Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Периодические волны на заряженной поверхности жидкости и ее устойчивость 10
1.1. Ретроспектива исследований линейной устойчивости заряженной поверхности жидкости 10
1.1.1. Заряженная капля 10
1.1.2. Струя 13
1.1.3. Заряженная плоская поверхность жидкости 19
1.1.4. Задача Френкеля 21
1.2. Нелинейные волны на поверхности жидкости 28
1.2.1. Общие сведения 28
1.2.2. Задача расчета параметров нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости в слое конечной толщины 29
1.2.3. Анализ результатов нелинейных расчетов 34
1.3. Конвективные движения жидкости 37
Глава 2. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины 44
Глава 3. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины 65
3.1. Аналитический асимптотический расчет нелинейных волн на заряженной поверхности электропроводного слоя вязкой несжимаемой жидкости 65
3.2. Влияние нелинейного взаимодействия волн на условия зажигания огней св. Эльма 90
Глава 4. Влияние релаксационных эффектов на .нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости 94
4.1. Линейный анализ взаимодействия релаксационных волн электрического заряда и поверхностно активных веществ 94
4.2. Релаксационные эффекты и нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости 100
Глава 5. Исследование взаимодействия электрокапиллярно-гравитационных и конвективных движений в подогреваемом снизу жидком слое со свободной поверхностью 111
Приложение 122
Результаты и выводы 131
Список использованной литературы 133
- Задача расчета параметров нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости в слое конечной толщины
- Аналитический асимптотический расчет нелинейных волн на заряженной поверхности электропроводного слоя вязкой несжимаемой жидкости
- Линейный анализ взаимодействия релаксационных волн электрического заряда и поверхностно активных веществ
- Релаксационные эффекты и нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости
Введение к работе
Актуальность темы. Конвективная неустойчивость слоев жидкости, при наличии в ней градиентов температуры, а также неустойчивость ее заряженной жидкости являются актуальными в связи с многочисленными приложениями в физике, геофизике, технике и технологии. Первые исследования указанных феноменов относятся к позапрошлому веку, и в настоящее времени интерес к проблеме только увеличивается. В то же время большая часть проведенных теоретических исследований, направленных на изучение неустойчивости заряженной поверхности жидкости, выполнена в линейном приближении по амплитуде возмущения свободной поверхности. В последние годы был опубликован ряд работ, связанных с исследованием нелинейных периодических волн на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости, но никто еще не анализировал возможное взаимодействие периодического волнового движения в слоях жидкости в конечной толщины с конвективным движением, возникающих при неоднородном по высоте распределении температуры жидкости, хотя и волновое и конвективное движения характеризуются определенной периодичностью.
Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости, связанное с неограниченным ростом амплитуд волн на ее поверхности, когда отрицательное давление электрического поля на нее превышает некоторое пороговое значение, представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями данного феномена. Оно лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. В частности данное явлением находит применение в народном хозяйстве: в распыливании жидких топлив и лакокрасочных материалов, в технологии струйной печати, а также в изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в
5 океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Особое место среди известных видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости при наличии усложняющих факторов (неустойчивости Тейлора, Фейра, Кельвин а-Гельм гольца, Марангони) занимает неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по весьма малой амплитуде волновой деформации свободной поверхности, которая генерируется уже тепловым движением молекул жидкости. Влияние глубины слоя жидкости на характер волнового движения и закономерности реализации неустойчивости поверхности жидкости относительно хорошо изучено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему.
Сходная ситуация сложилась и по отношению к вопросу учета вязкости в задачах о периодических волнах на заряженной поверхности жидкости и о влиянии поверхностно-активных веществ. Механизм реализации неустойчивости плоской однородно заряженной плоской поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. Но исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости малой толщины в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск солитонных решений. В последние годы появились работы, позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на нелинейные волновые процессы. Получены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распростра- няющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.
