Введение к работе
Нагрев и охлаждение массивных тел, протекающие взаимосвязано с массообменом и физико-химическими превращениями, присутствуют во многих промышленных технологиях часто как основные процессы, определяющие качество технологии и ее продукта. Примерами могут служить:
химико-технологические процессы (вулканизация эластомеров, гуммирование, отверждение, структурирование полиэтилена, переработка фосфоритов и другие химические процессы);
металлургическое производство (плавка металла, термообработка в печах);
термическая обработка пищевых продуктов, строительных материалов, сушка, твердение бетона, ряд процессов промышленной и станционной энергетики.
Настоящая работа посвящена оптимизации процессов термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений и содержит математическую формализацию рассматриваемых процессов физико-химических превращений, обобщенную постановку, решение и анализ возникающих вариационных задач. Успех практики оптимального управления технологическими процессами в значительной степени определяется универсальностью фундаментального описания этих процессов, которая достигается обобщенными представлениями уравнений модели и их решения. Конкретные технологические особенности процессов вкладываются в условия однозначности: так, начальные условия системы дифференциальных уравнений кинетики элементарных химических процессов содержат информацию о длительности их "индукционных периодов", неодинаковых для различных химических процессов, режимов обогрева и характера подготовительных операций; граничные условия уравнения теплопроводности моделируют различные обогревательные системы, процессы смены энергоносителей при обогреве, режимы охлаждения на заключительной стадии термообработки.
Актуальность проблемы. Достижения математической теории оптимального управления и развитие технологий последнего 30-летия, несомненно, взаимосвязаны. Рассматриваемые технологические процессы являются энерго- и ресурсоемкими, экологически значимыми, что и определяет все возрастающий интерес исследователей к созданию средств оптимального автоматизированного проектирования и технологической подготовки производства (САПР), оптимизации состояний и синтезу управлений в таких системах. Имея в виду распределенность полей температуры и тот факт, что температура относится к числу параметров, наиболее сильно влияющих на динамику химико-технологических процессов (более всего на скорости химических реакций), данные объекты следует классифицировать как управляемые системы с распределенными параметрами, а задачи оптимального управления - как динамические.
Интенсивное развитие теории и практики оптимального управления, отвечая социальным потребностям, обязано следующим факторам:
формулировке в 60-е годы принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности Беллмана;
качественному росту в последующие годы характеристик средств вычислительной техники;
становлению современных компьютерных и информационных технологий.
Исследователи получили возможность на базе системного анализа органично сочетать эвристические приемы с формализованными итерационными процедурами для поиска оптимальных управлений нелинейными распределенными системами при сведении их к конечномерным в ходе анализа и диалогового машинного эксперимента. Работами В.Г.Болтянского, А.Г.Бутковского, П.Вэнга, А.И.Егорова, Ю.В. Егорова, Н.Н.Красовского, Ж.-Л.Лнонса, К.А.Лурье, В.И.Плотникова, Х.О.Фатторини, Л.Чезари и целого ряда других исследователей достигнут решающий прогресс в задачах оптимального управления несвязными физическими полями (полями потенциалов переноса энергии и вещества). Наиболее общие результаты получены для задач управления свойствами сплошных сред, когда управление
5 входит в уравнения состояния и предельные условия относительно простым способом (в виде источника в правые части линейных и квазилинейных уравнений, слагаемыми в линейных краевых условиях и т.п.). С другой стороны всесторонне исследованы задачи оптимизации сосредоточенных химических процессов и химико-технологических схем (А.И.Бояринов, Ю.МВолин, В.В.Кафаров, Г.М.Островский, С.Робертс и многие другие).
Значительно менее разработана проблема оптимального управления полями, сопряженными с температурным: степени химических превращений, напряжений, деформаций, влагосодержаний и другими. Вместе с тем именно эти, сопряженные физические поля, определяют качество продукта и самой технологии.
Непосредственному использованию фундаментальных результатов теории оптимальных процессов в технологической практике мешают нерешенность некоторых внутренних проблем теории и нетривиальность математического аппарата. Актуальной поэтому представляется разработка специализированных программных средств и автоматизировагаилх рабочих мест технолога как компонентов САПР, облегчающих вычислительный эксперимент и игащиируюнщх разработку средств автоматического оптимального управления.
Оценка возможностей применения фундаментальных результатов к управлению процессами конкретных технологий, проведешіая с позиций системного анализа, позволяет формулировать научную проблему как математическое моделирование и оптимизация процессов термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений.
