Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Механизмы корпоративного управления 8
1.1. Классификация механизмов корпоративного управления 8
1.2. Конкурсные механизмы 12
1.3. Механизмы обратных приоритетов 17
1.4. Механизм внутренних цен 21
1.5. Механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли 26
1.6. Механизмы распределения корпоративных финансов 28
1.7. Конкурсные механизмы 28
1.8. Механизмы обратных приоритетов 31
1.9. Механизмы корпоративного кредитования с гибкими ставками ..33
1.10. Механизмы совместного финансирования 36
ГЛАВА 2. Задачи оптимизации корпоративных бизнесов и методы их решения 41
2.1. Постановка задач 41
2.2. Решение задачи оптимизации бизнесов с учетом ограничений на их число 48
2.3. Методы решения задач оптимизации бизнесов на основе совместного финансирования 53
Линейная структура 57
Описание алгоритма 59
Иерархическая структура 61
2.4. общий случай 65
ГЛАВА 3. Методы оптимизации бизнесов с учетом рисков 69
3.1. Постановка задачи 69
3.2. Описание алгоритма 70
Заключение ± 74
Литература
- Механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли
- Механизмы корпоративного кредитования с гибкими ставками
- Решение задачи оптимизации бизнесов с учетом ограничений на их число
- Описание алгоритма
Введение к работе
Объединившись в корпорацию предприятия, получают существенные конкурентные преимущества. Одним из них является консолидация финансовых потоков, что позволяет разрабатывать эффективные программы развития бизнесов предприятий корпорации. В свете сказанного актуальной является задача разработки моделей и методов оптимизации корпоративных бизнесов.
Цель работы состоит в повышении эффективности использования корпоративных финансовых ресурсов на основе разработки стратегии развития корпоративных бизнесов. Для реализации указанной цели необходимо решить следующие задачи:
Описание и анализ различных механизмов корпоративного управления, в том числе механизмов разработки корпоративной стратегий.
Постановка задач оптимизации корпоративных бизнесов для различных структур.
Разработка алгоритмов решения поставленных задач на основе методов дихотомического и сетевого программирования и метода ветвей и границ.
Методы исследования. В диссертации используются методы исследования операций, теории графов, дискретной оптимизации, теории активных систем.
Научная новизна и значимость результатов работы состоит в следующем:
Даны постановки задач оптимизации корпоративных бизнесов для различных структур бизнесов предприятий корпорации с учетом риска и ограниченности финансовых ресурсов.
Разработан метод дихотомического программирования для решения задач оптимизации бизнесов при ограничениях на финансовые ресурсы предприятий и Корпоративного центра.
Введено понятие иерархической структуры бизнесов и предложен метод дихотомического программирования для оптимизации бизнесов, имеющих иерархическую структуру.
Для общего случая задачи оптимизации бизнесов предложен метод ее решения, основанный на сведении структуры бизнесов к иерархической путем удаления ряда бизнесов.
Для решения задачи оптимизации бизнесов при ограничениях на число высокорисковых и среднерисковых бизнесов применен метод сетевого программирования.
Доказана теорема двойственности для задачи оптимизации бизнесов при ограничении на число высокорисковых бизнесов.
Достоверность и обоснованность научных результатов, выводов и рекомендаций, сформированных в диссертации, определяется корректным применением математических методов.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные модели и методы позволяют существенно повышать эффективность стратегии развития Корпоративных бизнесов, что подтверждается их практическим применением при разработке стратегии развития ОАО «Росагробиопром».
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Воронежского государственного индустриально строительного университета, на международных конференциях «Современные сложные системы управления».
На защиту выносятся:
Постановка задач оптимизации корпоративных бизнесов для различных структур.
Метод сетевого программирования для решения задач оптимизации корпоративных бизнесов для иерархической структуры бизнесов.
Метод решения задач оптимизации корпоративных бизнесов в общем случае, в основе которого лежит сведение произвольной структуры бизнесов к иерархической.
