Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аспекты портфеля проектов в рамках задачи рационального размещения ограниченных ресурсов 17
1.1. Понятие финансового потока как ключевого инструментария исследований 17
1.2. Первый этап построения математической модели портфеля проектов 22
1.3. Портфель проектов в различных практических приложениях 26
1.3.1. Портфель проектов на фондовом рынке 26
1.3.2. Портфель страховых проектов 29
1.3.3. Портфель издательских проектов 32
1.3.4. Портфель проектов недвижимости 33
1.3.5. Портфель проектов научных исследований 35
1.4. Программные продукты для исследования портфеля проектов 38
1.5. Примеры математических моделей портфеля проектов 40
1.5.1. Математические модели Марковица, Келли и Шарпа в задаче оптимального управления портфелем проектов 41
1.5.2. Недостатки моделей Марковица, Келли и Шарпа 43
1.6. Пулеобразные множества для портфеля фондовых проектов 44
1.7. Исторические предпосылки к формированию самостоятельного направления по решению многокритериальных задач 47
1.8. Идейная сторона многокритериальной оптимизации 48
Выводы по первой главе 49
ГЛАВА 2. Методы оптимального формирования портфеля проектов 50
2.1. Временная структура процентных ставок и функции r(t), r'(t), r+(t) 50
2.2. Критерии эффективности проектов 53
2.2.1. Критерии эффективности проекта для случая постоянной процентной ставки на интервале времени жизни проекта 54
2.2.2. Критерии эффективности проекта для случая изменяющейся процентной ставки на интервале времени жизни проекта 58
2.2.3. Нестандартные критерии эффективности проектов 60
2.3. Отношения между проектами, структурные операции над проектами и оператор оценивания эффективности произвольного проекта 62
2.3.1. Отношения равенства и неравенства проектов 63
2.3.2. Операция последовательного соединения проектов 66
2.3.3. Операция последовательного соединения проектов с временным сдвигом 67
2.3.4. Оператор оценивания эффективности произвольного проекта 71
2.3.5. Отношение предпочтения между проектами 72
2.4. Понятия конструктора и проекта-конструкции 74
2.5. Методы определения наилучшего проекта-конструкции или оптимального портфеля проектов 76
2.5.1. Метод определения наилучшего проекта-конструкции на основе отношения предпочтения 76
2.5.2. Методы определения наилучшего проекта-конструкции в рамках оптимизационной техники 77
2.5.3. Методы определения наилучшего проекта-конструкции на основе решающих правил 79
2.5.4. Метод определения наилучшего проекта-конструкции на основе функции расстояния 81
2.5.4.1. Свойства функции расстояния 83
2.5.4.2. Виды функций расстояния 84
2.6. Итоговая математическая модель портфеля проектов 86
2.7. Сводная таблица критериев сравнения проектов 87
Выводы по второй главе 89
ГЛАВА 3. Методы оценивания риска портфеля проектов. алгоритмы нахождения оптимального портфеля проектов 91
3.1. Понятие риска и методы оценивания риска 91
3.1.1. Риски портфеля проектов 92
3.1.2. Отношения на множестве исходных проектов П и на множестве проектов-конструкций Пс 104
3.2. Концептуальная схема выбора наилучшего проекта-конструкции 108
3.3. Алгоритмы нахождения оптимального портфеля проектов 112
3.3.1. Алгоритм «А» нахождения оптимального портфеля проектов 113
3.3.2. Блок-схема алгоритма «А» 114
3.3.3. Алгоритмы направленного перебора для нахождения наилучшего проекта-конструкции 114
3.3.3.1. Алгоритм «В» направленного перебора для нахождения наилучшего проекта-конструкции в смысле критерия NFV 114
3.3.3.2. Алгоритм «С» направленного перебора для нахождения наилучшего проекта-конструкции в смысле критерия IRR 120
3.4. Методика, заложенная в алгоритм «А» 122
3.5. Пулеобразные множества для портфеля произвольных инвестиционных
проектов 144
Выводы по третьей главе 153
ГЛАВА 4. Применение математического и программного обеспечения системного анализа портфеля проектов 155
4.1. Расчёт показателей эффективности проекта, связанного с обслуживанием пластиковых карт 155
4.2. Расчёт дохода и оценивание рисков процесса изготовления строительных конструкций 162
Выводы по четвёртой главе 173
Заключение по работе 174
Список использованной литературы
- Портфель проектов в различных практических приложениях
- Критерии эффективности проекта для случая постоянной процентной ставки на интервале времени жизни проекта
- Метод определения наилучшего проекта-конструкции на основе отношения предпочтения
- Отношения на множестве исходных проектов П и на множестве проектов-конструкций Пс
Введение к работе
Современное состояние и актуальность темы исследования
Проблема рационального размещения ограниченных ресурсов возникала перед людьми с древних времён. В исторических летописях относящихся к становлению цивилизаций, можно найти такие изречения, как: «не складывайте яйца в одну корзину» или «каждому грибу свой кузовок». Очевидно, что с начала зарождения человечества и почти до середины двадцатого века данная проблема решалась на уровне житейских соображений и интуитивных умозаключений при отсутствии серьёзной расчётной базы, представленной, по , большей степени, математическим аппаратом, который был не в состоянии адекватно учесть природу стохастических процессов.
