Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методика измерения спектральных характеристик поверхностных волн 12
I. Система сбора и хранения цифровых длиннопериодных записей 12
2. Вычисление и коррекция спектральных характеристик поверхностных волн 19
3. Методика итеративного спектрально-временного анализа . 33
4. Алгоритм итеративного СВАНа 41
5. Анализ точности на теоретических и экспериментальных примерах 43
Глава 2. Моделирование экспериментальных данных . 61
I. Разбиение геодезической по картам 62
2. Решение прямых задач для волн Лява и Рэлея . 67
3. Расчет времени пробега по трассе 77
4, Описание модели Евразии 79
Глава 3 STRONG Применение различных методов для построения дисперсионных кривых 90
I. Применение МНК и SVD STRONG 91
2. Нелинейное программирование 96
3. Сопоставление квадратичного программирования с методом МНК 101
4. Линейное программирование и метод Бэкуса-Гилберта 108
5. Методические рекомендации 114
Заключение 118
Литература
- Вычисление и коррекция спектральных характеристик поверхностных волн
- Алгоритм итеративного СВАНа
- Решение прямых задач для волн Лява и Рэлея
- Сопоставление квадратичного программирования с методом МНК
Введение к работе
Детальное изучение глубинного строения земной коры и верхней мантии в соответствии с запросами геологии, сейсморайонирования и прогноза землетрясений - важная и сложная задача, стоящая перед современной сейсмологией. Для ее решения, наряду с другими методами сейсмологии, широко применяются методы, основанные на использовании дисперсионных характеристик поверхностных волн Решение обратной задачи поверхностных волн - построение детальных скоростных разрезов отдельных регионов - естественным образом разбивается на несколько этапов: I) сбор и накопление данных в виде цифровых записей поверхностных волн, пересекающих изучаемую территорию по разным направлениям; 2) выделение сигналов и измерение по ним дисперсионных характеристик; 3) определение региональных дисперсионных кривых; 4) построение скоростных разрезов для отдельных регионов и их геофизическая интерпретация.
В последние годы достигнут значительный прогресс в каждом из этих этапов решения обратной задачи поверхностных волн. Быстрое развитие регистрирующей цифровой техники ведет к переоснащенню сейсмологической сети и появлению все большего числа станций, оборудованных длиннопериодной апраратурой с цифровой регистрацией на машинные носители. Такие системы регистрации обладают высокой точностью измерений, широким динамическим диапазоном и тем самым свободны от неизбежных ошибок, возникающих при ручной или полуавтоматической оцифровке аналоговых записей. Переход к обработке сейсмограмм на ЭВМ позволил существенно продвинуться в точности и надежности измерения дисперсионных характеристик сигнала, поскольку стало возможным систематически применять методику измерений, основанную на совместном изучении спектральных и временных характеристик диспергирующих сигналов.
Дадим краткий обзор основных методик измерения поверхностных волн, применяющихся в настоящее время в мировой сейсмологической практике. Следует заметить, что методы определения фазовых скоростей по записям двух или трех станций (Ьгип€. огтау)ь 1963; Press , 1956), расположенных на расстояниях порядка длины волны, путем замера времен экстремумов, а также по фазовым спектрам этих записей ( Дкс , 1961; ТоКьбї , Ben-Menahem 1963) сейчас практически не используются, хотя на их основе получены достаточно значимые результаты по изучению коры и верхней мантии ( Ьгипе. , Ъогшап , 1963; А/а , 1960a; 19606; San-fo, 1961; Sdn-o , Said , 1966). Это связано с тем, что вышеуказанные методы предъявляют излишне высокие требования к качеству записей поверхностных волн, поскольку их фазовые спектры крайне неустойчивы к шумам и посторонним детерминированным сигналам. Кроме того, замеры на сейсмограммах без учета поправок за аппаратуру вносят искажения в определение периода и приводят к заметным фазовым сдвигам, особенно на больших периодах ( Ешіпа , Pr€S5 , 1959).
