Реализация межпредметных связей математики и информатики в подготовке студентов педагогических направлений на основе дискретной математики Перминов Евгений Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Методологические основы методики обучения дискретной математике студентов педагогических направлений

1.1. Межпредметные связи как ядро в содержательном направлении интеграции образования

1.2. Реализация межпредметных связей дисциплин на основе фундаментализации образования

1.3. Реализация межпредметных связей дисциплин на основе компетентностного подхода

1.4.Системный анализ истоков формирования современной дискретной математики

1.5.Предмет современной дискретной математики 48

1.6. Дискретная математика – математическая основа информатики 54

1.7. Функции современной дискретной математики 57

1.8. Роль дискретной математики в реализации принципа культуросообразности как основного принципа в реализации межпредметных связей математики и информатики

1.9. Роль дискретной математики в реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин

1.10. Роль дискретной математики в современной модельной 70

методологии

1.11. Роль дискретной математики в формировании математического стиля мышления

1.12. Дискретная математика как стержневая основа реализации 79

межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин

Выводы по первой главе 85

Глава 2. Теоретические основы методики обучения дискретной математике студентов педагогических направлений

2.1. Математические структуры как основа стратегии отбора содержания 88

обучения дискретной математике при реализации межпредметных связей математики и информатики

2.2. Психологические аспекты реализации межпредметных 98

связей математики и информатики на основе дискретной математики

2.3. Системный подход и анализ современных трактовок понятия методической системы обучения математике

2.4. Роль дидактики в построении методической системы обучения предмету как объекта исследования

2.5. Анализ общих принципов дидактики в аспекте разработки методической системы обучения дискретной математике

2.6. Система методических принципов обучения дискретной математике

2.7. Принцип профессионально-педагогической направленности специальной подготовки и его реализация в обучении дискретной математике

2.8. Концепция методической системы обучения дискретной математике, направленной на реализацию межпредметных связей математики и информатики

2.9. Анализ подходов в обучении дискретной математике в системе высшего профессионального образования

2.10. Основные методические аспекты обучения дискретной математике как основе реализации межпредметных связей математики и информатики

2.11.Направления развития и постановки курса дискретной математики для студентов педагогических направлений

2.12. Понятие методической системы обучения дискретной математике и ее компонентный состав

2.13. Уровни представления содержания профильного обучения дискретной математике, исходя из стратегических целей реализации межпредметных связей математики и информатики

2.14. Дидактические особенности выбора форм и средств обучения дискретной математике

2.15. Модели методической системы обучения дискретной математике как основе реализации межпредметных связей математики и информатики

Выводы по второй главе 204

Глава 3. Реализация теоретических основ методической системы обучения дискретной математике будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов

3.1. Основные методические аспекты обучения дискретной математике будущих учителей математики и информатики

3.2. Направления методической подготовки учителей математики и информатики на уровне магистратуры и специальные курсы для магистров

3.3. Основные методические аспекты обучения дискретной математике будущих инженеров-педагогов

3.4. Методические особенности обучения дискретной математике будущих инженеров педагогов в магистратуре и специальные курсы для магистров

Выводы по третьей главе 265

Глава 4. Методика обучения студентов педагогических направлений общеобразовательным понятиям дискретной математики и их свойствам

4.1. Основные аспекты методики обучения студентов педагогических направлений общеобразовательным понятиям и их свойствам

4.2. Методика обучения студентов педагогических направлений отбору задач по дискретной математике

4.3. Методика обучения студентов педагогических направлений понятиям графа, бинарного отношения и их основным свойствам

4.4. Методика обучения студентов педагогических направлений первым понятиям и фактам комбинаторики

4.5. Методика обучения студентов педагогических направлений понятиям алгебраической операции, алгебры и их основным свойствам

4.6. Методика обучения студентов педагогических направлений понятию математической модели и его различным трактовкам

4.7. Методика обучения студентов педагогических направлений математическому языку, понятиям алгоритма и алгоритмической разрешимости

Выводы по четвертой главе 318

Глава 5. Экспериментальная проверка эффективности предложенной методической системы обучения дискретной математике

5.1. Особенности оценки эффективности обучения дискретной математике студентов педагогических направлений

5.2. Поэтапная организация экспериментальной деятельности по 325

проверке эффективности предложенной методической системы обучения

5.3. Сравнительный анализ основных результатов экспериментальной 331

проверки эффективности предложенной методической системы обучения

Выводы по пятой главе 343

Заключение 347

Список литературы

• Реализация межпредметных связей дисциплин на основе компетентностного подхода
• Роль дидактики в построении методической системы обучения предмету как объекта исследования
• Направления методической подготовки учителей математики и информатики на уровне магистратуры и специальные курсы для магистров
• Методика обучения студентов педагогических направлений первым понятиям и фактам комбинаторики

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Принятие концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. (2002); государственных образовательные стандарты высшего профессионального образования (1994, 2000, 2005– 2008); Закона РФ «Об образовании» (2012 г.), включение России с 2003 г. в Бо-лонский процесс на фоне интеграции в мировое образовательное пространство привело к реальному внедрению новой структуры двухуровневого образования в высшей школе.

Состояние реформирования естественно свойственно и современному высшему педагогическому образованию. Новые государственные стандарты подготовки бакалавров и магистров этих специальностей, обеспечивающие переход на новую компетентностную модель образования, требуют изменения системы подготовки студентов, что влечет изменение программ учебных дисциплин, изучаемых будущими учителями-предметниками и преподавателями колледжей (техникумов) и профессиональных училищ, изменение учебников, методического обеспечения учебного процесса и других компонентов.

Однако в достижении целей, обозначенных в приводимых документах, име
ется ряд трудностей и принципиальных проблем. Исследования проблем высшего
педагогического образования свидетельствуют о том, что в рамках модернизации
не решены многие важные задачи развития образования. Многими учеными кон
статируется факт падения уровня образования и качества подготовки специали
стов для общеобразовательных и специальных средних учебных заведений и учи
лищ. Их подготовка далеко не в полной мере соответствует новым тенденциям
совершенствования и развития современного образования в условиях перехода на
новую компетентностную модель, в процессе реализации которой студенты смо
гут овладеть ключевыми компетенциями творчески работающего педагога-
профессионала. Это проявляется, например, в неспособности многих из них про
дуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации, вариа
тивности программ и учебников, освоения новых информационно-
образовательных технологий.

В наступившую эпоху математизации наук особенно актуальной становится проблема повышения уровня математической подготовки педагогов направлений и профилей, напрямую связанных с математикой или с ее приложениями. А именно, будущих учителей математики и информатики и педагогов профессионального обучения (кратко – инженеров-педагогов) в высокотехнологичных, автоматизированных отраслях производства, какими являются отрасли машиностроения, электротехники и электроэнергетики и некоторые другие. Инженеры-педагоги вместе с учителями математики и информатики несут наибольшую ответственность за подготовку квалифицированного современного рабочего, играющего

главную роль особенно в этих отраслях производства. Инженер-педагог с высоким уровнем математических знаний и умений особенно нужен в подготовке нового рабочего с высшим образованием. В этой связи важно учесть, что «совершенствование содержания математического образования должно обеспечиваться в первую очередь за счет опережающей подготовки и дополнительного профессионального образования педагогов» ¹, особенно этих профилей подготовки.

