Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые вопросы кинетической теории многоатом ных газов 7
1.1. Основные определения, 7
1.2. Аппроксимирующее кинетическое уравнение для газа с вращательными й колебательными степенями свободы молекул 19
1.3. Граничные условия для функции распределения 28
1.4. Интегральные методы решения кинетических уравнений 35
2. Кнудсеновский слой 37
2.1. Краткий обзор литературы 37
2.2. Скольжение многоатомного газа вдоль плоской поверхности , 43
2.2.1 Постановка задачи 43
2.2.2. Система интегрально-моментных уравнений 47
2.2.3. Метод решения интегрально-моментных уравнений 50
2.2.4. Обсуждение результатов 53
2.3. Температурный скачок и скорость испарения многоатомного газа на плоской проницаемой поверхности 55
2.3.1. Постановка задачи 55
2.3.2. Система интегрально-моментных уравнений 60
2.3.3. Метод решения интегрально-моментных уравнений - 66
2.3.4. Обсуждение результатов 69
3. Процессы теплочи массопереноса многоатомного газа в каналах 76
3.1. Краткий обзор литературы 76
3.2. Постановка задачи 80
3.3. Вывод системы интегрально-моментных уравнений 85
3.4. Термодинамический анализ 91
3.5. Метод решения системы интегрально-моментных уравнений 94
3.6. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом 100
Основные результаты и выводы 117
Литература
- Аппроксимирующее кинетическое уравнение для газа с вращательными й колебательными степенями свободы молекул
- Интегральные методы решения кинетических уравнений
- Температурный скачок и скорость испарения многоатомного газа на плоской проницаемой поверхности
- Термодинамический анализ
Аппроксимирующее кинетическое уравнение для газа с вращательными й колебательными степенями свободы молекул
Аналогичная модель, но дающая правильное число Прандтля, была предложена Холуэем [32] . В этой работе предложен метод построения модельных кинетических уравнений, основанный на максимиза-ции энтропии, соответствующей распределению молекул по скоростям после столкновений.
В [33] построена модель интеграла столкновений для молекул с одной внутренней степенью свободы. Интеграл столкновений представляется в виде суммы двух членов: первый член вызывает релаксацию по скоростям и имеет вид, аналогичный интегралу столкновений БГК [30] для одноатомного газа, второй член вызывает релаксацию распределения по внутренней энергии и имеет диффузионный вид. При построении модели были приняты сильные допущения, а именно: внутренние и поступательные степени свободы в процессе столкновения не коррелируют, скорости после столкновения не коррелированы соско-ростями до столкновения, и изменение внутренней энергии в процессе столкновения мало.
Основным недостатком моделей [31-33] является то, что они обладают ограниченным набором свободных параметров и не способны правильно описать релаксацию всех величин, которые входят в макроскопические уравнения движения газа. В частности, такой величиной является поток внутренней энергии.
Этот недостаток, впоследствии, был устранен в работе [34] , где делается попытка расширить S - модель Шахова [35] на двухатомный газ, учитывающий только вращательные степени свободы линейных молекул. Как и в [31-33] модельный столкновительный член в [34] записывается в виде двух слагаемых, описывающих упуругие и неупругие столкновения, причем функция распределения зависит кроме обычных переменных и от вектора собственного момента импульса молекулы М. Считая, что частоты как упругих так и неупругих столкновений не зависят от скорости и собственного момента импульса молекулы М, а зависят лишь от макропараметров, в [34] применяется усреднение уравнения Больцмана для функции распределения по всевозможным направлениям вектора М.
Разлагая интегралы обратных (упругих и неупругих) столкновений в ряд по ортогональным полиномам около соответствующих равновесных значений и оставляя только члены, соответствующие векторам тепловых потоков поступательной и вращательной энергий, в [34] проводится дальнейшее усреднение модели по энергии вращательного движения молекулы, В результате основное уравнение сводится к замкнутой системе двух кинетических уравнений, каждое из которых аналогично кинетическому уравнению для одноатомного газа Недостатком модели [34] является то, что при упрощении модели путем усреднения уравнения по ориентации молекулы и по ее внутренней энергии, теряется информация о деталях межмолекулярного взаимодействия. Таким образом, проводится лишь оценка влияния вращательных степеней свободы на коэффициенты переноса. Кроме того, аппроксимирующее кинетическое уравнение в [34] получено для молекул с максвелловским законом межмолекулярного взаимодействия, что значительно сужает область его применения и может привести при решении конкретных задач к значительной ошибке, по крайней мере, в количественном отношении.