Современные методы основываются на предварительной фильтрации сейсмограмм во временной и (или) спектральной области с целью максимального отделения исследуемого сигнала от помех для более точного определения фазовых и групповых скоростей. Впервые такая техника для определения фазовых скоростей была предложена Ландис-маном,Дзевонским и Сато ( LahdcSman-zt яД, 1968,1969). Для этого в исходном сигнале, путем умножения на некоторое окно,вырезались достаточно короткие участки, для которых затем рассчитывались спектры и определялись фазы в окрестности максимумов амплитудных спектров. Данная техника имеет ряд недостатков, в частности, она не обеспечивает разделение сигналов (или частей одного и того же сигнала) с разным частотным составом и близкими временами прихода Наибольшее применение нашла методика спектрально-временного анализа (СВАН), предложенная Дзевонским, Блохом и Ландисманом CDziewonski et а., 1969) и получившая дальнейшее развитие в работе А.Л.Левшина, В.Ф.Писаренко, Г.А.Погребинского (LevshinetaLy 1972) Ее основное отличие от ранних методик заключается в том, что фильтруется запись сигнала с помощью набора уэкополосных частотных фильтров. Все измерения производятся во временной области, а в частотной - лишь коррекция спектра за аппаратуру и источник. Вопросы теории СВАНа и методика подбора оптимальных фильтров рассматривались в работах А.В.Ландера (1974, 1975, 1978).
Хотя применение СВАНа существенно улучшило разрешающую способность и помехоустойчивость анализа поверхностных волн, точность оценок СВАНа поверхностных волн, особенно в окрестности фазы Эйри (Ландер, 1974) и в участках с резким изменением амплитуд спектра, оказалась недостаточной. В связи с этим было разработано несколько модификаций СВАНа: предварительное выравнивание фазового спектра при помоши теоретической дисперсионной кривой (Diiewonskl 1972); уточнение дисперсионных кривых с помощью поправок к результатам СВАНа (Ландер, 1974); "плавающая" фильтрация выделенного сигнала ( Сага, 1973), выбираемая исходя из диаграмм СВАНа как в частотной, так и во временной области. Каждый из этих подходов обладает рядом недостатков, главные из которых заключаются либо в неполном устранении систематических ошибок СВАНа, либо в излишнем усложнении процедур обработки.
В связи с этим была разработана и опробована новая модификация СВАНа - итеративный спектрально-временной анализ (ИСВАН), позволяющий получать с помощью одной основной процедуры практически несмещенные оценки фазовых и амплитудных характеристик поверхностных волн.
Задача измерения характеристик сигнала тесно связана с интерпретацией наблюдений. Так, для того, чтобы получить информацию о глубинном строении Земли (до 300 км и глубже), необходимы наблюдения длиннопериодных волн с периодами до 300 секунд и длинами волн до 1500 километров. Надежные измерения столь длиннопериодных волн возможны только на достаточно протяженных трассах порядка 5 тыс.км и более. Такие трассы неизбежно пересекают регионы, заметно отличающиеся по глубинному строению. Результирующие дисперсионные кривые носят осредненный характер и не отражают деталей регионального строения, представляющих наибольший интерес с точки зрения геотектоники. Для интерпретации наблюдений на протяженных трассах используется ряд методических приемов. Большинство из них основывается на априорной регионализации Земли и ряде упрошаюших предположений: так, на поверхности Земли выделяются регионы, характеризующиеся разнотипным строением, в пределах которых строение среды предполагается неизменным (гипотеза о горизонтальной однородности); принимается, что волны распространяются по дугам большого круга между эпицентром и станцией; игнорируются эффекты на контактах регионов, т.е. полное время пробега по трассе принимается равным суммарному времени пробега волны по отрезкам пути, приходящимся на отдельные регионы. Тем самым каждому региону ставится в соответствие одна "стандартная" дисперсионная кривая (для данного типа волны и ее моды), являющаяся осредненной характеристикой региона в целом. Будем в дальнейшем эту кривую называть региональной дисперсионной кривой.
Рассмотрим основные методы построения региональных дисперсионных кривых. При малом количестве трасс и небольшом количестве регионов задача может решаться последовательным исключением регионов (Бертоссен, Левшин и др., 1982), Если количество трасс достигает несколько десятков, то возможна статистическая постановка задачи. 5 предположении, что ошибки измерения на разных трассах независимы и нормально распределены, задача может быть решена методом наименьших квадратов (МНК) путем минимизации суммы квадратов отклонений реальных и теоретических времен пробега волны вдоль трасс ( SSno , Sato , 1966; Santo , 1961; Кно-пов, 1975).