С одной стороны, правильным будет назвать проблему рационального размещения ограниченных ресурсов задачей принятия решений в условиях вероятностной неопределённости и, соответственно этому, вырабатывать адекватные модели и методы решения данной задачи. С другой стороны, в современной научной среде твёрдо себя зарекомендовал и устоялся термин -портфельный анализ, в рамках которого происходит исследование различных аспектов портфеля: диверсификации портфеля, динамического управления портфелем [22, 23], рисков портфеля [62].
Достаточно точно можно отметить момент возникновения современного
портфельного анализа, датировав его 1952 годом, когда появилась на свет
работа [125] под авторством Гарри Марковича, которого в данном
направлении исследований, по праву, можно считать первопроходцем. Модель
[$ Марковича, несмотря на свою простоту, позволила ухватить основные черты
финансовой области и послужила инвестору инструментарием в выработке и принятии более адекватных и рациональных инвестиционных решений вплоть до восьмидесятых годов двадцатого века.
С тех пор портфельный анализ существенно изменился, всё больше
принимая черты самостоятельной научной дисциплины - теории портфеля, в
рамках которой были предложены подходы по оцениванию риска портфеля
[55, 56, 62, 63, 70], введены в обращение новые финансовые инструменты
* (фьючерсные и опционные контракты) [103, 108, 116, 117, 127] и определены
практические приложения (фондовый портфель, страховой портфель, портфель недвижимости и т.д.) портфельной теории.
На современном этапе остаётся действенной классическая ветвь портфельного анализа, использующая моменты распределений до второго порядка включительно, также используются общие схемы портфельного анализа, формально представленные задачами оптимизации [62].
Нельзя не подчеркнуть момент, связанный с тем, что становление портфельной теории, её первые шаги, существенно связаны с приложениями на фондовом рынке [124]-[126]. Однако, рассматривая портфель, компонентами которого могут быть различные по своей природе объекты, исследователь остаётся по-прежнему в рамках теории портфеля, только при этом, в фокусе внимания исследователя находится портфель проектов. В качестве произвольного проекта такого портфеля может фигурировать проект фондового рынка, т.е. направление инвестирования в финансовые инструменты конкретного вида. Другим произвольным проектом портфеля может быть проект рынка недвижимости, иначе говоря, частное (конкретное) направление инвестирования на рынке недвижимости. Третьим произвольным проектом портфеля может быть издательский проект, т.е. направление инвестирования в определённый вид полиграфической продукции. В портфель проектов могут входить и другие потенциально пригодные для инвестиций проекты. Механизм инвестирования в фондовые проекты можно найти, например, в [1, 12, 14, 74,
'* 79, 99, 101, 111, 113, 114, 116, 117, 120, 123, 124, 131, 135, 136], в проекты
недвижимости, например, в [5,17,18,21,28,36, 64, 80, 81], [96]-[98], [115,132], в издательские проекты, например, в [26,27,33,34,37,38, 61,82,104,106].
8 С точки зрения системного подхода, портфель проектов как система «часть-целое», в которой целое есть портфель, а проекты - части данной системы, можно предполагать, что данная система относится к интегративным системам, которые являются органично целыми, т.е. представляют собой подлинные целостности. Интегративные системы отличаются следующими особенностями:
а) они приобретают некоторые новые свойства по сравнению с входящими
в них предметами, т.е. свойства, принадлежащие именно всей совокупности как
целому, а не её отдельным частям;
б) связи между их элементами имеют законосообразный характер;
в) они придают своим элементам такие свойства, которыми элементы не
обладают вне системы.
В России, исследованием и решением портфельных задач занимаются
следующие представители научной среды: коллектив во главе с П. Л.
Виленским, В. Н. Лившицем и С. А. Смоляком (Москва) [11], профессор Е. М.
Бронштейн (Уфа) [6]-[8], группа А. А. Новосёлова (Красноярск) [62, 63, 71, 73],
исследователи под руководством А. А. Наумова (Новосибирск) [41]-[57], [72,
128], В. В. Домбровский (Томск) [22]-[24], А. О. Недосекин (Санкт-Петербург)
[59], профессор С. С. Артемьев (Новосибирск) [3, 4] и др. Исследования
проводятся при помощи различного математического аппарата - линейной
алгебры, случайных процессов, нечётких множеств, вычислительной
математики. При этом разрабатываются более чёткие стандарты (форматы)
возможных операций (сцепление проектов, объединение проектов,
оптимизация финансовых потоков по проекту и др.) над компонентами
портфеля проектов с учётом того, что последний представляет собой
интегративную систему с описанными выше свойствами, а также
* совершенствуется соответствующая расчётная база таких операций.