Анализ состояния математической подготовки педагогов – выпускников математических факультетов и факультетов информатики и инженерно-педагогических факультетов свидетельствует об их невысокой общей и математической культуре, о недостаточном развитии у них математического мышления, об отсутствии должного опыта математической деятельности. У них часто наблюдается отсутствие потребности в осмыслении новых математических фактов, критичности при выборе методов, используемых в решении математических задач. Отмечаются также рецептурность методических знаний будущих учителей математики и их слабые методические умения, а у будущих учителей информатики – формализм математических знаний и слабые умения применять их в своей профессиональной области. Отмечается их неумение осуществлять интеграцию обучения дисциплинам математического, естественнонаучного и профессионального цикла на основе реализации межпредметных связей математики в школах и в колледжах (техникумах), особенно при внедрении инновационных технологий в обучении.

Степень разработанности проблемы. В разные годы состояние и совер
шенствование математической подготовки студентов математических факульте
тов и факультетов информатики педвузов, инженерно-педагогических факульте
тов исследовалось многими авторами, в том числе С. Г. Григорьевым,
В. А. Гусевым, С. Д. Каракозовым А. А. Кузнецовым, Э. И. Кузнецовым,

B. В. Лаптевым, М. П. Лапчиком, В. Л. Матросовым, В. М. Монаховым,

А. Г. Мордковичем, Н. И. Рыжовой, И. М. Смирновой, В. А. Тестовым,

Е. В. Ткаченко, В. А. Федоровым, М. В. Швецким, А. В. Ястребовым и др. Исследования названных ученых вносят немалый вклад в дело математической подготовки студентов этих профилей.

В образовании в настоящее время выделились содержательное, организационно-технологическое, институциональное и другие направления интеграции образования. Однако до настоящего времени не проводилось систематических исследований, основанных на идеях реализации межпредметных связей как ядра содержательного направления интеграции образования, играющих важную роль в решении обозначенной проблемы повышения уровня математической подготовки будущих учителей математики и информатики и инженеров-педагогов. Анализ

¹ Концепция развития математического образования в Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: доступа: .

содержания их подготовки показывает, что в ней недостаточно используются межпредметные связи современной дискретной математики, т.е. математики дискретных структур – структур финитного (конечного) характера, которые возникают как в самой математике, так и в ее приложениях. При этом доминирующими в дискретной математике (ДМ) являются алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического исследования).

Один из основоположников информатики В. М. Глушков указывал, что математика в начале XXI в. «будет в большей мере математика дискретных, а не непрерывных величин» ¹. Ввиду обширности предметного поля дискретной математики в качестве ее синонима используются также термин конечная математика и термины дискретный анализ, конкретная математика, в названиях которых отражены ее связи с классической («непрерывной») математикой.

В последние десятилетия благодаря уникальным возможностям компьютеров в математике значительно возросла роль работ по дискретизации непрерывных объектов, наблюдается бурный рост самой дискретной математики и ее приложений, основанных на использовании дискретных моделей. Поэтому в докомпьютерную эпоху исследователи предпочитали непрерывные модели, поскольку они были проще дискретных и позволяли более упрощенно описывать исследуемые объекты и явления.

Все более углубляется взаимодействие между классической («непрерывной») и дискретной математикой, поскольку во многих науках все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Это привело к возникновению новой точки зрения на природу математики, ее характер, и тем самым, на взаимоотношение дискретного и непрерывного в жизни и в науке. ДМ стала играть фундаментальную роль в формировании современной методологии математического моделирования с применением компьютера, усилившей процесс интеграции математики и других наук. Тем самым дискретная математика приобрела важное значение в повышении уровня математической культуры студентов и уровня их математической подготовки. В результате предмет «Дискретная математика» или «Основы ДМ» c 1995 г. стал постепенно включаться в государственные стандарты высшего профессионального образования по многим специальностям из подавляющего большинства направлений подготовки и в 2000 г. он был включен в государственные стандарты подготовки учителей математики и информатики.

Как показывает анализ государственных стандартов, традиционные для классических, технических, экономических и других университетов разделы ДМ, обычно изучаемые в рамках единого курса, будущими учителями математики,

Глушков В. М. Кибернетика. Вопр. теории и практики. М : Наука, 1986. С. 122.

информатики и инженерами-педагогами изучаются в рамках отдельных дисциплин (математическая логика, дискретная математика, теория алгоритмов и т.д.), либо входят в качестве разделов в другие дисциплины. В настоящее время это уже не соответствует фундаментальной роли современной ДМ в интеграции математики с информатикой, методикой обучения (предмету) и другими смежными дисциплинами подготовки из математического, естественнонаучного и профессионального цикла. Поэтому проблема использования интеграционного потенциала дискретной математики и особенно его использования в реализации межпредметных связей и оптимизации на этой основе содержания подготовки будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов должна быть предметом особого внимания кафедр и преподавателей. Сейчас решением этой сложной и трудоемкой проблемы в условиях большой свободы в значительной мере занимаются сами вузы и поэтому ее решение осуществляется не всегда лучшим образом. Отметим, что аналогичные проблемы существуют в подготовке педагогов и за рубежом.

Дискретная математика имеет фундаментальное значение в решении на
зревшей проблемы сотрудничества учителей математики, информатики и инже
неров-педагогов в совместном отборе содержания вариативной части математиче
ской и профессиональной подготовки студентов колледжей (техникумов). Реше
ние этой проблемы имеет важное значение в углублении межпредметных связей
дисциплин психолого-педагогического, отраслевого и производственно-

технологического компонентов подготовки рабочих для высокотехнологичных автоматизированных отраслей производства.

Принимая во внимание изложенное выше, следует подчеркнуть, что в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов обнаруживаются противоречия:

– между невысокой математической культурой студентов, недостаточным развитием у них математического мышления, слабым владением современными методами математического моделирования и необходимостью повышения уровня математической подготовки студентов, уровня их математической культуры на основе использования в обучении роли дискретной математики в формировании современной методологии математического моделирования с применением компьютера, усилившей процесс интеграции математики и других наук;

– между широким распространением идей и методов дискретной математики в различных областях науки и производства и как следствие этого – фундаментальной ролью дискретной математики в реализации межпредметных связей математики и информатики и смежными с ними дисциплин и отсутствием разработанных теоретико-методологических основ реализации этих связей в подготовке студентов педагогических направлений в условиях перехода на новую компетент-ностную модель образования;

– между отсутствием у многих выпускников названных профилей подготовки умений продуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации, вариативности программ и учебников и необходимостью формирования этих умений на основе межпредметных связей дискретной математики, ее идей и методов, обеспечивающих широкий, компетентный взгляд на курсы математики, информатики и смежных с ними дисциплин в школах, колледжах (техникумах) и возможность творческой организации профильного обучения учащихся на основе этих предметов.

Приведенные противоречия определяют проблему исследования, заключающуюся в недостаточной разработанности методологических, математических, психологических и дидактических аспектов реализации межпредметных связей на основе дискретной математики в математической, естественнонаучной и профессиональной подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов в условиях перехода на новую компетентностную модель образования.

Разработка проблемы требует проведения целостного педагогического исследования, посвященного выявлению роли дискретной математики в реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин в подготовке студентов педагогических направлений, играющих фундаментальную роль в формировании их умений продуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации и вариативности программ и учебников, в организации систематической научно-исследовательской работы студентов.

Объект исследования: процесс обучения математике будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов

Предмет исследования: методологические, математические, психологические и дидактические аспекты реализации межпредметных связей математики и информатики на основе дискретной математики в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов.

