Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1. Исследование вопросов развития мышления в психологии и педагогике 12
1.2. Понятие задачи, функции задач в процессе обучения математике 32
1.3. Роль задач в развитии мышления школьников 41
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 7-8 КЛАССОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
2.1. Развитие математического мышления школьников как одна из целей обучения 51
2.2. Особенности мыслительной деятельности учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств 66
2.3. Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов 76
2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента .105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 119
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 122
- Исследование вопросов развития мышления в психологии и педагогике
- Понятие задачи, функции задач в процессе обучения математике
- Развитие математического мышления школьников как одна из целей обучения
Введение к работе
В настоящее время приобрел особую актуальность принцип гуманитаризации и гуманизации школьного образования, на первый план выдвигаются интересы личности ученика. Для полноценного функционирования человека в современном обществе, динамичной адаптации его к обществу необходим высокий уровень общего развития человека, в том числе развитое мышление. Поэтому одними из основополагающих принципов современных концепций математического образования являются гуманитарная ориентация обучения математике как предмету общего образования и приоритет развивающей функции в обучении математике. Одной из основных целей обучения математике является развитие мышления школьников. Обучение математике имеет для этого большие возможности, обусловленные особенностями самого предмета изучения - основ математической науки. В то же время при организации учебного процесса, имеющего целью развитие мышления учащихся, необходимо использовать то ценное, что накоплено в психологии и педагогике по вопросам развития мышления человека.
Проблема развития в психологии не нова, но чрезвычайно сложна и далека еще от своего решения. В термин "развитие" каждый вкладывает свое особое содержание. В двадцатом веке были предложены две знаменитые теории развития - теория Л.С.Выготского и теория Ж.Пиаже . И тот, и другой сходятся во мнениях о том, что развитие человека есть прежде всего развитие его психики ( в том числе развитие мышления ), хотя , конечно, этим оно не исчерпывается. Эти ученые, а также С.Л.Рубинштейн, А.Н.Леонтьев , П.П.Блонский , А.Р.Лурия , Б.М.Теплов , Д.Брунер , А.В.Брушлинский, О.К.Тихомиров, Я.А.Пономарев, В.А.Крутецкий и др. внесли большой вклад в изучение психологических закономерностей мышления. Исследования психологов выявили существенный характер влияния обучения на психическое развитие детей, в частности, на развитие их мышления. В педагогической психологии и педагогике имеется ряд теорий, указывающих разные пути реализации развивающего влияния обучения на мышление, предложенных П.Я.Гальпериным , Н.Ф.Талызиной , Д.Н.Богоявленским , Н.А.Менчинской , Е.Н.Кабановой-Меллер , Д.Б.Элькониным , В.В.Давыдовым , Л.В.Занковым и ДР Часто мышление развертывается как процесс решения задачи, в которой выделяются условия и требования. Необходимость в мышлении возникает прежде всего тогда, когда перед человеком появляется новая цель, новые обстоятельства и условия деятельности, а старые средства и способы деятельности для достижения цели недостаточны, то есть, когда человек оказывается в проблемной ситуации. Начинается процесс мышления с анализа этой проблемной ситуации. Но о возникновении у данного субъекта задачи можно говорить, если она им не только понята, но и принята, то есть, соотнесена с по-требностно-мотивационной сферой личности. Так как в ходе решения задачи мышление как процесс выступает особенно отчетливо, важным представляется исследование механизма внутреннего мыслительного процесса, приводящего к результату ( решению). Вопросам психологического анализа мыслительной деятельности учащихся при решении задач посвящены работы Л.Л.Гуровой (37; 38) , Л.М.Фридмана (175; 176) , А.Ф.Эсаулова (186, 187) , Н.Г.Алексеева (5) , К.Дункера (50) , Ю.Н.Кулюткина (80) , В.Н.Пушкина (132) и др.
