Содержание к диссертации
Введение
1.1. Обзор
1. Качественная схема пересоединения 7
2. История вопроса ^
3. Численные эксперименты Ц
4. Лабораторные эксперименты 4
1.2. Модель Соннерупа М
1. Постановка задачи 2\
2. Решение системы уравнений 2Ъ
3. Исследование решения 2
4. Заключение 33
ГЛАВА II. Пересоединение магнитных силовых линий в двумерном несимметричном случае 34
2.1. Постановка задачи 36
2.2. Основные соотношения 32
1. Получение системы уравнений 3?
2. МГД-разрывы 4 о
3. Метод возмущений 43
2.3. Вывод уравнений низших порядков 46
1. Уравнения первого приближения в области Ас втекания
2. Уравнения нулевого приближения в области вытекания 4?
3. Медленная волна разрежения 47
2.4. Результаты приближений низших порядков 55
1. Соотношения на разрывах
2. Условия эволюционности.
3. Классификация решений 54
2.5. Приближение первого порядка
1. У-компонента скорости и магнитного поля в области вытекания
2. Приближение первого порядка в области втекания
3. Полное давление в первом приближении 66
4. Определение направления растекания плазмы в области вытекания
5. Решение A S С S" в ХУ-координатах 70
2.6. Симметричный случай ?2
1. Первое приближение в области втекания 72.
2. Первое приближение в области вытекания 44
2.7. Обсуждение результатов 20
ГЛАВА. III. Вынужденное пересоединение
3.1. Диссипативные эффекты в процессе пересоединения
3.2. Пересоединение смешанного типа 90
3.3. Приложение к физике магнитосферы 100
Основные результаты 40?
Приложение 409
Литература
- История вопроса
- Уравнения первого приближения в области Ас втекания
- Приближение первого порядка в области втекания
- Приложение к физике магнитосферы
История вопроса
Впервые явлением пересоединения заинтересовались в связи с интерпретацией наблюдений солнечных вспышек. В работах [«,« [74J было высказано предположение, что быстрые частицы,ответственные за солнечные вспышки и полярные сияния, могут ускоряться в окрестности нейтральных точек магнитного поля Х-типа. Затем Данжи [5"33 исследовал динамическое поведение плазмы в окрестности нейтральной точки в двумерном случае и показал, что две ветви сепаратрисы, которые первоначально пересекались под прямым углом, сближаются в направлении течения плазмы. В результате силовые линии магнитного поля становятся почти прямыми, а две ветви сепаратрисы пересекаются под очень малым углом, так что локально конфигурация магнитного поля представляет из себя однородные антипараллельные магнитные поля (см.рис.1.2). Эта конфигурация поля с наложенным на неё течением плазмы стала основным объектом изучения для всех последующих теорий процесса пересоединения.
Количественное описание процесса пересоединения началось с работ Свита и Паркера [7? ,72,122]. Свит рассмотрел задачу о диффузии антипараллельных магнитных полей, первоначально разделенных токовым слоем. Оказалось, что: во первых, энергия магнитного поля в этом случае полностью переходит в тепло, а во вторых, скорость энерговыделения обратнопропорциональна проводимости плазмы. Поскольку проводимость высокая, то этим механизмом трудно было объяснить наблюдаемые свойства вспышек.
Паркер, используя законы сохранения, учел роль движения плазмы в рассматриваемой задаче и показал, что часть энергии магнитного поля может преобразовываться в кинетическую энергию плазмы.
Из его оценок следовало, что плазма выбрасывается из области пересоединения с альвеновской скоростью, хотя скорость подтекания плазмы к токовому слою мала и равна Уд //#е . Поскольку в космической физике магнитное число Рейнольдса очень велико, то эффективность такого процесса мала.
Дальнейшее развитие идей Паркера и Свита об аннигиляции магнитного поля было дано в работах Паркера С-?8] , Приста и Каули [ 272 , в которых было получено точное решение об образовании магнитного пограничного слоя вблизи точки торможения потока.
Критически осмысливая модель Паркера-Свита, Петчек С S4 3 заметил, что плазма может ускоряться на стоячих ударных волнах, причем этот механизм оказывается значительно более эффективным для преобразования магнитной энергии, чем омическая диссипация.
