Введение к работе
Актуадьнооть исследования.
Сущностью современного этапа развития образования является переход к личностно-ориентированному обучению, цель которого заключается в обеспечении развития и саморазвития личности ученика, основанном на выявлении его индивидуальных особенностей как субъекта познания и учебной деятельности. В новой образовательной парадигме содержание образования, его средства и методы структурируются так, что позволяют ученику проявить избирательность к предметному материалу. Изменяется критериальная база обучения: отслеживаются не столько знания, умения и навыки, сколько сформи-рованность качеств личностных новообразований; переносится акцент с узкопредметных на метапредметные, методологические знания. Признание права ученика на выбор собственного пути развития проявляется в создании разнообразных форм обучения.
Изменение образовательной парадигмы влечет не только появление новых предметов изучения в средней школе, но и изменение подходов к изучении традиционных предметов, в частности математики. Это проявляется в появлении разнообразных учебных пособий для школы, альтернативных программ, публикаций в научно-методической литературе и др. Уже перестраивается курс геометрии в направлении развития пространственного мышления, более результативного использования взаимосвязей образного и логического компонентов мышления учеников и др. Перенос акцента с операционных умений учеников на эвристические касается усовершенствований курса алгебры.
Изучение начал математического анализа в средней школе связано с рядом трудностей: высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность учебного времени для осмысления сложных вопросов и др. Минимизация этих проблем традиционно считалась сложной задачей и в связи о этим возникали попытки исключения отдельных вопросов математического анализа из школьной программы. Фактически это затронуло понятия предела функции, действительного числа. Однако, эти понятия принадлежат к фундаментальным основам математического анализа. Их значимость определяется не только предметным и прикладным аспектами, но и общекультурным аспектом. Познание фундаментальных понятий математического анализа не ограничивается рамками одного школьного предмета, поскольку они отражают достаточно широкую об-
дасть человеческого бытия, воплощая идеи актуальной и потенциальной бесконечности, непрерывности и др. Реализация различных аспектов формирования этих понятии и идейно связанных с ними вопросов может быть осуществлена за счет привлечения не только аналитических, но и образных компонентов мышления школьников, особенно в классах гуманитарного профиля.
История исследований по методике обучения фундаментальным понятиям математического анализа содержит ряд этапов. На первом этапе (Х.О.Роос, Ю.Н.Макарычев, В.С.Елин и др.) был содержательно отобран материал, подлежащий изучению в школе, положено начало формированию системы упражнений для школьного курса начал математического анализа, составивших базовую основу его изучения на операционном уровне. На этом этапе исследователям не удалось избежать влияния вузовского курса математического анализа на разработку школьного варианта. В качестве ведущей формы для представления содержания понятий математического анализа была выбрана знаково-символическая. Большее внимание уделялось формальной стороне изучения основных вопросов математического анализа, нежели наглядно-интуитивной. В связи с этим материал оказался сложным для основной массы учащихся. При обучении фундаментальным понятиям математического анализа не обращались к личному опыту учеников, накопленному ими за предыдущие годы обучения. Преодоление этих недостатков стадо задачей следующего этапа исследований.
На втором этапе предлагаются различные способы введения понятия предела: на языке последовательностей (В.Е.Шумов), на основе понятия направленного множества (В.В.Рыжков), на основе понятия окрестности (Г.М.Серегин, Э.К.Брейтигам). На этом этапе рассматриваются возможные пути организации пропедевтики понятий математического анализа в курсе алгебры неполной средней школы. Разработаны задания графического содержания для курса начал математического анализа, в частности для изучения свойств функций и понятия предела (Г.Т.Юртаева, А.Н. Земляков и др.). Необходимость целостного осмысления начал математического анализа, оценка роли образного мышления в этом процессе определяет третий этап исследований (Е.С.Муравьев, П.Т.Сатьянов, Л.М.Савинцева, Н.А.Резник и др.), характеризуемый рассмотрением понятии действительного чио-ла, функции, непрерывности и предела функции. Но эти подходы разными авторами рассматривались либо для отдельных начальных понятий, либо после формального введения этих понятий, либо на уровне
их применения. Поэтому, данные ими рекомендации не нашли реализации в школе и до сих пор такие фундаментальные понятия, как действительное число, функция, предел функции, не получили должного отражения в школьном курсе начал математического анализа.