Общеметодический аспект проблемы развития мышления школьников при решении задач в процессе обучения математике рассмотрен в работах Д.Пойа (122; 123) , Ю.М.Колягина (69; 70) , А.А.Столяра (155; 156; 157) , В.А.Гусева (39) , Н.А.Терешина (165) , В.С.Копылова (72) , В.И.Крупича (77) и др. Ряд диссертационных исследований посвящен изучению проблемы поиска эффективных методик развития мышления учащихся в процессе обучения математике. Т.С.Маликов рассматривает возможности развития таких качеств мышления, как активность и критичность, используя индуктивные и дедуктивные рассуждения (89). О.С.Медведева в качестве средства развития мышления учащихся рассматривает решение задач комбинаторного характера (97). В связи с развитием логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике рассматривает Л.Н.Удовенко развитие логического мышления (172).
Потребностями науки, практики, образования обусловлена сегодня актуальность проблемы развития у школьников математического мышления. Под математическим мышлением мы понимаем прежде всего форму, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики или ее приложений. Математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще, но имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. На материале алгебры и начал анализа И.Н.Семенова выявляет роль и место сюжетных задач в развитии математического мышления школьников (149). Е.В.Сухорукова рассматривает прикладные задачи как средство развития математического мышления (158). Методическую систему развития математического мышления учащихся при решении задач на приложение производной и интеграла предлагает в своем исследовании (20) Ш.М.Вакилов. В своем исследовании мы рассматриваем возможности развития математического мышления учащихся, выбрав в качестве средства развития мышления задачи, решаемые методом составления уравнений и неравенств. Школьные задачи, которые можно решить этим методом, будем называть задачами на составление уравнений и неравенств.
Развитие мышления учащихся должно осуществляться целенаправленно. С целью развития мышления, которая должна быть неразрывно связана с остальными целями обучения, учитель должен организовывать деятельность учащихся. Большие возможности для этого имеются в организации особой формы активности ребенка - учебной деятельности, одним из важнейших структурных компонентов которой является учебная задача. Математическое мышление является теоретическим мышлением, оно должно основываться на содержательном (теоретическом) обобщении. Поэтому при решении задач важно овладение учениками общими принципами решения задач определенных классов. Для этого ученики должны открыть внутренние свойства и отношения объектов действия, то есть те их свойства, которые определяют закономерности их функционирования и преобразования. Сделать это можно в ходе решения учебных задач.
Роль математических методов в решении возникающих в различных сферах деятельности человека проблем в настоящее время трудно переоценить. В связи с этим актуальной задачей обучения математике становится формирование у учащихся представлений об одном из ведущих из этих методов - математическом моделировании. Обычно математической моделью изучаемого явления, процесса являются уравнения, неравенства, их системы. Поэтому особое значение приобретает формирование у школьников умения решать задачи методом составления уравнений. Из всего многообразия конкретно-практических задач можно выделить подмножество задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, внутри этого множества объединить задачи в подмножества (классы) задач общими способами их решения. Затем из каждого такого класса подобрать серии задач, позволяющие организовать учебную деятельность школьников, в которой с помощью учебных действий задачи определенной серии трансформировались бы в учебные задачи. При решении учебной задачи учащиеся овладевают общими принципами решения задач данным способом, что способствует формированию у них содержательного (теоретического) обобщения, которое является основой теоретического мышления. Формирование содержательного обобщения, в свою очередь, способствует формированию и развитию теоретического мышления школьников. Теоретическое мышление, которое осуществляется применительно к предметному содержанию, обусловленному предметом математики - математическими структурами, - есть математическое мышление. При использовании в качестве средства развития теоретического мышления учащихся математических задач происходит развитие их математического мышления. О формировании у них математического мышления можно судить по проявлению основных черт теоретического мышления (анализа, рефлексии и внутреннего плана действий) в процессе решения ими математических задач.
В связи со сказанным представляется важной проблема исследования роли и места задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, как средства развития математического мышления, разработка на этой основе методики обучения решению соответствующих учебных задач. Указанные факторы обусловили выбор в качестве объекта исследования процесс развития мышления школьников в ходе решения учебных задач в рамках курса алгебры 7-8 классов. Предмет исследования - решение задач на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления в этом процессе. Цель исследования заключается в выявлении возможностей и уровня влияния задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, на развитие математического мышления учащихся для разработки научно обоснованных рекомендаций, для логического включения этих задач в общую систему обучения.