Цели и задачи исследований. Проблема соотносится с первым этапом двухэтапной (по Н.Н.Моисееву) схемы оптимизации - этапом поиска оптимальных траекторий, который учитывает общие черты класса рассматриваемых процессов и содержит:
построение моделей - математическую формализацию рассматриваемых процессов физико-химических превращений и геплопереноса;
постановку задач в оптимизационной форме, часто являющейся естественной, т.к. число степеней свободы математического описания
объекта, как правило, больше нуля, выбор критериев оптимальности диктуется технологической практикой, а методы оптимизации -достаточно развиты;
- решение возникающих оптимизационных задач и его анализ.
Важность этого первого этапа подчеркнем тем фактом, что решение
задач второго этапа - конструирования систем управления технологическими процессами, поисковых систем автоматической оптимизации - либо включает первый, либо зависит от того, насколько универсальными являются его выводы. Так как результаты работы должны быть применимы к широкому спектру технологий, сформулируем требования:
модели по нестационарной теплопроводности и кинетике химических превращений, выбор критериев оптимальности и решения оптимизационных задач должны обладать общностью, чтобы быть адекватными разным технологиям;
анализ следует проводить в обобщенных (безразмерных) переменных, а ЭВМ - применять на возможно более поздних этапах исследования, так как численные схемы расчета требуют конкретных числовых значений параметров задачи.
Целями работы являлись:
выбор моделей и представление решения дифференциальных уравнений в замкнутой форме, позволяющей дальнейший анализ вариационных задач (их необходимых и достаточных условий);
разработка алгоритмов решения поставленных оптимизационных задач и программных средств реализации алгоритмов.
Достижению этих целей способствует математический аппарат теории оптимальных процессов. При этом поиск оптимальных управлений сводится, как правило, к численной реализации многоточечной краевой задачи.
Разработка специализированных программных комплексов, снабженных пользовательским интерфейсом, позволяет осуществить научно-обоснованные технологические режимы термообработки с
7 минимальными затратами. Программное средство с этой точки зрения должно быть открыто для включения новых моделей и типов управлений, с другой - позволять вычислительный эксперимент как для задач идентификации моделей, так и при поиске оптимальных управлений объектом.
Такое понимание проблемы позволило сформулировать конкретные задачи исследований:
-
Построение критериев оптимальности технологических процессов термообработки химически реагирующих твердофазных объектов и ограничений, учитывающих характеристики продукта технологии и ее качество. Формулировка задач оптимизации состояний термообрабатываемых объектов при наличии химических превращений.
-
Приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности для объектов сложной формы и представление обобщенного решения проблемы теплопроводности для стадии регулярного режима с улучшением сходимости рядов решения на границах интервала изменения переменной интегрального преобразования.
-
Решение обратных кинетических задач (ОКЗ) системы дифференциальных уравнений кинетики для нестационарных экспериментов и разработка автоматизированного рабочего места технолога (АРМТ), реализующего алгоритм метода в диалоговом режиме для отдельных кинетических изотерм, их семейства, неизотермических условий (экспресс-обработка) и других прикладных задач, сопровождающих проектирование режимов обогрева.
-
Построение и решение систем уравнений, отвечающих необходимым условиям экстремума и ограничениям на переменные и управления для сформулированных вариационных задач.
-
Разработка программного средства поиска оптимальных режимов термообработки для различных критериев оптимальности, типов управлений, ограничений и условий однозначности.
Научная новизна работы. В диссертации реализован этап системной схемы оптимизации в приложении к термообработке химически реагирующих твердофазных объектов.
Предложены обобщенная формулировка проблемы оптимизации тепловых состояний по критериям, содержащим степень химических превращений, и математическое обоснование методологии оптимизации.
При моделировании процессов технологии:
разработаны метод расчета температурных полей объектов неклассической конфигурации на основе оценки среднего значения критерия формы изотерм - критерия Лобачевского и обобщенная форма решения задач теплопроводности с улучшением по Г.А. Гринбергу сходимости рядов решений;
решена нестационарная обратная кинетическая задача для применяемой системы дифференциальных уравнений кинетики химических превращений; разработана иолиизотермная схема решения изотермических обратных задач - построения параметрического семейства уравнений регрессии с наибольшим значением корреляционного отношения.
Поставлена в общем виде оптимизационная задача, относящаяся к классу вариационных изопериметрических с ограничениями на производную управления. Систематизированы и решены с использованием принципа максимума задачи оптимизации для термически тонких тел и одного из вариантов комплексного показателя качества.