Несмотря на сложности становления российской экономики, в рамках экономико-инвестиционного пространства развивается деятельность частных предпринимателей, посреднических структур, фирм, связанная с решением
9
такой проблемы как потребление-инвестирование, которая в свою очередь
разбивается на задачи потребления-сбережения и размещения. Такое деление
выливается в факт того, что потенциальными объектами инвестиций являются
объекты различных инвестиционных направлений, т.е. объекты инвестиций
w различной природы. Как следствие этого факта, в фокусе внимания
исследователей и участников экономико-инвестиционного пространства всё чаще находится портфель, именно, проектов, который по своей сути является гибким инструментом, реализующим возможности для размещения и управления капиталом и исследование такого портфеля является актуальной задачей.
Целью работы является исследование и анализ системы портфель проектов, с расчётом формирования альтернативных вариантов управления данной системой согласно различным критериям эффективности в условиях вероятностной неопределённости.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
Разработать теоретические основы системного анализа портфеля проектов;
Разработать критерии оценки эффективности решения задач управления портфелем проектов;
Разработать методы и алгоритмы решения задач управления портфелем проектов;
Разработать математическое и программное обеспечение для решения задач системного анализа портфеля проектов.
Объектом исследования являются системные связи и закономерности
функционирования и развития процессов в экономике с учётом отраслевых особенностей, ориентированные на повышение эффективности управления.
10 Предметом исследования является разработка и исследование методов построения эффективного портфеля инвестиционных проектов.
Методы исследования
В качестве аппарата исследования используется методология системного анализа, построенная на основе элементов: теории множеств, теории вероятностей, математической теории риска, статистического моделирования, инструментария исследования операций, в сочетании с методами оценивания эффективности инвестиционных проектов.
Научная новизна диссертационных исследований
В рамках диссертационных исследований получены следующие новые результаты:
Разработана теоретическая основа системного анализа портфеля проектов: математическая модель портфеля проектов; отношения (равенства, неравенства, предпочтения) между проектами; структурные операции (сцепления, сцепления с временным сдвигом) над проектами; оператор оценивания эффективности произвольного проекта; введено понятие конструктора новых проектов; введено понятие проекта-конструкции;
Разработаны способы (методы) решения задач управления портфелем проектов на основе: метода, использующего отношение предпочтения; метода главного критерия; метода, использующего критерий свёртки; методов, использующих решающие правила; метода, использующего функцию расстояния;
Разработаны критерии оценки эффективности решения задач управления портфелем проектов, т.е. подходы по оцениванию рисков портфеля проектов,
и
построены концептуальная схема и алгоритмы решения задач управления портфелем проектов;
4. Решены практические задачи управления портфелем проектов: задача по
расчёту показателей эффективности проекта, связанного с обслуживанием
w пластиковых карт; задача расчета дохода и оценивания рисков процесса
изготовления строительных конструкций;
5. Установлены системные связи между риском, доходом и временем
реализации проекта.
Основные положения, выносимые на защиту:
+
1. Теоретические основы системного анализа портфеля проектов;
Методы решения задач управления портфелем проектов;
Критерии оценки эффективности решения задач управления портфелем проектов;
Апробация теоретических разработок для решения практических задач.
Теоретическая и практическая значимость:
1. Разработанная теоретическая основа, методы, критерии оценивания
эффективности решения задач управления портфелем проектов могут быть
использованы для создания программного обеспечения способного решать
спектр задач портфельного анализа (в том числе определять оптимальный
портфель проектов на множестве проектов различной природы);
^ 2. Разработанный унифицированный способ записи (в виде портрета проекта)
внутренней структуры произвольного инвестиционного проекта является удобным и практичным способом представления структур данных при программной реализации алгоритмов решения задач портфельного анализа;
Предложенная концептуальная схема нахождения наилучшего проекта-конструкции служит руководством к действию для разработки алгоритмов при нахождении оптимального портфеля проектов;
Теоретические результаты диссертационной работы представляют пользу в преподавании на факультетах Прикладной математики в рамках лекционных курсов и лабораторных работ по предметам «Исследование операций», «Математическая теория риска», «Методы оптимизации», а также в преподавании экономико-математических дисциплин на экономических факультетах университетов.
Обоснованность и достоверность
Обоснованность и достоверность проведённых исследований обеспечивается:
аналитическими и графическими методами получения результатов;
тестированием разработанных программных средств;
результатами статистического моделирования;
экспертными оценками полученных результатов.
Личный творческий вклад автора
Личный творческий вклад автора заключается в непосредственном участии в проведённых исследованиях, которые воплотились в диссертационную работу, а также в написании публикаций, в выступлениях на конференциях и конгрессах, в построении математической модели портфеля проектов, в разработке программного обеспечения, позволяющего решить практические задачи, в обобщениях и анализе полученных результатов исследования.