Выдвигается следующая гипотеза: организация учебной деятельности школьников по решению задач методом составления уравнений и неравенств способствует формированию обобщенного способа решения задач, что способствует формированию содержательного (теоретического) обобщения, что, в свою очередь, способствует развитию их математического мышления.
Для достижения поставленной цели и проверки достоверности гипотезы потребовалось решить частные задачи :
- анализ процесса решения задач на составление уравнений и неравенств с целью выявления особенностей мыслительной деятельности при их решении;
- разработка теоретических основ развития математического мышления школьников в процессе решения таких задач с учетом выявленной их специ фики;
- разработка системы методических мер развития математического мышления учащихся, отбор учебных задач для организации учебной деятельности школьников по их решению;
- разработка диагностического аппарата, с помощью которого можно определять уровень развития мышления ученика;
- экспериментальная проверка правильности выдвинутой гипотезы, действенности разработанной методики обучения, имеющей целью развитие математического мышления школьников.
Для решения перечисленных задач были использованы следующие методы :
- анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, школьных учебников и учебных пособий;
- изучение и обобщение опыта работы учителей, анализ состояния работы по развитию мышления учащихся в школе;
- наблюдение за процессом решения задач учениками, индивидуальные собеседования с ними для выяснения, выполняется ли ими содержательное обобщение способов решения;
- педагогический эксперимент, включающий психолого- педагогическое доказательство целесообразности применения разработанной методики работы с этими задачами, и обобщение его результатов.
Основой методического подхода к реализации развивающей функции обучения в нашем исследовании явилась психолого- педагогическая концепция Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова развития мышления как перехода от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специальным образом организованной учебной деятельности учащихся.
Научная новизна исследования состоит в разработке методических основ развития математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств при изучении курса алгебры 7-8 классов средней школы. Теоретическое значение работы заключается : а) в выяв лении роли задач на составление уравнений и неравенств в системе образования и их места в развитии математического мышления учащихся; б) в обосновании путей и выявления методических условий развития мышления учащихся с помощью задач этого типа; в) в разработке серии учебных задач для организации учебной деятельности школьников с целью развития их мышления. Практическую значимость проведенного исследования определяют : а) разработка методики, позволяющей в рамках действующей программы по алгебре (7-8 классы общеобразовательной школы) проводить целенаправленную работу по развитию математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств; б) возможность использования содержания разработанных учебных задач как учителями математики, так и студентами на занятиях по методике преподавания математики, авторами школьных учебников; в) применимость разработанной методики обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, имеющей целью развитие математического мышления учащихся, к другим разделам школьного курса математики. Актуальность исследования определяется необходимостью учета в процессе обучения математике результатов исследования психолого-педагогической науки и отбора на основе этого содержания обучения, выбора соответствующих эффективных путей психического развития детей, развития их математического мышления.
На защиту выносятся следующие положения. 1. Доказательство того, что специфика мыслительной деятельности при решении задач на составление уравнений и неравенств определяет особую роль их в развитии математического мышления учащихся. 2. Содержание разработанных серий задач для организации учебной деятельности школьников, способствующей развитию их математического мышления. 3. Разработанная методика обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, способствующая развитию математического мышления учащихся.
Достоверность результатов исследования подтверждается их экспериментальной проверкой в Кижингинской средней школе № 1 Республики Буря тия.
Апробация работы.
С сообщениями по результатам исследования автор выступала на заседаниях методического объединения учителей математики Кижингинской средней школы № 1 Республики Бурятия в 1989-1991 гг.; заседаниях кафедры методики начального обучения математике Бурятского государственного педагогического института в 1993-1995 гг.; научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета в 1998 году.
Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях.
Функции, уравнения, неравенства. - В кн.: Математика. Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников специальности 2121/ Сост. В.В.Убодоев, Д.Д.Рыбдылова.- Улан-Удэ: Издательство Бурятского пединститута, 1995. - С. 10-16.
Значение принципа моделирования в обучении математике в средней школе. - В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. Серия: естественные науки / Под ред. В.Л.Матросова и др. - М.: Прометей, 1997. - С. 242.