Цель исследования заключается в разработке теоретико-методологических положений реализации межпредметных связей математики и информатики в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов на основе дискретной математики и обоснование их эффективности в условиях педагогического и профессионально-педагогического образования.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация межпредметных связей математики и информатики на основе дискретной математики в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов, осуществляемой на базе разработанных теоретико-методологических основ, способствует:

- углублению связей математических, естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла и тем самым способствует профессионально-педагогической направленности их подготовки и продуктивному использова-7

нию интеграционного потенциала современной дискретной математики в реализации межпредметных связей математитки и информатики в условиях появления многочисленных новых направлений, профилей и специальностей подготовки студентов педагогических направлений, освоения новых информационно-образовательных технологий;

расширению мировоззрения студентов посредством формирования представлений о современной математике, ее роли в научной картине мира и ее взаимосвязях;

переходу на новую компетентностную модель образования, в процессе реализации которой студенты смогут овладеть ключевыми компетенциями творчески работающего педагога-профессионала. Это будет способствовать продолжению давней российской традиции заниматься педагогам творческой, в том числе научно-исследовательской деятельностью.

Проблема, объект, предмет цель и гипотеза исследования определили постановку его основных задач:

1. Теоретико-методологическое исследование реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин математической, естественнонаучной и профессиональной подготовки студентов педагогических направлений на основе существующих подходов в содержательном направлении интеграции образования.

2. Методологический анализ предметного содержания, функций ДМ и их роли в реализации межпредметных связей математики и информатики в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов.

3. Выявление и обоснование принципов культурологичности, единства в обучении (непрерывной и дискретной математике) и других методических принципов обучения дискретной математике в процессе анализа общих дидактических принципов на основе предметного содержания, функций дискретной математики с целью реализации межпрежметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин.

4. Разработка концепции обучения ДМ на основе указанных принципов, реализующей межпредметные связи математики и информатики и смежных с ними дисциплин.

5. Исходя из концепции, выявление лидирующего компонента методической системы обучения дискретной математике и на этой основе – разработка моделей методической системы обучения ДМ, направленных на реализацию меж-прежметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин;

6. На основе моделей обучения ДМ исследование методических аспектов
обучения дискретной математике, способствующих обстоятельному овладению
студентами названных профилей курсами математики и информатики и форми
рованию их умений использовать в своей работе межпредметные связи математи-
8

ки и информатики и смежных с ними дисциплин, обеспечивающие широкий, компетентный взгляд на курс математики и информатики в школах, колледжах (техникумах) и возможность творческой организации профильного обучения учащихся на основе этих предметов.

Методологическую основу исследования составили:

– нормативные документы в сфере образования (Закон Российской Федерации «Об образовании в Российской Федерации», Федеральный закон о высшем и послевузовском образовании и др.

– концепция развития математического образования в Российской Федерации, стратегия развития подготовки рабочих кадров и формировании прикладных квалификаций в Российской Федерации на период до 2020 года и др.

– исследования о роли современной математики в математизации наук и о
методологии математического познания (Н. Я. Винер, В. М. Глушков,

Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, Я. Г. Неуймин, Г. И. Рузавин, В. А. Тестов и др.);

– исследования по проблемам реализации межпредметных связей дисциплин в вузе и школе (А. И. Еремкин. И. Д. Зверев, Л. Г. Кузнецова, П. Г. Кулагин, Н. А. Лошкарева, В. Н. Максимова, Г. Ф. Фдорец, В. Н. Федорова и др.);

– теории системного подхода в образовании и ее реализации в обучении математике студентов (В. А. Гусев, Ю. М. Колягин В. И. Крупич, В. С. Леднев, В.М. Монахов, А.М. Пышкало, Г. И. Саранцев, В. А. Тестов, А. И. Уемов, П. Г. Щедровицкий и др.);

– исследования по методологии методики обучения математике (Н. В. Метельский, М. Нугмонов, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, В. А. Тестов и др.);

– исследования, выявляющие тенденции развития информатики как науки (В. М. Глушков, А. П. Ершов, К. К. Колин, А. Л. Семенов, Н. Н. Моисеев и др.)

– исследования по методологии методики обучения информатике в педву
зах (М. М. Абдуразаков, А. А. Кузнецов, Э. И. Кузнецов, B. В. Лаптев,
М. П. Лапчик, В. Л. Матросов, В. М. Монахов, М. В. Швецкой и др.).

– теоретические основы профессионально-педагогического образования и
методики профессионального обучения (Е. В. Ткаченко, Г. М. Романцев,

В. А. Федоров, Э. Ф. Зеер, Н. Е. Эрганова и др.);

Теоретическую основу исследования составили:

– исследования теоретических основ обучения дискретной математике в школе и вузе (В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, А. А. Столяр, Л. А. Калужнин и др.)

– исследования по математическим основам систем компьютерной математики и компьютерных технологий (В. М. Глушков, А. П. Ершов, Д. Кнут, А. Н. Колмогоров, А. И. Мальцев, А. Л. Семенов, В. А. Успенский и др.);

– исследования по проблеме профессионально-педагогической направленности подготовки студентов педагогических специальностей (Н. Я. Виленкин, А. Г. Мордкович, В. А. Тестов, Г. Г. Хамов, М. И. Шабунин, Л. В. Шкерина, А. В. Ястребов и др.);

– теория и методика обучения математике (И. В. Арнольд, И. И. Баврин,
Н. Я. Виленкин, Б. В. Гнеденко, Е. И. Деза, Г. В. Дорофеев, В. И. Игошин,
А. Н. Колмогоров, Ю. М. Колягин, Л. Д. Кудрявцев, В. М. Монахов,

A. Г. Мордкович, В. А. Оганесян, Г. И. Саранцев, Е.И.Смирнов, А. А. Столяр,

B. А. Тестов и др.);

– теория и методика обучения информатике (М. М. Абдуразаков,

С. А. Бешенков, С. Г. Григорьев, Н. М. Добровольский, С. Д. Каракозов,

A. А. Кузнецов, Э. И. Кузнецов, B. В. Лаптев, М. П. Лапчик, В. Л. Матросов,

B. М. Монахов, И. А. Нижников, Н. И. Рыжова, А. Л. Семенов, Е. К. Хеннер и др.);

– методика обучения математическому моделированию студентов
педагогических специальностей (В. Р. Беломестнова, И. А. Кузнецова,

Г. Е. Сенькина, Н. А. Тарасова, Е. К. Хеннер, А. П. Шестаков и др.).

В соответствии с предметом, целью, гипотезой и задачами исследования использовались методы исследования:

– анализ научно-педагогической, психологической, философской литературы и диссертационных исследований;

– теоретический анализ математической и методической литературы по теме исследования;

– теоретический анализ научных монографий, обзоров и журналов: по дискретной математике и дискретному анализу, абстрактной алгебре, математической логике, теории алгоритмов, системам компьютерной математики (СКМ) и компьютерным технологиям (КТ) и смежным математическим дисциплинам;

– анализ вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий по дискретной математике для студентов вузов (включая более четырех десятков отечественных и зарубежных пособий);

– анализ организации процесса преподавания математики для будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов;

– выборочные исследования педагогической деятельности преподавателей педвузов, профессионально-педагогических вузов и учителей общеобразовательных и средних специальных учебных заведений, и выборочные наблюдения за учебно-познавательной деятельностью учащихся;

– широкий педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и эффективности методологических и теоретических основ обучения ДМ будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов со статистической обработкой результатов эксперимента.