Метод ветвей и границ решения задачи оптимизации бизнесов с учетом рисков, в котором верхние оценки получаются на основе метод сетевого про-
граммирования.
Теорема двойственности о совпадении целевых функций исходной и оценочной задач.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ. Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем: В работе [2] автору принадлежит постановка задач оптимизации корпоративных бизнесов. В работах [3], [4] автором предложены неманипулируемые и согласованные механизмы финансирования корпоративных бизнесов. В работе [5] автором получено условие прогрессивности ряда механизмов управления развитием корпоративных бизнесов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Она содержит 100 страницы основного текста, 18 рисунков, 13 таблиц и 3 приложения. Библиография включает 57 наименований.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются ее цели, задачи исследования, научная новизна и практическая значимость результатов, а так же основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе дается описание интегрированных корпоративных структур и основных механизмов корпоративного управления. В главе дан детальный анализ результатов исследований механизмов распределения корпоративных заказов и финансов. Отмечена важность проблем развития корпоративных бизнесов и дана постановка задач исследования.
Во второй главе рассмотрены постановки задач оптимизации корпоративных бизнесов и преложены методы их решения для различных структур бизнесов корпорации (полных, независимых и линейных).Введено понятие иерархической структуры бизнесов и предложен метод дихотомического программирования решения задач оптимизации бизнесов для иерархической структуры. В общем случае метод решения основан на преобразовании структуры к иерархической путем удаления ряда бизнесов.
Третья глава посвящена постановке и решению задач оптимизации биз-
несов с учетом риска. Введены три качественные категории риска (низкий, средний и высокий). Задача заключается в определении оптимального набора бизнесов при ограничениях на число высокорисковых и стреднерисковых биз-несов. Для решения задач преложен метод сетевого программирования. Доказана теорема двойственности для задачи оптимизации бизнесов при ограничении на число высокорисковых и среднерисковых бизнесов.
В заключении приведены основные результаты работы.
В приложении 1 рассмотрены основные методы решения задач дискретной оптимизации, а в приложении 2 - метод сетевого и метод дихотомического программирования, которые в основном применяются для решения поставленных задач.
Механизмы внутренних цен без перераспределения прибыли
Перераспределение прибыли между предприятиями, входящими в Корпорацию, как уже отмечалось, может привести к конфликту интересов. Рассмотрим поэтому механизм внутренних цен, не включающий процедуру перераспределения прибыли. В этом случае Корпоративный центр как бы покупает продукцию у предприятий по внутренней цене Цд. Внутренняя прибыль совпадает с фактической и остается у предприятия за исключением доли (р, отчисляемой Корпоративному центру. Свойства механизма внутренних цен без перераспределения прибыли во многом аналогичны свойствам конкурсного механизма.
Однако имеются и ряд существенных отличий рассматриваемого механизма от конкурсного. Так переход к отдельному учету планируемой и сверхплановой прибыли в данном случае не обеспечивает достоверности оценок (к+1) предприятия. Действительно, прибыль (к+1) предприятия при сообщении им оценок Sk+i составит ї k+i =[(1-ф) PmSk+i + (l-P)(Sk+i-Ck+i)]xk+1 где /3 - норматив отчислений в Корпоративный центр от сверхплановой прибыли. Видно, что Пк+і является возрастающей функцией Sk+i Еще одной особенностью является гораздо большая вероятность образования коалиции предприятий. Дадим иллюстрацию этого на простом примере. Прибыль предприятий с учетом отчислений Корпоративному центру П, = 100,П2 = 60. Однако, если предприятие 2 образует коалицию с предприятием 3 то предприятие 3 может сообщить, например, максимальный объем производства Qj=2.
При этом, предприятие 2 сообщает оценку S2 = 12 (больше нельзя, поскольку внутренняя цена не должна превышать договорной цены), а предприятие 3 оценку S3 = 11. Внутренняя цена становится равной договорной Цв = 15, а распределение заказа Xi = 40, х2 = 28, х3 = 2.