Вместе с тем существует возможность использования различных языков представления понятий на самых первых этапах обучения, начиная со знакомства с основными понятиями математического анализа, поскольку заложенные в них идеи имеют в качестве приоритетных различные языки представления, доступные для сознательного усвоения учащимися.
Изучение математических понятий ученик может осуществлять на различных уровнях усвоения: наглядно-иллюстративном, операционном, формально- логическом. Переход на более высокий уровень возможен лишь при владении знаниями на предыдущем. Поскольку первым уровнем является наглядно-иллюстративный, то особую значимость его достижение приобретает при изучении принципиально новых для учащихся старших классов фундаментальных понятии математического анализа. Высокий уровень абстракции этих понятий не позволяет сразу осуществить переход к овладению ими на различных языках, необходим учет личного опыта учащихся, закрепленный в индивидуальных житейских представлениях. Использование житейских представлений учащихся особенно важно на первых этапах изучения понятий. В образной форме возможно выразить идеи бесконечности, непрерывности и др., лежащие в основе фундаментальных понятий математического анализа. Эти понятия и идеи носят характер метапред-метных первосмыслов и имеют свое проявление не только в математике, но и других учебных дисциплинах. Раскрытие первосмыслов особенно важно, поскольку это способствует осознанию общекультурной ценности математического анализа, развитию мировоззрения. Рассмотрение физических процессов при изучении математического анализа вызывает затруднения у многих учащихся, особенно гуманитарных классов. Взаимосвязь понятий и идей математического анализа демонстрирует схема 1.
Фундаментальные понятия анализа имеют преимущество перед другими изучаемыми в средней шкоде понятиями еще и потому, что имеются богатые выразительные возможности: могут быть использованы различные формы представления их содержания (вербальная (словесная), знаково-символическая, геометрические (графическая)). Такого широкого спектра выразительных возможностей не имеет ни
один другой раздел математики из изучаемых в школе. В качестве средств обучения началам математического анализа, использующих эти возможности, могут быть выбраны задачи на представление содержания фундаментальных понятий математического анализа и их перевод с одного языка представления на другие.
Взаимосвязь понятий и идей в курсе математического анализа
Понятие Идея
Действительное число
Актуальн.бесконечности
Потенц.осуществимости
Функция
Измерения
Близости
Предел функции
Соответствия
Стремления
Непрерывность
Симметрии
Изменения
ч>
Движения
L>
Зависимости
Таким образом, возможность использования житейских представлений учеников при первичном знакомстве с фундаментальными понятиями математического анализа, изучение этих понятий во взаимосвязи, организации на первых этапах обучения деятельности по переводу содержания понятий на различные языки представления, позволяющие развивать индивидуальные образы учеников адекватно научному смыслу изучаемых математических фактов продолжает и развивает третий этап исследования проблем обучения началам математического анализа в средней школе, определяет актуальность нашего исследования.
Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск средств обучения фундаментальным понятиям математического анализа, использующих богатые выразительные возможности этих понятий; обращенных к личному опыту учеников; позволяющих задействовать логический и образный компоненты мышления школьников. Дель исследования состоит в разработке методики реализации и использования этих средств при изучении фундаментальных понятий математического анализа в средней школе.
Объект исследования - процесс обучения фундаментальным понятиям математического анализа в средней школе.
Предмет исследования - средства представления в различных формах и перевода на различные языки содержания фундаментальных понятий математического анализа.
Использование при обучении фундаментальным понятиям математического анализа разнообразных средств представления и перевода математического содержания на различные языки представления может обеспечить на первом уровне усвоение, адекватное научному смыслу понятий. Экспериментально проверить, адекватны ли индивидуальные образы учеников научному смыслу понятий не представляется возможным. Теоретическое исследование позволяет обосновать этот факт. Основные положения и выводы изложены в 1.2 диссертации.