База исследования: Российский государственный профессионально-педагогический университет, Уральский государственный педагогический университет, Самарский филиал Московского городского педагогического университета, Вятский государственный гуманитарный университет, Уральский государственный университет, экспериментальные площадки в общеобразовательных учебных заведениях Екатеринбурга: школы № 147 и № 166, гимназия № 211, Екатеринбургский машиностроительный колледж и др.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

6. Провелен анализ основных подходов в реализации межпредметных связей дисциплин в рамках содержательного направления интеграции высшего педагогического образования, Исследован интеграционный потенциал дискретной математики при реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов. Интеграционный потенциал ДМ проявляется прежде всего в том, что дискретная математика наряду с непрерывной математикой является математической основой гармоничного использования в моделировании формализованного языка математики, неформализованного языка той естественной, технической или другой специальной науки, в области которой осуществляется моделирование, и уникальных возможностей современного компьютера. Поэтому обучение ДМ способствует овладению знаниями, имеющими важное общекультурное и профессиональное значение и тем самым обеспечивающими направленность обучения на методологически важные, долгоживущие и инвариантные элементы профессиональной культуры, играющие фундаментальную роль повышении уровня математической подготовки студентов названных профилей, уровня их математической культуры.

7. Исследованы предметное содержание, функции дискретной математики и ее роль в реализации межпредметных связей математики и информатики посредством актуализации межпредметных и внутрипредметных связей, на основе фун-даментализации образования, в контексте компетентностного подхода, исходя из роли ДМ в формировании современной методологии математического моделирования с применением компьютера.

3. Исходя из роли дискретной математики в реализации межпредметных
связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин, выявлены и
обоснованы специфические методические принципы обучения ДМ в процессе
анализа общих дидактических принципов на основе предметного содержания,
функций дискретной математики. Основными среди них являются культурологи
ческий принцип, принципы научности, единства в обучении дискретной и непре
рывной математике, преемственности, фундаментальности, бинарности и ведущей
идеи. При этом раскрыты все характерные конкретные особенности применения

этих и других специфических методических принципов, за которыми сохранились названия известных общих принципов дидактики.

4. На основе выявленных специфических методических принципов обучения ДМ разработана концепция обучения дискретной математике студентов указанных специальностей, основанная на использовании интеграционного общекультурного потенциала ДМ в реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин. Обосновано, что концепция играет важную роль в условиях большой свободы выбора целей, содержания, методов, форм и средств обучения дискретной математике при переходе к бакалавриату и магистратуре, предоставляемых ФГОС.

5. В соответствии с предложенной концепцией разработаны теоретические модели методической системы обучения ДМ будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов, реализующие общекультурный и интеграционный потенциал ДМ, структуру и взаимосвязи целевого, содержательного, методического (инструментального), результативно-оценочного компонентов этой системы.

6. Исходя из лидирующего компонента методической системы обучения
ДМ – стратегических целей обучения ДМ исследованы следующие уровни пред
ставления содержания профильного обучения дискретной математике: общее тео
ретическое представление, учебный предмет, учебные материалы, процесс обуче
ния. Затем на основе этого предложены различные методические схемы обучения
ДМ будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов.

7. Разработан доступный и наиболее рациональный подход в изучении дис
кретной математики в вариативной части дисциплин профессионального цикла
обучения будущих учителей математики и информатики на уровне бакалавриата,
основанный на систематическом применении основных классических комбинатор
ных конфигураций и их свойств, производящих функций и асимптотических оценок
и приближений в решении перечислительных задач ДМ и анализе эффективности
алгоритмов решения задач математического моделирования.

9. Разработана методическая схема реализации дискретной линии в форми
ровании у будущих инженеров-педагогов умений научного, дидактического и ме
тодического анализа содержания учебного материала технических дисциплин с
целью реализации межпредметных связей дисциплин отраслевого и производст
венно-технологического компонентов подготовки.

10. Выявлены методические особенности формировании у инженеров-
педагогов умения осуществлять структурно-логический анализ математического
аппарата технических дисциплин на основе обучения дискретной математике. В
результате структурно-логического анализа профессионально значимых матема
тических понятий и фактов ДМ, составляющих математический аппарат изучае
мой технической дисциплины, выявлены основные особенности методики редук-
12

ции этих понятий, т.е. трансформации математических понятий технической дисциплины соответственно уровню понимания учащихся.

Теоретическая значимость результатов исследования заключается в том, что:

1) межпредметные связи охарактеризованы как ядро в содержательном направлении интеграции образования. Выявлены и исследованы подходы в реализации межпредметных связей различных дисциплин подготовки студентов вузов посредством актуализации межпредметных и внутрипредметных связей дисциплин, на основе фундаментализации образования, в контексте компетентностного подхода.

2) на основе проведенного историко-философского анализа предмета и функций дискретной математики выявлен интеграционный потенциал ДМ при реализации межпредметных связей математики, информатики и смежных с ними дисциплин в различных видах подготовки студентов педагогических специальностей;

3. выявлены существующие направления и концепции обучения дискретной математике в системе высшего профессионального образования;

4. исследована фундаментальная роль ДМ в математическом моделировании и реализации вычислительных процессов в самых различных областях науки и производства;

5. обоснована фундаментальная роль культурологического принципа, принципов научности, генерализации знаний, преемственности и профессионально-педагогической направленности подготовки в теоретических основах обучения дискретной математике;

6. исследована роль принципа профессионально-педагогической направленности подготовки студентов педагогических специальностей в реализации межпредметных связей математики и информатики в различных видах подготовки, а именно, в их реализации на основе принципов фундаментальности, бинарности, ведущей идеи и непрерывности;

7. выявлены и уточнены направления развития и постановки курса ДМ: будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов на основе стандартов второго и третьего поколений; бакалавров и магистров по направлениям подготовки математика, прикладная математика, прикладная математика и информатика, фундаментальная информатика и информационные технологии;

8) разработана методика обучения студентов педагогических направлений
общеобразовательным понятиям дискретной математики и их свойствам, имею
щая фундаментальное значение в методической подготовке студентов с целью дос
тижения ими в процессе будущей работы предметных, метапредметных и обще
культурных результатов изучения с учащимися предметной области «Математика
и информатика».

Практическая значимость исследования заключается в том, что

1. в соответствии c предложенной концепцией и моделями обучения ДМ разработана методика обучения дискретной математике будущих учителей математики информатики и инженеров-педагогов, которая лежит в основе реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин и поэтому может быть использована преподавателями математических и методических дисциплин в вузах педагогической направленности;

2. в соответствии с данной методикой разработано учебно-методическое обеспечение обучения ДМ студентов названных профилей подготовки в виде восьми опубликованных учебных пособий, а также различных программ спецкурсов для магистров. Эти пособия и программы могут расширить и дополнить учебные и методические материалы: для проведения занятий со студентами, обучающимися в вузах и факультетах по направлению «Педагогическое образование» и «Профессиональное обучение (по отраслям); для организации самостоятельной работы студентов, написания курсовых, выпускных квалификационных работ; для повышения квалификации учителей математики, информатики и инженеров-педагогов.

3) В соответствии с разработанной методикой обучения студентов педагогических направлений общеобразовательным понятиям ДМ и их свойствам создано учебно-методическое обеспечение в виде учебного пособия и различных программ элективного обучения, которые могут быть использованы в общеобразовательных учебных заведениях, колледжах (техникумах) при изучении с учащимися предметной области «Математика и информатика».

Полученные в исследовании результаты внедрены в практику обучения ДМ будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов; в вариативной подготовке аспирантов – будущих преподавателей вузов; при повышении квалификации преподавателей вузов и учителей школ и колледжей (техникумов); на этапе профильного обучения математике и информатике в школе, колледже (техникуме).