Прибыль первого предприятия выросла до Пі = 200, второго до П2 = 126, а прибыль третьего до Пз = 3. Все предприятия выиграли. Однако прибыль Корпоративного центра уменьшилась Пкц = 200+ 126 + 3 = 329, что значительно меньше чем 510. Немного уменьшилась и прибыль Корпорации в целом. Она стала равна Пкор =658, что меньше на 12 единиц, чем в ситуации равновесия.
В целом следует сделать вывод, что механизм внутренних цен без перераспределения прибыли уступает по эффективности как конкурсному механизму, так и механизму внутренних цен с перераспределением прибыли.
Проведенный анализ позволяет сделать вывод, что в каждом классе механизмов распределения корпоративных заказов имеются достаточно эффективные механизмы как с позиций Корпорации в целом, так и с позиций Корпоративного Центра. Среди конкурсных механизмов можно рекомендовать прямой конкурс с выделением плановой и сверхплановой прибылей. Среди механизмов обратных приоритетов выделяются механизмы с функцией приоритета (Ц-8і)к, обеспечивающие неманипулируемость, достаточную оптимальность и эффективность. Среди механизмов внутренних цен можно выделить механизмы с перераспределением прибыли, хотя они более сложны в реализации, и могут вызвать напряженность и конфликты. Принципу справедливости наиболее удовлетворяют механизмы обратных приоритетов, поскольку при этих механизмах каждое предприятие получает определенную долю корпоративного заказа.
Корпоративные финансовые ресурсы образуются за счет отчислений от прибыли предприятий, входящих в корпорацию, а также от финансово-экономической деятельности Корпоративного центра, связанной с операциями на фондовых рынках, продажей собственности и др. Помимо использования на общекорпоративные нужды (капитализация, создание корпоративных служб и др.) часть этих ресурсов распределяются на инвестиционные проекты предприятий. Понятно, что каждое предприятие стремится получить большую часть общих ресурсов. Как правило, это приводит к тенденции завышения заявок на требуемые финансовые средства, к конфликтам при распределении корпоративных средств.
Дадим формальную постановку задачи. Примем, что в корпорации п предприятий. Каждое предприятие подает в инвестиционный комитет (или бюджетный комитет) корпорации заявку на выполнение инвестиционных проектов. Такая заявка (бизнес-план) содержит обоснование предлагаемого проекта, включая оценку требуемого финансирования и ожидаемого эффекта. На основе заявок предприятий инвестиционный комитет принимает решение о финансировании проектов.
Каждый проект характеризуется двумя основными параметрами - затраты на реализацию проекта Sj и доход от его реализации dj. Разность дохода и затрат определяет эффект от реализации проекта Э( = dj - Sj, а отношение эффекта к затратам q; = ЭД = d/sj - 1 называется эффективностью проекта.
Механизмы корпоративного кредитования с гибкими ставками
Рассмотрим различные постановки задач оптимизации корпоративных бизнесов. Различные варианты бизнесов корпорации можно представить в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют предприятиям корпорации, а дуги отражают возможность организации бизнеса, включающего соответствующую пару предприятий (вертикальная интеграция), рис. 2.1. Организация каждого бизнеса требует определенных затрат для каждого предприятия, участвующего в этом бизнесе (приобретение и установка необходимого оборудования, реконструкция помещений, подготовка кадров и т.д.)
Возможны различные постановки задач оптимизации выбора бизнесов корпорации в зависимости от возможностей совмещения различных бизнесов на одном предприятии, ограничений на объемы выпускаемой продукции или услуг и т.д. Рассмотрим эти постановки.
Задача 1. Пусть различные бизнесы несовместимы, то есть каждое предприятие может участвовать не более чем в одном новом бизнесе (или в развитии имеющегося бизнеса).