О проблеме воспитания у учащихся математического мышления как составной части общей культуры мышления. - В кн.: Современные проблемы воспитания и развития личности: теория и практика / Под ред. Т.Д.Марцинковской, А.Н.Литвиновой, В.В.Ряшиной.- М.: ИРЛ РАО, 1997. - С. 215-216.
Формирование у учащихся умения математизировать реальные ситуации - одна из важнейших функций задач. - В кн.: Проблемы совершенствования преподавания математики в современной школе. - М.: МПГУ, 1997. - С. 16.
Методы математики в решении практических вопросов и отражение их в решении школьных задач // Наука и школа, № 1, 1998.- С. 46-48.
Возможности обучения школьников методу познания как виду деятельности. - В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета. Серия: естественные науки / Под ред. В.Л.Матросова и др. -М.: Прометей, 1998. - С. 51-52.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. В первой главе дается анализ литературы по проблеме исследования, выявляются психолого- педагогические основания необходимости и возможности развития мышления школьников в процессе решения задач при обучении математике. Вторая глава посвящена рассмотрению методических основ развития математического мышления учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств и разработке соответствующей методики для работы в 7 - 8 классах средней школы. Методика решения задач, имеющая целью развитие теоретического мышления школьников, заключается в особой организации их учебной деятельности. Исходным моментом учебной деятельности является учебная задача, "при решении которой школьники решают все задачи данного класса" (43, с. 46), то есть, задача, при решении которой школьники овладевают теоретически обобщенными способами решения некоторого класса конкретно-практических задач. Также здесь описан диагностический аппарат, с помощью которого определялась сформированность (или несформированность) основных черт теоретического мышления. Эффективность разработанной методики подтверждается данными педагогического эксперимента, которые приводятся в этой же главе.
Исследование вопросов развития мышления в психологии и педагогике
Среди многих проблем преподавания математики в средней школе все большее внимание в настоящее время привлекает проблема развития мышления учащихся. Развитие мышления школьников должно проходить целенаправленно. Учитель должен организовывать деятельность учащихся с целью развития их мышления. Для этого необходимо, прежде всего, знать закономерности мышления, которые исследуются логикой, психологией и другими науками. Эти науки изучают различные, но неразрывно связанные и взаимодействующие стороны мышления. В психологических исследованиях к настоящему времени накоплен богатый материал, освещающий вопросы развития мышления.
К образованию тех или иных познавательных результатов, таких, как например, следующие: решил или не решил задачу данный ученик; возник у него или нет замысел, план решения, догадка; усвоил он или нет определенные знания, способы действия; сформировалось ли у него новое понятие и т. д., - приводят внутренние, скрытые причины, внутренний мыслительный процесс. "Основная задача психологического исследования мышления заключается в том, чтобы, не ограничиваясь фиксацией внешних результатов мыслительной деятельности, вскрыть самый процесс мышления во внутренних закономерностях его протекания" (136, с. 281). Психология исследует внутренние, специфические причины, которые позволяют объяснить, а не только констатировать и описывать внешне выступающие явления и события. Рассмотрим отдельные разработки некоторых проблем в изучении мышления, важные для использования в процессе обучения.
Одной из центральных проблем психологии мышления является проблема мысленного предвосхищения неизвестного в ходе познавательной деятельности человека. "Действительное психологическое изучение мышления ... должно быть направлено на расшифровку той сложной реальности, которая стоит за обобщенными терминами "интуиция", "творчество", "продуктивное мышление", - считает О.К.Тихомиров (169, с. 5). Мышление часто развертывается как процесс решения задачи, в которой выделяются условия и требования. Мы рассмотрим разные точки зрения на мысленное предвосхищение в ходе решения человеком задачи.
В связи с развитием кибернетического подхода к мышлению получил широкое распространение следующий взгляд на процесс мышления: по ходу мыслительного процесса перебираются подряд один за другим все, многие или некоторые признаки соответствующего объекта, связанные с ним общие положения, теоремы, варианты решения и т. д. и из них выбирается необходимое для решения. Предвосхищение в процессе мышления в данном случае отрицается. Полная неприменимость чисто механического перебора видна из примера, приводимого английским кибернетиком У.Р.Эшби, о переборе возможных вариантов в шахматной игре (188, с.327). При чисто механическом переборе вариантов шахматная игра и для человека, и для вычислительных машин становится невозможной. На самом деле человек анализирует только очень малую часть возможных вариантов. Очевидно, при этом используются какие-то способы сокращения перебора вариантов, наличие устойчивой организации связей вещей позволяет, используя прежний опыт, осуществлять предвосхищение.