13 Апробация работы
Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях и конгрессах: Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных проходившей 12-15 апреля 2005 года в МГУ имени М. В. Ломоносова {тезисы [93]), пятой казахстанско-российской Международной научно-практической конференции по математическому моделированию научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности проходившей 7-10 октября 2005 года в городе Атырау {тезисы [57]), Всероссийской научной конференции по информационным технологиям в науке, образовании и экономике проходившей 28 ноября - 1 декабря 2005 года в городе Якутске {тезисы [54] и стендовый доклад объёмом в 10 страниц); двенадцатой ежегодной Международной конференции по статистике, комбинаторике, математике и приложениям проходившей 2-4 декабря 2005 года в городе Оберне, штат Алабама, США {тезисы [128]); на четвёртом Всесибирском конгрессе женщин-математиков имени Софьи Васильевны Ковалевской проходившем 15 - 18 января 2006 года в городе Красноярске {тезисы [41]-[44] и выступление на конгрессе), на пятой Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам проходившей 3-5 марта 2006 года в городе Красноярске {тезисы [49], выступление с пленарным докладом и стендовый доклад объёмом в 8 страниц), Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных проходившей 12-15 апреля 2006 года в МГУ имени М. В. Ломоносова {тезисы [89,91]).
Публикации
В рамках диссертационных исследований опубликовано 16 публикаций в объёме 6,5 печатных листов.
14 Общая характеристика, структура и объём диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников, приложений и списка использованных обозначений.
В первой главе изложение начинается с рассмотрения одного из ключевых понятий исследований - финансового потока, рассматриваются виды финансовых потоков, вводится понятие точки финансовой активности. Начинается построение математической модели портфеля проектов, и вводятся в рассмотрение её начала (составные части): множество точек финансовой активности, входящий и исходящий финансовые потоки и кортеж, который объединяет эти составные части. Также вводится понятие портрета проекта, помогающее описать внутреннюю структуру произвольного инвестиционного проекта. Далее, изучается преемственность введённых составных частей модели портфеля проектов в различных предметных областях: на фондовом рынке, в страховом деле, в издательской деятельности, на рынке недвижимости и на рынке инвестиций в интеллектуальную собственность (науку). Проводится обзор программного обеспечения, используемого для анализа портфеля проектов. Далее рассматриваются математические модели Марковича, Келли и Шарпа применительно к решению задачи оптимального управления портфелем проектов и отмечаются недостатки этих моделей. Рассматривается понятие пули Марковича, которая изначально строилась для фондовых портфелей. Пуля Марковича поясняется как множество точек отображаемых на критериальной плоскости риск/доход, которые вырисовывают данную пулю. Так как задача нахождения оптимального портфеля проектов является многокритериальной, то рассматривается идейная сторона многокритериальной оптимизации. Первая глава завершается выводами.
Отталкиваясь от материала первой главы, в которой введены начала математической модели портфеля проектов, вторая глава развивает эту модель до самостоятельного аппарата исследований, позволяющего анализировать
15 портфель проектов как систему. Вводятся в рассмотрение показатели эффективности (критерии) Qx, Q2, ..., QM инвестиционных проектов, и изучается влияние временной структуры процентных ставок (определяемой функциями r(t), r~(t), r+(t)) на аналитический вид данных показателей.
Продолжением второй главы служит материал, касающийся отношений равенства, неравенства, предпочтения между проектами, структурных операций сцепления и сцепления с временным сдвигом над проектами и оператора оценивания эффективности произвольного проекта. Вводится понятие конструктора, который помогает получать проекты-конструкции и занимает центральное место во всей процедуре нахождения оптимального портфеля проектов. Затем строятся и излагаются различные методы нахождения оптимального портфеля проектов. Постулируется итоговая математическая модель портфеля проектов и формируется сводная таблица критериев сравнения проектов. Вторая глава завершается выводами.
В третьей главе разрабатываются подходы по оцениванию риска портфеля проектов и строятся алгоритмы нахождения оптимального портфеля проектов. Разрабатывается концептуальная схема нахождения наилучшего проекта-конструкции. На основе пулеобразных множеств изучаются системные связи между риском, доходом и временем в системе портфель проектов. Заканчивается третья глава выводами.
Четвёртая глава содержит результаты применения теоретических и программных разработок диссертационных исследований при решении практических (прикладных) задач, связанных с управлением портфелем проектов. В четвёртой главе решены: задача расчёта показателей эффективности проекта по обслуживанию пластиковых карт и задача расчёта дохода и оценивания риска процесса изготовления строительных конструкций. Заканчивается четвёртая глава выводами.
Следующей структурной частью диссертации является заключение, которое содержит основные выводы по работе. Последовательно завершают
диссертацию структурные части: список использованной литературы, приложения и список использованных источников.
Объём диссертации составляет 175 страниц. Диссертация содержит 84
рисунка, 24 таблицы, 11 приложений. В работе использовано 137 литературных
* источника.
