении или хотя бы ослаблении указанного противоречия посредством выделения и разработки основных направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся.
Рассмотрим эти направления.
1. Прежде чем оперировать абстрактными математическими понятиями, ученик должен познакомиться с их содержательной стороной, ко-
торая является необходимой предпосылкой формирования верных, непустых абстракций.
Как неоднократно отмечалось ведущими математиками и методистами (В.М. Брадис [18], А. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [171], И.М. Яглом [186]), наилучшим источником образов и наиболее наглядной частью математики является геометрия окружающего пространства (или, как ее называет И.Ф. Шарыгин [177], наглядная геометрия), изучение которой способствует лучшей ориентации в пространстве.
В процессе работы с конкретными объектами реального мира все мыслительные операции осуществляются буквально: анализ как разделение, разбиение, разрезание; синтез как склеивание, соединение частей в единое целое; классификация как раскрашивание в разные цвета, раскладывание (группировка) по форме, размеру, цвету. В результате такой деятельности идет активное освоение окружающего пространства и накопление знаний о нем, что способствует лучшей ориентации и адаптации ребенка. Кроме того, эта деятельность увлекательна, и служит хорошим стимулом для последующего развития интереса учащихся к математике.
В процессе такой деятельности школьник постепенно абстрагируется от конкретного материала, очищает рассматриваемый объект от лишнего, называет его, включает его имя в систему понятий и учится оперировать не с конкретным предметом, а с его обозначением (знаком, символом). Для этого ученик должен приобрести опыт доказательных рассуждений, познакомится с многообразием методов доказательств на самом различном (и геометрическом, и алгебраическом, и логическом) материале.
Далее школьник должен научиться подмечать общие свойства объектов, потом - выбирать те свойства, из которых следуют остальные, а затем вычленять исходные положения теории, то есть выделять систему аксиом, на которой затем выстраивается вся теория.
Важность такой деятельности подчеркивали многие математики и методисты (А.А. Столяр [155-156], Г. Фройденталь [170-171] и др.). Поэтому учащиеся еще в стенах школы должны познакомиться с примером аксиоматического изложения теории. Осуществлять его, на наш взгляд, лучше не на геометрическом, а на алгебраическом материале, так как системы аксиом в алгебраических структурах значительно более просты и операциональны.
4. При работе с математически одаренными учащимися А.Н. Колмогоров говорил, что необходимо еще на школьной скамье «добраться с хо-
Ф> рошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и
неизвестным» [79, С. 106], знакомить молодых людей с новейшими достижениями в математике и приобщать их к самостоятельному получению результатов. Стремление заглянуть за горизонт, соприкоснуться с новым, неведомым, выйти на передовой рубеж науки, возможность открытия пусть небольшого, но еще неизвестного в науке факта - все это оставляет неизгладимые впечатления и заряд на всю последующую жизнь.
Таким образом, мы приходим к выводу, что при обучении доказа-
^ тельству математически одаренных учащихся должна быть предусмотре-
на работа в следующих направлениях:
первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;
развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;
опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;
вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.
Отметим, что каждый следующий пункт этой совокупности опира-ется на предыдущие и является их естественным продолжением. При
изучении материала каждого следующего пункта по-новому осмысливается содержание и методы доказательств, используемые ранее.
Не претендуя на глобальное изменение содержания курса математики в массовой школе, мы полагаем, что данные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся могли бы быть реализованы в рамках серии факультативных курсов по математике. В нашей работе предлагается один из вариантов такой реализации.
Объектом исследования является процесс обучения математике математически одаренных учащихся.
Предметом исследования являются специфика, содержание, методы и средства обучения доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах.
Целью исследования явилось выделение перечисленных направлений, разработка содержательных модулей (факультативных курсов) по каждому из них и экспериментальная проверка этих модулей в их соотнесенности с этапами обучения доказательству - как по отдельности, так и в их взаимных связях.
Гипотеза исследования: развитие мышления, познавательной активности и творческих способностей математически одаренных школьников будет более эффективным, если обучение их доказательству организовать следующим образом: первоначальное обучение доказательству проводить на материале наглядной геометрии; накопление методов доказательств осуществлять посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики; приобретение опыта изучения аксиоматических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации осуществлять на алгебраическом материале; вовлекать школьников в исследовательскую деятельность в области математики и для каждого из указанных направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс).
Установленные цели, объект, предмет и гипотеза исследования, потребовали решения следующих задач исследования: ^проанализировать основные психолого-педагогические концепции одаренности;
изучить состояние проблемы обучения доказательству в школе;
выделить основные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся и дать теоретическое обоснование целесообразности их выделения;
для каждого из направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс);
экспериментально проверить эффективность предложенной совокупности направлений при их реализации на факультативных курсах.