Подводя итог сказанному выше, отметим, что, несмотря на разностороннее исследование закономерностей формирования и неустойчивости гравитационно-капиллярных волновых и конвективных движений жидкости, влияние толщины ее слоя как в случае идеальной, так и в случае вязкой жидкости на распространение нелинейных волн по однородно заряженной поверхности слоя жидкости конечной толщины и на критические условия неустойчивости волновых движений практически не исследовано. Также остается открытым вопрос о взаимодействии волнового и конвективного течений и на закономерности реализации неустойчивости ее поверхности по отношению к поляризационному заряду.
Цель работы состояла в исследовании конвективных движений жидкости и периодических волн на заряженной поверхности слоев жидкости конечной толщины, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и оценке роли диссипации, связанной с наличием поверхностно-активных веществ, вязкостью и глубиной жидкости, на волновое движение и критические условия возникновения нестабильности.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: — аналитическим асимптотическим путем исследованы нелинейные ка пиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины; - аналитическим асимптотическим путем исследованы нелинейные ка пиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины; -аналитически исследованы условия возникновения конвективного движения в слое вязкой жидкости конечной толщины с однородно заряженной свободной поверхностью при наличии волнового искажения ее свободной поверхности;
7 -исследовано влияние вязкости и толщины слоя жидкости на характер взаимодействия конвективных и волновых движений; - исследовано влияние поверхностно активных физические веществ на закономерности нелинейного капиллярного волнового движения.
Научная новизна работы состоит в том, что ~ впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследовано взаимодействие конвективного волнового движения жидкости с периодическими капиллярно-гравитационными волнами конечной амплитуды на заряженной свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины; впервые в строгой аналитической процедуре — впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины; - аналитически исследованы общие закономерности влияния поверхно стно-активных веществ на нелинейное волновое движение вязкой жидкости.
Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, имеющих место в реальных металлургических и магнито - и электрогидродинамических устройствах. Проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий возникновения конвективного волнового движения жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св.Эльма» и способствует лучшему пониманию реализующихся физических процессов. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложениях. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искус-
8 ственного происхождения. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструинои печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометалли-ческих источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных реактивных двигателей.
На защиту выносятся:
Математическая модель взаимодействия конвективных и волновых движений жидкости с электрическим зарядом, однородно распределенным по свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины.
Аналитический асимптотический анализ нелинейного капиллярно-гравитационного волнового движения на поверхности слоя конечной толщины электропроводной жидкости произвольной вязкости.
Анализ закономерностей реализации нелинейного волнового движения идеальной и вязкой жидкостей в слоях жидкости меньших и больших длинны волны.
Асимптотический анализ-взаимодействия капиллярного волнового движения с поверхности о-активным и веществами
Апробация работы. Результаты работы опубликованы в пяти статьях. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на: V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003); всероссийской научной конференции посвященной 200-летию -Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003); XXI научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2004);
IX Всероссийская конференции молодых ученых «Состав атмосферы и электрические процессы» САтЭП-2005 (Борок, 2005 ); - на научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им. П.Г. Демидова.
Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 143 страницы состоит из введения, пяти глав, заключительного раздела «Результаты и выводы», списка литературы из 131 наименования, приложений и содержит 23 рисунка.
Задача расчета параметров нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости в слое конечной толщины
Если 0 W 2, то на свободной поверхности лапласовские силы преобладают над электрическими на вершинах возмущений всех возможных мод. Поэтому плоская равновесная форма свободной поверхности оказывается устойчивой по отношению к любым виртуальным возмущениям.