Несколько другой-подход к построению модельных уравнений был предложен в [36,37] , в которых была применена процедура Гросса 17
Джексона [38] к газам с внутренними степенями свободы, В [36] было получено модельное уравнение Л/ -го порядка для газов с одним видом внутренней энергии путем диагонального расцепления линеаризованного интеграла столкновений кинетического уравнения Ван Чан-га - Уленбека [19]. Функция распределения и линеаризованный интеграл столкновений записываются в представлении некоторого ортогонального базиса, В качестве базисных функций выбираются полиномы Сонина как функции скоростей и полиномы Ван Чанга - Уленбека как функции внутренних энергий. Далее, производится обрезание оператора столкновений, которое не изменяет основных моментов функции распределения и сохраняет релаксационную структуру уравнения. В явном виде в [36] записано уравнение третьего поряцка для газа с одним видом внутренней энергии.
В [37] модель Хансона - Морзе [36] была обобщена на два вида внутренней энергии: вращательной и колебательной, при этом рассматривается частный случай, так называемых резонансных переходов, при которых молекулы обмениваются между собой колебательными квантами, не изменяя суммарной поступательной энергии сталкивающихся молекул.
В [39] предложен другой метод построения линеаризованных кинетических моделей, основанный на требовании равенства моментов модельного оператора столкновений Л/-го порядка и моментов полного оператора столкновений, вычисленных с использованием приближенной функции распределения М-го порядка. Такой метод построения был впервые предложен Шаховым [35,40-43], для построения модельных уравнений для одноатомного газа.
Интегральные методы решения кинетических уравнений
Интегральными методами называются методы решения, использующие интегральную форму уравнения Больцмана [73, 74]. Известно [73], что решение граничной задачи на основе уравнения Больцмана (или модельного кинетического уравнения) можно свести к решению интегрального уравнения путем интегрирования кинетического уравнения вдоль характеристик.Существуют различные способы получения соответствующих интегральных уравнений и методы их решения [43, 73, 74]. Особенно эффективны интегральные методы в применении к модельным кинетическим уравнениям, у которых интеграл столкновений содержит конечное число моментов функции распределения. Это обстоятельство позволяет, не отыскивая саму функцию распределения, свести задачу к решению замкнутой системы интегральных уравнений для макропараметров, имеющих практический интерес.
Сдним из достоинств интегральных форм кинетического уравнения является то, что они включают геометрию задачи и граничные условия. Кроме того, существенно упрощается математическая постановка задач. Действительно, если функция распределения в случае многоатомных газов может зависеть от восьми и более аргументов ( t, Т7, ЯГ, EL ), то макроскопические величины, удовлетворяющие интегрально-моментным уравнениям - лишь от четырех (t, г" ).
По этим причинам в диссертации при рассмотрении граничных задач динамики разреженных газов отдано предпочтение интегральному методу решения кинетических уравнений.
Исследуются процессы тешго-й массо-переноса многоатомного газа в кнудсенов-ском слое. Вычисляются вязкостное скольжение, тепловой крип и температурный скачок для многоатомного газа с учетом мед- . ленных процессов испарения и конденсации на плоской межфазовой поверхности. Анализируется влияние внутренних степеней свободы молекул на эти величины, рассматривается их аккомодационная зависимость.
Известно [75] , что в тех случаях, когда длину свободного пробега молекул I можно считать пренебрежимо малой в сравнении с характерным размером телаЬ, на поверхности обтекаемого тела ставится граничное условие равенства температур тела и газа и условие равенства нулю скорости газа по отношению к телу. Однако, эти условия являются приближенными и при учете конечности отношения -Ь-=Кп (Кп- число Кнудсена) нуждаются в уточнении.
