Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор портфельного конструирования 13
1.1.Обзор портфельных стратегий 13
1.1.1. Портфельная теория Марковица 13
1.1.2 Портфели на основе факторных моделей ценообразования 15
1.1.3 Многошаговые инвестиционные портфели 18
1.1.4 Формирование портфелей с помощью моделей временных рядов 20
1.1.5 Стратегия, минимизирующая дисперсию доходности портфеля 23
1.1.6 Равномерное распределение средств портфеля 25
1.2 Ограничения портфельной теории Марковица и ее критика 27
1.2.1 Гипотеза эффективного рынка 29
1.2.2. Прочие подходы и особенности формирования портфелей 33
1.3. Выводы раздела 35
2. Одношаговые инвестиционные портфели 37
2.1. Введение в постановку задачи управления 37
2.1.1. Модель векторной авторегрессии 38
2.1.2. Прогнозирование в рамках модели векторной авторегрессии 41
2.1.3. Многомерные модели волатильности 43
2.1.4. Построение прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих 46
2.2. Управление одношаговым инвестиционным портфелем 48
2.2.1. Доходность и дисперсия одношагового портфеля 48
2.2.2. Ошибка прогноза доходности портфеля 52
2.2.3. Одношаговая оптимизационная задача управления инвестиционным портфелем 54
2.2.4. Характеристики одношагового квази-оптимального портфеля 58
2.2.5. Характеристики одношагового средне-дисперсионного портфеля 62
2.2.6. Сравнение характеристик квази-оптимального и средне-дисперсионного портфелей 65
2.3. Выводы раздела 72
3. Многошаговые инвестиционные портфели 75
3.1. Постановка многошаговой задачи управления 75
3.1.1. Варианты постановки многошаговых задач управления средне-дисперсионными портфелями 75
3.1.2. Автокорреляция доходностей многошагового портфеля 78
3.2. Программное управление многошаговым квази-оптимальным инвестиционным портфелем 79
3.2.1. Описание многошаговой задачи управления квази-оптимальным портфелем с программным управлением 80
3.2.2. Оптимизационная задача управления многошаговым квази-оптимальным портфелем с программным управлением 81
3.2.3. Решение многошаговой задачи управления квази-оптимальным портфелем с программным управление 85
3.3. Управление с обратной связью многошаговыми инвестиционными портфелями 91
3.4. Управление многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем 96
3.4.1. Программное управление многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем 97
3.4.2. Управление с обратной связью многошаговым GMV-квази-оптимальным портфелем 101
3.5. Выводы раздела 102
4. Эмпирическое исследование 104
4.1. Сравнение характеристик одношаговых инвестиционных портфелей, построенных на основе смоделированных данных 104
4.2. Влияние типа и размерности многомерной модели волатильности на характеристики инвестиционных портфелей, построенных на основе реальных данных 114
4.2.1 Одношаговые инвестиционные портфели 120
4.2.2 Многошаговые инвестиционные портфели 131
4.3. Влияние размерности модели векторной авторегрессии на характеристики инвестиционных портфелей 139
4.4. Сравнение характеристик инвестиционных портфелей с программным управлением и с управлением с обратной связью 155
4.5. Выводы раздела 160
Заключение 163
- Формирование портфелей с помощью моделей временных рядов
- Доходность и дисперсия одношагового портфеля
- Программное управление многошаговым квази-оптимальным инвестиционным портфелем
- Влияние размерности модели векторной авторегрессии на характеристики инвестиционных портфелей
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема сохранения и приумножения средств
путем их распределения среди различных активов является актуальной как для
домашнего хозяйства, так и для финансовых институтов от банка до
суверенного фонда. Вопрос управления средствами является неотъемлемым
явлением рыночной экономики. Развитие мировой финансовой системы
происходит под воздействием институциональных и законодательных
изменений. Процессы глобализации экономик, появление новых финансовых
институтов и инструментов, развитие финансовой инфраструктуры — все это
одновременно и упрощает передвижение капитала и усложняет
прогнозирование его передвижения. Развитию финансовых рынков сопутствует
усложнение методов и моделей оценки информации, которыми
руководствуются участники при принятии решений.