Портфель проектов в различных практических приложениях
Рассматривается всё многообразие финансовых инструментов , которые обращаются на фондовом рынке в рамках организованной торговли на специализированных фондовых и товарно-сырьевых биржах, перечень которых приведён в приложении А диссертационной работы.
К финансовым инструментам относятся банковский депозит3 и различные ценные бумаги: векселя, облигации, акции, производные ценные бумаги [83, 103, 116, 117]. Более подробная классификация финансовых инструментов согласно различным признакам, а также некоторые подходы и методы по оцениванию финансовых инструментов имеются, например, в источниках [19, 29, 30, 83, 92, 102, 103, 116, 117], а также в приложении Б диссертационной работы.
Пусть определены направления инвестирования на фондовом рынке, согласно каждому из которых осуществляется покупка/продажа определённого вида финансовых инструментов. Например, если на фондовом рынке обращаются акции видов Л,, А2, ..., AN, то самостоятельным направлением инвестирования считаем покупку/продажу акций вида Аг Покупка/продажа акций вида А2 определяет инвестиционную деятельность в другом самостоятельном направлении инвестирования на фондовом рынке. Аналогичным образом определяются направления инвестирования и в другие виды финансовых инструментов, не связанные с акциями.
Обозначенные выше направления инвестирования в виды финансовых инструментов ассоциируются с проектами фондового рынка - фондовыми проектами. Эти проекты обозначим Pr,SP, Prf, ..., PrJ и объединим в единое множество фондовых проектов nsp sp,Pr2sp,...,PrJ}, (1.6) где N есть количество направлений инвестирования в финансовые инструменты видов Pif, Prf, ..., PrJ. Верхний индекс «SP» в выражении (1.6) есть аббревиатура от английских слов «Security Portfolio» (см. [83]), что в переводе с английского языка означает «фондовый портфель». На основе множества nSP можно формировать оптимальный портфель проектов фондового рынка, т.е. оптимальный портфель фондовых проектов.
На сегодняшний день исследование портфеля финансовых инструментов (портфеля фондовых проектов) является бурно развивающимся направлением финансовой теории и инженерии [1, 12, 14, 74, 79, 99, 101, 111, 113, 114, 117, 120, 123, 124, 131, 135, 136]. Примером динамического управления фондовым портфелем могут быть, например, работы [22,23].
Используя систему обозначений раздела 1.1, а также терминологию фондового рынка поясним выражения (1.1)-(1.5) для случая, когда элементы множества (1.1) суть фондовые проекты. Для этого из множества фондовых проектов (1.6) выберем произвольный проект PrSP, PrSPenSP. Последний характеризуется кортежем Prsp =(l p,5SP, p), поэтому поясним смысл элементов этого кортежа в терминах фондового рынка. Посредством множества Ts? обозначим множество моментов финансовой активности / sp={/sp,o /sp,i - pK в которые покупаются/продаются финансовые инструменты вида Prsp. Момент времени /sp0 есть момент начала работы с инструментами вида Prsp, а момент времени /SP sp есть момент окончания работы с этим видом инструментов. Элементы множества SSP формируют входящий (инвестируемый, затратный) поток 5SP = {S (/Sp0),5 (/Sp1),...,iS(/Sp sp)} в проект PrSP и моменты времени /SP0, /SP), ..., tSPimsp соответствуют покупке финансовых инструментов вида PrSP. Подпотоки S(tSP0), S(fspl), ..., S p ) это вложения в финансовые инструменты вида PrSP, т.е. в фондовый проект Prsp. Элементы множества Tsp формируют исходящий (доходный) поток psp = {p(tsp.o) p{tsp,\) - P(tsp SP)} фондового проекта PrSP. При этом моменты времени /SP0, tspl, ..., /SP p ассоциируются с моментами продажи финансовых инструментов вида PrSP. Величины подпотоков P(tSPfi), P(hp,\) » ( р) -это доходы (притоки) капитала, получаемые от продажи финансовых инструментов вида Prsp, т.е. от фондового проекта PrSP. Необходимо отметить, что в моменты времени t№fi, tSPl, ..., ts?/n$p могут наблюдаться и затратные s(ts?0), S(ts?i), ..., Sf sp p) и доходные P(rSP1), P(ts?x),..., P(tSP m&p) подпотоки одновременно. - Таким образом, в данном подразделе диссертационной работы начала (составные части) (1.1)-(1.5) математической модели портфеля проектов рассмотрены применительно к фондовому рынку, в рамках которого возможно формировать оптимальный портфель фондовых проектов.
В данном подразделе выражения (1.1)-(1.5) интерпретируются в рамках страхового дела. В качестве элементов множества (1.1) понимаются направления страхования. Анализ страхового портфеля встречается, например, в источниках [15, 69,105, 109].