Однако, этот и близкие к нему подхода, основанные на сингулярном разложении матриц (&№ )х9 обладают серьезным недостатком. Они не используют априорной информации о допустимых скоростях в отдельных регионах, которой обычно располагает интерпретатор. Это может приводить к грубым ошибкам определения скоростей в регионах с относительно небольшими размерами. Чтобы избежать этой ситуации, малые регионы с аномальным строением включают в состав более крупных регионов, искусственно создавая значительные ошибки осреднения. Между тем, на искомые значения скоростей нетрудно наложить систему ограничений, отвечающую физической постановке задачи: скорости в отдельных регионах хорошо известны из независимых данных; скорости заключены в пределах, соответствующих возможным аномалиям регионального строения литосферы Земли; ошибки измерения не превышают определенных величин. В этих условиях целесообразно применять методы нелинейного программирования (Базара, Шетти, 1982; Бармин, 1983а), поскольку они дают статистически обоснованное (в смысле МНК решение), удовлетворяющее при этом системе априорных ограничений.
Таким образом, основная задача диссертации заключается в разработке и совершенствовании методики измерения дисперсионных характеристик сигналов поверхностных волн и в исследовании возможностей различных способов построения региональных дисперсионных кривых на модельных примерах, имеющих все основные черты реального эксперимента.
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе описывается система сбора и хранения цифровых длиннопериодных записей поверхностных сейсмических волн Рэлея и Лява, получаемых советской и зарубежной сетями станций. Приводится описание коррекции спектров поверхностных волн за характеристику прибора и начальную фазу в источнике. Для учета последней разработаны или усовершенствованы методики расчета собственных частот и функций краевых задач для волн Рэлея и Лява, а также определения механизма очага. Предлагается новая итеративная модификация СВАНа -HGBAH, позволяющая повысить точность измерения фазовых и групповых скоростей по сравнению со СВАНом, а также получать оценки амплитудного спектра исследуемого сигнала. Методика опробована на модельных примерах и экспериментальных данных.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием экспериментальных данных: разбиение геодезической (трассы эпицентр-станция) на части, порождаемые заданной регионализацией исследуемой области; решение прямых задач для волн Рэлея и Лява в каждом регионе с целью построения теоретических дисперсионных кривых фазовых и групповых скоростей. Предложен новый алгоритм расчета прямой задачи для волн Лява, обладающий большим быстродействием. Описывается способ вычисления времени пробега вдоль произвольной трассы, включающего случайную ошибку, имитирующую реальные ошибки наблюдений. Приводится конкретная регионализация Евразии и система трасс эпицентр-станция, для которой рассчитываются все необходимые параметры.
В третьей главе на примере модели Евразии изучается применение различных методов для решения обратной задачи - построения для заданной регионализации, системы трасс, времен пробега по трассам региональных дисперсионных кривых. Приводятся некоторые вопросы теории различных методов построения дисперсионных кривых: SVD , МНК, линейного и квадратичного программирования; проведено сравнение достоинств и недостатков различных методов, показаны существенные преимущества метода квадратичного программирования при решении поставленной задачи. Даны методические рекомендации по анализу реальных данных.
В заключении сформулированы основные результаты проведенной работы»
В приложении приводится цифровой материал, описывающий модель Евразии в виде четырех таблиц, содержащих скоростные модели для каждого региона, дисперсионные кривые регионов (для четырех значений периодов), систему трасс, длины пересечений трасс с регионами.
Работа выполнена в Опытно-методической экспедиции Института физики Земли АН СССР.
Автор пользуется случаем выразить благодарность и глубокую признательность своим научным руководителям А.Л.Левшину и О.Е. Старовойту за большую помощь и постоянное внимание к данной работе. Автор признателен А.В.Ландеру за ценные советы и замечания по методике итеративного СВАНа, а также Л.М.Розенкнопу, любезно предоставившему программу расчета по методике SVD и С.Николовой за проведение расчетов по двумерной инверсии Бэкуса-Гилберта.
Вычисление и коррекция спектральных характеристик поверхностных волн
Расчет спектров цифровых записей. Описанная выше система обеспечивает получение записей поверхностных волн в виде временных рядов б(і/) в интервале времен Ьц1 » f/f с постоянным шагом А где индекс ряда. Дальнейший анализ записей целесообразно проводить в спектральной области, поскольку: а) в этой области легче осуществлять коррекцию за искажения, вносимые аппаратурой, и за характер возбуждения колебаний; б) спектральное представление удобно для применения более сложных измерительных методов, в частности, спектрально-временного анализа (GBAH) и его модификаций.