На расстоянии порядка нескольких длин свободного Пробега от ограничивающей газ поверхности градиенты макроскопической скорости и температуры газа считаются обычно постоянными. Постоянство этих градиентов нарушается только в непосредственной близости от стенки,на расстоянии порядка ?(в так называемом слое Кнудсена), где сказывается влияние столкновений молекул газа с поверхностью тела, В результате имеют место эффекты, которые объединяются под общим названием явлений «скольжения" или «скачка" [73,76,77] . Эти эффекты проявляются в том, что некоторые средние свойства газа на поверхности с увеличением разреженности начинают отличаться от свойств, соответствующих этой поверхности; а именно: I) Средняя тангенциальная скорость молекул газа на поверхности может отличаться от тангенциальной составляющей скорости движения самой поверхности, и 2). Температура газа на поверхности может не быть равной темпера- туре поверхности. Таким образом, на поверхности средние тангенциальная скорость и температура газа могут - изменяться почти разрывным образом (т.е. на расстоянии порядка! )
Поэтому для уравнений Навье - Стокса и теплопроводности, справедливых вне слоя Кнудсена, необходимо определить макроскопические граничные условия на обтекаемой поверхности, которые позволили бы получить решение этих уравнений, совпадающее (с точностью Навье-Стоксовского приближения) вне слоя Кнудсена с решением урав-нения Больцмана с заданными кинетическими условиями на поверхности тела. [73] . Но при изучении распределений температуры и скорости во всем объеме газа истинный характер изменения этих величин на расстояних от стенки, сравнимых с длиной свободного пробега молекул, не имеет существенного значения. Поэтому достаточно ограничиться экстраполяцией линейного участка изменения соответствующей величины в Навье-Стоксовской области вплоть до самой стенки, и получить некоторые фиктивные значения скорости и температуры газа у стенки. Разность между фиктивной скоростью и скоростью стенки называется скоростью скольжения, а соответствующая разность температур - температурным скачком. [73] .
Температурный скачок и скорость испарения многоатомного газа на плоской проницаемой поверхности
Величины бри 6т характеризуют пуазейлевское скольжение и тепловой крип соответственно. Если 6р есть постоянная величина, независящая от внутренних степеней свободы молекул и полностью совпадающая с результатом работы [95] для одноатомного газа, то эт - существенно зависит от возбуждения внутренней энергии молекул. Из выражения (2.2.23) следует, что неупругие столкновения между молекулами приводят к уменьшению теплового крипа, что объясняется переходом части поступательной энергии во внутреннюю. Интересно отметить, что по форме выражение для теплового крипа (2.2.23) является одинаковым как для одноатомного, так и для многоатомных газов. Но для одноатомного газа - -=4 - й йз (2.2.23) следует результат [95] , а для многоатомного газа этот комплекс определен в (2.2.5).
Представляют интерес численные оценки влияния внутренних степеней свободы молекул на величину теплового крипа. Значения параметров , L\ /, ft выбирались из экспериментов. Величина JL изменяется от 0 (замедленный энергообмен между поступательными и вращательными степенями свободы молекул, до 1,2 (легкий обмен энергией, % ) [47] . Поскольку 2 имеет порядок Ю3- Ю8 [49,52] , параметр об выбирался в интервале [0; 0,001] Значения для J5= -rt и fl = JL-ж выбирались равными что спра-ведливо в широком интервале температур для неполярных молекул.
Расчет показал, что максимальный вклад вращательных степеней свободы молекул для двухатомного газа BS при легком обмене (dC=I,2) составляет Г$, максимальный вклад колебательных степеней свободы оказался очень мал: - 0,01$, Это обстоятельство связано с тем, что времена колебательной релаксации0 ля всех газов в широком интервале температур на несколько порядков превышают времена вращательной релаксации Согласно (2.2.22), в гипотетическом случае полностью зеркального отражения (=0) константа вязкостного скольжения (эр стремится к бесконечности, в то время как скорость скольжения U - остается постоянной величиной. Физически это объясняется тем, что при полном зеркальном отражении нет касательных напряжений на стенке, а следовательно, и нет градиента макроскопической скорости газа В. этом случае скорость газа во всей области течения (и на стенке, и вдали от поверхности) одинакова.
Константа теплового крипа Ст с увеличением доли зеркального от-, ражения уменьшается. Этот неожиданный результат можно объяснить тем, что тепловой крип в изобарических условиях есть результат суперпозиции двух противоположно направленных потоков, вызываемых соответственно градиентами температуры и числовой плотности. Расчеты показывают, что с увеличением доли зеркального отражения оба потока увеличиваются. При этом, поток, вызываемый градиентом температуры увеличивается сильнее, чем поток вызываемый градиентом плотности. В результате это.и приводит к уменьшению теплового крипа бт,
Если в результате межмолекулярных столкновений оказывается возбужденным лишь один вид внутренней энергии, то выражения для бр и (эт при =1 превышают соответственно на 12% и в 1,5 раза результаты работы [66] , полученные приближенным методом Максвелла. Отметим также, что в [91] утверждается, что константа теплового крипа (эт не зависит от внутренних степеней свободы молекул. Этот неверный вывод является следствием неправильно проведенной аналогии с результатом по скольжению одноатомного газа.