Существуют различные подходы к решению проблемы управления
инвестиционными портфелями, характеризующиеся многообразием критериев,
моделей динамики капитала, используемыми моделями эволюции цен и
ограничениями на управление и рыночными ограничениями в которых
формируются инвестиционные портфели. Вопросами управления
инвестиционными портфелями, их оптимизации и оценивания характеристик занимались многие отечественные и иностранные исследователи, среди которых следует отметить работы Домбровского Д.В., Ерешко А.Ф., Ляшенко Е.А, Мельникова А.В., Первозванского А.А., Ширяева А.Н., Belecki T., Campbell J.Y., Chamberlain G., Chopra V.K., Frauendorfer K., Li D., Lintner J., Markowitz H.M., Merton R.C., Ng W.L., Pliska S., Rothschild M., Samuelson P.A., Siede H., Sharpe W., Viceira L.M., Yin G., Ziemba W.T., Zhou X.Y. и другие.
В большинстве работ по управлению инвестиционными портфелями,
исследующих влияние информации моделей ценообразования доходностей
финансовых активов, внимание уделяется или анализу динамики доходностей
финансовых активов или влиянию динамики случайных составляющих. В
зависимости от принятых предположений о виде модели ценообразования
исследуется та или иная постановка оптимизационной задачи. В таких условиях
случайные параметры доходностей финансовых активов, их динамика и
волатильность заменяются ожидаемыми оценками. При этом при усреднении
исходных данных теряется полезная информация, учет которой при
формировании и управлении инвестиционным портфелем мог бы
положительно отразиться на его характеристиках и результатах управления. Подчас подходы портфельной теории накладывают ряд достаточно жестких, и подчас не соответствующих действительности современных финансовых рынков, ограничений, в том числе и предположения о том, что доходности являются стационарными, а инвесторы обладают одинаковой информацией и имеют точное представление о доходностях и рисках.
Реальные ряды доходностей финансовых активов могут быть одновременно нестационарными, в них могут присутствовать автокорреляции и
одновременные корреляции с прошлыми доходностями и доходностями других
финансовых активов; в случайных составляющих доходностей может
присутствовать гетероскедастичность, одновременная корреляция и
автокорреляция. Несмотря на всевозможные сложности, современные модели ценообразования в значительной степени преуспели в способности отображать особенности поведения финансовых активов.
Институциональные инвесторы, например страховые компании или пенсионные фонды, имеющие определенный профиль обязательств, нуждаются в многошаговых подходах управления инвестиционными портфелями, которые также бы учитывали динамику доходностей и волатильность финансовых активов.
Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают
актуальность построения и исследования стратегий управления
инвестиционными портфелями, одновременно учитывающими информацию
моделей ценообразования доходностей и волатильности финансовых активов.
Данное исследование посвящено управлению многошаговых, и как частному
случаю одношаговых, инвестиционных портфелей в рамках средне-
дисперсионного подхода для случая, когда известна информация о моделях
ценообразования доходностей и их случайных составляющих, а также в
зависимости от доступности указанной информации в течение
инвестиционного горизонта.
Цель исследования заключается обосновании эффективности
построения управления инвестиционными портфелями в рамках средне-дисперсионного подхода с использованием информации о прогнозах доходностей активов и прогнозов матриц ковариаций случайных составляющих для случая одношаговых и многошаговых инвестиционных портфелей.
Цель соответствует решению задачи оптимального управления дискретными динамическими системами, находящимися под воздействием случайных возмущений, с аддитивным оптимизационным функционалом, подлежащим минимизации, при заданных значениях функции от фазовых координат на терминальном шаге и ограничении вида равенств на управляющие переменные.
В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:
-
Формализация и постановка одношаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем с учетом информации, предоставляемой теоретической моделью ценообразования доходностей финансовых активов – модель векторной авторегрессии. Построение оптимального управления инвестиционным портфелем. Сравнение характеристик оптимальных инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностей активов, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения.
-
Постановка и решение многошаговой задачи оптимального управления инвестиционным портфелем при наличии информации,
предоставляемой моделью ценообразования доходностей финансовых активов
и многомерной моделью волатильности случайных составляющих.
Определение программного управления инвестиционными портфелями и управления с обратной связью.