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается научным подходом к постановке и решению задач исследования; целесообразностью выбора комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; продолжительностью исследования, непротиворечивостью выводов, полученных в ходе методологического и теоретического анализа рассмотренных проблем, их согласованностью с концепциями различных наук и их принципиальным соответствием результатам других исследователей: обоснованностью и четкостью выбранных педагогических, методологических, математических, исто-рико-математических, историко-кибернетических, психологических, дидактических и методических позиций, положенных в основания исследования; корректным применением культурологического и системного подходов; принципиальной

согласованностью с многолетним опытом ведения автором научных изысканий и обучения студентов педагогических направлений; повышением качества обучения студентов, востребованностью полученных результатов, учетом опыта коллег по работе, достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания последователей автора из вузов, школ и колледжей.

Исследование проводилось с 1988 по 2015 гг. и состояло из четырех этапов.

Первый (констатирующий) этап выполнен в 1988-1994 гг. Проведен анализ научных исследований в области ДМ и проблем ее преподавания, изучены философские, методологические математические, психолого-педагогические, дидактические и методические труды по проблемам реализации межпредметных связей математики и информатики, в частности, с целью определения степени разработанности проблем их реализации на основе ДМ в подготовке будущих педагогов на методологическом и теоретическом уровне; изучение и обобщение состояния проблемы за рубежом и в практике российского образования. Выявлена актуальность исследования; определены объект и предмет исследования.

Второй (поисковый) этап выполнен в 1995-2000 гг. Выявлен интеграционный потенциал ДМ в обучении математическим, естественнонаучным дисциплинам и дисциплинам профессионального цикла, проанализированы подходы к обучению дискретной математике, выявлены особенности обучения ДМ студентов педагогических специальностей. На базе результатов проведенного анализа и установленных особенностей решались задачи, связанные с разработкой теоретических положений реализации межпредметных связей математики и информатики на основе ДМ в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов; об использовании дискретной математики при внедрении различного рода интегрированных программ, интегрированных курсов, модульного обучения. Исследовалась роль ДМ в фундаментализации математического образования, в формировании общекультурных и профессиональных компетенций.

Третий (мотивационно-целевой) этап выполнен в 2001-2004 гг. Характеризуется как этап разработки концепции методической системы обучения ДМ на базе теоретических положений реализации межпредметных связей математики и информатики на основе ДМ. Исследовались методологические, теоретические и методические основы обучения ДМ будущих учителей математики, информатики и педагогов профессионального обучения (в инженерных отраслях и отраслях информатики), направленные на реализацию межпредметных связей математики и информатики и смежными с ними дисциплинами их подготовки. Исходя из этого, разработана концепция обучения дискретной математике и учебное пособие по ДМ для учащихся и учителей средних школ, оказавшееся полезным и для студентов и преподавателей колледжей.

Четвертый (экспериментально-обучающий) этап выполнен в 2005–2015 гг. В ходе эксперимента решались задачи, связанные с практической реализацией обучения ДМ студентов педагогических специальностей. Разработаны и внедрены учебные пособия по ДМ для учителей математики и информатики. Исходя из концепции обучения дискретной математике, разработаны модели обучения дискретной математике будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов, направленные на реализацию межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплин. На базе этих моделей осуществлено внедрение методической системы обучения ДМ в практику обучения, систематизация и интерпретация полученных результатов исследования, основные его положения и результаты оформлены в виде диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Дискретная математика наряду с непрерывной математикой в силу их
фундаментальной роли в математическом моделировании и вычислительных про
цессах является стержневой основой реализации межпредметных связей матема
тики и информатики и смежных с ними дисциплин из математического, естест
веннонаучного и профессиональной цикла подготовки будущих учителей матема
тики, информатики и инженеров-педагогов. При этом реализация межпредметных
связей данных дисциплин должна означать не ориентацию на изучение в школах
и колледжах (техникумах) математики и информатики как таковых, а выделение
фундаментальных основ математики и информатики и их дидактическую перера
ботку для образования школьников с помощью математики с целью овладения
школьниками социального опыта человечества, тождественного человеческой
культуре во всей ее структурной полноте.

2. В основе методической системы обучения дискретной математике как открытой системы лежат методические принципы обучения ДМ, конкретизирующие общие принципы дидактики в соответствии с закономерностями и особенностями реализации межпредметных связей математики и информатики на основе ДМ в подготовке будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов. Ведущими среди них являются культурологический принцип и принципы метапредметности, единства в обучении дискретной и непрерывной математике, а также принципы, реализующие профессионально-педагогическую направленность обучения. При этом построение методической системы и реализующих ее моделей обучения должно осуществляться также с учетом положений концепции, детерминирующих действия обучающего и обучающегося в тех или иных конкретных условиях обучения.

3. Обучение дискретной математике должно обеспечивать метапредметный характер математической подготовки будущих педагогов указанных направлений и должно осуществляться в единстве с непрерывной математикой, что означает формирование у них умений гармоничного сочетания в приложениях математики

дискретных и непрерывных моделей и корректного использования в математическом моделировании систем компьютерной математики и компьютерных технологий.

4. Доминирующие в дискретной математике алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания) лежат в основе отбора содержания обучения дискретной математике будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов.

5. Обучение дискретной математике будущих учителей математики и информатики в магистратуре должно быть направлено на формирование у них умения реализовывать обучение учащихся начальным элементам математического моделирования и разработки алгоритмов вычислений с учетом профиля обучения. Практическая реализация этого обучения основана на деятельностном подходе в работе с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса ДМ, имеющими прикладное значение, а также должна учитывать сложившуюся систему организации научно-исследовательской работы студентов.

6. Дискретная математика играет фундаментальную роль в формирования у инженеров-педагогов умения осуществлять структурно-логический анализ математического аппарата технических дисциплин с целью реализации межпредметных связей дисциплин психолого-педагогического, отраслевого и производственно-технологического компонентов их подготовки. Структурно-логический анализ означает выделение профессионально значимых математических понятий и фактов, составляющих математический аппарат изучаемой технической дисциплины, необходимый для обучения учащихся математическому моделированию технических объектов и алгоритмов вычислительных процессов, реализующих технологию их функционирования в отрасли производства. В анализе важна методическая редукция этих понятий, т.е. трансформация математических понятий технической дисциплины соответственно уровню понимания учащихся.

7. Предложенные теоретические модели обучения дискретной математике будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов, а также разработанные для их реализации учебные пособия и другие учебно-методические материалы эффективны на практике. Экспериментальная деятельность, в которую были вовлечены учителя математики, информатики и инженеры-педагоги и обучаемые ими студенты колледжей (техникумов) и школьники, подтвердила гипотезу исследования.

Апробация результатов исследования осуществлялась в форме докладов и обсуждений на различных международных, всероссийских конференциях и семинарах, российских, межрегиональных и областных конференциях, среди них:

- на заседаниях кафедр высшей математики РГППУ, алгебры и дискретной математики Института математики и компьютерных наук УрФУ;

на международных конференциях в Самаре (2002, 2006), Тольятти (2003, 2005), Санкт-Петербурге (2004, 2008), Костроме (2011), Москве (2014), Коряжме (2014), Екатеринбург (2016);

на международных семинарах и симпозиумах в Екатеринбурге (2013), Кирове (2014), Калуге (2015);

на всероссийских конференциях в Нижнем Новгороде (2002), Кирове (2004, 2009, 2012, 2013), Вологде (2007), Москве (2012), Екатеринбурге (2012);

на всероссийских семинарах в Санкт-Петербурге (2002), Твери (2003), Челябинске (2004), Елабуге (2004, 2011), Саратове (2005), Кирове (2006), Самаре (2007), Перми (2008), Екатеринбурге (2009), Москве (2010), Тобольске (2012).