При выявлении и разработке совокупности основных направлений в обучении доказательству были использованы исследования психологов, педагогов, методистов и математиков, направленные на повышение эффективности процесса обучения в школе.
Общие вопросы развития способностей, особенности работы с одаренными детьми и приобщения их к творческой деятельности рассмотрены в трудах Л.С. Выготского [31], С.Н. Дорофеева [56], И.И. Ильясова [67], Н.С. Лейтеса [89, 90], А.Н.Леонтьева [92], ЯЛ. Пономарева [134], С.Л. Рубинштейна [141], Б.М. Теплова [159], B.C. Юркевич [182-184], кандидатских диссертациях А.В. Жигайлова [60], А.В. Менделя [109], докторской диссертации Н.И. Мерлиной [110] и других.
Ряд крупных математиков (Ж. Адамар [1], А.Д. Александров [2], В.Г. Болтянский [17], А.Н. Колмогоров [78-79], А. Пуанкаре [138], Г. Фрой-денталь [171]), изучая природу математического творчества, делали ценные замечания о значении наглядно-образного компонента мышления в творчестве. Различным аспектам реализации принципа наглядности в обучении посвящено достаточно много диссертационных исследований.
Среди работ последних лет отметим кандидатские диссертации В.Н. Березина [11], Г.Х. Воистиновой [28], Ж. Г. Дед овец [51], докторскую диссертацию А.Я. Цукаря [176].
О необходимости аксиоматического изучения математических теорий говорили В.М. Брадис [18], Н. Бурбаки [20-21], Г. Вейль [23-24], А. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [170]. Опыт изучения в аксиоматическом духе некоторой геометрической или алгебраической теории описан в работах Н.М. Бескина [12], А.Н. Колмогорова [78], А.А. Столяра [155— 156], в докторской диссертации А.Х. Назиева [123].
О необходимости развития абстрактно-логического мышления и приобщении учащихся к исследовательской деятельности говорили практически все ведущие психологи, педагоги, методисты и математики. Отметим, например, Н.Я. Виленкина [27], А.Н. Колмогорова [78-80, 140], В.А. Крутецкого [86], И. Лакатоса [87], И.Я. Лернера [93], П.И. Пидкасис-того [126], В.М. Тихомирова [161], Р.А. Утееву [164], кандидатские диссертации В.Ю. Лешера [94], З.И. Хусаиновой [175] и др.
Таким образом, отдельные составляющие разрабатываемой нами совокупности направлений в обучении доказательству постоянно находятся в центре внимания психолого-педагогической науки и практики. Вместе с тем, исследование этих направлений в их взаимной связи не встречалось в психолого-педагогических и методических работах.
Методологической основой исследования явились:
труды по философии и методологии математики и математического образования (Г. Вейль [24], А.Н. Колмогоров [78], А.И. Маркушевич [103], Д. Пойа [131, 132], А. Пуанкаре [138], Г.И. Саранцев [144], Г. Фройденталь [170,171], А.Я. Хинчин [173], и др.);
теоретические труды по проблемам содержания школьного математического образования (В.А. Гусев [47], Ю.М. Колягин [83], А.Г. Мордко-вич [120], Г.И. Саранцева [144-146], А.А. Столяр [155, 156] и др.);
- концепция деятельностного подхода к обучению (А.Н. Леонтьев [95],
w С.Л. Рубинштейн [141, 142] и др.);
концепция гуманитарно ориентированного преподавания математики А.Х. Назиева [123-124];
методическая концепция обучения доказательству Г.И. Саранцева [145, 146];
концепция геометрического образования И.Ф. Шарыгина [177].
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования.
анализ психолого-педагогической, методической и математической ф> литературы по проблеме исследования;
анализ школьных программ, учебников и учебных пособий;
наблюдение, опрос, анкетирование, обобщение педагогического опыта;
- экспериментальная апробация отдельных направлений в обучении
доказательству и всей их совокупности.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем пред
ложен новый подход к решению проблемы развития мышления матема
тически одаренных учащихся, основанный на выделении четырех на-
& правлений обучения их доказательным рассуждениям (первоначальное
обучение на материале наглядной геометрии; развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения некоторых тем школьного курса математики; приобщение к процессу аксиоматизации; вовлечение в исследовательскую деятельность).