Перед вычислением спектрального преобразования ряда \ lAiftM к нему могут быть применены операции умножения на временное окно с плавными концевыми участками и детрендирование - устранение линейного тренда Ct +P t , типичного для полуавтоматически зацифрованных записей. Тренд отыскивается по формулам линейной регрессии (Ра. о , 1968).
Коррекция за аппаратуру» Для устранения линейных искажений, вносимых сейсмической аппаратурой, используется специальный алгоритм и реализующая его подпрограмма CORIN& ,
Программа рассчитывает фазовые и амплитудные частотные характеристики приборов с гальванометрической регистрацией по известной формуле (Саваренский, Кирнос, 1955) заданные параметры прибора; /s - собственный период маятника; / % - собственный период гальванометра; - затухание маятника; D- затухание гальванометра; \Л -увеличение прибора; (3 - коэффициент электромагнитной связи; Ш - частота»
Для заданного набора частот ( j производим необходимые (амплитудные и/или фазовые) коррекции спектра Здесь спектр сигнала скорректированного за амплитудную и фазовую характеристику прибора,
Программа С О RIMS рассчитывает также характеристику прибора СДШ и широкополосного велосиграфа FVb , установленного сейсмостанции Кашперские Горы. Поскольку данные приборы оснашены достаточно сложной электронной аппаратурой,то расчет производится по громоздким формулам, описывающим передаточную функцию самого сейсмографа и блоков электронной аппаратуры, входящих в систему регистрации. Так, например, передаточная функция системы FVb/DPS описывается отношением двух комплексных полиномов. В числителе стоит полином 5 порядка, в знаменателе 9. Характеристика записей может зависеть от режимов работы системы (использование высокочастотных и низкочастотных фильтров). Параметры остальных приборов вводятся в программу QORINS в табличном виде. Это связано с тем, что для ряда приборов калибровка осуществляется на ряде дискретных частот и нет аналитического представления характеристики прибора. Параметры некоторых приборов,например,сети французских станций определяются на основе импульсной калибровки при помоши спектрального анализа, где результат тоже определен в виде таблицы для определенного набора частот.
На рис.1.2 в качестве иллюстрации приведены амплитудные характеристики приборов, установленные на сейсмостанции Обнинск за 1982 г, рассчитанные по программе CORI/vs. Характеристики прибора FV6 для записи, изображенной на рис.1.12, приведены на рисунках I.I4 и I.I5,
Практика работы показала, что процесс определения характеристик приборов для разнотипных записей - трудоемкое занятие. Необходима разработка унифицированной системы расчета и хранения характеристик приборов, с целью простоты и удобства их использования. При сравнении теоретических и расчетных спектров необходимо учитывать разные знаковые правила, принятые в сейсмометрии и теоретической сейсмологии.
Алгоритм итеративного СВАНа
Хотя вычислительная процедура отыскания W по (I.19) не очень надежна из-за численного дифференцирования, ею можно поль - 39 зоваться, поскольку ошибки в измерении у сравнительно слабо влияют на определение фазового и амплитудного спектров.
Следует заметить, что формулы (ІЛ5-І.І8), выведенные с точ ностью до членов первого порядка по г , превращаются в точные соотношения при , причем видимая частота -гс совпа дает с центральной частотой фильтра Ш . Таким образом, точность оценок зависит от крутизны амплитудного спектра: меньше l P(w)/ точнее оценки. Из условия , используя (I.I8), мож но получить JS2- бо/« ш/{22.
Это соотношение можно трактовать следующим образом: чем меньше разность видимой частота и центральной частоты фильтра по отношению к ширине частотного фильтра, тем точнее оценки (1,15)-(1.18).
Рассмотрим условия, при которых величины, полученные по максимумам , могут рассматриваться как удовлетвори тельные оценки спектральных характеристик исходного сигнала. Правые части выражений (I.I3), (1.15)-(1.18) включают как вели чины непосредственно измеряемые по функции , так и поправки, определяемые формой исходного сигнала.