Обозначим через G множество различных бизнесов корпорации. Так для примера, рис. 2.1, если рассматривать бизнесы, включающие по 3 предприятия (вертикально-интегрированные цепочки), то мы получим 4 возможных бизнеса. Первому соответствует путь gi = (l,4, 6), второму - g2=(2, 4, 6), третьему — g3=(2, 5, 7), четвертому - g4=(3, 5, 7). Определим симметрический граф Н, вершины которого соответствуют бизнесам. Две вершины соединим ребром в том, и только в том случае, если в соответствующих бизнесах участвует хотя бы одно общее предприятие. Соответствующий граф для бизнесов рис. 2.1. приведен на рис. 2.2.
Обозначим через щ — эффект от бизнеса і (существует достаточное число различных методик, определения эффекта от бизнеса), bj - затраты корпоративных финансовых ресурсов на развитие соответствующего бизнеса. Примем, что корпоративный фонд развития равен R. Задача заключается в определении набора бизнесов, таких что каждое предприятие участвует в не более чем одном бизнесе, обеспечивающего максимальный эффект для корпорации при ограниченном фонде развития R. В формальной постановке задача заключается в определении независимого множества Q вершин графа, рис. 2.2., такого что A(Q)=5 i (2.1) максимальна при ограничении ZMR (2.2)
Если бы каждое предприятие могло участвовать в нескольких бизнесах, то мы получили бы классическую задачу о ранце. В нашем случае имеем задачу о ранце с условиями несовместимости ряда предметов. Решение задачи становиться более сложным.
В более общем случае возможны различные ограничения на число возможных бизнесов для каждого предприятия. В этом случае более удобной для исследования задачи и разработки методов решения является другая графовая модель.
Определим двудольный граф G (X, Y). Вершины і є X соответствуют предприятиям корпорации, а вершины і є Y - различным бизнесам. Вершину і є X соединим дугой (і j) с вершиной j є Y в том и только том случае, когда предприятие і участвует в бизнесе j. Обозначим Pj - множество предприятий, участвующих в бизнесе j, Qi - множество бизнесов, в которых может участвовать предприятие і, mi - максимальное число бизнесов, в которых может участвовать предприятие і. Задача заключается в определении множества Q бизнесов, так чтобы максимизировать (2.1) при ограничении (2.2) и дополнительных ограничениях IQHQjl mb і = й (2.3) (Х означает число элементов множества X). Задача 2. (Совместное финансирование)
Совместное финансирование проектов развития является распространенной формой корпоративных отношений. Определение доли каждого предприятия, выделяемой на финансирование развития бизнесов, в которые оно входит, возможно различными способами. Мы рассмотрим один из них, так называемый «принцип равного вклада», согласно которому каждое предприятие вкладывает в развитие бизнеса величину средств, равную определенной доле средств корпоративного центра. Эта доля /3 принимается, как правило, одинаковой для всех предприятий. Если на развитие бизнеса j требуется bj средств, то требуемая величина bj средств корпоративного центра определяется из уравнения и равна
Соответственно, средства, которые тратит предприятие і на развитие бизнеса j, составляют:
Задача заключается в определении множества бизнесов Q, максимизирующего (2.1) при ограничениях (2.2) и дополнительных ограничениях SSjSR,, i = l,n, (2.6) jeQnQj где Ri - объем средств, выделяемых на развитие предприятием і. Заметим, что полученная задача может быть представлена, как задача целочисленного линейного программирования в переменных (0, 1).
Для такого её представления обозначим Xj =1, если j-й бизнес включен в программу развития корпорации и Xj =0, в противном случае. Задача заключается в определении Xj, j = 1, m, максимизирующих линейную форму
Задача 3. (Учет рисков). Различные проекты, характеризуют различными уровнями риска (вероятностью неудачи, то есть незавершения проекта в планируемые сроки). На практике, как правило, применяются экспертные, качественные оценки риска. Выделяют три группы риска — высокий, средний и низкий. Естественно, что задачу развития лучше решать на основе бизнесов, имеющих низкий риск, однако, бизнесы со средним, а особенно с высоким риском, как правило, имеют более высокую эффективность.