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что автором
- выявлена, разработана и теоретически обоснована совокупность на
правлений в обучении доказательству математически одаренных
школьников в целом и каждое из направлений в отдельности;
- показана реализация данной совокупности через серию факультативов;
*у - выявлены основные особенности обучения доказательству математи
чески одаренных учащихся различного возраста;
- в основу организации исследовательской работы учащихся положены результаты автора по планиметрии Лобачевского (выявлено 14 новых типов четырехугольников, доказано их существование и проведена классификация). Практическая значимость исследования определяется наличием в нем конкретных методических рекомендаций, которые могут быть реализованы в практике обучения доказательству учащихся средних школ. Материалы исследования могут быть использованы при разработке программ и отборе содержания для кружковых и факультативных занятий в средней школе, при проведении курсов повышения квалификации учителей математики, а также при чтении спецкурсов студентам математических специальностей педвузов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Решение проблемы обучения доказательству математически одарен
ных школьников имеет комплексный характер, включающий в себя:
первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;
развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;
опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;
вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.
2. Выделенная нами совокупность направлений в обучении доказатель
ству математически одаренных учащихся согласуется с психофизио
логическими особенностями развития мышления школьников и с
этапами обучения доказательству.
3. Перечисленные направления в обучении доказательству математиче-
^ ски одаренных учащихся целесообразно реализовывать на следую-
щей серии факультативных курсов:
«Задачи на клетчатой бумаге»;
«Задачи на построение», «Логические задачи»;
«Введение в теорию функциональных уравнений»;
«Элементы геометрии Лобачевского на плоскости».
На защиту также выносятся: программы, содержание и методика
проведения перечисленных факультативов в школе и спецкурсов (в рамках
to дисциплины преддипломной специализации) для математических специ-
альностей в педвузах, а также учебные пособия по указанным курсам.
Достоверность и обоснованность основных положений и выво
дов диссертации обеспечивается использованием целостного подхода к
изучаемой проблеме; построением исследования на основе положений
современной психологии, педагогики и методики преподавания матема
тики; положительной оценкой учителями и методистами разработанных
учебных материалов и методики их использования; результатами опыт
ам ного обучения и внедрения.
Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на межвузовских научно-методических конференциях «Рязанские педагогические чтения» в 2000, 2001 и 2003 гг., на VII и VIII международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 1999 и 2000 гг., на II Всероссийской конференции «Качество педагогического образования» (Рязань, 2001 г), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов под руководством А.Г. Мордковича в Калуге (1998 г), Брянске (1999 г), Москве (2000 г), Санкт-Петербурге (2002 г).
Внедрение результатов исследования в практику. Разрабо-тайная автором методические материалы использовались в ходе экспериментальной проверки при проведении факультативов по математике
в средних общеобразовательных школах № 63, 67 и 68 г. Рязани (1999-2002 гг.) и областном физико-математическом лагере старшеклассников (1998- 2002 гг.). Публикации автора широко используются учителями математики г. Рязани и области в кружковой работе и при подготовке школьников к математическим конкурсам и олимпиадам различного уровня. Отдельные направления используются преподавателями кафедры алгебры и геометрии РГПУ для проведения спецкурсов и в индивидуальной работе со студентами физико-математического факультета.
Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 20 научно-методических работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 189 страниц. Из них 173 страницы основного текста, 16 страниц - список литературы из 189 наименований. В работе содержится 24 рисунка и 4 таблицы.
Во введении указана тема работы, обоснована ее актуальность, описаны объект и предмет исследования, определены цель и задачи исследования, раскрывается теоретическая и практическая значимость результатов исследования, перечислены положения, которые выносятся на защиту.
В первой главе проводится анализ материала по теме исследования, выделяются основные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся, формулируются задачи их теоретического обоснования и проводится такое обоснование.
Во второй главе описывается методика практической реализации выделенных направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся, организация эксперимента и его результаты.
В заключении сформулированы основные выводы работы. Они, в частности отражены в положениях, выносимых на защиту.
Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми
Одна из основных трудностей в развитии и стимулировании таланта связана с проблемами определения самого понятия «одаренность». Общепризнанно отсутствие единого научного определения и обоснования этого понятия1. Существует более 100 определений одаренности, большая часть которых относится к раннему развитию детей и использует такие психологические конструкты, как интеллект и креативность2, или основана на таком критерии, как высокие оценки по учебным предметам [169, С. 373].
С.Л. Рубинштейн говорил, что проблема способностей - это проблема развития [142]. Однако проблема развития - это в первую очередь проблема определения его природы. В отечественной психологии принято выделять три основных типа определения развития способностей, которые существуют в рамках единого деятельностного подхода.
В школе Б.М. Теплова, работавшего в контексте анализа индивидуальных различий, под детской одаренностью понимается особо благоприятные внутренние предпосылки умственного развития, выступающие у ребенка в необычно высокой восприимчивости к учению и в более выраженных творческих проявлениях [159].