Трудность правильного учета последних и приводит к появлению систематических ошибок измерений. При работе с реальными записями возможны два способа учета поправок. Первый состоит в приближенной оценке требуемых характеристик исходного сигнала по результатам самого СВАНа и приближенном вычислении по формулам для рассмотренного класса сигналов. Но практика показывает, что это не приводит к желаемым результатам, прежде всего потому, что реальные сигналы редко хорошо описываются моделью (1.8). Другой путь состоит в предварительном преобразовании исходного сигнала таким образом, чтобы придать ему форму, при которой СВАН не приводит к существенным систематическим ошибкам. Возможен и подход, совмещающий оба пути. При этом исходный сигнал преобразуется к форме, близкой к (1 8), а погрешности частично устраняются преобразованием сигнала и частично учитываются по формулам
Основное отличие спектра реального сигнала от модели спектра (1.8) заключается в том, что разложение спектральной амплитуды и фазы по степеням «Д - W содержит производные более высокого порядка, чем те, которые входят в формулу (1.8). Так, например, в окрестности фазы Эйри, где У (У) и , фаза спектра плохо описывается квадратичной зависимостью от частоты, а амплитуда -линейной. Участки спектра, где велико значение хотя бы первой производной спектральной амплитуды, плохо поддаются оценкам по формулам (1.15)-(1.18).
Для того, чтобы уменьшить влияние высших производных, здесь предлагается "выровнить" спектр сигнала таким образом, чтобы он был достаточно близок к модели (1.8), Смысл выравнивания заключается в том, что если нам известны оценки (может быть, недостаточно точные) г (Л) , У (л) , полученные по методике СВАНа или из каких-то других соображений для ряда дискретных, достаточно часто расположенных частот, то можно по ним построить две аналитические функции на всем интервале частот, обладающие следующими свойствами: первая функция, умноженная на Ф (Л) , дает нам "выровненную" амплитуду - примерно постоянную величину относительно Л , а вторая, добавленная к ft (Л) , дает нам "выровненную" фазу - примерно квадратично зависящую от частоты.
Поскольку формулы (1.15)-(1.18) дают достаточно точные оценки, то разумно применять методику GBAHa для оценки характеристик "выровненного" спектра. Поскольку наше преобразование точное и обратимое, то затем можно легко перейти к оценкам исходного спектра, сделав обратное преобразование. Приведем формулы преобразования: где: Wj , (fa , 4 - задаются точными формулами; , 9 - фаза и амплитуда выровненного спектра. Поскольку Р(Л) и У (Л) не могут быть найдены точно, можно построить итерационную процедуру улучшения оценок, используя многократное оценивание по GBAHy, Вопрос о сходимости итераций сложен и не рассматривается в данной работе, но практика расчетов показывает быструю сходимость процесса - обычно после двух-трех итераций; последующие итерации существенных улучшений не дают.
Решение прямых задач для волн Лява и Рэлея
По оси ординат отложены относительные погрепшости амплитуд спектров и групповых скоростей каждой итерации, выраженные в процентах по отношению к теоретическим значениям.
а) Спектральная амплитуда. Из рис. 1.8а следует, что обычная процедура СВАНа (первая итерация) дает весьма сильный разброс амплитуд, достигающий 10 % спектральной амплитуды. Наибольшие отклонения отмечаются в фазах Эйри и областях резких провалов спектральной амплитуды на линейных участках групповой скорости.
Вторая итерация дает существенно лучшие оценки (5 %), третья оценивает амплитудный спектр с погрешностью 1 2 %% за исключением сложного участка спектра с периодами 70 120 секунд, где погреш ность сильно колеблется и достигает 5 %. Все вышеизложенное поз воляет сделать вывод, что в реальной ситуации наиболее точно оце ниваются амплитуды спектра на участках с линейным изменением амп литуды.
б) Групповая скорость. Из рис.1.86 ясно видна быстрая схо димость оценок к теоретическим. Так в диапазоне периодов от 20 до 200 с различия между второй и третьей итерацией несуществен ны, погрешность составляет 0,1 %, Первая итерация дает система тические ошибки в фазах Эйри, достигающие 1,5 % для периода 250 с, последующие итерации на порядок уменьшают величину ошибок.
в) Фазовая скорость. Ошибки в определении фазовой скорости весьма малы и составляют 0,1 % для первой итерации. После второй итерации процедура обеспечивает четыре значащие цифры. Это впол не естественно, поскольку фазовая скорость - интегральная оценка групповой. В качестве иллюстрации на рис.1.9 приведены диаграм мы СВАНа первой и второй итерации. Сигналу, оцениваемому при вто рой итерации, соответствует кривая с квадратичной фазой (груп - 51 повое время линейно зависит от частоты).