Модель Петчека устранила многие недостатки, присущие предшествующим моделям,и в настоящее время широко используется в различных приложениям 2.8,3)7,3 ,42.51 Вместе с тем решение Петчека неоднократно подвергалось также и критике [ 6,425]]. Однако,полученные в последнее время результаты (аналитические, с помощью численного моделирования, космического эксперимента) подтверждают основные идеи Петчека.
Центральным моментом в теории пересоединения является наличие токового слоя. Вопрос о том, как он возникает, эволюционирует и приходит к неустойчивому состоянию подробно исследован в работах Сыроватского и др. 2.9-ЗЬІ , а также для токового слоя хвоста магнитосферы в работах Бирна и Шиндлера С 42, 943.
Отметим здесь также, что приведенная выше качественная схема пересоединения до некоторой степени похожа на разрыв токового слоя Буланова и Сасорова 6] , хотя результаты трудно сопоставимы, т.к. результаты Буланова и Сасорова одномерные и не содержат ударных волн.
Работа Петчека появилась в 1964г. и до 1977 года, когда появилась статья Соварда и Приста [409], не было получено строгих результатов. За это время было предпринято много попыток построения качественных схем пересоединения, основанных на представлении о движении силовых линий магнитного поля, С одной стороны эти работы были полезны, так как привели к пониманию многих процессов внутри магнитосферы Земли
Уравнения первого приближения в области Ас втекания
Другой пример геометрического подхода к определению положения линии пересоединения - работа [5 2] # Здесь даже сделан шаг назад по сравнению с [63] ,и линия пересоединения на магнитопау-зе определялась, как геометрическое место точек, в которых поле солнечного ветра строго антипараллельно магнитосферному магнитному полю. В результате получилась кривая, имеющая две ветви, исходящие из проекций каспов на магнитопаузу. Однако, если учесть, что токи на магнитопаузе имеют близкое к критическому значение С19] , а пересоединение возникает прежде всего там, где проводимость уменьшается, то представляется более вероятным возникновение пересоединения в местах развития аномального сопротивления; до тех пор, пока у нас нет решений, учитывающих конкретные свойства плазмы в области пересоединения, мы не сможем сказать какие влияние на пересоединение оказывает степень антипараллельности магнитных полей. К настоящему моменту имеются решения показывающие, что пересоединение возможно и при неантипараллельных полях В и BQ [_ 4Я,23; \А\ J t
Несмотря на то, что модель Соннерупа вряд ли реализуется в действительности, она представляет большой интерес для изучения процесса пересоединения. Многие важные ее черты сохраняются и в модели Петчека. Во-первых, из модели Соннерупа видно, что меняется топологическая структура магнитного поля - два первоначально изолированных полупространства, разделенные токовым слоем, оказываются связанными. Второе: медленно подтекающая к линии пересоеди-нения плазма в области вытекания разгоняется до альвеновской скорости и, в третьих, интенсивность магнитного поля в области вытекания ослаблена (порядка . ). Все это говорит о том, что происходит преобразование магнитной энергии в кинетическую.
Следует отметить, что все наши знания о трехмерном пересоединении основаны на модели Соннерупа.
Итак, главные свойства модели Соннерупа, сохраняющиеся в более содержательных моделях:
1. 3-х мерное решение квазидвумерно. Это дает надежду на простоту 3- мерных решений и в других случаях.
2. Если задано положение токового слоя и электрические поля в областях втекания, то положение линии пересоединения определяется однозначно.
3. Формально возможно пересоединение линий тока (фактически каждое решение Соннерупа содержит в себе пересоединение линий тока, если в качестве областей втекания рассматривать секторы I И I).
Вероятно, в моделях с учетом сжимаемости существует особый класс решений о пересоединении линий тока. Пока это неизвестно.
4. При малых числах Маха-Альвена углы раствора секторов вытекания порядка . Следовательно при . - О область вытекания, в которой происходит ускорение плазмы, схлопывается, то есть происходит образование пограничного слоя.