Необходимо привести базовые определения страхового дела для ясности понимания. Рассмотрим определения двух основных участников страховой деятельности - страховщика и страхователя, которые взаимодействуют друг с t другом. Согласно информации, имеющейся в источнике [15], первая категория - страховщик, поясняется посредством следующего
Критерии эффективности проекта для случая постоянной процентной ставки на интервале времени жизни проекта
В данном подразделе в обозначениях показателей эффективности используется нижний индекс, в виде арабской цифры «1». Нижний индекс в виде «1» по смыслу означает то, что формула показателя эффективности представлена для случая, когда значения функций r (t) и r+(t) суть постоянные для всего интервала времени жизни [t0,tm] проекта Рг, т.е. справедливо r-{f) = v и r+(t) = r+ при /е [ „,/„]. Здесь г- и г+ суть константы. щ Таким образом, рассмотрим показатели эффективности для случая постоянного значения процентной ставки на интервале времени [/„,/„].
Показатель NPV,(Pr) - чистая текущая стоимость (Net Present Value), является основным из классических показателей эффективности инвестиционного проекта Рг. В основе NPV,(Pr) лежит факт того, что стоимость денег с течением времени объективно или субъективно уменьшается (см., например, [56]). Объективно - из-за инфляции и других внешних факторов, субъективно - из-за того, что существует возможность вложить деньги в альтернативные, связанные с меньшим риском и большей доходностью проекты (см., также [56]). Проект Рг считается эффективным, если показатель NPV, (Рг) больше нуля, т.е. NPV, (Рг) 0.
Расчётная формула показателя NPV,(Pr), когда процентная ставка постоянная для всего интервала времени жизни [t0,tm] проекта Рг, имеет вид Hh) Цг+r-f NPV,(Pr) = (2.2)
В формуле (2.2) и в формулах для других показателей эффективности (если не оговаривается иное) интервал [t„tM) равен одному году / = 0,1,...,т-1 и г есть годовая ставка.
Следующим показателем, основанным на идее дисконтирования, является показатель IRR, (Рг) - внутренняя ставка доходности (Internal Rate of Return). Формула показателя IRR, (Рг) имеет вид IRR,(Pr) = г\-М =о =о(1 + Г") " (2.3)
Считается, что проект Ргр, Ргр е П предпочтительнее проекта Pr?, rq е П, если показатель эффективности IRR,(Prp) больше показателя эффективности IRR Pr,). Далее рассматривается классический показатель - PI,(Pr) (Profitability Index), равный отношению дисконтированного чистого денежного потока проекта Рг к инвестициям в этот проект. Как правило, предполагается, что вложения в проект Рг производятся в полном объёме на нулевом шаге расчёта.
В качестве основного показателя эффективности инвестиционного проекта Рг можно использовать показатель SPP(Pr) - простой срок окупаемости (Simple Payback Period). Для проекта Рг показатель SPP(Pr) равен периоду времени, за который инвестиции (затраты) в проект Рг покрываются прибылями от функционирования этого проекта. Показатель SPP(Pr) вычисляется по формуле SPP(Pr) = р = тт(р р е {0,1,...,ш}) У-фр+1 т (,4) О (2.8) где индекс р определяет момент времени tp=tf? r\ который и является сроком окупаемости проекта Рг.
Показатель эффективности DPP,(Pr) - дисконтированный срок окупаемости (Discount Payback Period) проекта Рг - это период времени, по истечение которого дисконтированные инвестиционные затраты окупаются и значение показателя эффективности NPV,(Pr) становится неотрицательным. Значение показателя DPP, (Рг) вычисляется по формуле DPP,(Pr) = р = тт(р \р е{0,\,...,т}) p{p-p+1 mm(\+r-)k (2.9) DPP(Pr) « где индекс р определяет момент времени tp=tp , который и является дисконтированным сроком окупаемости проекта Рг.
Классической характеристикой эффективности проекта Рг, использующей операцию компаундирования (наращивания), является показатель NFV,(Pr) чистая будущая стоимость (Net Future Value) проекта Рг. Формула для расчёта показателя NFV, (Рг) определяется выражением NFV,(Pr) = ; (Ox(l + r+p], к=0 (2.10)
В завершении данного подраздела напомним, что нижние индексы в виде арабской цифры «1» в обозначениях показателей эффективности NPV,(Pr), IRR,(Pr), PI,(Pr), PI ,(Pr), Ratio,(Pr), DPP,(Pr), NFV,(Pr) по смыслу означают, что формула показателя эффективности приводится для случая, когда значения функций r (t) и r (t) суть постоянные для всего интервала времени жизни [t0,tm] проекта Рг, т.е. r(t) = r и r+U) = r+ при te[t0,tm], где г и г+ суть константы.
В данном подразделе в обозначениях показателей эффективности используется нижний индекс, в виде арабской цифры «2». Индекс в виде «2» по смыслу означает то, что формула показателя эффективности приводится для случая, когда значения функций г it) и r+(t) изменяются на интервале времени жизни [t0,tm] проекта Рг. Таким образом, рассмотрим показатели эффективности для случая переменного значения процентной ставки на интервале времени [t0,tm].