В работах Я.А.Пономарева (127; 128) выделяются понятия познавательной задачи и мыслительной задачи. Он отделяет логический процесс от психологического. Решение познавательной задачи предполагает решение длинного цикла мыслительных задач при обязательном многократном превращении психического процесса в продукт и наоборот. Процесс познания представляется как цепочка знаний, при переходе от одного звена которого к другому подключается интуитивный момент. Новое добывается на уровне взаимодействия субъекта с объектом познания "непосредственным усмотрением", происходит "скачок мысли". Затем это новое, выраженное в терминах и понятиях, участвует в логических рассуждениях. То есть, в мышлении имеет место тесное переплетение логических выводов и непосредственных усмотрений. Эта точка зрения основана на том, что каждая предыдущая стадия познавательного процесса дает начало непосредственно следующей за ней. Здесь все сводится к взаимосвязи между предыдущим и непосредственно следующим за ним этапами. То есть, предвосхищение в ходе мышления, согласно этой точке зрения, осуществляется только на один "шаг" вперед. В этом случае преуменьшается степень мысленного предвосхищения, ведь оно может осуществляться и на большее число "шагов" вперед.
В то же время существует и точка зрения, преувеличивающая роль предвосхищения: здесь оно сразу превращается в готовое и полное определение результата (решения). Часто нахождение решения задачи описывают как внезапное, мгновенное открытие, озарение и т.д. Например, сторонник геш-тальтпсихологии К.Дункер отводит главную роль в решении задач так называемому инсайту. Первой стадией процесса мышления является проникновение в условия проблемной ситуации, содержание которой "заключается в ин-сайтном схватывании тех особенностей в проблемной ситуации, которые вызывают конфликт" (50, с. 80). В результате чего принимается функциональное решение, в котором содержатся " существенные черты требуемого подхода к задаче" (там же, с. 81). На второй стадии реализуется (исполняется) функциональное решение, выбирается то, что действительно нужно для решения.
Понятие задачи, функции задач в процессе обучения математике
Одними из общих понятий, используемых в различных концепциях мышления, являются понятия проблемной ситуации и задачи. Д.Пойа, говоря о понятии задачи, отмечает : "Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи : там, где нет трудности, нет и задачи" (123, с. 143). Это означает, что можно говорить, что у субъекта имеется задача, тогда, когда он находится в следующей ситуации. Он наблюдает "отсутствие некоторого объекта материальной или идеальной природы, поиск или конструирование которого представляет для включенного в нее субъекта определенную трудность и требует от него той или иной познавательной деятельности" (16, с.246). То есть, субъект находится в проблемной ситуации. Также необходимо, чтобы при этом субъект осознавал такое отсутствие и имел желание восполнить его -найти или построить отсутствующий объект. Проблемная ситуация, как правило, не содержит "ни достаточного, ни необходимого указания конкретного образа действий по выходу из сложившейся ситуации или решению задачи" (там же, с.246), - пишут М.С. Бургин и В.И. Кузнецов.
В.П.Зинченко и Е.Б.Моргунов понимают проблемную ситуацию как ситуацию, содержащую противоречие или конфликт, порождающий неопределенность. Решающий задачу строит модель проблемной ситуации, в ходе чего происходит "понимание, осознание и означение смысла" (58, с. 235) выделенного противоречия.