Во многих приложениях теории пересоеданения магнитных силовых линий к проблемам космической физики необходимо иметь решение задачи о пересоединении в ситуации, когда параметры плазмы и магнитного поля различны по разные стороны токового слоя. Сюда прежде всего относятся проблемы взаимодействия солнечного ветра с дневной магяитопаузой [406] . Как показывают спутниковые данные, интенсивность магнитного поля в магнитошисе, как правило, несколько меньше, чем внутри магнитосферы, тогда как плотность плазмы в переходной области больше, чем внутри магнитосферы,так что баланс давлений на магнитопаузе выполняется. Решение задачи о пересоединении на магнитопаузе имеет дяя физики магнитосферы особенно важное значение, т.к. согласно современным представлениям, процесс пересоединения обеспечивает основной поток энергии, необходимый для протекания магнитосферных процессов, в том числе для суббурь. Другим важным применением несимметричного пересоединения является проблема взаимодействия намагниченного вспышечно-го потока (или высокоскоростного потока) со спокойным солнечным ветром [48] Возможно также, что для некоторых типов солнечных вспышек задача о несимметричном пересоединении также может быть полезна.
Впервые специальный случай несимметричного пересоединения был рассмотрен Леви и др. и Петчеком на качественном уровне затем Петчеком [8 2] » Количественно в рамках модели Соннерупа данная проблема была рассмотрена в [ty ? f 128J . Из результатов этих работ следует, что асимметрия должна сказы -Зе ваться либо в появлении альвеновского разрыва вместо ударной волны [%Ъ] , либо в появлении волны разрежения [ і 2- 3 . Полное решение задачи о несимметричном пересоединении в двумерном случае в плазме с изотропным давлением было получено в работах: [27 , 39 , і02 J . Как будет показано ниже (п.4 2.3) в задаче о несимметричном пересоединении возможны четыре вариан-та набора разрывов и волн разрежения: AS CS",4R,CS"", S""C(CA , s CS"A , где А - альвеновский разрыв, И - медленная волна разрежения, S"- медленная ударная волна, С - контактный разрыв. При обсуж-г дении качественной схемы пересоединения уже отмечалось, что система разрывов и ударных волн образуется в результате распада произвольного разрыва, в который превращается токовый слой при появлении электрического поля. Задача о распаде произвольного разрыва здесь не решалась, поскольку она уже решена [ ЧJ и в общем случае имеет более шестисот вариантов распада.
Приближение первого порядка в области втекания
В заключение мы рассмотрим более подробно симметричный случай (точка S S на рис.2.5), когда BQ= B0,Ve= VQ , 9о=?о » 0 Т0 » или №_ = л) = I, и fc = J Пользуясь простотой формул симметричного случая, покажем, как, в принципе, можно получить приближения более высоких порядков и выведем формулы для первого приближения в области вытекания.
Решая систему (38) совместно с (36) и (43) при = р , получим: т.е. медленная ударная волна совпадает с альвеновским разрывом, контактного разрыва нет, и, как и следовало ожидать, в нулевом приближении в области вытекания магнитное поле имеет только у-компоненту. Для нахождения магнитного поля и полного вектора скорости определим нулевое приближение для ЦС ( ) в области вытекания, Ц определяется из системы (59) для указанных выше U, Но с Е d определяют Ц в области между А и S , а в симмет-ричном случае эти разрывы совпадают {К--1ь -I). Тогда в области вытекания
Несмотря на то, что область между Аи исчезла, найденные коэффициенты с и d позволяют правильно найти граничное условие (Здесь.и далее в этом параграфе все формулы пишутся для I квадранта) . Его можно проверить, непосредственно вычисляя С у\= 0 на в симметричном случае, где Р =: Решение для у в области втекания (54) запишется в виде: X в области втекания определяется из (206) с условием Чс Рі У)= 0 (из-за симметрии)
Заметим, что решение (73 а,б) построено в области выше сепаратрисы ( "t 0). В области между сепаратрисой и ударной волной решение строится аналитическим продолжением (73) на область значений х 0. Для этого к (73а) необходимо добавить член —-.±. ,е, Тогда у будет непрерывна на сепаратрисе.