3. Сравнение характеристик оптимальных многошаговых
инвестиционных портфелей, построенных с учетом информации модели ценообразования доходностей и модели многомерной волатильности, и оптимальных средне-дисперсионных инвестиционных портфелей, построенных на основе модели геометрического броуновского движения, а также сравнение характеристик инвестиционных портфелей с программным управлением и управление с обратной связью.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы
использовались понятия и методы теории оптимального управления,
стохастической финансовой математики, теории эконометрики, теории
вероятности, линейной алгебры, а также методы компьютерного
моделирования.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту.
-
Формулировка многошаговой задачи управления инвестиционным портфелем в рамках средне-дисперсионного анализа при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности активов и волатильности случайных составляющих моделей ценообразования.
-
Определение оптимального управления указанными инвестиционными портфелями при отсутствии и наличии информации, поступающей в течение инвестиционного горизонта – построение программного управления и управления с обратной связью инвестиционными портфелями.
-
Инвестиционные портфели, построенные с использованием информации о прогнозах доходностей и прогнозах матриц ковариаций случайных составляющих, сформированных на основе оцененных многомерных моделей ценообразования доходностей и волатильности случайных составляющих, обладают меньшей дисперсией ошибки достижения целевой доходности по сравнению с портфелями, сформированными на основе модели геометрического броуновского движения.
-
Дисперсия ошибки достижения целевой доходности портфелей, управляемых по принципу обратной связи меньше, чем дисперсия ошибки портфелей с программным управлением.
-
Результаты численного моделирования и тестирования построенных управлений инвестиционными портфелями с использованием реальных данных различных финансовых рынков.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.
Теоретическая и практическая ценность. Разработаны динамические модели управления многошаговыми инвестиционными портфелями для случая,
когда цель инвестора заключается в достижении целевой доходности портфеля в конце инвестиционного горизонта при минимальной дисперсии ошибки достижения указанной цели. Указанные модели были разработаны при условии, что управляющему известна информация о моделях ценообразования доходности и волатильности случайных составляющих финансовых активов, составляющих портфель, а также в зависимости от доступности информации в течение инвестиционного горизонта.
Практическая ценность исследования состоит в том, что полученные результаты позволят портфельным управляющим снизить риски при управлении инвестиционными портфелями путем их формирования с учетом информации моделей ценообразования и волатильности.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: Ежегодных научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ (Москва, 2010, 2011, 2012), научно-практических семинарах «Системный анализ, управление и информационные системы» кафедр «Кибернетика МИЭМ» и «ВСиС МИЭМ» в МИЭМ НИУ ВШЭ (Москва, декабрь 2012, апрель 2013), научный семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» ЦЭМИ РАН (Москва, апрель 2013), научный семинар «Теория управления организационными системами» ИПУ РАН (Москва, июль, ноябрь 2013).
Разработанные модели управления инвестиционными портфелями используются Департаментом государственного долга и государственных финансовых активов Министерства финансов Российской Федерации в целях определения оптимальной структуры при размещении средств Резервного фонда и Фонда национального благосостояния в разрешенные финансовые активы, позволяющей минимизировать риски размещения средств российских суверенных фондов в рамках существующих ограничений, что способствует повышению эффективности размещения указанных средств. Внедрение подтверждено соответствующими документами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе в журналах из списка ВАК 3 статьи.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, основного текста, Заключения, Приложения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы, содержит 32 рисунка и 19 таблиц. Список литературы включает 143 наименование. Общий объем работы – 244 страницы, основной текст – 150 страниц.
Формирование портфелей с помощью моделей временных рядов
Типичный количественный поход прогнозирования доходностей заключается в построении линейных или нелинейных моделей, включающих в себя комбинации различных факторов, оценок и способов их сочетания и применения различных методик оценки входящих параметров, таких как метод наименьших квадратов или метода максимального правдоподобия.
Так как качество результатов портфеля в значительной степени зависит от входящих данных: матрицы ковариаций и ожидаемых доходностей активов и с учетом того, что характеристики рисковых активов и их взаимосвязи могут изменяться, то построение оптимального портфеля не может рассматриваться в отрыве от того как доходности и риск актива будут вести себя в будущем.
Для улучшения классических средне-дисперсионных портфелей Марковица, были предложены различные подходы, которые были призваны наиболее точно отражать характеристики современных финансовых инструментов [4, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 33, 41, 53].