Рассмотрим точность оценок сигнала с помехой z( ) (рис.1.66). Результаты двух итераций представлены на рис.1.10 в том же виде, как и для предыдущего примера:
а) Амплитудные оценки спектра. При наличии сильной помехи точность измерений падает примерно в 2 раза по сравнению со слу чаем отсутствия помех и колеблется в пределах от I до 20 %, Для периодов больших 200 с точность низкая из-за плохого временного разрешения сигналов;
б) Групповая скорость. В интервале периодов от 20 до 120 с сходимость оценок имеет тот же порядок, что и при отсутствии по мех. При периодах больших 200 с оценки резко ухудшаются из-за плохой разрешенности сигналов. Вблизи периода 30 с имеется осо бенность, связанная с присутствием на диаграмме GBAH нескольких локальных максимумов, благодаря провалу амплитудного спектра на линейном участке. Для того, чтобы проверить сходимость процедуры в этой области, групповая скорость оценивалась формально по зна чениям времен в точках с наибольшими амплитудами. Третья итера ция на порядок улучшает первоначальную оценку;
в) Фазовая скорость. Как и в примере, описанном выше, эта скорость определяется более точно. При первой итерации наблю даются отклонения порядка 0,5 % в окрестности 30 с и порядка I % для периодов больших 120 с. Последующие итерации улучшают эти оценки. На рис.1»11 приведены диаграммы СВАНа для первой и вто рой итерации.
Из этих двух примеров можно сделать вывод, что последующие итерации примерно на порядок улучшают оценки в фазах Эйри и позволяют уменьшить случайные ошибки, связанные с неточным определением скоростей.
Данная процедура была опробована на ряде записей реальных землетрясений вертикальным длиннопериодным прибором для определения фазовых и групповых скоростей основной моды волны Рэлея. Анализ результатов показывает, что наибольшие отличия в скоростях при последующих итерациях наблюдается в фазах Эйри. Одновременно улучшается оценка линейных участков от 20 до 70 с, где часто наблюдается провал амплитудных спектров (наличие нескольких экстремумов огибаюшей на диаграмме SC JW ).
Проиллюстрируем вышеизложенную технику на примере землетрясения 10 сентября 1974 г, произошедшего на Курильских островах, с магнитудой Мь =6,3. На рис.I.12 приведена запись сейсмического сигнала станции Кашперские Горы ( - компонента). На записи виден диспергирующий цуг Рэлеевской волны (основная мода). Для данной записи рассчитан спектр, изображенный на рис.І.13, с внесенными в него поправками за прибор и начальную фазу в источнике. Амплитудно-частотная характеристика прибора FVB изображена на рис.1.14, а его фазово-частотная характеристика на рис.І.15 (кривая I). Поскольку очаг находится в районе Курило-Камчатской островной дуги, то по программе Rf\L рассчитывались собственные функции для региона № 4 - островные дуги (см.приложение, таблица I ). Далее для данного землетрясения по данным сейсмологического бюллетеня ISC (Lhlernationai SeLs moocfLCtf,Ceneir) по знакам вступления г волн 195 станций мировой сети определялся механизм землетрясения по программе SOURCE. На рис.І.16 приведено решение, т.е. углы осей X и У и соответствующие им нодальные плоскости, изображенные в виде линий. Звездочками на рисунке изображены выходы осей X и У для решений, принадлежащих 85%-му доверительному интервалу.
Сопоставление квадратичного программирования с методом МНК
Зададим какое-нибудь разбиение Г с помошью описанных выше таблиц. Зафиксируем на сфере две произвольные точки л-( , о), D- ІУі , Aj) и соединим их геодезической линией. Наша цель определить, в каких точках геодезическая пересекает границы регионов и какая ее часть проходит через каждый регион. Днину геодезической V можно определить по формуле %Г = А г\ , где Л центральный угол между концами геодезической. За начало отсчета выберем точку A » за положительное направление угла примем направление движения из точки А в Ь . Алгоритм решения задачи выглядит следующим образом.