До сих пор построение решения у нас шло по следующей схеме: в области I мы задали нулевое приближение для х, у, , р . Используя условие на разрывах (II), построили нулевое приближение в области вытекания. По нулевому приближению в области вытекания построили граничные условия для первого приближения в области втекания. Определив у , х в области втекания, построим граничные условия дія х , у в области вытекания и .Последовательность нахождения переменных будет выглядеть следующим образом
В случае несимметричной задачи вместо (77в) необходимо будет использовать соотношения на внутренних разрывах. В данном симметричном случае граничных условий (77 б,в) оказывается досташочно для получения решения задачиНачнем наше обсуждение с симметричного случая. В начальный момент времени (см. качественную схему) магнитные поля были разделены токовым слоем, который представлял собой тангенциальный разрыв. Плазма покоилась. Система содержала значительное количество свободной магнитной энергии [33] Как следует из полученного решения, после начала пересоединения и установления стационарной картины, во-первых, произошла перестройка структуры магнитного поля - два полупространства оказались связанными магнитными силовыми линиями и, во-вторых, произошло преобразование энергии магнитного поля и кинетическую и внутреннюю энергию плазмы. Из формул (84) видно, что в области вытекания плазма ускорилась на медленной ударной волне в нулевом приближении до альвеновской скорости, рассчитанной по невозмущенным значениям BQ и 0. Магнитное же поле оказывается сильно ослабленным (порядка ). Плотность плазмы в области вытекания увеличивается незначительно - в зависимости от Y и р в 1-2 раза. При больших р магнитная энергия преобразуется почти исключительно в энергию направленного движения. При малых р происходит дополнительно сильный нагрев плазмы, тем больший, чем меньше р . В области втекания плазма медленно подтекает к ударной волне (рис.2.8). При этом плотность плазмы здесь остается постоянной вплоть до членов второго порядка малости. Можно показать (см. также [M25J), что электрические токи в этой области равны нулю до членов второго порядка малости. Интересно отметить, что ускорение плазмы в модели Петчека - это, по существу, кумулятивный эффект. Собираемая под действием электрического поля из широкой области втекания плазма формируется ударными волнами в узкие пучки. Физически ускорение плазмы осуществляется под действием силы Ампера на фронте медленной ударной волны или, в эквивалентной формулировке, за счет работы электрического поля над токами, текущими на фронте волны. В нулевом приближении удар ные волны - прямые, наклоненные к оси X под углом - , . При учете 1-го приближения ударная волна отклоняется к оси X логарифмически.
Полученные результаты совпадают с результатами Соварда и Приста [Ноз] » полученными ими при помощи совершенно другой техники. Можно также отметить хорошее согласие полученных результатов с численным экспериментом С ) 2. \$Ъ 2
Из (83-84) следует также, что некоторые функции 1-го приближения имеют сингулярности. Причина их подробно рассматривается в I гл.З, посвященном роли диссипативных эффектов. Перейдем теперь к рассмотрению несимметричного случая.
Еще сильнее, чем в симметричном случае, топология течения меняется при несимметричном пересоединении. Поведение несимметричного решения удобнее всего описывать с помощью плоскости параметров ( к , ), Выберем на этой плоскости некоторую траекторию (см. рис.2.5 и 2.6 А Е О ЕР 6. в точке Т мы имеем решение с набором разрывов S"C s" - и верхняя, и нижняя ударные волны находятся на границах своих областей эволюпионности и совпадают с положением альвеновских разрывов. При смещении от точки Т) в сторону точки Е верхняя и нижняя ударные волны сдвигаются в сторону контактного разрыва, причем в верхней полуплоскости от ударной волны "отслаивается" альвеновский разрыв и остается неподвижным при дальнейшем изменении параметров \t » ПРИ достижении точки F верхняя ударная волна S" достигает границы области эволюпионности (или, что то же самое, начального угла волны разрежения) и исчезает.
Приложение к физике магнитосферы
Отсюда следует, что возмущения этих двух групп переменных распространяются независимо. Условие совместности (Зп) дает
Отсюда найдем групповую скорость распространения 7)со _ & _ Направление распространения волны совпадает с направлением поля - В, Эти волны называются альвеновскими, а скорость (5п) - альве новской скоростью. Условие совместности системы (4п) дает уравнение
Отсюда получаем фазовые скорости еще двух типов волн: волны, отвечающие знакам + и - называют соответственно быстрыми и медленными магнитозвуковыми.
Как и в обычной гидродинамике МГД уравнения движения допускают разрывные течения. Кроме разрывов, соответствующих характеристикам системы. ЖД уравнений могут возникать ударные волны (при учете нелинейности уравнений распространения магнитозвуковых волн 4 ] ). Во всех этих случаях возникает поверхность разрыва, на которой выполняются следующие соотношения: (внутренняя энергия =. f v для совершенного газа) где YY\ КУУ УИ) » индексы И и Т" обозначают нормальные и касательные к разрыву компоненты. Mh - нормальная скорость движения разрыва.