Существуют различные трактовки понятия "задача". Исследуя мышление как решение задач, Л.Л.Гурова изучает задачу как объект мыслительной деятельности и определение понятию задачи, специфической для мыслительной деятельности, дает, исходя из характеристики ее условий, цели и средств ее достижения. Задача понимается ею как объект мыслительной деятельности, содержащий требование практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих на основе построения системы данных, связанных общими законами и категориями, раскрыть отношения между известными и неизвестными ее элементами, т.е. получить некоторый новый познавательный результат (37, с.7). Термину "решение" чаще всего придают значения : поиск решения (попытки найти способ решения), выполнение его (осуществление операций, входящих в тот или иной способ), достижение решения (получение ответа), принятие решения (выбор определенной стратегии - решения, как действовать). Об одном из этих значений исследователь пишет: "Самое главное в решении задач с точки зрения психологии мышления - как человек ищет неизвестное ему решение задачи ... . Поиск решения - это отыскание принципа, логики решения, в соответствии с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или не приведут" (38, с.34). Часто решение задачи имеет две фазы : сначала идет поиск идеи решения, а затем - его выполнение. (Фактически, человек решил задачу уже в тот момент, когда он обнаружил принцип. ) Но это относится лишь к отдельным задачам. "В обычных же условиях решения трудной для человека задачи поиск решения пронизывает весь этот процесс до тех пор, пока не будет получен конечный результат и решающий не убедится в его правильности" (там же, с.41).
Можно по-разному разбивать процесс решения задачи на этапы. А.Я.Пономарев выделяет следующие общие этапы процесса решения задачи: 1) осознание проблемы; 2) разрешение проблемы; 3) проверка решения (126, с. 124). К первому этапу, соответственно приведенному разбиению, относится и деятельность по так называемой постановке задачи. Существенной характеристикой типа задач, с которыми ребенок знакомится еще в начальной школе, пишет Ж.-Л.Лорьер, является то, что они "полностью определены", то есть четко описаны на подходящем каждому случаю языке. Чаще всего это язык математики. Но большинство задач, с которыми встречается человек в реальной жизни, не являются полностью определенными. "Чаще всего они описаны только частично и формулируются не нами, а кем-то другим, кто использует различные средства передачи информации .... Основным средством передачи информации при этом служит естественный язык. Однако с точки зрения решения задач он обладает четырьмя существенными недостатками : естественный язык неполон, избыточен, неоднозначен и неточен" (86, с. 19). Поставить задачу, по его мнению, означает прежде всего понять условия задачи, удалить неполноту, избыточность и неоднозначность или, другими словами, найти соответствующее представление. "В этом случае пространство поиска решений хорошо определено и чаще всего основная трудность решения уже выявлена" (там же, с. 20).
Л.М.Фридман и К.К.Джумаев задачей называют всякую знаковую модель проблемной ситуации, а под задачей, используемой в обучении в школе, понимают особый вид заданий, даваемых учителем учащимся : "Задача - задание на нахождение какого-то результата, когда действия по его выполнению не указаны, но в условии задана основная часть необходимой специфической информации" (177, с. 52). Говоря о решении задач, они указывают на их дидактические ("служебные") функции : постановка проблем, введение новых понятий, повторение и закрепление изученного материала, контроль за уровнем усвоения, применение изучаемых знаний на практике и т.д. Наряду с этим они называют развивающую функцию решения задач. "Глубокое развитие умственных способностей учащихся, формирование у них научно-теоретического мышления - важнейшая и первоочередная задача нашей школы..." (там же, с. 50), - считают они. Л.М.Фридман выделяет следующие этапы " нормативной деятельности по решению задач" : " а) анализ условия задачи; б) поиск плана решения; в) осуществление найденного плана и доказательство, что полученный результат решения удовлетворяет требованиям задачи; г) обсуждение (анализ) проведенного решения" (175, с. 20). Поиск решения задачи можно рассматривать как эвристический процесс, в ходе которого человек использует особые эвристические приемы. Делать он это должен в определенной системе, моделируя задачу в горизонтальном и вертикальном направлениях. "Под моделированием задачи в горизонтальном направлении мы понимаем логическое развертывание условия задачи ....
Развитие математического мышления школьников как одна из целей обучения
В современных познании и практической деятельности особо выделяют роль математики, называя наше время эпохой математизации знаний. "Математизация наших знаний состоит не только в том, чтобы использовать уже готовые математические методы и результаты, - пишет Б.В.Гнеденко, - а в том, чтобы создавать тот специфический математический подход, который позволял бы точно и полно описывать интересующий нас круг явлений, выводить необходимые следствия и использовать получаемые результаты для практической деятельности" (33, с. 78). В связи с этим перед школой ставится задача развития математического мышления учащихся. При ее решении возникает вопрос о том, что представляет собой математическое мышление, каковы его особенности. На этот вопрос у психологов, педагогов, математиков имеются разные ответы.