Поэтому при разработке стратегии развития бизнесов, учитывают и бизнесы с высоким риском. Однако, число таких бизнесов ограничивают. Таким образом, задача заключается в определении множества бизнесов, максимизирующих (2.1) при ограничении (2.2) и дополнительных ограничениях на число бизнесов с средним и высоким риском. К этим ограничениям можно добавить ограничения на число бизнесов, в развитии которых участвует предприятие, либо учесть ограниченность средств развития предприятий в случае совместного финансирования. Рассмотрим алгоритмы решения поставленных задач.
Решение задачи оптимизации бизнесов с учетом ограничений на их число
Оптимальное решение Атах= 18. Для определения этого решения движемся с конца, начиная с матрицы (у5): определяем У5 = (18;9),у4 = (15;7),уз = (3;2). Из матрицы (у4) получаем: Уі = (15;7),у2 = (0;0) (бизнесы 3 и 4 не развиваются, т.к. у2 = (0;0)). Из матрицы (у3) получаем: х5 = 1;х6 = 0. Из матрицы (уі) получаем Хі= 1;х2 = 0. Итак, в программу развития включаются два бизнеса - первый и пятый с эффектом А=18. Учтем теперь ограничения несовместимости бизнесов. Пусть несовместимыми являются бизнесы (1;5), (1 ;6), (5;6). Применим метод ветвей и границ. 1 шаг. Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом бизнес 1 включается в программу, а во втором - не включается.
Оценка первого подмножества очевидна А(1) =15, так как при включении бизнеса 1 в программу больше ни один бизнес не может быть включен.
Оценка второго подмножества. Решаем задачу о ранце без первого биз неса. Для этого применяем уже полученные матрицы, исключив из них все клетки, соответствующие бизнесу 1. Так в матрице (yi) исключается второй столбец, в матрице (у4) - третья строка, а в матрице (ys) - пятый столбец.
Теперь оптимальное решение А(1) = 17. $ 2 шаг. Выбираем второе подмножество. Соответствующее решение Х2 = Х5 = Хб = 1, остальные Xj = 0. Поскольку бизнесы 5 и 6 несовместимы, то разбиваем второе подмножество на два. В первом из них бизнес 5 включается в программу, а во втором - не включается.
Оценка первого подмножества. Поскольку Xs = 1, то Хб О. Поэтому исключаем из матрицы все строки и столбцы, соответствующие значению Хб = 1. а именно, в матрице (уз) исключаем вторую строку, в матрице (у5) - первую и третью строки (заметим, что поскольку хі=0, то в матрице (ys) был также исключен пятый столбец). Получаем решение с величиной А(1 ;5) =15.
Оценка второго подмножества. Поскольку X5 = 0, то исключая из матриц соответствующие строки и столбцы, получаем А(ї,5)=14.
Выбираем первое подмножество. Ему соответствует следующее решение: 2= хб= 1} остальные Xj = 0. Поскольку бизнесы 2 и 6 совместимы, то полученное решение является допустимым, а значит оптимальным. Дерево ветвлений приведено на рис. 2.10. (18 J (l5J ГіТ\ (5)Х \(5) С15 j Гі4 J Рис. 2.10. Мы получили два оптимальных решения с величиной эффекта А = 15: 1. Xi = 1, остальные X; = 0. 2. х2= Хб= 1, остальные xj = 0.
Интересно отметить, что в обоих решениях средства используются не полностью.
Рассмотрим второй вариант задачи, в котором для каждого предприятия заданы ограничением на число бизнесов, в развитии которых оно может участвовать. Описанный выше алгоритм естественным образом обобщается на этот случай. Если в результате решения задачи о ранце, получено решение, в котором нарушается какое либо из офаничений (2.3), то производиться разбиение множества всех решений на подмножества, в каждом из которых это офаниче-ние выполняется.
