Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Психолого- педагогические основы формирования математического мышления
1. Понятие мышления в психолого- педагогической литературе 12
2. Основные характеристики математического мышления 29
Глава 2. Блоки прикладных задач, методика их решения и влияние на развитие математического мышления 49
1 .Математическое моделирование как средство решения прикладных задач и формирования математического мышления 49
2.Разработка блоков прикладных задач, способствующих эффективному развитию математического мышления 71
2.1. Развитие математического мышления при реализации межпредметных связей в яроцессе решения прикладных задач..73
2.2.Роль алгоритмических предписаний при внутримодельном решении прикладной задачи в активизации мыслительной деятельности учащихся 106
2.3. Блоки прикладных задач по некоторым темам школьного курса математики 120
3. Методика решения прикладных задач и возможность учёта их влияния на развитие математического мышления учащихся....122
4. Результаты педагогического эксперимента 150
Заключение 173
Библиография 175
Приложения 193
- Понятие мышления в психолого- педагогической литературе
- Основные характеристики математического мышления
- .Математическое моделирование как средство решения прикладных задач и формирования математического мышления
Понятие мышления в психолого- педагогической литературе
Усвоение школьниками системы математических знаний и овладение определенными математическими умениями и навыками является одной из задач сложного процесса математического образования. Другой задачей, не менее важной, чем первая, является развитие мышления учащихся. Давно известно, что те факты, над усвоением которых ученик долго бился в школе, быстро забываются, если они не находят повседневного применения, а остается математическое развитие ученика, его способность математически мыслить. Поэтому мы считаем, что важнейшей задачей современной школы является обеспечение достаточно высокого уровня развития мышления учащихся, что ученик в школе должен получить не только оптимальный объём информации, но, главным образом, научиться мыслить, причем мыслить творчески.
Понятие мышления можно рассматривать с различных точек зрения: философской, психологической и других.
С философской точки зрения, мышление- это высшая ступень человеческого познания, процесса отражения объективной действительности. Мышление позволяет получать знания о таких объектах, свойствах и отношениях реального мира, которые не могут быть непосредственно восприняты на чувственной ступени познания. Мышление человека имеет общественно-историческую природу, неразрывно связано практической деятельностью. Формы и законы мышления изучаются логикой, механизмы его протекания- психологией и нейрофизиологией. Кибернетика анализирует мышление в связи с задачами технического моделирования некоторых мыслительных операций. (159, с 860)
С точки зрения психологии мышление- это социально обусловленный неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.
Психологическая наука выделяет следующие виды мышления:
1) интуитивное-характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, минимальной осознанностью;
2) наглядно-действенное- характеризуется тем, что решение задачи осуществляется с помощью реального, физического преобразования ситуации, опробования свойств объектов;
3) наглядно-образное-связано с представлением ситуаций и изменений в них, причем в образе может быть зафиксировано одновременное видение предмета с нескольких точек зрения;
4) практическое- связано с постановкой целей, выработкой планов, проектов и часто развертывается в условиях дефицита времени, что подчас делает его еще более сложным, чем мышление теоретическое;
5) словесно-логическое- характеризуется тем, что используются понятия, логические конструкции, функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. В его структуре формируются и функционируют различные виды обобщений;
6) творческое- характеризуется созданием субъективно нового продукта и новообразованиями в самой познавательной деятельности по его созданию. Эти новообразования касаются мотивации, целей, оценок, смыслов. Творческое мышление отличают от процессов применения готовых знаний и умений, называемых репродуктивным мышлением.
Основные характеристики математического мышления
Проведя анализ психолого-педагогической литературы по вопросам математического мышления и его развития, мы обнаружили, что в настоящее время не выявилось единого подхода к трактовке мышления и объяснению тех механизмов, которые управляют мышлением. Это мы склонны объяснить тем, что в сравнении с другими процессами человеческой психики мышление является наиболее скрытым, труднодоступным для изучения процессом.
Диалектико- материалистическое понимание мышления на основе принципа детерминизма заключается в том, что мышление есть "непрерывное взаимодействие мыслящего субъекта с познаваемым объектом. В ходе их взаимодействия субъект обнаруживает в объекте все новые и новые свойства, которые также включаются в детерминацию практической и познавательной деятельности"(15,с.37). Э.В.Ильенков (59) отмечал, что "учить специфически человеческому мышлению- значит учить диалектике", что характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, единства, взаимосвязи и взаимозависимости понятий и соотношений. Мыслить диалектически-значит проявлять способность к нешаблонному, разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проблем.
