Асимптотические задачи линейной гидродинамики Лежнев, Виктор Григорьевич

Введение к работе

-3-

Исследование волновых движений жидкости представляет собой фундаментальную проблему и является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном смысле. Феноменологическое разнообразие приводит к различным математическим моделям, требующим своих специальных подходов изучения и самых разных математических методов.

Теории волновых движений жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб 1879, 1932; А. И. Некрасов 1918, 1944; И. Е. Кочин 1926,1935,1949; М. В. Келдыш 1935; Л. И. Седов 1936,1967; Л. Н. Сретенский 1933, 1977; М. А. Лаврентьев 1937,1946,1958; В. Г. Левин 1948; Дж. Дж. Стокер 1953,1959; Дж. Лайтхилл 1955,1981; Дж. Уизем 1950,1977).

Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

В данной работе исследуется поведение при і -> <ю решений и{х, і) уравнений

Аіі_<,(х,г) + и,_л(х,с)=0, (1)

Au„(x,0 + и_хл (х,0 + u_Vi (х,0=0, (2)

Ди,'(х,0 + 1^,0 = 0, (3)

где А - оператор Лапласа, х - (х, х„).

Рассматривается также обратная задача определения начального возмущения по измерениям решения и(х, г) в дискретных точках х^п для уравнения

(A-a²)u,(x,t) + ^(x,t) = 0. (4)

Уравнение (1) называется уравнением вращающейся жидкости -уравнением Соболева [1], уравнение (2) - уравнением внутренних волн (гравитационной стратифицированной жидкости) [2], уравнение (3) назы-

вается уравнением планетарных волн и, как и уравнение (4), описывает длинные океанические волны, возникающие на сфере большого радиуса вследствие её вращения (приближение "/^плоскости") [3], [4]; уравнения (1)-(4) выводятся из линеаризованных уравнений Эйлера с соответствующей массовой силой без диссипации и трения.

Наиболее полные исследования проведены для уравнения Соболева и эквивалентной ему системы уравнений малых колебаний вращающейся идеальной жидкости, имеется ряд обзоров и монографий (Соболев С. Л., 1954, Зеленяк Т. И., 1970, Зеленяк Т. И., Михайлов В. П., 1970, Лайтхилл Д., 1981, Успенский, С. В., Демиденко Г.В., Перепёлкин В. Г., 1984, Копа-чевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан, 1989, и др.). В частности, известна точная оценка решения задачи Коши системы уравнений вращающейся

идеальной жидкости в R³ при г -> о (Масленникова В. Н., 1971).

Интенсивно изучалось в последние годы уравнение (2), основные результаты и библиография представлены в монографиях Габова С. А. и Свешникова А. Г. (1986,1990), Копачевского Н. Д., Крейна С. Г., Нго Зуй Кана, 1989.

Менее изучено уравнение (3). При t ** со известны оценки сверху решений некоторых краевых задач и задачи Коши (Ильин А. М., 1970, 1972, Петрушко И. М., 1977, Успенский, С. В., Демиденко Г. В., 1980, 1985).

Совместные крупномасштабные эксперименты в северной части Атлантики, проведённые в 70-е годы ведущими державами мнраХпрограммы "Полигон" и "Mode"), установили существование медленно меняющихся течений с временными масштабами до нескольких месяцев и с длинами волн порядка десятков и сотен километров. Для понимания динамики этих движений необходимо знать основы линейной теории планетарных волн, или волн Россби [3].

Актуальность темы. Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

Уравнение (3) является новым объектом математической гидродинамики и основным предметом исследований в данной работе. Уточнение асимптотических оценок, получение других качественных результатов является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Актуальным является также рассмотрение обратных задач, в частности, обратных задач гидродинамики. Вторая часть работы посвящена постановке и исследованию одной из таких проблем.

Цель работы «.основные научные задачи.Основной целью диссертационной работы было построение основ асимптотической теории при t -> оо уравнения планетарных волн: асимптотические оценки решений задачи Коти в двумерном и трёхмерном случаях; исследование поведения по / решений первой краевой задачи в ограниченных областях; оценки решений первой краевой задачи для некоторых неограниченных областей.