Вопрос использования прогнозов в подходе Марковица был поднят, в том числе, и в работах Пожарлиева и Поласека, однако, только на практическом уровне и в рамках портфельной стратегии, оптимизирующей только дисперсию портфеля (global minimum variance, GMV). Принимая во внимание сложность построения хорошего прогноза доходности и значимость влияния ошибок на структуру оптимального портфеля, Пожарлиев и Поласек исследовали влияние ошибок при прогнозировании дисперсии и ковариации доходностей активов в рамках GMV портфеля. В исследовании [112] сравнивались характеристики GMV портфелей, построенных на основе различных прогнозов ковариационной матрицы, входящей в оптимизационную функцию GMV портфеля. Построение прогноза матрицы ковариаций осуществлялось на основе вспомогательной регрессионной модели Пагана и Шверта [108], при этом матрица ковариаций подразумевалась диагональной, и BEKK модели, разработанной Энглом и Кронером [59] и являющейся версией векторной ARCH модели (VARCH). Авторы показали, что веса GMV портфеля чувствительны к данным матрицы ковариации, таким образом, выбор модели оценки вариации будет отражаться на оптимальных весах портфеля и определять характеристики самого портфеля. Результаты исследования также показали, что портфели, построенные на основе моделей, предсказывающих дисперсию, могут показывать большую доходность, в случае правильного выбора модели. Авторы также предложили новое правило управления портфелем, иногда такие правила называют «Market Timing», в связи с тем, что они указывают на время вхождения или выхода из рынка. Ранее стратегию Market Timing для регрессионных моделей рассматривал Кохрейн [48]. Правило управления портфелем заключалось в следующем: если волатильность какого-либо актива превосходила его историческую волатильность в 2 раза, то такой актив включался в портфель, в противном случае средства инвестировались в безрисковые активы. Сравнение портфелей показало, что характеристики Market Timing портфеля превзошли все остальные портфели по средней доходности, наименьшей дисперсии и накопленному доходу.
В дальнейшем Пожарлиев и Поласек [113] также исследование характеристик GMV портфелей в зависимости от структуры матрицы ковариаций. Авторы заинтересовались вопросом существенности влияния информационных потерь, виде приравнивания ковариаций доходностей активов к нулю, на характеристики портфелей. Прогнозы матрицы ковариаций строились на основе одномерной ассиметричной GARCH модели (AGARCH), при этом подразумевалось, что структура матрицы ковариаций – диагональная, и двух вариантов BEKK модели с диагональной и полной структурой матрицы ковариаций. Идея введения AGARCH модели была обусловлена ассиметричностью поведения негативных шоков, являющихся источником дополнительного риска (на практике снижение цен происходит значительно быстрее, нежели их рост). Оценка коэффициентов AGARCH модели осуществлялась с помощью BHHH алгоритма, описанного Брендтом, Б. Халлом, Р. Халлом и Хаусманом [35]. Основные выводы исследования заключались в следующем. Потеря информации о ковариации не наносит значительного ущерба характеристикам портфеля, так как свойства портфеля в большей степени зависят от точности прогнозов дисперсии активов, нежели их ковариации. Выбор модели, предсказывающей волатильность, также важен для улучшения характеристик портфеля. - 23 Сложность построения хорошего прогноза доходности активов также подтверждается в статье Каррьеро, Капитаниоса и Марчеллино [41], в которой авторы исследовали временную структуру процентных ставок бескупонных казначейских облигаций США и характеристики портфелей. Основная цель авторов заключалась в изучении возможности прогнозирования доходностей казначейских облигаций с помощью таких моделей как линейная и векторная авторегрессии, модель Фамы и Блисса [65], модель Кочрана и Пиасесси [49] и собственной модели большой байесовской векторной авторегрессии (BVAR) и сравнении результатов прогнозов с прогнозами модели случайного блуждания. Результаты исследования показали, что только BVAR модель может значимо превзойти прогнозы модели случайного блуждания. Авторы также исследовали характеристики портфелей, построенных на основе подхода Марковица, учитывающего склонность инвестора к риску. Доходности активов портфеля прогнозировались на основе указанных выше моделей, а в качестве прогноза матрицы ковариаций авторы использовали ее выборочную оценку. Результаты исследования показали, что портфели, построенные на основе прогнозов случайного блуждания, показывают наилучшие результаты, а BVAR портфели заняли второе место, в то время как портфели, использовавшие прогнозы линейной и векторной авторегрессии, не смогли показать хорошие результаты, что авторы объясняют нестабильностью прогнозов указанных моделей.