Основные положения диссертационного исследования нашли отражение в 57 публикациях автора, относящихся к теме исследования и охватывающих период с 1993 г. и по настоящее время, в том числе в трех монографиях, восьми учебных пособиях, двадцати статьях в журналах, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ, и в двух реферируемых сборниках.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования внедрены в практику работы Российского государственного профессионально-педагогического университета, математических факультетов и факультетов информатики Уральского государственного педагогического университета и Вятского государственного гуманитарного университета, факультета информатики Самарского филиала Московского городского педагогического университета, машиностроительного техникума (в структуре РГППУ, г.Екатеринбург). Опыт разработки элективных курсов нашел свое отражение в практике работы средней общеобразовательной школе № 147, гимназиях 166, 211 г. Екатеринбурга и др.

Структура и объем диссертации. Структура диссертации отражает логику содержание и результаты исследования и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 378 стр., в том числе – библиография из 298 источников на 28 cтр.

Реализация межпредметных связей дисциплин на основе компетентностного подхода

Как известно, в результате интеграционных процессов в настоящее время выделились содержательное, организационно-технологическое, институциональное, личностно-деятельностное, социально-педагогическое и глобальное направления интеграции образования [283]. Но из рассматривавшихся направлений интеграции образования с проблемой межпредметных связей наиболее связано содержательное направление интеграции образования. Еще в прошлом веке в содержательном направлении интеграции образования межпредметные связи постепенно стали первым и наиболее известным его элементом (звеном).

Русский мыслитель Д. И. Писарев в работе «Наша университетская наука» в 1863 г. писал о системе образования того времени: «…различные предметы не связываются в общий цикл знаний, не поддерживают друг друга, а стоят каждый сам по себе, стараясь вытеснить своего соседа… Каждый предмет бывает то победителем, то побежденным; история их бесконечных раздоров составляет историю умственной жизни каждого гимназиста; мозг ученика – вечное поле сражения, а пора экзаменов – время самых истребительных войн между отдельными предметами» [204, с. 131].

Прошло уже полтора века, но обрисованная Д. И. Писаревым ситуация кардинально не изменилась, несмотря на определенные успехи в реализации межпредметных связей в процессе подготовки в средней и высшей школе.

Термин «межпредметные связи», по видимому, впервые был введен в 1962 г. Ю. А. Самариным [225]. Однако признание и распространение новый термин получил не сразу. Он отсутствует в «Педагогической энциклопедии» (1964–1968), и нет его в учебных пособиях по педагогике, изданных до конца 60-х гг.

Впервые межпредметные связи были подвергнуты интенсивному исследованию в 60-е гг. XX в. в НИИ педагогики Академии педагогических наук РСФСР под руководством Б. Г. Ананьева и Ш. Н. Ганелина. Они рассматривались с позиции их роли в формировании системы знаний и основ научного мировоззрения. В результате, исходя из принципа преемственности, были раскрыты пути последовательного осуществления взаимосвязей между ведущими идеями и понятиями смежных курсов.

В 1970-х гг. межпредметные связи стали трактоваться большинством исследователей как один из основных принципов дидактики. В частности, «межпредметные связи, отражая в учебном процессе связи реальной действительности, являются выражением закономерности объективного мира и в силу своего философского и дидактического значения определяют содержание, методы и формы обучения. Поэтому есть все основания считать межпредметные связи одним из принципов советской педагогики (дидактики)» [120, с. 36]. Но межпредметные связи устанавливаются между предметами и полностью от них зависят, поэтому межпредметность является средством развития предметности как стремление качественно усовершенствовать процесс подготовки специалистов и при этом не потерять ничего из изучаемой ими сути предметов.

В 1970–80-х гг. проблема межпредметных связей становится одной из центральных проблем дидактики. Такое внимание к ней вызвала дискуссия, которая развернулась в 70-х гг. в связи с проведенным под руководством В. Н. Федоровой теоретико-экспериментальным исследованием и появлением первой монографии, посвященной данной проблеме [275]. В результате исследования этой проблемы было выявлено содержание взаимосвязей и даны их классификации. Классификации межпредметных и внутрипредметных связей осуществлялась на уровне знаний (язык, теория, приложения) [147], на уровне видов деятельности (методы обучения, организационные формы мыслительной, речевой и других видов деятельности обучающихся) [17], на уровне методов научного исследования и научного мышления, с позиции целостности процесса обучения (содержательно-информационные, операционно деятельностные, организационно-методические) [123]. Постепенно одним из главных результатов исследований проблемы межпредметных связей стало осознание того, что реализация межпредметных и внутрипредметных связей возможна только на основе единства содержательной и процессуальной сторон обучения. Другим важным итогом исследований стало осознание того, что реализацию межпредметных связей надо рассматривать как средство интеграции, порождающее обобщенные системы знаний как междисциплинарных, так и внутрипредметных.

В нашем исследовании важно, в каких аспектах проявляется действие межпредметных связей и каково их назначение. В связи с этим А. И. Еремкин выделяет диалектические, логические, психологические и дидактические функции связей [64]. Основой типизации связей, по его мнению, могут служить содержание наук, учебные знания и деятельность по их усвоению. При этом «под путями осуществления межпредметных связей следует понимать способы и средства, с помощью которых преподаватель создает условия для реализации взаимосвязанного межпредметного обучения и соответствующим образом организует мыслительную деятельность студентов. По своему значению понятие “пути осуществления связей” приближается к понятию “методы”, поскольку и методы, и пути осуществления связей предназначены для достижения определенных учебно-воспитательных целей. И те, и другие предполагают понимание цели, осознание ее достижения, а также выбор средств» [64, с. 103]. В соответствии с этим А. И. Еремкин выделяет информационно-рецептивный, репродуктивный, исследовательский и проблемный пути формирования межпредметной структуры учебных знаний. Интерес к межпредметным связям усиливается; в настоящее время данный термин уже широко используется в педагогических исследованиях. Вместе с тем педагоги так и не пришли к единству во взглядах на межпредметные связи. Одним из главных результатов исследования межпредметных связей стал вывод о том, что реализация межпредметных (и внутрипредметных) связей должна основываться на единстве содержательной и процессуальной сторон обучения, лежащего в основе протекания объединительных процессов по всем элементам учебно воспитательного процесса (содержание, формы, методы, средства и др.). В свою очередь, эти объединительные процессы играют фундаментальную роль в системе подготовки студентов, в том числе и педагогов, что является главным аспектом нашего исследования.

Роль дидактики в построении методической системы обучения предмету как объекта исследования

Основные особенности дисциплин, смежных с математикой. В обосновании и исследовании того, что дискретная математика является стержневой основой реализации межпредметных связей математики и информатики и смежных с ними дисциплинам необходимо предварительно прежде всего выявить, какие дисциплины следует считать дисциплинами, смежными с математикой.

Широко известно, что каждая конкретная наука, в том числе и смежная с математикой, разрабатывает свой категориальный аппарат, обеспечивающий конкретно-научное мышление в данной специальной области знания. Поэтому исходя из смысла слова «смежный», трактуемого в словаре С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой [153] как «тесно соприкасающийся, близкий», смежной с математикой следует прежде всего считать науку, категориальный аппарат которой является тесно соприкасающимся, близким к категориальному аппарату математики.