Методы решения задач оптимизации бизнесов на основе совместного финансирования
Рассмотрим несколько практически интересных частных случаев задачи. Полная структура. Имеются m возможных бизнесов причем в каждом из них участвуют все предприятия. В этом случае: обозначим Ro = min Rj.. Получаем следующую задачу: определить Xj, j= l,n максимизирующие (2.1) при офаничений
Рассмотрим задачу выбора оптимальной величины /3. Эта величина определяется из условия: «I R„ = (l + nP)R или р= Получили интересный результат: оптимальная доля финансирования предприятиями проектов развития бизнесов равна минимальному отношению средств, имеющихся у предприятий к фонду развития корпорации. Фактически, фонд развития R увеличивается до величины: R + nRn =R + nminR:
Дальнейшее увеличение средств на развитие можно обеспечить, вводя дифференцированные доли отчислений /. При этом, естественно связать долю отчислений на развитие бизнеса с долей отчислений предприятию от получаемого за счет этого развития эффекта. Рассмотрим задачу определения оптимальных долей Это означает, что в развитии бизнесов полностью задействованы и средства корпоративного центра и средства предприятий.
Рассмотрим еще один частный случай, в определенном смысле обратный предыдущему. А именно, примем, что каждое предприятие имеет свои варианты развития бизнесов, то есть интеграция (и горизонтальная, и вертикальная) отсутствует. Задача корпоративного центра состоит в том, чтобы получить максимальный корпоративный эффект за счет оптимального распределения корпоративных финансовых ресурсов. Алгоритм решения задачи состоит из двух этапов. На первом этапе определяется максимальный эффект для каждого предприятия в зависимости от величины средств корпоративного центра, переданных каждому предприятию. Для этого решаются п задач о ранце типа (2.1), (2.2), где рассматриваются для каждого предприятия только его проекты развития бизнеса. В результате получаем п дискретных зависимостей УІ () максимального эффекта і-го предприятия от величины Z; корпоративных ресурсов.
Описание алгоритма
Сначала рассмотрим задачу оптимизации бизнесов (1, 1), (1,2) с учетом только двух видов рисков - низкий и высокий. Обозначим через Р - множество бизнесов с высоким риском, и пусть допустимое число высокорисковых бизнесов равно р. В этом случае к ограничению (2,2) добавляется ограничение 2Х Р (3-і) j =P
Получаем задачу о ранце с дополнительными ограничениями на число предметов определенного типа. Для решения этой задачи применим метод сетевого программирования []. Структура сетевого представления задачи приведена на рис. 3.1. для пяти бизнесов и р = 2 (бизнесы с высоким риском это бизнесы 1, 2 и 3). ограничения Х1 + Х2+Х3 задача (2,1), (2,2) рис. 3.1.
Структура сетевого представления не имеет вид дерева. Поэтому рассматриваем оценочную (двойственную) задачу. Для этого введем новую переменную и и рассмотрим задачу (2.1), (2.2), в которой a ! = aru; а 2 =а2-и; а з = а3-и. Обозначим A(u) величину эффекта в оптимальном решении задачи (2.1), (2.2) в зависимости от параметра и. Из общей теории сетевого программирования следует, что величина F(u) = A(u) + pu является оценкой сверху для исходной задачи (2.1) (2.2), (3.1).
Двойственная задача заключается в определении и, минимизирующего эту оценку. Из теории сетевого программирования известно также, что если при каком либо и получено допустимое решение задачи (2.1), (2.2), (3.1), то это решение является оптимальным. Если допустимого решения получить не удалось, то применяется метод ветвей и границ.
Описание алгоритма 1 шаг. Берем и = 0 и решаем задачу (1.1), (1.2). Если ограничение (3.1) нарушается, то увеличиваем и на некоторую величину А. Если увеличение и не привело к уменьшению оценки A(u) + pu, то алгоритм заканчивается. Если привело, то снова увеличиваем и.
Полученная оценка сверху применяется в методе ветвей и границ. Для разбиения на подмножества, выбирается один из высокорисковых проектов (как правило, выбирается самый эффективный высокорисковый проект). Рассмотрим описанный алгоритм на примере.