Для каждой моды с волновым числом к имеется свое пороговое значение параметра Тонкса-Френкеля Рё И Г при котором на гребнях возмущения лапласовские и электрические силы в точности уравновешиваются. Любое, даже малое, превышение параметром W порогового значения приводит к нарушению равновесия в сторону доминирования электрических сил, стремящихся увеличить амплитуду возмущения. Мода с волновым числом имеет самый низкий порог W = W» по условиям реализации неустойчивости, и называться основной. Интересно отметить, что рассуждения Тонкса приводят к условию реализации неустойчивости W 1, что вдвое меньше, чем у Френкеля. Модель Френкеля не дает полного представления о неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Она описывает только начальную стадию неустойчивости и предсказывает нестабильность возмущений малой амплитуды. Из решения Френкеля следует, что отклонение формы закритически заряженной поверхности жидкости от равновесной за малое время от момента появления заряда на свободной поверхности превысит амплитуду термокапиллярных колебаний. Вопрос о дальнейшей эволюции возмущения модель Френкеля не решает. Тем не менее, предложенный Френкелем критерий; неустойчивости малых возмущений W 2 принят за условие реализации практически наблюдаемой неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Четкое теоретическое обоснование этого факта, так же как и его корректная экспериментальная проверка в научной литературе не представлены. Для детального исследования вопроса необходим анализ задачи Френкеля в нелинейной по амплитуде волнового движения постановке. Проведение такого анализа является весьма актуальным вопросом современной электрогидродинамики. До настоящего времени в научном мире сохраняется устойчивый интерес к задаче Френкеля. Эта задача решалась в самых разнообразных постановках. Были рассмотрены модификации модели Френкеля, в которых исследовалось влияние вязкости жидкости и ее глубины на закономерности реализации неустойчивости [Corteiezzi L., Prosperety А., 1981; Miskovsky N.M., Cutler Р.Н., Chug M., 1990; Neron de Surgy, Chabrerie J. P. Denoux O., Wesfreid I.E., 1993; Ширяева CO., Григорьев A.M., Коромыслов B.A., Белоножко Д.Ф., 1996; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., Ширяева CO., 1996; Григорьев А.И., Ширяева CO., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф., 1997; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., 1997]. В связи с тем, что на закономерности распространения волн на поверхности жидкости существенное влияние оказывают поверхностно активные вещества [Левич В.Г., 1940; 1941; 1959; Ceniceros Н. D., 2003; Ермаков С.А., 2003], в работах [Рабинович Л.М., 1978; Неволин В.Н., 1981; Белоножко Д.Ф., Ширяева CO., Григорьев A.M., 1996; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева CO., 1997а-б; Ширяева CO., Григорьев A.M., Белоножко Д.Ф., 1997; Ширяева CO., Белоножко Д.Ф., Григорьев A.M., 1998] было исследовано влияние этих веществ на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. В [Melcher J.R., 1963; Melcher J.R., Schwarz W. J., 1968; Melcher J.R., Smith C.V., 1969; Ширяева CO., Григорьев A.M., 1996; Белоножко Д.Ф., Григорьев A.M., Ширяева CO., Щукин СМ., 1997; Григорьев A.M., Белоножко Д.Ф., Ширяева CO., Щукин СМ., 1997; Белоножко Д.Ф., Григорьев A.M., Ширяева CO., 1998; Белоножко Д.Ф., Григорьев A.M., Ширяева CO., 1998] анализировалось влияние эффектов, обусловленных релаксацией заряда и поверхностного натяжения. В моделях [Sapir М., Havazelet D., 1985; Григорьев A.M., Ширяева CO., 1994; Белоножко Д.Ф., Григорьев A.M., Рахманова Ю.Д., 1997] проведен анализ совместного влияния эффектов, связанных с релаксацией заряда и поверхностно-активных веществ. В [Григорьев A.M., Белоножко Д.Ф., Ширяева CO., 1999; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 1999; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2000а-б; Белоножко Д.Ф., Ширяева CO., Григорьев А.И., 2000; Григорьев А.И., Ширяева CO., Кузьмичев Ю.Б., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С, 2000; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева CO., Голованов А.С, 2000] было исследовано влияние внешней среды на закономерности реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.
Главный вывод, следующий из процитированных работ, состоит в том, что диссипация и релаксационные эффекты на начальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости сказываются на величине инкремента развития неустойчивости, но не изменяют условие ее реализации. Поле флуктуационных сил и влияние внешней среды, проявляющееся в наличии тангенциального скачка в поле скоростей или в импульсном влиянии на свободную поверхность, снижают условия реализации неустойчивости по линейному приближению.