В выявлении того, насколько категориальный аппарат той или иной науки является близким к категориальному аппарату математики, фундаментальную роль играет анализ этапов и основных особенностей процесса математизации наук [125]. Как отмечает крупный философ и педагог В.И.Купцов, «математизация затронула буквально все области современной науки» [125, c. 6]. Известно [125], что на первом этапе математика выступала как средство описания на математическом языке того, что выявлено нематематическими методами. На этом этапе математический язык использовался как средство обработки эмпирического материала. На втором этапе стало осуществляться построение математических моделей для групп явлений, которое уже регулируется теоретическими построениями. Таковы законы Кеплера, которые суть математическая модель для обработки результатов, полученных Т.Браге. Затем начался третий этап – этап «объединения частных построений в фундаментальную теоретическую схему, переход от модели к теории» [125, c. 42]. Поэтому главные проблемы, связанные с математизацией той или иной науки, относятся уже к теоретическим построениям. При этом статус математического аппарата в той или иной конкретной науке, например, в математической физике или математической экономике таков, что математика благодаря воздействию этого аппарата дает новое видение действительности, в том числе в появлении совокупности новых специальных законов этой конкретной науки. В этом случае наблюдается прямое воздействие математики на данную науку и математика относительно этой науки является лидером в силу своего статуса «всечеловеческой» науки (см. c.66), диктующего нормативы и идеалы для этой конкретной науки.

В результате прямого воздействия математики постепенно возникли математические физика, химия, биология, экономика, психология, география, экология, психология, история, лингвистика. Кроме того, методы математики и особенно математического моделирования и теории вычислительных процессов стали интенсивно применяться в зоологии, ботанике, физиологии, юриспруденции, лингвистике, физической культуре и даже в искусстве. Фактически здесь перечислены науки,названия которых отражены в перечне соответствующих учебных предметов федерального базисного учебного плана для образовательных учреждений [257]. Как следует из изложенного, математизация той или иной науки – это подключение к ее арсеналу наиболее эффективных для нее и универсальных математических идей и методов познания. В результате такого воздействия посредством математики происходит обогащение конкретной науки, которую в этом случае естественно назвать наукой, смежной с математикой. Проведенный в п. 1.5 и п. 1.6 анализ литературы по математике и информатике еще раз подтвердил уже ставшее общеизвестным положение о том, что математика и информатика, бесспорно, являются смежными науками, неразрывно связанными («переплетающимися») между собой своими идеями и методами. Причем не только математика оказала решающее воздействие на становление современной информатики, но благодаря компьютеризации математических исследований, в том числе через ДМ, отражаются резонансные воздействия информатики (особенно ее программного, компьютерного и аппаратного обеспечения) на внутриматематические исследования современной математики.

Как очевидно следует уже из самого названия науки, смежными с математикой также являются выше перечисленные математические физика, химия, биология, экономика, психология, география, экология, психология, история, лингвистика. Но смежной с математикой можеть быть наука, в названии которой не обзательно наличие прилагательного «математическая», например, информатика и механика. В частности, как обсновано в п. 1.5, дискретная математика является математической основой информатики. Это с одной стороны свидетельствует о том, что математика и информатика действительно являются смежными науками и, стало быть, смежными дисциплинами подготовки студентов. С другой стороны – о лидирующей роли ДМ как основы интеграции математики и информатики, что также подтверждает анализ функций ДМ (проведенный в п. 1.6). Как подчеркивал выдающийся математик Н.Н. Красовский, «без математики не может быть информатики» [33].

Важным также в нашем последующем исследовании является обоснование того, что смежной с математикой следует считать теорию и методику обучения математике. Действительно, ее категориальный аппарат является тесно соприкасающимся, близким к категориальному аппарату математики. Об этом свидетельствует, во-первых, то, что обучение бакалавров дисциплине «Естественнонаучная картина мира» должно осуществляться на основе синтеза категориального аппарата математики и методики ее преподавания, в чем важную роль играет современная математическая культура и соответствующие специальные методические умения. В противном случае у студентов не сформируются умения методически грамотно вырабатывать у школьников важные представления о естественнонаучной картине мира. Во-вторых, синтез категориального аппарата этих наук необходим в обучении бакалавров дисциплине «Основы математической обработки информации», предназначенной для формирования методического умения давать школьникам необходимые сведения из математики, составляющие основу математической обработки информации в изучаемом ими предмете

Направления методической подготовки учителей математики и информатики на уровне магистратуры и специальные курсы для магистров

Вопрос о принципах обучения - это наиболее спорная часть дидактики, что в значительной мере проистекает из различных трактовок самого термина «принцип». В отечественной дидактике наиболее разносторонне принципы обучения рассматривались в работах Ю. К. Бабанского, М. Н. Скаткина, С. И. Архангельского, в зарубежной дидактике – в работах Дж. Брунера, В. Оконя и др. Дидактика должна чутко реагировать на изменения требований общества к образованию при этом сохраняя и совершенствуя оправдавшиеся себя ранее принципы. При этом, по мнению В.И. Загвязинского, «принципы обучения рассматриваются в современной дидактике как рекомендации, направляющие педагогическую деятельность и учебный процесс в целом, как способы достижения педагогических целей с учетом закономерностей и условий протекания учебно-воспитательного процесса» [68, c. 37].

В системе принципов дидактики, являющихся общепризнанными, всеобщими принципами современного образования, являются уже обсуждавшиеся в главе 1 принципы диалектического единства интеграции и дифференциации, антропоцентризма и культуросообразности. Как обосновано в пп. 1.1, 1.2 и 2.2, эти принципы играют фундаментальную роль в методологических основах обучения дискретной математике и тем самым в конструировании методической системы обучения дискретной математике. Но для адекватного конструирования МСО дискретной математике необходим предварительный анализ всей системы дидактических принципов обучения, которые носят всеобщий характер и действуют в различных предметных методиках.

Принципы обучения всеобщего характера рассматривались многими авторами. Хотя у разных авторов наблюдается различное толкование этих принципов и выдвигается разное их количество, выделим принципы, которые являются общепризнанными, общими принципами дидактики. Как известно, «в дидактике общепризнанными считаются следующие принципы: наглядности, доступности, сознательности и активности, систематичности и последовательности, прочности, научности, связи теории с практикой» [100, с. 85]. Как считает В.И.Загвязинский, эти принципы трактуют содержание учебной деятельности, раскрывающим ее предметную основу [68, c. 41]. Большинство ученых-педагогов (и в том числе В.И.Загвязинский) к перечисленным общим принципам добавляют следующие принципы: развивающего и воспитывающего обучения; фундаментальности образования и его профессиональной направленности; уже упоминавшийся принцип культуросообразности, а также природосообразности (в соответствии с которым следует «строить образование, сообразуясь с природой, внутренней организацией, задатками ребенка, а также с законами окружающей ребенка природной и социальной среды» [68, c. 40]).

Как отмечает В.И.Загвязинский, «указанные принципы носят всеобщий характер и в отличие от требований и правил действуют в любых (методических. – Е.П.) системах и ситуациях обучения» [68, c. 49]. При этом перечисленные общие принципы «можно разукрупнять или, наоборот, объединять; суть в том, чтобы в совокупности их содержание отразило все ведущие инвариантные требования к процессу обучения, вытекающие из его целей, закономерностей и других детерминирующих факторов» [там же, c. 49]. В выявлении системы специфических методических принципов обучения ДМ следует учесть и работы, посвященные непосредственно дидактике обучения математике. Как показывает анализ работ [243, 152] и ряда других работ, наиболее фундаментальную роль в отборе содержания обучения математике и построения математических курсов играют принципы развивающего и воспитывающего характера обучения, научности, доступности, систематичности и последовательности, связи теории с практикой (в редакции Тестова В.А. [243, с. 115] – «связи обучения с жизнью или практической направленности обучения»). В то же время в обучении математике, очень растянутом по времени, «дополнительными принципами построения содержания, являющимися необходимыми условиями реализации научности, доступности, систематичности и последовательности, относят генерализацию знаний или выделение стержней курса; внутрипредметные связи; построение программы «по спирали» [245, c. 95].