Выберем проект Рг множества П, РгеП. Формула чистого дисконтированного (текущего) дохода в данном случае приобретает вид ОТУг(Рг) = «,(г„)+Ё- . (2.11) Вариант формулы для показателя IRR2(Pr) проекта Рг, соответствует случаю, когда на каждом подинтервале, на которые разбит интервал [/„,/„], определена своя ставка дисконтирования, и, следовательно, необходимо определять набор ставок дисконтирования, решая уравнение вида
Метод определения наилучшего проекта-конструкции на основе отношения предпочтения
На основе множества исходных проектов П = {Рг1,Рг2,...,РгЛГ} и при помощи конструктора С = (п,04) получим множество проектов-конструкций Пс ={Рг„Рг2 PrJ. Далее из множества Пс выберем элементы Рг15 Рг2,..., PrD, на которые подействуем оператором оценивания эффективности Eff Рг/ = б(Ргу), ; = 1,2,...,Z). В качестве результата действия этого оператора на проекты-конструкции Рг,, Рг2, ..., Рг0 получается набор векторов эффективности б(Рг,), б(Рг2), ..., ?(Рг0), каждый из которых характеризует свой элемент множества Пс, т.е. свой проект-конструкцию Рг,., Рг,. еПс, j = \,2,-,D. Далее на основе полученных векторов эффективности (Рг,), б(Рг2),..., g(Pr0) составим матрицу эффективности вида ra(h) Qiih) ... яЛНТ &{h) Ог(Н) - Qu(H) а= (2.40) a(pro) a(prD) - QM{K) /DM в которой первая строка составлена из координат вектора g(Pr,), вторая -координат вектора б(Рг2) и т.д., вплоть до вектора (PrD). Матрица эффективности (2.40) будет полезна далее для анализа. В соответствии с введённым отношением предпочтения -Е можно проранжировать проекты-конструкции множества Пс согласно требуемому критерию Е и выбрать наилучший (наиболее предпочтительный) проект-конструкцию Рг , Рг еПс, для которого справедливо Рг -ЕРг,., V Рг,., Рг,. еПс, j = 1,2,..., .
Таким образом, в данном подразделе диссертационной работы построен способ определения наилучшего проекта-конструкции, т.е. оптимального портфеля проектов на основе отношения предпочтения.
Задачу нахождения наилучшего проекта-конструкции, т.е. оптимального портфеля проектов сформулируем как оптимизационную задачу. щ Построим метод главного критерия. Главным критерием условно называется тот показатель эффективности, который больше всего интересует исследователя по сравнению с другими показателями. Пусть этот главный критерий является /0-ой компонентой Qt (Рг), /0е{1,2,...,М} в векторе эффективности &Pr) = fel(?r),Q2(?r),...,Qio(:Pt),...,QM(?r))] . Для нахождения (определения) наилучшего проекта-конструкции методом главного критерия решается оптимизационная задача вида Pr =Arg min a (Pr), (2.41) РгеПс е/6ае/,/б{1,2,...,м},/0#/ где Qt (Рг) есть /0-ая компонента в векторе эффективности б(Рг) = (б,(Рг),е2(Рг),...,2о(Рг),...,бЛ/(Рг)) , который характеризует произвольный проект-конструкцию Рг множества Пс, РгеПс. Область QQ есть область «желаемых» значений показателя Q, (Рг), / е {1,2,...,М].
Выражение (2.41) определяет наилучший проект-конструкцию, т.е. оптимальный портфель проектов, сформированный согласно методу главного критерия. Построим метод свёртки. Метод свёртки для нахождения (определения) наилучшего проекта-конструкции выглядит следующим образом Pr =Arg jnin Qzw=bxg jnin J ,a(Pr), (2.42) РгеПс РгеПс =i QieQQ ,/е{1,2,...,Л/} QeQg, ,/e{l,2,...,M} где wt суть неотрицательные весовые коэффициенты критерия-свертки gsr, и w, 0, щ-\. Область Q.Q есть область «желаемых» значений показателя эффективности б/(Рг), / = 1,2,...,Л/. Значения весовых коэффициентов w,, i = l,M определяют степень важности показателей эффективности, которые входят в свёртку. Выражение (2.42) определяет наилучший проект-конструкцию, т.е. оптимальный портфель проектов посредством метода свёртки.
Данные методы также помогают находить оптимальный портфель проектов.
Для построения методов, использующих решающие правила, введём понятие «желаемой» точки, которая определяется «желаемым» вектором Q =(Q\ {2г - (?м) и задаётся исследователем (аналитиком) в рамках решаемой прикладной задачи [77]. Также введём в рассмотрение неотрицательные и весовые коэффициенты wt, i = \,2,...,M, w,=l. При помощи матрицы _ эффективности (2.40), «желаемой» точки Q и весовых коэффициентов м , /=1,2,...,Л/ составим нижеследующие вспомогательные матрицы
Отношения на множестве исходных проектов П и на множестве проектов-конструкций Пс
Проведём аналогии между теорией принятия решений и задачей нахождения наилучшего проекта-конструкции Рг , Рг еПс.