Л.С. Выготский интерпретирует развитие ребенка как процесс освоения им общечеловеческих способностей [31]. В разработанной на основе его теории концепции под способностями понимаются ориентировочные действия, осуществляемые путем использования существующих в культуре средств, а под их развитием - процесс освоения ребенком способов применения различных средств при решении различных типов задач. При этом, как отмечает Д.Б. Богоявленская, необходимым компонентом умственной одаренности ребенка является высокий уровень развития действий опосредования, проявляемый в задачах разного типа [14].
В теории С.Л. Рубинштейна, сформулировавшего принцип действия внешних причин через внутренние условия, источником развития способностей выступает противоречие между наличным уровнем развития способностей и требованиями деятельности [141, Т.2, С. 136].
Необходимо отметить, что, различаясь в вопросах определения развития способностей, все три указанные линии сходятся в одну в понимании самих творческих способностей, как способностей к преобразующей деятельности, к созданию нового (ключевым в этом определении является слово «новизна»). Всесторонне оценить это единение можно лишь в контексте исторического развития данной проблемы.
В начале своего пути психологическая наука для объяснения природы творческих способностей привлекала понятие психической энергии как их материального носителя (А.Ф. Лазурский, Ч. Спирмен, 3. Фрейд и др.). Такой подход объяснял индивидуальный разброс в проявлении творческих способностей, так как энергия является положительной скалярной величиной, обладающей свойством аддитивности.
Дальнейшее развитие понятия психической энергии закрепило ме-ханистическую традицию, признающую лишь количественные различия, и определило представление о творческих способностях как о максимальном выражении способностей вообще (Г. Айзенк, Д. Векслер и др.).
Такое понимание творческих способностей подкреплялось методически. Этому способствовали развитие факторного анализа, востребованного тестологией, и метод проблемных ситуаций. Этот метод впервые позволил представить мышление как самостоятельную функцию, а затем подвергнуть его научному анализу как продуктивный процесс, который базируется лишь на умственных способностях человека.
Своей вершины анализ продуктивного процесса достиг в работах С.Л. Рубинштейна. В его школе впервые были выявлены факторы, определяющие инсайт (догадку, внезапное озарение), момент которого в принципе невозможно прогнозировать. До этого инсайт традиционно рассматривался как явление непредсказуемое и не зависящее от предшествующего ему хода мысли. Разработанное в школе С.Л. Рубинштейна представление о догадке как о «стремительно кристаллизующемся зако номерном результате проведенного анализа» [141, Т.2, С. 59] снимало налет иррациональности с этого явления и было для своего времени значительной победой психологии мышления. Но оно носило лишь частный характер и не объясняло всей природы творчества.
Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми
Традиционно считается, что познание есть "отражение" реальной действительности в человеческих понятиях. На уровне формирования эмпирических предпонятий это определение вполне уместно. Эмпирические предпонятия действительно "отражают" внешние, непосредственно воспринимаемые свойства и качества реальных предметов. Однако ситуация коренным образом меняется, когда речь идет о познании сущности явлений. «Познание сущности явлений не является актом непосредственного "отражения", а представляет собой процесс моделирования исследуемого явления с помощью предугаданной схемы» [101, С. 9].
Психологи тоже пришли к выводу, что продуктивное, творческое мышление начинается не с деталей, а с внезапного усмотрения общего принципа, общей идеи, возникающей в форме "озарения". М. Вертгеймер [26] указывал, что понимание явления сводится к выявлению его структуры. Ж. Пиаже отмечал, что «основой общего здания математики считались некоторые простые объекты, рассматриваемые изолировано друг от друга. Это были целые числа, точки, линии и т.д. Эти объекты всегда рассматривались, как данные сами по себе» [127, С. 11]. Однако, подчеркивает Пиаже далее, на самом деле эти объекты являются лишь элементами объемлющей системы, «вне которой эти элементы не имеют ни значения, ни вообще существования» [127, С. 13]. На это же указывали и советские психологи. Так, например, В.В. Давыдов подчеркивал, что необходимость предварительного усмотрения структуры целого является одним из проявлений принципа восхождения от общего к частному [49]. Известный американский психолог Дж. Брунер писал, что хорошее преподавание должно начинаться с выделения структуры изучаемого [19, С. 13].
Подчеркнем, что первый шаг интуитивного схватывания общей идеи является чисто творческим актом, основанным на активности человеческого сознания, способного как бы "черпать из себя", опираясь при этом на ранее усвоенные знания, выполняющие роль "поля понимания". В пользу правильности этой картины говорят и наблюдения многих видных математиков, занимающихся исследованием своей мыслительной деятельности ([1], [138]).