Кроме этого, к целям работы относилось следующее:

получение асимптотических разложений при / -+ оо интегралов типа преобразований-Бесселя;

получение равномерных оценок для отношений функций Ганкеля;

построение приближённых методов решения обратных задач ньютонова потенциала.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы:

теории функций комплексного переменного, целых функций и специальных функций;

функционального анализа, спектральной теории линейных операторов;

обобщённых решений дифференциальных уравнений и теории функциональных пространств математической физики;

теории потенциала.

Основные научные результаты.

1. Получен главный член асимт отеческого разложения при / -» оо решения задачи Коши уравнения планетарных волн в R , показано существование энергетической зоны. Доказано, что носитель финитной начальной функции формирует полуцилиндр с образующей, параллельной оси Ох_х, вне которого решение убывает быстрее.

2. Получена оценка по t решения задачи Коши в R ; показано, что вне энергетической зоны убывание решения к нулю сильнее любой степени Ґ.

3. Доказана почти периодичность по / решений первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченной области Q с Rⁿ.

4. Получена оценка 0(t~ ), t -> оо, решений первой краевой задачи во

внешности круга в R ; доказано стремление к нулю при / -» оо, решений

первой краевой задачи во внешности компакта в R для точек х вне определённой области.

5. Для уравнения Соболева получены главные члены асимптотического разложения решения при г -> оо, также имеющие гидродинамическую интерпретацию.

6. Доказана почти периодичность по t решений первой краевой задачи для уравнения (3) внутренних волн в эллипсоиде и в ограниченной цилиндрической области.

7. Получены асимптотические разложения при t -> о интегралов

S» =\x"g{x)J_n(xt)dx,

учитывающие вклад от левой х = а и правой х = Ъ концевых точек для функций g(x) конечной гладкости и некоторых специальных видов функций g(x).

8. Доказаны равномерные в полуплоскости {Im г і. 0} оценки отношений функций Ганкеля Н„' (rz) I Н„ (г), г S1.

9. Доказано неравенство для целых функций F\z) экспоненциального типа, z = х + iy.

\F(x)\0^>\F'(x)\<,CM, х>0.

10. Получен метод приближённого решения краевых задач для уравнения
Пуассона в ограниченной области Qc R , основанный на применении
обратных задач теории ньютонова потенциала.

Личный вклад автора. Все результаты, оценки и алгоритмы получены автором лично. .

Практическая значимость работы. Практическая значимость работы состоит в следующих основных результатах:

дохазано существование энергетической зовы для решений задачи Коши уравнения планетарных волн, вне которой решение быстрее стремится к нулю; этот математический результат подтверждает качественные гидродинамические построения и натурные наблюдения;

установлены асимптотические разложения преобразований Бесселя и обобщение нераг'чства Бернштейна на случай полуоси (полезные для получения оценок решений для некоторых задач математической физики);

предложена методика локализации начального возмущения в задаче Коши для уравнения (4), опирающаяся на решение обратных задач ньютонова потенциала;

предложен новый метод приближённого решения краевых задач для уравнения Пуассона.

Апробация работы и публикации. Отдельные результаты диссертации докладывались на регаональиых конференциях по теории волновых движений жидкости (Майкоп, 1978, Таганрог, 1981), всесоюзных и международных совещаниях и конференциях (Кишинёв, 1975, Донецк, 1986, Севастополь, 1989, Симферополь, 1993,1997, Москва, 1978, 1991, 1996), на семинарах в Московском, Ростовском, Симферопольском университетах, в Математическом Институте им. В. А. Стеклова. По теме диссертации имеется 15 научных публикаций и одна монография (1993), список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём р а б о т ы. Диссертация состоит из введения и семи глав, образующих две части. Общий объём диссертации - 171 стр., библиографический список содержит 70 наименований.