В соответствии с классической портфельной теорией только рыночный портфель является эффективным портфелем. Однако, многие исследования свидетельствуют, что портфели, построенные только на основе минимизации дисперсии портфеля, называемые в иностранной литературе – global minimum-vatiance portfolio или GMV, часто показывают более лучшие вневыборочные характеристики по сравнению с характеристиками рыночного портфеля (см. [36, 46, 47, 102]). Обычно данные результаты объясняют высоким риском оценивания ожидаемой доходности по сравнению с ковариацией активов.
Доходность и дисперсия одношагового портфеля
Для построения портфеля Марковиц [93], основываясь на модели геометрического броуновского движения, предполагающего неизменность математического ожидания доходностей и их матрицы ковариаций, предложил использовать математическое ожидание доходности портфеля:
Подход Марковица, рассматривая случай, когда доходности активов являются стационарными случайными величинами, не использует информацию о возможном процессе ценообразования доходностей активов. В данном разделе рассмотрим случай, при котором доходности активов также будут стационарными величинами, но при этом они будут подчиняться определенной модели ценообразования — векторной авторегрессии к-го порядка, а формирование оптимального портфеля будет осуществляться на основе прогнозных значений указанной модели. Для упрощения будем рассматривать вариант прогнозирования в рамках теоретической модели (подробнее в Приложении 2.3.1). Рассмотрим структуру математического ожидания и дисперсии доходности портфеля, а также характеристики ошибок прогнозов доходностей портфелей.
Предположим, что инвестор находится в момент времени 7 и обладает информацией 1Т. Фактическая доходность портфеля в момент времени 7 + 1 есть: Ошибка прогноза доходности активов есть ет (l) = rT+l -rT (і) = rT+l -Е(гг+1 \ІТ) = ЄТ+1 , а математическое ожидание ошибки прогноза и матрица ковариаций ошибок равны соответственно (характеристики одношагового прогноза представлены в Приложении 2.3.1.1): Мерой риска портфеля, как и в подходе Марковица, будет выступать дисперсия его доходности. Так как управляющий формирует портфель на основе прогнозов доходностей активов, входящих в его состав, то риск для управляющего будет заключаться в отклонении фактической доходности портфеля от его прогнозного значения, т.е. в ошибке прогноза доходности портфеля в момент времени Т +1: В подходе Марковица вместо прогнозов доходностей активов используются математические ожидания доходностей активов, поэтому прогноз доходности портфеля совпадает с его математическим ожиданием и равен ш к) = ЕІРш к)) = со "гк , индекс «Мarb» в векторе весов портфеля будем использовать в целях указания на то, что портфель является портфелем Марковица. Веса активов в портфеле Марковица не являются случайными величинами.
Математическое ожидание ошибки прогноза доходности портфеля Марковица будет равно:
Таким образом, риск портфеля, при формировании которого используются прогнозы доходностей активов, заключается в наличии ошибок этих прогнозов. Чем точнее модель делает прогноз доходности активов, тем меньше риск портфеля. Риск портфеля для подхода Марковица связан с матрицей ковариаций доходностей активов, в то время как для портфелей, построенных на основе прогнозов доходностей активов - с матрицей ковариаций ошибок прогнозной модели.
Доходность портфеля в момент времени Т + \ можно переписать следующим образом:
Так как ряды доходностей стационарны, то E(rr(l)) = //.
Математическое ожидание фактической доходности портфеля равно соответственно:
Структура дисперсии Таким образом, дисперсия доходности портфеля (total portfolio variance, TPV) состоит из дисперсий двух портфелей, а именно из дисперсии ошибки прогноза доходности портфеля (error portfolio variance, EPV), которая образовалась вследствие наличия ошибок прогнозов модели, и дисперсии портфеля, предсказанной моделью ценообразования доходностей (forecast portfolio variance, FPV).