Однако, все упомянутые работы выполнены в линейном приближении по амплитуде волны и не дают ответа на вопрос, как происходит формирование эмиссионных выступов, и как различные физические факторы влияют на этот процесс. Моделирование нелинейной стадии развития неустойчивости Тонкса-Френкеля является одной из актуальных проблем современной электрогидродинамики.
Периодические капиллярно-гравитационные волны, возникающие в линеаризованной задаче Френкеля, объясняют начальную стадию развития неустойчивости Тонкса-Френкеля. За начальной стадией неустойчивости следует этап усиления влияния нелинейных членов, присутствующих в полных уравнениях и граничных условиях задачи. Поэтому следующим последовательным этапом улучшения модели Френкеля должно быть теоретическое исследование нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости.
Аналитический асимптотический расчет нелинейных волн на заряженной поверхности электропроводного слоя вязкой несжимаемой жидкости
На самом деле, при выполнении условий резонанса [Bremerton F.P., 1964; Simons W.F.,2004] в уравнениях движения колебательных систем весьма существенную роль играют члены уравнений, отвечающие за диссипацию энергии. Модели Мак-Голдрика и Найфэ при резонансном значении к = 1/- 2 а дают неверную картину явления из-за несовершенства модели идеальной жидкости, а не по причине неправильности методики решения. При нерезонансных значениях волнового числа методика Мак-Голдрика и Найфэ может быть взята за основу построения модели нелинейных периодических волн на поверхности заряженной жидкости. В связи со сказанным, настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию нелинейных периодических волн на свободной поверхности заряженной жидкости методами, предложенными в работах Мак-Голдрика [McGoldrick L.F., 1965; 1970а-б; 1972] и Найфэ [Nayfeh А.Н., 1970а-б; 1971а-б].
Мы исключим из рассмотрения модель мелкой воды [Ильичев А.Т., 2000;2003; Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я., 1987; Сысоев Г.М., Шкадов В.Я., 1997], которая считается пригодной, только если отношение длины волны к толщине жидкой пленки является малым параметром задачи, а также связанные с ней солитонные модели распространения возмущений по поверхности жидкости [Жакин А. И., 1984; Gonsalez A., Castellanos А., 1994; 1996].
Будет весьма интересным отметить, что попытки- теоретического исследования нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной жидкости, не используя модели мелкой воды, уже делались в работах [Michael D.H., 1970; 1977а-б; Bhimsen К., Sh., 1979; Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981; Malik S.K., Rama Kant., 1986]. Эти работы ставили собой цель обобщить задачу Найфэ [Nayfeh А.Н., 1971], применив ее к случаю заряженной поверхности проводящей жидкости, являющейся нижним электродом конденсатора с расположенной горизонтально плоской верхней обкладкой. В этих работах большое число математических выражений, которые составляют формальное решение, но не содержат ни одного физически четкого вывода о значении полученных результатов для исследования неустойчивости Тонкса-Френкеля. По-видимому, авторы работ [Michael D.H., 1970; 1977а-б; Bhimsen К., Sh., 1979; Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981; Malik S.K., Rama Kant., 1986] не знакомы ни с теоретической работой Френкеля [Френкель Я. И., 1936], ни с экспериментальными работами, где неустойчивость Тонкса-Френкеля наблюдалась [Taylor G.I., McEwan A.D., 1965; Габович М.Д., Порицкий В.Я., 1981; Габович М.Д., 1983 ], и плохо представляют, над моделью какого явления работают. Поэтому результаты работ [Michael D.H., 1970; 1977а-б; Bhimsen К., Sh., 1979; Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981; Malik S.K., Rama Kant., 1986] на настоящий момент не имеют правильной физической трактовки. Кроме того, в работе [Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981] применительно к изучению влияния нелинейности волны на критические условия реализации неустойчивости была использована необоснованная методика построения разложения, которая привела к ошибочному результату.