Будем ассоциировать множество проектов-конструкций Пс со множеством решений, т.к. исследователь-аналитик строит при помощи конструктора С = (П,0-,) всевозможные проекты-конструкции Рг,., Рг; еПс, j = \,2,...,D с целью выбора из последних наилучшего Рг , Рг еПс. Множество векторов эффективности пространства QM или множество значений их свёрток Q (значений функционала g) суть множества результатов. Согласно схеме, представленной на рисунке 3.6, функционал g действует из пространства QM в вещественное пространство R1, т.е. из векторов эффективности б(Ргу) при помощи функционала g можно получить результат в виде чисел gj=g(dj), где QJ = Q\?TJ), j = 1,2,...,Z), каждое из которых характеризует свой проект конструкцию. Опираясь на полученные векторы эффективности или на значения функционала g, исследователь-аналитик выбирает наилучший (наиболее предпочтительный) проект-конструкцию Рг , Рг еПс.
Состояние внешней среды (см. рис. 3.6) описывается вероятностным пространством (2?, ,? ), где (2?,#Г) есть измеримое пространство, % есть множество процентных ставок % = {rvr2,...,rK), содержащихся в векторе (3.1) ф. (здесь % есть аналог пространства элементарных событий), &С есть а -алгебра (система подмножеств множества %), V% есть вероятностная мера (или просто вероятность) определённая на о--алгебре элементов из %. Множество результатов \QX,Q2,...,QD] И множество результатов {gltg2,...,gD} описываются вероятностными пространствами (QM,@?}V \ И {G» ,Vg\ соответственно.
Здесь Qj=Q{Prj) и gj=g(Qj), J = 12,...,D. Пары (QM, ) И (,% ) суть множества результатов, которые наделены структурами измеримых 4 пространств, т.е. таких пространств, на которых определены меры Р и Р , соответственно. Здесь @f и суть а -алгебры. Отображения (функции) Eff []: ncx2l- QM и g: QW- E предполагаются измеримыми при каждом фиксированном проекте-конструкции Рг, РгеПс. Отображение Eff[ ] есть измеримое отображение измеримого пространства (%@Г) в измеримое пространство (Qw, ). А отображение g есть измеримое отображение измеримого пространства (2?,$Г) в измеримое пространство ((?, ).
Таким образом, для любого проекта-конструкции Рг, РгеПс имеется распределение вероятностей (функция плотности вероятностей, вероятностная мера) РРг на множестве результатов (QM,Ш) (или на множестве результатов {Q, )). В такой постановке задача выбора наилучшего проекта-конструкции Рг эквивалентна задаче выбора наилучшего распределения [91] в классе распределений вероятностей проектов-конструкций 2={Рр РгеПс} на множестве результатов ( Q M ,3?) (ИЛИ на множестве результатов (Cj, )). Если на классе Тс задано отношение предпочтения )?„ (или )рд), тогда наилучшему проекту-конструкции Рг будет соответствовать такое наилучшее распределение Р„„ из множества с предпочтениями \Рс 0м) (или из множества с предпочтениями ( , )), что для него справедлива запись
Будем считать, что класс распределений Тс есть совокупность функций распределений на множестве результатов (QM ,3?) (или на множестве результатов (С?, )). Если на множестве с предпочтениями \Рс гм) определить монотонный функционал Risk=Effp(PPr), значение которого является значением риска определённого вида, то задача выбора наилучшего в смысле значения риска проекта-конструкции Рг сводится к следующей оптимизационной задаче 1% {Ps ) - min Pr или к оптимизационной задаче вида Eff (Р- ) -» min . ffi-v pr; ргеПс
Таким образом, вектор эффективности проекта-конструкции Рг, наряду с такими показателями эффективности как ,(Pr) = NPV(Pr), g2(Pr) = Pl(Pr), 63(Pr) = IRR(Pr), g4(Pr) = NFV(Pr) и другими может содержать и показатели эффективности вида И5к(Рг), полученные при помощи функционала 6RiSk(Pr) = Effp(PFr). Аналогично функционалу Effp(PPr) записываются задачи с использованием функции распределения FPr, т.е. когда используется функционал вида EffF (-Fpr).
В дополнение к подходам (3.12)-(3.19) по оцениванию риска запишем подходы, представленные в таблице 3.2, которые также позволяют оценивать риски проектов-конструкций. Таблица 3.2 содержит виды функционалов (меры риска) Effp(PPr) и EffF(FPr). Пространство эффективности QM (см. табл. 3.2) есть одномерное пространство, т.е. М = \, a Qx = Qx(?r) есть единственная компонента вектора эффективности Q{?X) = {QX{VI)) , который определяет точку в пространстве Q