Классическая портфельная теория Марковица вместо прогнозов доходности активов использует математические ожидания доходностей ju, вследствие чего дисперсия портфеля состоит полностью из дисперсии ошибки прогноза доходности, т.е. TPV=EPV. Для случая, когда при построении портфеля используются прогнозные значения доходностей активов, т.е. информация IT, доступная на момент времени T, часть дисперсии портфеля будет описана самим прогнозом (FPV), а оставшаяся часть дисперсии портфеля (EPV) будет обусловлена ошибкой модели.
Программное управление многошаговым квази-оптимальным инвестиционным портфелем
В связи с тем, что инвестору известна информация о модели ценообразования доходности активов и многомерной модели волатильности, то программное управление будет заключаться в определении в момент времени t0 стратегии распределения средств портфеля по его активам на начало каждого момента времени te{t0,ti,…,tT-i} в течение заданного количества шагов Т. В начале каждого из Т периодов инвестор будет перераспределять средства портфеля среди его активов в соответствии со стратегией, выработанной в начальный момент времени t0, не принимая во внимание вновь поступающую информацию в течение инвестиционного горизонта.
Описание многошаговой задачи управления квазиоптимальным портфелем с программным управлением Пусть эволюция доходности портфеля описывается следующим уравнением: Введем условие нормировки весов активов портфеля, которое должно выполняться на начало каждого момента времени ґ. Введем обозначения условной доходности портфеля и прогноза вектора доходностей активов: Зафиксируем ожидаемую целевую доходность портфеля на терминальном шаге tT, которую мы бы хотели получить в результате управления: Указанную целевую доходность мы будем стремиться достичь при условии, что условная дисперсия фактической доходности портфеля, а точнее говоря, что будет показано в дальнейшем, дисперсия отклонения фактической доходности портфеля от его целевого значения, то есть дисперсия ошибки доходности портфеля, будет минимальной: Пусть et=rt-rtt вектор ошибок прогноза доходности активов портфеля, описание характеристик ошибок приведено в разделе 2.1.3. Для случая наличия в остатках одновременной корреляции и гетероскедастичность:
Таким образом, условная дисперсия доходности портфеля:
В зависимости от того существует автокорреляция ошибок доходностей портфеля или нет, могут рассматриваться две различные задачи, которые были описаны ранее.
Оптимизационная задача управления многошаговым квазиоптимальным портфелем с программным управлением
В работе будет рассмотрена задача управления портфелем при условии отсутствия автокорреляции ошибок доходностей портфеля, это позволит задать целевой функционал в аддитивном виде и получить результат - определить оптимальное управление портфелем, в явном виде. Цель инвестора заключается в достижении целевой доходности портфеля на терминальном шаге при минимальной дисперсии ошибки доходности.
Входные данные: Т – кол-во шагов, за которое портфель должен достичь целевой доходности - инвестиционный горизонт портфеля;
M – ожидаемая целевая доходность, которую портфель должен достичь на терминальном шаге;
. Схема программного управления многошаговым инвестиционным портфелем В рамках теории автоматического управления схема программного управления инвестиционным портфелем представлена на рис. 3.2.2. В качестве объекта управления будет выступать инвестиционный портфель. z, - состояние системы, р() преобразование входа, А() - преобразование состояния, Ч () -преобразование выхода. mt - структура портфеля, которая будет выступать в качестве управления.
В связи с тем, что доходности и волатильности активов подчиняются определенным процессам ценообразования, то приведенная задача относится к типу задач оптимизации дискретных многошаговых систем в условиях неопределенности (линейные системы с квадратичным целевым функционалом) при заданных значениях функций от фазовых координат на терминальном шаге и ограничениях в виде равенств на управляющие переменные.
Подход определение оптимального управления при наличии ограничения вида неравенства в значении функции от фазовых координат на терминальном шаге приведено в разделе 2.2.3 с учетом особенности задачи 3.4.1 в замен задачи из приложения 1.4.
