Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее важных вопросов в деле зашиты окружающей среды, рационального управления средой обитания человека является задача обеспечения чистой пресной водой. Несмотря па определённую стабилизацию темпов роста уровня потребления воды в развитых странах и даже некоторое их сиижеіше (в Россіш в 1987 году по сравпешпо с 1980 годом потребление воды сократилось на 6%), общие потребности человечества в пресной воде возрастают, что объясняется ростом паселеяия и уровня жизни развивающихся страп. Как гопестио, в настоящее время осповпьш источником пресной воды являются поверхностные источники (озёра, реки, каналы). Таким образом, проблема чистой пресной воды неотрывна от проблемы воссоздания и сохранения здороной экологической обстановки в природных системах пресных водоёмов.
Наличие эффективного алгоритма, робасткой программы расчётов, как правило, целиком определяет возможности применения той или иной модели; отсутствие соответствующего математического аппарата зачастую приводит к необходимости отказа от выбранной концепции моделирования, её упрощению. Поэтому весьма актуальной представляется проблема численной реализации экологических моделей. Здесь практические потребности оказываются действенным стимулом развития математических наук. Так, только за период с 1965 но 1990 годы в СШ А и Канаде в рамках программы по оздоровлению природной среды внутренних пресных водоёмов sj морских эстуариев было реализовано порядка двухсот математических моделей. Их использование дало возможность сократить дорогостоящие натурные наблюдения примерно па треть, а также получить уникальные экологические прогнозы.
Примером моделей, где в силу большого количества исходной информации, или же, из-за невозможности эффективной численной реализации приходится пренебрегать подробностью описания моделируемого объекта, являются так называемые "камерные" модели. Здесь происходит "покамерпое" усреднепле характеристик и используются балансовые соотношения, имитирующие физическую связь между камерами. Зачастую покамерное моделирование оправдано сложностью описываемой системы. Тем не менее, в ряде случаев необходимо знать более детальную картину изучаемого процесса.
Диссертационная работа посвящена численной реализации распределённой модели распространения примеси в открытом канале большой протяжённости. Для данного класса моделей — моделей, описывающих распространение вещества в каналах я реках — широко применяется камерный подход. Взятая в основу данной работы распределённая модель позволяет получить более подробную (чем в камерных моделях) картину изучаемого проаесса. В то же время при использовании модели возникает ряд серьёзных проблем, связанных с подбором и разработкой алгоритмов расчёта, их теоретическим и практическим обоснованием, организацией вычислений.
Таким образом, проблема численной реализации модели является здесь ключевой, а её решение актуально, поскольку позволяет получить качественно более высокий уровень моделирования.
Делі» и задачи исследования. Целью данной работы явилась разработка математического аппарата и численная конечно-разностная реализация распределённых конвективно-диффузионных моделей качества воцы на примере модели расирострапепия примеси в открытом стационарном русловом потоке большой протяжённости, что включало п себя комплекс следующих задач:
дискретизацию исходной модели, относящейся к классу не
стационарных задач конвекции - диффузии;
исследование свойств получаемого несамосопряженного разностного оператора; в построение разностных схем, анализ их устойчивости;
разработку алгоритмов реализации неявных разностных
схем — итерационных методов решения линейных систем с
несимметрической матрицей;
в проведение расчетон, моделирующих
-
залповый аварийный выброс загрязняющих веществ;
-
действие постоянного точечного источника загрязнения.
Научная новизна. Научная новизна работы определяется полученными теоретическим!! результатами и предлагаемым практическим решением ряда вычислительных задач.
В частности, подучены достаточные условия, при выполнении которых разиостный оператор, получаемый в результате аппроксимации исходной задачи, обладает требуемым свойством, существенным для дальнейшего решения: представимостью в виде М-
ил» диссипатиплой матрицы. Лалее, ггри исследовании получаемой разностной аполюциоппой задачи с пссамосопряжсппым операторов по пространству определепы достаточные услошія устой-чивостн для класса двухслойных явно-неявных разпостпых схем и схем перемепкмх направлений. В качеств аффективного инструмента расчёта неявних разностных схем предложен итерационный метод и переобусновливапие простой природы, ориентированные па решение несимметричных линейных систем.
К методо логическим подходам, положенным в основу pafio-ты, следует отнести, прежде всего, технологию вычислительного эксперимента, базирующуюся на триединой концепции
"Модель" Алгоритм" — "Программа",
а также, и смысле организации применения самой модели — принципы системного подхода в математическом моделиропаїпт.