Произведем классификацию разрывов следующим образом.
а) Пусть to - 6h = о . Такой разрыв, в котором магнитное поле касательно к его поверхности и нет потока массы через по верхность, называют тангенциальным. В задачах о пересоединении по определению Є,; А), поэтому тангенциальный разрыв возникать не может.
б) Это контактный разрыв. Потока массы нет,но присутствует нормальная компонента поля. Плотность может иметь произвольный скачок, магнитное поле, скорость и давление непре рывны. Этот разрыв соответствует энтропийной характеристике МТД системы, которая в стационарном случае совпадает с линией тока.
в) YY\ э О, Фп ). Наклонная ударная волна, Имеется поток массы через разрыв, нормальная составляющая магнитного поля и {( ), Выполняется теорема компланарности, т.е. векторы %. f2 и нормаль к разрыву лежат в одной плоскости. Шя ударных ЖЩ-волн выполняется теорема Цемплена: за ударной волной давление и температура повышаются, т.е. ударная волна - волна сжатия. Касательная компонента магнитного поля сохраняет знак при переходе через ударную волну.
г) Ул &), Bh з О, 5І( =0» Такой разрыв называется альве новским или вращательным, поскольку {\B \j=o и вектор В повора чивается вокруг нормали при переходе через разрыв. Альвеновский разрыв соответствует альвеновской характеристике ЩЩ-уравнений. На разрыве выполняется равенство:
4. Эволюционность ударных волн. Задания граничных условий на разрыве оказывается недостаточным для однозначного решения задачи с разрывом. Формально могут существовать, как правило, несколько таких решений. В действительности, однако, могут осуществляться не все ударные волны, на которых выполняются граничные условия и происходит возрастание энтропии. Дня их существования необходимо, чтобы решение было устойчивым относительно малых возмущений, т.е. малые возмущения в параметрах должны вызывать малые изменения ударной волны. Такие разрывы называются эволюционными. Если же возникающие изменения сразу становятся конечными (например, происходит распад разрыва), то такой разрыв называется неэволюционным. Для быстрых ударных волн условие эволюционности
Дяя медленных ударных волн: где индексы I и 2 обозначают полупространства до и после ударной волны, - и + обозначают медленную и быструю магнитозвуко-вые волны, 1Л - скорость потока плазмы относительно ударной волны. Мы, однако, пользовались эквивалентной формулировкой эволюционноети, приведенной в 20J : эволюционной медленной ударной волной является такая, у которой угол наклона лежит между альвеновской и медленной магнитозвуковой характеристиками МГД-системы уравнений.
5. Волной разрежения называется такое решение МГД-системы уравнений, которое зависит только от одного параметра или от некоторой комбинации параметров, то есть является автомодель ным. Точно также, как и ударная волна, она формируется медлен ными или быстрыми магнитозвуковыми волнами и, соответственно, называется медленной или быстрой волной разрежения. Если удар ная волна представляет собой поверхность сильного разрыва, то волна разрежения занимает целую область, ограниченную двумя поверхностями слабого разрыва, то есть магнитозвуковыми харак теристиками. Тангенс угла наклона характеристики dy/dy в декартовых координатах:
6. Если в некоторый момент времени величины В , V , р и терпят скачки при переходе через некоторую поверхность, не описываемые соотношениями ( П), то образованный этими скачкагж разрыв не может существовать. Задача определения дви жения плазмы в последующие моменты времени называется задачей о распаде произвольного разрыва. Оказывается, что произвольный разрыв распадается в общем случае на систему разрывов и волн разрежения, причем на месте произвольного разрыва остается контактный разрыв
В зависимости от конкретных величин скачков некоторые разрывы или волны разрежения могут отсутствовать.
7. Наше решение существенно опирается на введение специальной системы координат, так называемой системы "вмороженных " координат Г З , в которых магнитные силовые линии и линии тока одновременно становятся координатными линиями. В двумерном случае который мы рассматриваем, их проще всего ввести как функцию тока и -компоненту векторного потенциала магнитного поля, соответственно