В работах [Григорьев А.И., Ширяева CO., Белоножко Д.Ф., Климов А. В., 2004а-б] на основе расчетов нелинейного волнового движения идеальной несжимаемой бесконечно глубокой жидкости пятого порядка малости по амплитуде волн [Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003; 2004] исследована временная и пространственная эволюция «конусов Тейлора» -конических выступов, вырастающих на неустойчивой по отношению к поляризационному заряду плоской поверхности электропроводной жидкости. На финальной стадии неустойчивости из вершин таких выступов выбрасываются сильно заряженные струйки жидкости, распадающиеся на отдельные заряженные капли согласно изложенному выше. 1.3. Конвективные движения жидкости.
В настоящей работе будет проведено исследование взаимодействия капиллярно гравитационных волн конечной амплитуды на поверхности токого слоя жидкости на твердом дне с конвективными движениями жидкости, возникающими при наличии в ней вертикального градиента температуры. Не станем останавливаться на детальном анализе особенностей конвективного движения жидкости, которое весьма разнообразно по своей природе достаточно подробно представлено в многочисленных публикациях (см., например, монографии [Левич В.Г., 1959; Лыков А.В. , 1972; Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., 1972; Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др., 1987; Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А., 1989; Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б., 1991а-б; Ланда П.С., 1997; ] и указанную там литературу), ограничимся лишь выводом основных физических положений, определяющих возникновение конвекции, и уравнений, описывающих свободную конвекцию в слое в соответствии с тем, как это сделано в [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 1986], поскольку именно в такой форме уравнения конвекции будут использованы в дальнейшем анализе.
Конвекция. Система может находиться в механическом равновесии (т.е. в нем может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение grad р = / g, являющееся условием механического равновесия, может быть удовлетворено и при непостоянной вдоль тела температуре. Но возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие не устойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в пей устанавливалась постоянная температура.
Линейный анализ взаимодействия релаксационных волн электрического заряда и поверхностно активных веществ
Изучение нелинейных волн на заряженной поверхности несжимаемой жидкости представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями феномена (см., например, обзоры [Габович, 1983; Григорьев А.И., Ширяева CO., 1994; Курочкина С.А., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И, 2003; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Климов А.В., Курочкина С.А.; 2004]). Особенно часто с обсуждаемым феноменом приходится сталкиваться в ситуации, когда глубина слоя жидкости конечна [Габович, 1983; Григорьев А.И., Ширяева CO., 1994; Курочкина С.А ., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И, 2003; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Климов А.В., Курочкина С.А.; 2004]. В этой связи встает вопрос о влиянии толщины слоя жидкости на закономерности реализации волнового движения и реализации неустойчивости ее заряженной поверхности. Эта тема неоднократно рассматривалась в научной литературе, но либо в линейной постановке [Григорьев А.И., Ширяева CO., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф., 1997], либо в нелинейной, но без заряда на поверхности жидкости [Nayfeh А.Н.. 1970; Аромин Э.Л., Иванов А.Н., Садовников Д.Ю., 1994], либо в солитонной постановке [Жакин А. И., 1984; Gonzalez А., Castellanos А., 1996; Ильичев А.Т., 2000]. Достаточно много аналитических исследований посвящено исследованию нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности бесконечно глубокой идеальной жидкости [Michael D.H., 1977; Bhimsen К., 1979; Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981; Malik S.K., Rama Kant, 1986; Зубарев H.M., 1999; Зубарев H.M., Зубарева O.B., 2001; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003а; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 20036; Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2004]. Сама проблема аналитического исследования нелинейных периодических волн на свободной поверхности жидкости сформулирована давно, и разработано несколько различных регулярных асимптотических методов ее исследования [Michell J.H., 1893; Wilton J.R., 1915; Nayfeh А.Н., 1970; Nayfeh A.H., Hassan S.D., 1971], но среди них наибольшей эффективностью выделяется метод многих масштабов. Этот метод и будет использован ниже в исследовании, целью которого является определение аналитического выражения для профиля нелинейной бегущей капиллярно-гравитационной волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной электропроводной жидкости конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде, которую будем считать малой по сравнению с длиной волны, расчет в том же порядке малости потенциала поля скоростей волнового течения жидкости и потенциала электростатического поля над жидкостью, а также отыскание нелинейной поправки к частоте.