Пример 3.1. Имеется шесть бизнесов, данные о которых приведены в таблице 3.1. Первые три бизнеса являются высокорисковыми. Таблица 3. j 1 2 3 4 5 6 ai 15 12 10 8 6 7 bj 4 3 5 8 9 7 Пусть R = 12, р = 1. Заметим, что решение задачи о ранце при u = 0 в данном случае очевидно: Xi = X2=X3=l, х4 = х5=х6=0. Все три высокорисковых бизнеса входят в программу развития. Оценка сверху равна F(0) = 37. Возьмем и = 7. таблица 3.1. принимает вид таблицы 3.2. Таблица 3. j 1 2 3 4 5 6 aj 8 5 3 8 6 7 bj 4 3 5 8 9 6 В данном случае существуют два оптимальных решения 1. Хі= 1, Х2= 1, х3= 1, остальные Xj=0; 2. Xi= 1, х2=0, Хз = 0, х4= 1, х5 = 0, х6=0.
Из них второе решение удовлетворяет ограничению на число высокорисковых бизнесов и поэтому является оптимальным. Оценка ф(7) = 16 + 7 = 23 совпадает с величиной эффекта Ат= 23.
Решение большего числа примеров показало, что во многих случаях имеет место аналог двойственности: F(u ) = A(x ), то есть для оптимальных решений прямой и двойственных задач значение их целевых функций совпадают. Однако это не всегда имеет место. Чтобы убе-диться в этом достаточно в нашем примере взять р = 2. Покажем, что и = 7 является оптимальным и при р = 2. Действительно, если и 7, то оптимальное решение единственное: Xi = x2=x3=l, х4 = х5 = х6=0, и оценка сверху будет равна F(u) = 37-3u + 2u = 37-u 30 Если же и 7, то оптимальное решение xi= 1,х2=0, х3 = 0, х4= 1,х5=0, Хб=0 и оценка сверху будет равна F(u)= 23 - u + 2u = 23 + u ЗО. Следовательно, оптимальная величина u = 7, оценка сверху F(u ) = ЗО, в то время как в оптимальном решении исходной задачи А(х ) = 27 30.
Причиной несовпадения F(u ) и А(х ) в рассмотренном примере явился тот факт, что не существовало значения и , при котором в оптимальном решении задачи о ранце было бы ровно р высокорисковых бизнесов. Действительно, имеет место следующая теорема: Теорема 2 (двойственности). Пусть существует и , такое, что существует оптимальное решение задачи о ранце х , в котором число рисковых бизнесов равно р. Тогда это решение х является оптимальным для исходной задачи, причем имеет место соотношение A(x ) = F(u ) (3.2) Доказательство. Для u = и имеем: F(u ) = A(u ) + pu = А(х ) - pu +pu = А(х ). А поскольку F(u ) является оценкой сверху для исходной задачи, то х - оптимальное решение.
Аналогичным образом можно учесть ограничения на число бизнесов с средним уровнем риска. Необходимо ввести два параметра щ и м2, соответственно, для высокорисковых и среднерисковых бизнесов. Оценочная задача заключается в определении Ui 0 и и 0, минимизирующих верхнюю оценку F(ub u2) = A(ub u2) + piui + p2u2, где p! - допустимое число высокорисковых бизнесов, р2- допустимое число среднерисковых бизнесов, A(ui, u2) - величина эффекта в оптимальном решении задачи (1.1), (1.2) при a j = aj-Ui для высокорисковых бизнесов и a j= а—и2 - для среднерисковых бизнесов.
Теорема 2 имеет место и в данном случае. А именно, если найдется пара Ui , u2 , такая, что в оптимальном решении х (ui , u2 ) оценочной задачи о ранце число высокорисковых бизнесов равно pj, а число среднерисковых равно р2, то соответствующее решение x (ui , u2 ) является оптимальным.
Пример 3.2. Имеются шесть бизнесов, из которых бизнесы 1,2 являются высокорисковыми, бизнесы 3, 4 - среднерисковыми, а бизнесы 5,6 — имеют низкий уровень риска. Возьмем pi= 1 ир2= 1, то есть допускается не более одного высокорискового бизнеса и не более одного среднерискового. Данные о бизнесах приведены в таблице 3.3.