В решении оптимизационной проблемы для массивных объектов достигнуты следующие результаты:
построена в инвариантной форме система дифференциальных уравнений Эйлера для различных видов минимизируемого функционала, реализующих задачи на качество термообработки и ее быстродействие;
выведена система обобщенных условий трансверсальности для подвижной границы допустимой области экстремалей со свободными и закрепленными концами с использованием необходимого условия экстремума при ограничениях на производную управления;
- разработаны алгоритм, программное средство и получено в классе
кусочно-гладких функций численное решение вариационной задачи,
сведенной к многоточечной краевой для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость работы
-
Получены нетривиальные физически обоснованные оптимальные управления термическими состояниями химически реагирующих объектов, констатирующие универсальность предложенной методологии оптимизации и ее результативность уже на стадии проектирования режимов и расчетного прогнозирования эксплуатационных характеристик продукта технологии.
-
Разработан и физически обоснован на основе оценки среднего значения критерия Лобачевского метод расчета температурных полей в объектах неканонической конфигурации, который имеет самостоятельное значение и следующие практически значимые особенности:
решение представлено в стандартной для задач теплопроводности форме, что допускает использование для объектов сложной конфигурации выводов и обобщений теории теплопроводности таких, как регуляризация температурных полей, применение интеграла Дюамеля, анализ ламинарных течений в каналах сложной формы и прочих. Точность расчета температуры выше, чем для известных приближений Н.А.Ярышева, приближений на основе принципа стабильности теплового потока и других;
предложена обобщенная запись замкнутой формы решения задач теплопроводности с улучшением сходимости рядов решения, в частности, для практически важного случая несимметричного нагрева пластины с комбинированными граничными условиями.
Метод внедрен в практику технологических расчетов, в частности, при обосновании технологических режимов охлаждения заготовок анодной массы на основе оценки коэффициентов ее температуропроводности, теплоотдачи и двухстадийной оптимизации процесса (на Красноярском алюминиевом заводе), а также при проектировании режимов вулканизации
10 и определении эффективной температуропроводности клиновых ремней с целью интенсификации режимов (на Красноярском заводе резиновых технических изделий) и др.
3. Решена обратная кинетическая задача для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в общей постановке, допускающей
обработку нестационарных кинетических кривых и параметрических
семейств кинетических изотерм. Для решения разработаны алгоритмы и
предложены программные средства обработки результатов
изотермических (поизотермная и полиизотермная схемы) и
нестационарных кинетических экспериментов. Метод нестационарного
экспресс-анализа кинетики обладает рядом преимуществ перед
традиционно применяемыми для решения обратных кинетических задач:
формализует процедуру поиска кинетических параметров;
является экономным по расходу времени и средств на производство лабораторных исследований и их обработку;
представляет возможность для физического моделирования реальных технологических особенностей режимов термообработки и приборной реализации моделирования.
-
Показана возможность оптимизации химических превращений в термически тонких объектах по комплексному показателю качества. Решены отдельные задачи изотермической кинетики процессов типа "структурирования - деструкции" с оценками погрешностей моделирования и реализации оптимальных температурных режимов.
-
Исследована вариационная проблема оптимизации по граничным тепловым воздействиям химически реагирующих массивных объектов. В рамках выполнения известной программы САПР разработчикам технологий предложено программное средство, допускающее вычислительный эксперимент с различными типами критериев оптимальности, управлений и ограничений, которое предоставляет возможность расчетного прогнозирования эксплуатационных (или коррелируемых с ними) характеристик изделия на стадии проектирования технологического режима.
-
Исследования но решению обратных кинетических задач, оптимизации температурных режимов вулканизации, выполненные при поддержке Красноярского шинного завода, внедрены с повышением качества автомобильных шин, сокращением длительности термообработки на вулканизационном оборудовании и снижением энергозатрат.
-
Системно материал диссертации использован в Красноярском государственном техническом университете для постановки курса "Математическое моделирование и оптимизация теилообменных процессов в химических технологиях". Лекции, лабораторные и практические занятия, курсовое проектирование ведутся автором для студентов теплоэнергетических и теплофизической специальностей.
Основные положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся результаты исследований автора, на основании которых осуществлено решение научной проблемы оптимизации термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений.
1. Методология оптимизации технологических режимов
термообработки твердофазных химически реагирующих объектов,
включающая аналитическое представление температурных полей и
приведение критериев оптимальности в задачах на качество и
быстродействие к виду, допускающему использование необходимых
условий экстремума в виде принципа максимума Понтрягина или системы
дифференциальных уравнений Эйлера.
2. Результаты математического моделирования процессов
теплопроводности и кинетики химических превращений для решения
прямых задач и идентификации моделей в ходе определения констант
переноса и кинетических параметров - решения обратных задач.