Проводимое исследование актуально и в связи с тем, что в последние годы начались аналитические исследования нелинейных периодических волн на заряженной поверхности вязкой жидкости как бесконечно глубокой [Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2003в; Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2004], так и в слоях конечной толщины [Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Климов А.В., Курочкина С.А., 2004.]. Однако полученные в указанных работах аналитические решения весьма громоздки даже во втором порядке малости, и исследование конкретных зависимостей между физическими характеристиками нелинейной волны приходится проводить на основе численного анализа полученных громоздких аналитических выражений. Поэтому многие представляющие интерес физические зависимости нелинейного волнового процесса на заряженной поверхности жидкости, в частности нелинейные поправки к частотам волн, удобнее анализировать на модели идеальной жидкости, в которой аналитические выражения конечных результатов вполне компактны даже в расчетах до пятого порядка малости [Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2004].
Пусть идеальная несжимаемая электропроводная жидкость плотностью р, с коэффициентом поверхностного натяжения т, заполняет в поле сил тяжести бесконечный в горизонтальном направлении слой 0 z h в декартовой системе координат, орт ez которой направлен противоположно ускорению силы тяжести g. Примем, что по поверхности слоя жидкости, находящейся в электростатическом поле с напряженностью Е $ , коллинеарном g, в положительном направлении оси Ох распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды а с волновым числом к и частотой со: t=0: %(x,t) = a-co$,(kx-ct)t); ка « 1; (1) возмущающая равновесную свободную поверхность жидкости: z = h, так, что ее уравнение принимает вид: z = h + %{x,t). Математическая формулировка задачи о расчете нелинейного волнового движения на поверхности слоя идеальной, несжимаемой, электропроводной жидкости конечной глубины, граничащей с вакуумом, в перпендикулярном свободной поверхности жидкости электростатическом поле напряженностью — давление сил поверхностного натяжения под искривленной волновым движением свободной поверхностью жидкости, давление сил электрического поля и гравитационное давление. В сформулированной задаче принято, что гидродинамические скорости на много порядков меньше скорости распространения электромагнитных волн и в этом приближении система уравнений Максвелла для отыскания изменяющегося во времени электрического поля над изменяющейся во времени свободной поверхностью жидкости сводится к уравнению Лапласа с соответствующими граничными условиями для определения потенциала электростатического поля над жидкостью, поскольку скорость выравнивания электрического потенциала поверхности идеально проводящей жидкости при ее деформировании волной можно принимать бесконечно большой.
Для однозначной разрешимости задачи (1)-(2) необходимо сформулировать еще одно начальное условие. В подобных задачах полностью определенные заранее начальные условия могут привести к неоправданной громоздкости решения. Поэтому, как это принято в задачах подобного типа [Michell J.H., 1893; Wilton J.R., 1915; Nayfeh А.Н., 1970; Nayfeh A.H., Hassan S.D., 1971Michael D.H., 1977; Bhimsen K., 1979; Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K., 1981; Malik S.K., Rama Kant, 1986; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003a; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 20036; Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2004], второе начальное условие будем выбирать по ходу решения таким образом, чтобы результирующие выражения для возмущения свободной поверхности (x,t), потенциалов поля скоростей волнового течения жидкости ф{г,і) и электрического поля Ф(г,і) имели наиболее простой вид.