1. Продолжим геодезическую до полной дуги большого круга. Эта дуга делит сферу на две равные половины. Введем для каждой точки первой таблицы признак ску — і Точки с одинаковым значением признака о( находятся в одной полусфере. Если точка находится от дуги большого круга на расстоянии (малый параметр) , то значение признака для нее равно 10 (oifc SI0)
2. Просматриваем вторую таблицу и отбираем из нее строки с противоположным значением признака. Эти отрезки пересекают дугу большого круга. Находим координаты пересечения этих отрезков с и соответствующие расстояния Ді от начала отсчета до мест пересечений вдоль дуги большого круга 0 А і C.JT ,
3. Точки пересечения характеризуются следующим набором параметров: hi)Xi) i)ii) Ґ\С)П\І C=i,—j Г , где Xi) L) L -координаты пересечения в прямоугольной системе; )1) ft і номера регионов, которые разделяют отрезок в точке пересечения с геодезической. Расположим значения этих параметров в порядке возрастания А 4. Производим привязку номеров регионов к кускам геодезической. Для этого меняем местами значения /}ҐТ} таким образом, чтобы l7l{=Hi+j9L=1i.,.jh-19 если такая цепочка единственна,то она нам дает требуемую привязку (цепочка единственна, если геодезическая пересекает более чем два региона) Если с пересекает два региона, т.е. одну границу, то привязка неоднозначна,а если пересекает всего один регион, то алгоритм не может определить,в каком регионе проходит t . Более подробно об этом будет сказано ниже.
5. Если проходит вблизи точки, являющейся границей более двух регионов-вершины разбиения (значение признака /; »10), то возникает ситуация, когда одну точку пересечения описывает несколько строк параметров с индексами ,+/5 \c,...; + S (см. пункт 3). Исключаем эту ситуацию, выбрасывая промежуточные строки i+i UZJ ,.tJiiS-1 , поскольку &иі-&С = Ді 1-Аі+1 = -" = A/+s-At+s-7.
Рассмотрим проблему привязки номера региона к частям геодезической. Если бы мы задали разбиение плоскости, а не сферы, то такой проблемы бы не возникло, поскольку для нахождения точки А можно было бы воспользоваться теоремой Жордана об индексе точки (Красносельский, 1963). К сожалению, для сферы данная тео рема неприменима, поскольку не сушествует различия между внутренностью и внешностью замкнутой кривой без самопересечений. Необходима еше некоторая дополнительная информация. Оказывается, что для однозначного определения положения любой точки на сфере.достаточно знать точное местонахождение определенной произвольной точки, например, что Северный полюс лежит в регионе номер 2. Это связано с тем обстоятельством, что если правильно задан номер региона в точке А , то независимо от того, сколько регионов пересекает геодезическая, алгоритм дает правильное определение номера региона в точке А . Поэтому, если выясняется, что геодезическая пересекает не более двух регионов, то предварительно необходимо определить номер региона в точке А . Для этого соединим геодезическую выделенную точку с известным номером региона с точкой А и определим номер региона в точке А по вышеприведенному алгоритму. Какие регионы пересекает данная трасса,нас не интересует. Далее проводим геодезическую из точки А в В . Так как номер региона точки А определен, то алгоритм однозначно определяет искомое разбиение.
Описанный алгоритм реализован в программе REGION на языке ФОРТРАН-ІУ, родробное описание которого дано в работе автора. (Бармин, 1983).
Решение прямых задач для волн Лява и Рэлея При решении прямых задач для отдельных регионов каждый из них рассматривается как заполняющий целиком соответствующий сферически симметричный шар. Поэтому решение задачи заключается в нахождении собственных значений и собственных функций соответствующих дифференциальных операторов для сферически симметричного упругого шара (Ляв, 1935).
При решении этих задач мы опирались на теоретические резуль тага, полученные ранее В.И.Кейлис-Бороком, А.Л.Левшиным, М.Г. Нейгауз, Е.В.Вилькович для волн Лява (Андрианова, Кейлис-Борок и др., 1965; Вилькович, Левшин и др., 1966) и М.Г.Нейгауз, Г.В.Шкадинской для волн Рэлея (Нейгауз, Шкадинская, 1966; Шка-динская, 1971). Поскольку разработанные на основе этих методик программы были составлены в машинных кодах и утратили свое значение при переходе к следующему поколению ЭВМ, автору необходимо было на основе ранних теоретических результатов, восстановить весь этот вычислительный комплекс программ. В основу новых реализаций была взята методика Г.В.Шкадинской для расчета волн Рэлея в упругом шаре, используюшая матричную прогонку для самосопряженной системы второго порядка (Шкадинская, 1971; Лидский, Нейгауз, 1962). Выяснилось, что ту же методику, с небольшими изменениями, удобно применять для расчета волн Лява в упругом слое, так как матрицы при этом заменяются числами и техника вычислений становится простой и эффективной. Опишем данную методику более подробно.