2.1. Метод расчета температурных полей тел со сложной конфигурацией поверхности, основанный на оценке среднего значения критерия Лобачевского и представления решения задачи теплопроводности в стандартном виде. Номограммы, программное средство решения прямых и обратных задач теплопроводности и
12 обобщения метода регулярного теплового режима в теплофизических исследованиях. Расчетные соотношения для температурных полей объектов в замкнутой обобщенной форме с улучшением сходимости рядов решения по Г.А.Гринбергу.
2.2. Методы, алгоритмы и АРМ технолога решения прямых и обратных кинетических задач. Среди них, помимо традиционного поизотермного метода решения:
метод полиизотермной обработки (непосредственного определения кинетических констант из семейства экспериментальных кинетических изотерм с использованием корреляционного анализа для параметрической нелинейной регрессии);
метод экспресс-анализа кинетики химических превращений в нестационарных условиях., реализующий обратные задачи для дифференциальных уравнений типовых химических процессов при изменении температуры во времени, в том числе, соответствующем реальной технологии.
3. Формулировка и решение вариационных задач оптимизации тепловых состояний объекта по критериям, содержащим параметры поля степеней химических превращений.
-
Систематизация и решение с применением принципа максимума задач оптимизации температурных состояний термически тонких тел по вариаіпу комплексного показателя качества продукта с оценкой чувствительности критерия для задач на качссгво и быстродействие по температуре процесса и времени его завершения.
-
Анализ и решение задачи оптимального управления тепловым состоянием массивного объекта при ограничениях на производную управления (температуру греющей среды) и фазовые координаты, в том числе:
- инвариантная по критерию оптимальности форма системы
дифференциальных уравнений Эйлера, полученная благодаря введению
системы скользящих индексов;
условтія трансверсальности для подвижных границ допустимой области экстремалей с закрепленными и свободными концами;
алгоритм решения поставленной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений и программное средство, реализующее алгоритм для 5 моделей по теплопроводности и 8 типов интегральных функционалов - критериев оптимальности и позволяющее прогнозировать эксплуатационные характеристики изделия для различного режимного и аппаратного оформления процесса.
4. Нетривиальные физически обоснованные управления, приводящие к оптимальным, в смысле однородности поля химических превращений и быстродействия, тепловым состояниям термообрабатываемых объектов.
Личный вклад АВТОРА. Результаты, выносимые на защиту получены лично автором. В совместных публикациях автору принадлежат разработка методов решения прямых и обратных задач кинетики и теплопроводности, формулировка проблемы оптимизации по критериям, содержащим параметры поля химических превращений, постановка, алгоритмизация, программирование и решение задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [1-36] и докладывались на I и II НТК по температурным режимам шин в процессе их производства и эксплуатации (Красноярск, 1968, 1970), I и II Всесоюзной НТК "Технология и оборудование для вулканизации шин" (Москва, 1971, 1973), отраслевой НТК "Теплофизические проблемы производства и эксплуатации резиновых изделий" (Красноярск, 1975), 5 Международном симпозиуме по каучуку и резине (г. Готвальдов, ЧССР, 1975), Всесоюзном совещании "Аналитические методы расчета процессов тепло- и массопереноса" (Душанбе, 1986), III и IV Всесоюзных школах-семинарах "Гидродинамика больших скоростей" (Красноярск, 1987; Чебоксары, 1989), НТК "Проблемы экологии и ресурсосбережения "ЭКОРЕСУРС-1"" (Черновцы, 1990), Всесоюзном НТС "Повьішеїше эффективности тягодувного оборудования для энергетики и машгаюстроения" (Красноярск, 1991), Всесоюзной НТК "Научно-технические
14 проблемы энергомашиностроения и пути их решения" (С.-Пб., 1992), НТК с международным участием "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994), 1 и II Международных симпозиумах " Advancer in structured and Heterogeneous Continua" (Москва, 1993, 1995), 2-й Международной тенлофизической школе "Повышение эффективности теплофизических исследований технологических процессов промышленного производства и их метрологическое обеспечение" (Тамбов, 1995), НПК "Достижения науки и техники - развитию города Красноярска" (Красноярск, 1997), III Международном симпозиуме "Физические проблемы экологии, природопользования и ресурсосбережения" (Ижевск, 1997).
Объем и структура диссертации. Материалы диссертации изложены на 198 страницах, иллюстрированы 39 рисунками. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 199 наименований и приложений, где приведены тексты программных комплексов, примеры файлов исходных данных, результатов расчета и их применения.