Исследования математиков, психологов, философов показали, что механизм познания имеет довольно сложную структуру: он состоит из двух частей, взаимно дополняющих друг друга. С одной стороны идет процесс вживания в ситуацию, процесс "ощупывания" и накопления информации, в результате которого формируется довольно неопределенное, аморфное "информационное поле", состоящее из отдельных "информационных единиц", слабо согласованных, трудно обозреваемых -некоего "информационного тумана" [101, С. 32].
Вторая же часть процесса заключается в поисках возможностей осмысления информационного поля с помощью ранее сложившихся и уже знакомых и привычных схем, идей и конструкций. Идет процесс актуализации всего этого прошлого опыта, происходит "примеривание" различных схем и идей к информационному полю, идет поиск такой схемы, которая помогла бы упорядочить накопленную информацию и наделить ее определенной структурой. Мы сами привносим этот порядок. Мы пытаемся приспособить наши знания к тому, чтобы изобрести такую структуру, которая могла бы служить моделью исследуемого. Построение такой модели, которая была бы достаточно адекватна исследуемому, и есть цель познания. Мы можем "увидеть" только то, что позволяют наши возможности, наши знания, наш язык. Догадки всегда черпаются из области ранее изученного, уже известного. Познать, интерпретировать, моделировать исследуемое явление означает описать его с помощью ранее сформировавшейся, уже знакомой системы знаний.
Познание - это, по существу, перевод накопленной информации на привычный для нас язык. Этот язык должен быть достаточно богат. Для познания каждого явления требуются свои специфические языковые средства и, если этих средств нет, если необходимые понятия еще не сформированы, или если мы не владеем тем языком, который необходим для построения модели, то невозможно и познание. «Величественную книгу природы, - цитирует Г. Галиля Г. Вейль, - может читать лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики» [24, С. 18].
. Первоначальное обучение доказательству при решении задач на клетчатой бумаге
Аксиоматическое изучение математической теории, как неоднократно отмечал Н. Бурбаки, есть рациональный и упорядоченный путь изложения, который более направлен на прояснение интуиции, чем давит на нее. Основная цель аксиоматики - уразумение существа математики. «Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия» [20, С. 248]. Он учит отказаться от каких-либо ограничений и гипотез относительно "природы" рассматриваемых математических объектов и развивать теорию, опираясь только на аксиомы данной математической структуры и их логические следствия. (Эту же мысль высказывал ранее А. Пуанкаре [138, С. 312]).
Аксиоматический метод выполняет ряд функций, существенно облегчающих поиск и решение новых проблем [20, С. 249-254].
1. Аксиоматический метод учит находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из отдельных теорий, извлекать эти идеи и подвергать их изучению. Основной формой этого метода является «разделение трудностей, чтобы лучше их решать».
2. Аксиоматический метод приводит к экономии мысли. Каждый раз, когда математик выясняет, что изучаемые объекты удовлетворяют аксиомам структуры определенного типа, он сразу использует арсенал общих теорем, относящихся к этой структуре, вместо того, чтобы искать способы решения конкретной проблемы.
3. Аксиоматический метод развивает математическую интуицию, позволяет обозревать проблему под новым, неожиданным углом, что рождает плодотворные мысли. Это объясняется тем, что каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той конкретной специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ. Это обстоятельство направляет интуитивный поток мыслей исследователя в определенном направлении. В результате этого он получает неожиданные результаты, и часто вся теория при этом приобретает новое освещение и истолкование.
Таким образом, аксиоматика перестала быть только методом выяснения логических связей и углубления оснований и превратилась в мощное средство математического исследования. Аксиоматическое построение и дедуктивный характер являются отличительными чертами математики. Подчеркивая эту мысль, Д. Гильберт писал: «Все, что может быть объектом научных исследований, как только оно созреет для формирования научной теории, становится достоянием аксиоматического метода и, посредством его, математики» [124, С. 23].
В математике выделяют три уровня построения аксиоматических теории [20, 23, 24, 76, 78, 170-171, 185, 188]:
1) содержательная аксиоматическая теория, описывающая одну конкретную структуру (множество объектов определенной природы с введенными в нем отношениями определенного смысла), в развертывании которой используется интуитивная логика;
2) полуформальная аксиоматическая теория, описывающая род структур (объекты и отношения уже могут иметь различные истолкования), в развертывании которой, как в содержательной теории, используется интуитивная логика;
3) формальная аксиоматическая теория, строящаяся на базе определенной, в свою очередь аксиоматизированной логической системы.