Пусть граница раздела фаз совпадает с плоскостью х=0, причем газ занимает полупространство х 0 . При этом учитывается возбуждение как вращательных, так и колебательных степеней свободы молекул, В паре поддерживается градиент температуры, нормальный к плоскости х=0, и имеет место перенос вещества (испарение или конденсация), характеризуемый среднемассовой скоростьюіі. Испарение (конденсация) предполагается медленным, так что ("УкТ") U«4 (Ts - температура поверхности конденсированной фазы).
Термодинамический анализ
В настоящей главе рассматриваются процессы тепло-и массопе-реноса многоатомного газа в плоском и цилиндрическом каналах, обусловленные продольными градиентами давления и температуры. При неизотермических условиях практически важным является эффект воз-никновенйя разности давлений в замкнутой системе, так называемая термомолекулярная разность давлений (эффект т.р.д). Правильная оценка этого эффекта необходима при измерении давления газа в рабочей камере прибором, который находится в других температурных условиях. В этом случае к показаниям прибора необходимо вводить соответствующую поправку, величина которой может достигать несколько десятков процентов от измеряемого давления. Учет этого эффекта необходим при исследовании характеристик верхних слоев атмосферы, при измерении скоростных потоков и статических давлений при полетах с большими скоростями, т.е. в случаях, когда возникают температурные перепады [103] .
Изучение эффекта т.р.д. (или тепловой транспирации) помимо практического имеет и самостоятельный интерес. Как будет показано ниже, это явление предоставляет возможность изучения закономерностей движения разреженных газов вблизи поверхности твердых тел. Изучение этого эффекта позволяет получить определенную информацию о взаимодействии молекул с обтекаемой поверхностью, определить ряд параметров, характеризующих обмен энергией между поступательными и внутренними степенями свободы молекул при межмолекулярных столкновениях, например, такие как поступательный фактор Эйкена j и вращательное столкновительное число Zr .
В настоящее время движение газа в каналах под действием градиентов давления и температуры хорошо исследовано для случая одноатомного газа. Результаты, полученные различными методами, подробно излагаются в [104,105] . Вопрос о влиянии внутренних степеней свободы молекул на процессы тепло- и массопереноса в каналах практически не исследовался.
Одной из первых работ по изучению явления тепловой транспи-рации для многоатомных газов была работа Мейсона и сотрудников [Юб], которые получили зависимость эффекта т.р.д. от числа Кп путем применения ппылегазовой" ( „ dusty-gas) модели. Согласно ппылегазовой" модели капилляр рассматривается как система сферических частиц (пылевые частицы), беспорядочно расположенных и жестко закрепленных в пространстве. Течение газа через такую систему отождествляется со взаимной диффузией двух газов, причем молекулы одного из газов имеют бесконечно большую массу. В этом случае к данной системе можно применить основные соотношения строгой молекулярно-кинетической теории газов. Таким образом, эффект термомолекулярной разности давлений в капилляре рассматривается как процесс переноса массы молекул газа и бесконечно тяжелых и неподвижных молекул, беспорядочно расположенных в пространстве (вместо самого капилляра).
Оцним из недостатков работы [106] является то, что теория термотранспирации, основанная на «пылегазовой" модели, не учитывает влияния взаимодействия газа с поверхностью (неполную аккомодацию молекул газа со стенкой) на эффект т.р.д и включает большое количество феноменологических параметров.
Строгая теория движения разреженного газа в каналах при произвольных значениях числа Кп может быть построена только на основе решения кинетического уравнения Больцмана или его моделей, В [107,108] на основе модельного кинетического уравнения Хансона -Морзе [36] изучается движение многоатомного газа с одним видом внутренней энергии в плоском и цилиндрическом каналах под действием градиентов давления и температуры. Вычислены кинетические коэффициенты, входящие в выражения для одномерных потоков массы и тепла. Эти коэффициенты зависят от полного и поступательного } факторов Эйкена, теплоемкости внутренних степеней свободы при постоянном объеме, В [107,108] показано, что в пределах точности вычислений тепловой крип не зависит от полного фактора Эйкена j- , а полный поток тепла, вызванный градиентом температуры « от посту-пательного фактора Эйкена у Отсюда делается вывод о независимости термокрипа и тепловой транспирации от внутренних степеней свободы молекул.