Разобьем сформулированную задачу по порядкам малости, полагая, что неизвестными функциями являются возмущение свободной поверхности (x,t), потенциал поля скоростей течения жидкости ф = ф(х,г,і) и электрический потенциал Ф = Ф(х,г ). Искать их будем в виде разложений по малому безразмерному параметру є = а- к:
Релаксационные эффекты и нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости
Исследование нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волновых движений жидкости представляет как академический, так и практический интерес в связи с широким распространением такого физического объекта. В этой связи за последние полтора столетия обсуждаемой проблеме посвящено множество работ. Учет таких факторов как вязкость жидкости, наличие поверхностного заряда, конечность, но не малость, толщины слоя жидкости существенно усложняют и без того непростую проблему. В последние годы выполнено несколько детальных исследований нелинейных периодических волн на заряженной свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной жидкости [Зубарев Н.М., 1999; Зубарев Н.М., Зубарева О.В., 2001; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003а; Климов А. В., Белоножко Д.Ф.І Григорьев А.И., 2004] на заряженной свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости [Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2003в; Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2004]. Большая часть нелинейных исследований волновых движений жидкости на заряженной поверхности слоев вязкой жидкости выполнена в приближении «мелкой воды», когда малым параметром задачи является отношение длины волны к толщине жидкой пленки (см., например, [Жакин А. И., 1984; Gonzalez A., Castellanos А., 1994; Gonzalez A., Castellanos А., 1996; Ильичев А.Т., 2000]). Подобное упрощение не всегда обоснованно [Крылов B.C., Воротилин В.П., Левин В.Г., 1969], и к тому же, большинство работ сводится просто к выводу нелинейных уравнений, имеющих именно солитонные решения [Жакин А. И., 1984; Gonzalez A., Castellanos А., 1994; Gonzalez A., Castellanos А., 1996].
Целью настоящей работы является исследование нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на поверхности слоя вязкой электропроводной жидкости конечной глубины, отыскание аналитического решения, пригодного при произвольных толщинах слоев жидкости, допускающего экстраполяцию к тонким слоям жидкости, а также анализ одновременного влияния вязкости жидкости и ее глубины на закономерности реализации нелинейного волнового движения.
Пусть несжимаемая жидкость с плотностью р, кинематической вязкостью V, коэффициентом поверхностного натяжения у заполняет в поле тяжести -nz бесконечный в плоскости XOY слой - d z 0 в декартовой системе координат х, у, z с началом на невозмущенной свободной поверхности жидкости, {nz - орт оси z). Идеально электропроводная жидкость находится в однородном электрическом поле с напряженностью EQ , вектор которого направлен вниз. По поверхности жидкости в положительном направлении оси Ох распространяется волна амплитуды «, которая принимается меньшей длины волны с волновым числом к и много меньшей капиллярной постоянной жидкости а = 4їІР Отношение а к а определяет малый параметр задачи є. Физические величины: р, v, у, g, сі, Ео, а, к — считаются постоянными. Кроме того, принимается, что все переменные в пространстве величины не зависят от координаты у. С учетом вышесказанного математическая модель нелинейного периодического капиллярно-волнового движения на однородно заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости записывается в виде: где % = ;(x, ) — отклонение свободной поверхности жидкости от равновесной плоской формы z = 0, вызванное волновым движением; U (u,0,w) - поле скоростей жидкости; p(r,t)- гидродинамическое давление внутри жидкости; Ф(г,і)- потенциал электрического поля; Лиг- орты нормали и касательной к возмущенной волновым движением свободной поверхности жидкости. Начальные условия, как это принято в задачах расчета нелинейного периодического волнового движения [2001; Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2003а; Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., 2004; Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2003в; Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., 2004], подбираются таким образом, чтобы получаемое в итоге решение имело как можно более простой вид. В качестве такого условия можно положить, что возмущение свободной поверхности в первом приближении по малой амплитуде волны а имеет вид бегущей вдоль оси абсцисс гармонической волны: где S - комплексная частота волны, с.с. - комплексно-сопряженное слагаемое. Ввиду крайней громоздкости решаемой задачи ограничим свои цели выводом аналитического выражения для профиля нелинейных волн на поверхности жидкости. Все остальные искомые величины: поля скоростей течения жидкости в слое, распределение давления в жидкости и электрического потенциала над ее поверхностью — будут определяться в процессе вычислений, но их явные конечные аналитические выражения выписывать не станем из-за ограниченности объема статьи.