Заметим вначале, что ряд исследователей отрицают специфику математического мышления. Например, З.И.Слепкань считает, что мышление, связанное с математической деятельностью вообще и с усвоением математики школьниками в частности, полностью отвечает трактовке понятия мышления в современной психологии. "Поэтому мы считаем неправомерными попытки некоторых авторов ввести понятие "математическое мышление", выделив в нем свои особенности и компоненты ... " (154, с. 18).
Пытаясь описать математический способ мышления, Г.Вейль в первую очередь выделяет его конкретность и направленность. И хотя мышление "не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое", по его мнению, "существуют - скорее внешне - некоторые специфические особенности и различия" (22, с. 6).
Согласно философско-психологической концепции деятельности С.Л.Рубинштейна, человек и его мышление формируются, развиваются и проявляются в деятельности, которая характеризуется рядом особенностей: это всегда деятельность субъекта; выступая как взаимодействие субъекта и объекта, она всегда предметна, содержательна; имеет творческий и самостоятельный характер. В психологических и педагогических концепциях, из которых мы исходим, основным предметом исследования мышления является мышление как процесс, как деятельность. Любое явление, процесс представляет собой единство содержания и формы. Мыслительный процесс всегда осуществляется применительно к определенному предметному содержанию и проявляется в форме, обусловленной этим содержанием. Математическое мышление имеет особенное предметное содержание, определенное предметом математики - математическими структурами, - и выступает (проявляется) поэтому в особенной форме. Под математическим мышлением мы понимаем прежде всего форму, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики или ее приложений. Мышление есть процесс отражения объективного мира в сознании человека, его формами являются структуры отдельных мыслей и их особых сочетаний. В процессе познания математики и ее приложений, в процессе изучения человеком объектов реальной действительности посредством математики мышление проявляется в особой форме, отражающей формы существования реальных объектов. (Создатель операциональной теории интеллекта Ж.Пиаже формирующиеся у детей операторные структуры мышления соотносит с основными математическими структурами (120). Он пишет об "операциях разума", что их "высшей формой ... являются логика и математика" (119, с. 53). То есть, формы математического мышления он считает высшими формами мышления.) Каждая конкретная умственная деятельность имеет свою специфику, состоящую в том, что каждая из уметвенных операций, входящих в состав этой деятельности, по выражению С.Л.Рубинштейна, "преломляется через конкретное содержание предмета" (135, с. 67). Мышление, связанное с математической деятельностью, имеет свое особенное предметное содержание, в связи с чем представляется возможным выделение математического мышления. "Понятно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще", - пишет Ю.М.Колягин (69, с. 15). И далее : "Математическое мышление имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения" (там же, с. 16).
Математику определяют как науку о пространственных формах и количественных отношениях реального мира (185, с. 37). Однако "качественные изменения, происшедшие на протяжении последнего столетия в математике, привели к новому, более общему взгляду как на ее объекты, так и методы исследования" (164, с. 25). Степень абстрактности ее понятий и теорий значительно возросла. Математика не ограничивается изучением свойств и отношений между величинами и пространственными фигурами, которые составляют лишь часть более обширного и глубокого учения о математических структурах и категориях. Все структуры современной математики "возникают через ряд последовательных ступеней отвлечения и последующего обобщения" (там же, с. 29), то есть являются "абстракциями от абстракций". Это привело к взгляду на математику как науку об абстрактных структурах и категориях. Л.Д.Кудрявцев, говоря о предмете математики, пишет : "...Можно сказать, что математика - это область человеческого знания, в которой изучаются математические структуры" ( 79, с. 65 ). Слова А.Н.Леонтьева : "Особенности внутренней, теоретической деятельности - деятельности отвлеченного мышления -определяются тем, что она протекает без прямого соприкосновения с внешней действительностью, с объектами материального мира, хотя и опирается обычно на те или иные чувственные представления, схемы и т.п." (83, с. 91), - можно отнести и к математической деятельности.