Исходя из перечисленных общепризнанных общих принципов и методологических основ обучения ДМ, выявим методические принципы обучения дискретной математике, являющихся специфическими, конкретизирующими общие принципы дидактики в соответствии с закономерностями и особенностями обучения ДМ будущих учителей математики, информатики и инженеров-педагогов. Они в совокупности и будут определять дальнейший «процесс поисков наиболее совершенной для данных условий и для данной цели методической системы» [100, c. 73], в нашем случае – обучения ДМ студентов названных профилей подготовки как основе интеграции математики с информатикой и другими смежными дисциплинами.

Методика обучения студентов педагогических направлений первым понятиям и фактам комбинаторики

Методическая схема реализации модели обучения дискретной математике будущих учителей математики для углубления межпредметных связей математики и информатики на основе фундаментализации подготовки Термин «методическая схема», по-видимому, впервые был введен в работе [151] и в соответствии с толкованием слова «схема» в словаре [119] означал там изложение в общих чертахметодики организации работы над задачами. Далее будем придерживаться этой же трактовки термина и изложим методическую схему реализации модели обучения дискретной математике будущих учителей математики как основе интеграции математики с информатикойидругими смежными дисциплинами.

Согласнопринципу профессионально-педагогической направленности фундаментализация подготовки должна являться не целью, а средством ее реализации, а потому она должна быть согласована с нуждами приобретаемой профессии (принцип фундаментальности А. Г. Мордковича [141]). Отсюда следует, что подготовка учителя математики должна коренным образом отличаться от подготовки математиков. При этом особая роль должна отводиться изучениюматематических структури схем.

Действительно, как было установлено в п. 1.2, интеграция на базе фундаментализации образования предполагает универсализацию знаний, умений, навыков, которая обусловливает выделение структурныхединиц научного знания, имеющих наиболее высокий уровень обобщения изучаемых явлений. Такими структурными единицами в дискретной математике являются доминирующие в ней алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания). Эти структуры и схемы лежат в основе отбора содержания обучения дискретной математике не только будущих учителей математики, но и учителей информатики и инженеров-педагогов.

В методической схеме формирования ИОТ подготовки будущего учителя математики на основе ее фундаментализации, предложенной Е. И. Деза [57], важную роль играют числовая и дискретная линии в содержании обучения математике. Обсуждаемый подход в интеграции на базе фундаментализации отражен в числовой линии при помощи констатации «необходимости проведения в рамках изучения курса числовых систем серьезной работы по систематизации и обобщению ряда важнейших математических понятий (алгебраические структуры, отношения и операции, метрики, сходимость и др.), что лишний раз свидетельствует о межпредметной направленности дисциплины» [57, с. 187]. При этом среди обязательных результатов изучения курса «Числовые системы» предусматривается знание классических числовых систем (полукольца натуральных чисел, кольца целых чисел, поля рациональных, действительных и комплексных чисел, алгебры кватеринонов).

В рамках реализации дискретной линии Деза Е.И. и Д. Л. Моделя разработан курс «Основы дискретной математики» [58], в котором предусматривается изучение элементов теории графов, комбинаторики и простейших методов дискретного анализа (на примере перечислительных методов теории графов и комбинаторики, использования рекурретных соотношений, конечного суммирования). При этом подчеркивается, что «для будущих учителей математики на первый план выходят вопросы, связанные со школой, а, следовательно, история соответствующей теории, темы, связанные с рекуррентными соотношениями, комбинаторикой, конечными суммами» [57, c. 212].

Таким образом, как показывает анализ реализации числовой и дискретной линии в рамках методической схемы Е. И. Деза [57], важную роль в ней играют некоторые алгебраические структуры и комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания).

Однако в интеграции на базе фундаментализации образования важную роль играют не только алгебраические структуры и комбинаторные схемы, но и порядковые структуры, и логические, алгоритмические схемы [72, 73]. Все эти доминирующие в дискретной математике структуры и схемы легли в основу концепции и содержания обучения ДМ будущих учителей математики и информатики в учебных пособиях по дискретной математике и абстрактной алгебре [160–163, 199, 200], сборника задач [195], написанных автором совместно с Г. А. Клековкиным в рамках существовавших ранее государственных стандартов подготовки будущих учителей математики и информатики на уровне специалитета.

В разработке концепции и методической схемы изложения содержания учебного пособия [160–163] основным ориентиром стал методический принцип единства в обучении непрерывной и дискретной математике. Поэтому в учебном пособии изложены методы (в том числе и асимптотические) решения различных перечислительных задач, демонстрирующие объединенную «мощь» методов математического анализа, абстрактной алгебры и комбинаторики, и рассмотрены асимптотические оценки различных классов графов.

Методы абстрактной алгебры отражены в пособии в разделах производящие функции, конечные разности, факториальные многочлены и др. В частности, в изучении производящих функций важную роль играют операции и свойства кольца формальных степенных рядов.

В разработке концепции и методической схемы изложения содержания мы также исходили из того, что содержание обучения ДМ для учителей математики и информатики в стандартах подготовки специалистов на уровне специалитета практически не различалось. Непринципиальным отличием является то, что в стандарте для учителей математики было предусмотрено изучение некоторых методов суммирования, но не предусмотрено, как у будущих учителей информатики, изучение бинома Ньютона, полиномиальной формулы, основных комбинаторных конфигураций и метода включения-исключения. Эти темы играют большую роль в теоретических основах программирования, важных для будущих учителей как информатики, так и математики. Поэтому, с точки зрения интеграции обучения математике и информатике, представляется целесообразным обучение ДМ учителей математики и информатики на уровне бакалавриата и специалитета по обсуждаемой методической схеме, характеризуемой далее.

В разработке методической схемы изложения содержания пособия учитывалось то, что в настоящее время приступающие к его изучению студенты могут иметь различный уровень математической подготовки. Одни из них, обучавшиеся в школе по программам углубленного изучения математики, могли еще в этот период ознакомиться с комбинаторикой и графами, другие сталкиваются с ними впервые. Поэтому изложение зачастую ведется, может быть, излишне подробно; для чтения значительной части содержания пособия достаточно знаний в объеме программы средней школы. Теоретический материал постоянно сопровождается многочисленными примерами и задачами. Отмеченная особенность, вместе с тем, является определеннымдостоинством: выбранный способ подачи материала делает книгу доступной для студентов-заочников, которым приходится знакомиться с частью учебного материала самостоятельно, а также для студентов других специальностей, изучающих комбинаторику, и учащихся 10 –11 х классов, увлекающихся математикой.

Пособие фактически состоит из четырех частей, представляющих собой отдельные пособия [160–163]. В первой части «Комбинаторные конфигурации и комбинаторные числа» излагаются правила суммы и произведения; основные комбинаторные конфигурации, их свойства и формулы для их подсчета; бином Ньютона и полиномиальная формула; формула включений и исключений; теорема обращения; целочисленные функции. Все это дает возможность уже в процессе изложения решать классические задачи на выбор и расположение элементов конечного множества в соответствии с заданными правилами. В частности, это традиционные «школьные» задачи на изучение свойствосновных комбинаторных конфигураций, на разбиение множеств (мультимножеств), на разложение предметов по ящикам (что то же самое – на разложение чисел на слагаемые). Широко представлены примеры, демонстрирующие связи комбинаторных чисел с рекуррентными последовательностями (в частности, чисел Стирлинга и Белла). Таким образом, в содержании главы предусмотрено все необходимое для изучения основных методов современной комбинаторики.