Влияние размерности модели векторной авторегрессии на характеристики инвестиционных портфелей
Раздел посвящен исследованию влияния размерности модели ценообразования активов на характеристики квази-оптимальных портфелей. Очевидно, что от качества модели ценообразования зависят характеристики квази-оптимальных портфелей, чем модель точнее формирует прогнозы, тем более оптимальны характеристики портфелей. С одной стороны, увеличение числа лагов положительно влияет на точность описания данных, а, следовательно, на формирование прогнозов. Таким образом, увеличение размерности модели должно приводить к улучшению характеристик портфелей, построенных на их основе. С другой стороны, значимость оценок коэффициентов моделей тесно связано с длиной временных рядов, на основе которых производится оценивание модели. Так как длины временных рядов ограничены, то коэффициенты больших по размерности моделей могут быть недостаточно точно оценены, что в свою очередь отрицательным образом скажется на качестве прогнозов и характеристиках портфелей в дальнейшем. Исходя из этого, может быть сформулирована следующая задача: определение оптимального размера модели, такого, что характеристики квази-оптимального портфеля, построенного на ее основе, значимым бы образом не отличались от характеристик портфелей, сформированных на основе моделей с большей размерностью. Одновременно с указанной задачей может быть поставлена задача определения размерности модели в зависимости от инвестиционного горизонта квази-оптимального портфеля.
Решение поставленной задачи осуществлялось на основе исследования выборочных характеристик квази-оптимальных портфелей, состоящих из двух активов - MSCI North America Standard Index (индекс North America) и MSCI Europe Standard Index (индекс Europe). Построение портфелей осуществлялось таким же образом, как и в разделе 4.2.2 Многошаговые инвестиционные портфели. Квази-оптимальные портфели строились с инвестиционным горизонтом Т от 1 до 10 шагов вперед. После окончания инвестиционного горизонта портфельные стратегии переформировывались в соответствии с новыми данными. Для каждого инвестиционного горизонта целевые доходности рассчитывались таким образом, чтобы их можно было сравнивать между собой: Целевая доходность T , M) = MхT, где М - доходности, лежащие в интервале от 0 до 0.05 с шагом 0.0005.
Исследование характеристик портфелей проводилось на основе внутришаблонного моделирования, то есть формирование прогнозов и построение оптимальных портфелей производилось на тех же данных, на которых оценивались модели. Это позволяет получить более устойчивые характеристики портфелей.
Исследование проводилось на основе данных, описание которых приведено в разделе 4.2 Характеристики портфелей, построенных на основе реальных данных. Для построения прогнозов доходностей использовались VAR модели с величиной лага от 1 до 6, а для формирования условных матриц ковариаций ошибок указанных прогнозов - диагональная BEKK(1,1) модель. Так как модели будут отличаться между собой только величиной лага VAR модели, то для упрощения записи VAR(k)-BEKK(1,1) модели будем обозначать VAR(k). Портфели будем именовать по названию моделей, используемые для их построения. Так VAR(k) портфелями будут называться портфели, формирование которых основывалось на прогнозах VAR(k)-BEKK(1,1) модели.
Наилучшей из моделей, по совокупности характеристик, является VAR(2) модель, так как она обладает, среди прочих моделей, максимальным значением функции правдоподобия, минимальными значениями критериев Акайке и Хана-Квина, наибольшими значениями приведенного коэффициента детерминации и наименьшими значениями стандартных отклонений остатков. По аналогичным основаниям, VAR(6) является моделью аутсайдером, VAR(1) модель обладает наихудшими характеристики для описания Индекса MSCI Европа.
Для определения близости характеристик различных моделей, данные табл. 4.3.1 были стандартизированы (из каждого значения соответствующей характеристики вычиталось среднее значение указанной характеристики и разность делилась на стандартное отклонение характеристики), и проведен их сравнительный анализ на основе кластеризации, осуществленной на основе евклидовой меры расстояния между кластерами. На рис. 4.3.1 представлено кластерное дерево. Из представленного рисунка можно заключить следующее: во-первых, VAR(3) и VAR(4), VAR(5) и VAR(6) модели схожи по своим характеристикам, во-вторых, VAR(1) модель, несмотря на то, что она не была признана моделью аутсайдером по своим характеристикам, наиболее сильно отличается от прочих моделей, в-третьих, VAR(2) модель, обладающая наилучшими характеристиками среди прочих, находится ближе к модели аутсайдеру – VAR(6) модели, нежели к VAR(1).
Исходя из анализа характеристик моделей можно заключить, что наилучшей моделью является VAR(2), в то время как VAR(1) и VAR(6) модели являются моделями аутсайдерами.