Этой характеристике, присущей мышлению вообще, полностью соответствует математическое мышление,
Вполне понятно, что если нет единого подхода к трактовке мышления, то также нет единого подхода и к трактовке математического мышления. Ю. М. Колягин рассматривает понятие математического мышления при следующих ограничениях: 1) "математическое мышление" используется как удобный рабочий термин; 2) не ставится целью характеризовать математическое мышление с "внутренней", чисто психологической стороны, целью является выявить определенные, проявляющиеся в учебной деятельности черты математического мышления, априори признать, что развитие их у школьников в процессе обучения математике повысит эффективность математического развития учащихся в целом, наметить некоторые дидактические пути реализации такого развития в обучении. При этих условиях Ю. М. Колягин (1 П,с,106) вводит понятие "математическое мышление": "Под математическим мышлением будем понимать, во-первых ту форму, в которой проявляется диалектическое мышление в процессе познания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математики в других науках, технике, народном хозяйстве и т. д.; во-вторых, ту специфику, которая обусловлена самой природой математической науки, применяемых ею методов познания явлений реальной действительности, а также, теми общими приемами мышления, которые при этом используются."
Исследуя вопросы формирования теоретического мышления у школьников, В. В. Давыдов (39,с.339) показал, что "лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление может истинно отразить свой объект, которое выступает как логическое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики. Так, лишь задавая человеку содержательное обобщение, можно полагать, что он будет ориентироваться именно на существенные связи и вычленять их из массы несущественных свойств, т. е. будет обладать "чутьем процесса". Критерий же такого обобщения (как и всех других категорий) формулирует диалектическая логика, выступающая тем самым и главным "критерием" теоретического мышления...". Отсюда ясно, что полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое.
С логических же позиций подошел к рассмотрению понятия математического мышления Н. А. Терешин, исследуя причины проникновения математики во все области знания. Его определение математического мышления: "... математическое мышление- это специфическое воспроизводство абстракций и идеализации науки, оперирование ими по строгим правилам логики. Оно характеризуется способностями: 1) формализации знания; 2) оперирования формальными структурами, структурными отношениями и связями; 3) перехода от одной операции к другой, установления между ними диалектических связей; 4) сокращения (сверты-вания) мыслительного процесса."(176, с. 21)
.Математическое моделирование как средство решения прикладных задач и формирования математического мышления
Прикладная направленность школьного курса математики явно недостаточна для реализации целей математического образования, по скольку в курсе алгебры формируется математический аппарат, обслу живающий практически лишь внутренние потребности курса математи ки и в меньшей степени других школьных предметов, а основной упор курса геометрии сделан на дедуктивные рассуждения, основой которых является аксиоматический метод. Создаются экспериментальные программы (Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Л.Г. Петерсон, В.А. Гусев, А.Г. Мордкович и др.), ставящие своей целью создание системы разви вающего обучения математики, при реализации которых в сознании и деятельности учащихся формируется комплекс математических понятий, отражающих потребности человека, обеспечивающий оптимальные условия существования человека в окружающем мире, отражающий закономерности этого мира. При этом главным является не только достаточно богатое и интеллектуально ёмкое содержание и соответствующие способы мыслительной деятельности учащихся, но и практическая ори ентация изучения математики, позволяющая превратить в глазах учащихся этот предмет в интересный и полезный.
Реализация подобных устремлений связана с обучением школьни-ков построению, исследованию и применению математических моделей окружающего мира. В обширной литературе последних лет (1, 19, 28, 29, 30. 58, 70, 96, 118, 137, 144, 164, 191,201) проводится анализ метода моделирования, исследуются возможности применения его в отдельных науках- естественных науках, технике, биологии, лингвистике, экологии, медицине, экономике и др. (35,61,69.83,99,100).
С логической точки зрения метод моделирования представляет собой переход от знания одного объекта к познанию другого или других объектов. Модель-некоторая реально существующая или мысленно представляемая система, которая замещая и отображая в познавательных процессах другую систему- оригинал- находится с ней в отношении сходства (подобия), благодаря чему изучение модели позволяет получить информацию об оригинале.
По существу, почти любая тема школьного курса математики заканчивается построением некоторой математической модели, причём для её построения используются как индуктивные, так и дедуктивные методы. Получая в результате рассуждений некоторую формулу, график, алгоритм и т.п., мы тем самым имеем дело с моделированием и чем значимей объект, тем желательней больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.
Осуществление прикладной направленности школьного курса математики теснейшим образом связано с применением математического моделирования. Это было отмечено Б.В.Гнеденко, С.Л.Соболевым, А.Н. Тихоновым и другими. С.Л.Соболев по этому поводу писал (158. с.15): "Практическая направленность курса математики в наше время означает прежде всего то. что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями. Школьников надо практически научить строить математические модели для встречающихся жизненных явлений."
Характеризуя сущность математического моделирования, А.Н.Тихонов и Д.П.Костомаров отмечали (179, с.15): "Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей. Основанная на упрощении, идеализации, она является его приближённым отражением.""
Исследование прикладных задач обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта. Однако в дальнейшем часто возникает необходимость уточнить модель, сделать её соответствие объекту более полным. Это может быть обусловлено различными причинами: требованием более высокой точности, появлением новой информации об объекте, которую нужно отразить в математической модели, расширением диапазона параметров, выводящих за пределы применимости исходной модели и т.д.