Использование средств представления содержания понятий и его перевода с одного языка на другие (графические наглядные пособия, пособия-схемы, целесообразно подобранные задания на представление понятий, задачи на перевод содержания понятий с одного языка на другие) позволяет достичь сознательного усвоения фундаментальных понятий математического анализа учащимися средней школы. Сознательность усвоения выражается в возможности использования разных форм представления содержания при решении задач; в возможности переноса деятельности по переводу содержания на различные языки представления в новые ситуации (решение уравнений, неравенств, "нестандартных" задач и т.д.).
Гипотеза исследования: если фундаментальные понятия математического анализа изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перевода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
-
На основе анализа литературы, содержания школьного курса математического анализа,, изучения опыта работы учителей средних школ, выяонить возможность использования в процессе обучения фундаментальным понятиям математического анализа таких средств обучения, которые позволяют представлять изучаемый материал в разных формах, а также переводить содержание о одного языка на другой, что обеспечит гибкое владение знаниями.
-
Выявить особенности и основные этапы познания фундаментальных понятий математического анализа, и возможности учета этих особенностей в процеосе обучения.
-
Разработать методику обучения фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования средств представления и перевода.
-
Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики обучения фундаментальным понятиям математического анализа и проверку гипотезы.
Для решения поставленных задач были использованы методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, науч-но-методичеокой литературы по проблеме исследования и содержания школьного курса алгебры и начал математического анализа; изучение опыта преподавания математического анализа в средней школе и учебной деятельности школьников, а также изучение и анализ ее результатов; организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов, количественная и качественная обработка их результатов.
Исследование проводилось в три этапа (1992-1997 гг.).
На первом этапе (1992-1994 гг.) осуществлялся анализ психолого- педагогической литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей средних школ по преподаванию начал математического анализа и состояния обучения этому курсу. Был проведен анализ содержания школьного курса математического анализа. Уточнена проблема исследования и выявлены возможности использования при изучении фундаментальных понятий математического анализа образных компонентов мышления школьников. Проведена первая отадия констатирующего эксперимента.
На втором этапе (1994-1995 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения фундаментальных понятий математического анализа, разработана методика обучения, ориентированная на учеников средней общеобразовательной школы и
- В -
учитывающая результаты констатирующего и поискового этапов эксперимента. Подготовлены методические рекомендации для учащихся по использованию рааличных форм представления фундаментальных понятий математического анализа. Проведена первая стадия формирующего эксперимента.
На третьем этапе (1995-1996 гг.) был продолжен формирующий эксперимент в других классах. Обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.
Концептуальной основой исследования явились философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, дидактические принципы обучения, личчостно- ориентированная образовательная парадигма.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что:
теоретически и экспериментально обоснована целесообразность использования различных форм представления фундаментальных понятий математического анализа, организации деятельности учеников по переводу их содержания на различные языки представления;
разработана методика обучения единым комплексом фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм для их представления и задач по переводу математического содержания понятий на различные языки представления при изучении алгебры и начал математического анализа в средней школе.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны наборы задач на представление понятий и перевод их содержания с одного "языка" представления на другие. Эти задачи могут быть использованы при обучении началам математического анализа в средней школе. Подготовлены методические рекомендации "Различные формы представления основных понятий математического анализа в школе", которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятии по математике.
Достоверность результатов исследования обеспечивают:
теоретический анализ проблемы;
результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались, на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена
(1995 г.)і научно- практическом семинаре "Обучение математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях"(1995г.)і методологических семинарах кафедры методики обучения математике РИГУ им. А.И.Герцена (1996 г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в Российско-американской профессиональной школе, Алтайском Краевом педагогическом лицее, средних общеобразовательных школах №62, №59 г. Барнаула.
На защиту выносятся:
-
Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования различных форм представления фундаментальных понятий математического анализа, организация деятельности учеников по переводу содержания на различные языки представления на первых этапах обучения фундаментальным понятиям математического анализа.
-
Методика обучения единым комплексом фундаментальным понятиям математического анализа на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм для их представления и задач по переводу математического содержания понятий на различные языки представления в курсе "Алгебра и начала математического анализа" в средней школе.