Специфика данной модели распрострапешш примеси в откры-том стационарном канале большой протяженности состоит п том, что она предназначена для опредслётпюго класса задач и имеет системный характер, т.е. ориептиропана па ирактическоо использо-нанне з комплексе моделей, описывающих водную экосистему канала, реки, возшжою, всего подлого бассейна некоторого региона, что нознолит полнее использовать сильные стороны данной модели.
В рамках данного исследования технология вычислительного эксперимента позволила естественным образом формализовать задачу и пройти всеотапы чпелеппой реализации модели: эффективно применить и разнить существующий матемагическігії аппарат, получить и апробировать численные алгоритмы решения, создать робастные прогоамшл численного расчёта.
Методы исследований. Основой проведенных исследовании явились методы операторного подхода теории разностных схем н сочетании с классическими результатами матричного анализа. Основные результаты работы получены для разностных операторов, матрица которых диссипативпая (т.е. имеет положительно оиределепную симметрическую часть) или М- матрица. В первом случае для исследования разностных схем использовался энергетический подход, что определяло выбор нормы, а которой приведень? опенки устойчивости, во втором — характеристические свойства М-матрип позволили получить оценки устойчивости в однородной
б
сеточной норме. Следует отметить, что псе исследованные разностные схемы являются схемами рсплъкативного расщепления или же являются их обобщением. Схемами репликативного расщепления мы называем двухслойные разностные схемы, где операторы, берущиеся с m-го и (т+ 1)-го слоев образуют в сумме исходный разностный оператор и наследуют его свойства. Такой подход позволил с единых позиций рассмотреть весьма широкий класс схем, провести анализ их устойчивости и выявить существенные свойства.
Практическая значимость выполненной работы прежде всего состоит в том, что численно реализована и доведена до конечного вида — расчётных программ для ЭВМ — модель распространения примеси в открытом стационарном канале большой протяженности. Данная модель ориентирована прежде всего на применение в вко-логическом моделировании водных бассейнов, однако может быть использовала не только в втой области. Действительно, модели распространеінія примеси имеют достаточно универсальную природу, и близкие по подходам модели встречаются и гидродинамике, теории теплонсреноса, химико-технологических процессах.
Кроме того, практическая зпачимость работы определяется общностью математических постановок (исследуется двумерная нестационарная задача конвекции - диффузии) и, как следствие, справедливостью полученных результатов для широкого круга задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па III международном конгрессе по промышленной и прикладной математике 1СІАМ-95 (Германия, Гамбург, 1995), Мезкдупародиой конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" АМСА-95 (Новосибирск, 1995 г.), Международной конференции по методам оптимизации коиечно-олементных аппроксимаций OFEA-95 (Санкт-Петербург, 1995 г.), Российско-германской рабочей секции ио вычислительной математике (Москва, 1995 г.), III Всесоюзной, IV и V Всероссийских школах молодых учёных по численным. методам механики сплошной. среды (Дюрсо, 1991-1993 гг.), XVII Научной конференции молодых учёных Института мехajunat АН Украины (Киев, 1992 г.).
В полном объёме диссертационная работа докладывалась па семинаре кафедры информатики и вычислительного эксперимента Ростопского гоеуниверситега и семинаре "Методы решения краевых задач" Лаборатории вычислительного эксперимента ВЦ, Ро-
стопского госуниперситета.
Публикации. По результатам диссерташш опубликопаяо 11 печатных работ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения (перечня основных результатов и выводов по работе), списка литературы. Работа содержит 185 страниц оспошюго текста, 40 рисупкоп, 9 таблиц н список литературы га 193 наименований па 20 страницах.
Автор выражает искреишою признательность сноим науч-пым рукополителям проф. И.Л.Николаеву и Л.Л.Крукиеру, а также К.Л.Надолииу, оказывавшему неоценимую помощь. Автор благодарит коллектив лабораторий вычислительного эксперимента и по-вых программных технологий ВЦ РГУ (зав. лаб. Г.В.Муратова) .эа попимание и содействие.
Согласно требованиям использования" макротгакега Дд4&*?ВХ Американского математического общества, автор сообщает, что автореферат и диссертация пабрапы и среде данного пакета. Большую помощь в решении мпогнх TVrjXini4eciaix аопросов оказал В.А.Сааельев.
