Введение к работе
Актуальность проблемы. Изучение воздействия поверхностных волн на берег и прибрежные сооружения играет важную роль в инженерных приложениях гидродинамики. Одним из современных методов исследования указанного процесса является метод прямого численного моделирования волновых движений жидкости, при этом используемая математическая модель должна адекватно отг.-іжать основные особенности течения и, вместе с тем, быть достаточно экономичной при ее реализации на ЭВМ. Этими свойствами обладают, в частности, нелинейная модель мелкой воды и различные нелинейно-дисперсионные модели. Однако численная реализация многих нелинейно-дисперсионных моделей осложняется наличием в соответствующих уравнениях производных высокого порядка искомых функций (например, скорости), в частности, смешанных производных по времени и пространственным переменным. Поэтому весьма актуальным является создание алгоритмов, позволяющих достаточно точно аппроксимировать указанные производные.
В реальных задачах область течения имеет, как правило, сложную форму с искривленными берегами, вследствие чего в расчетах целесообразно использовать криволинейные сетки, адаптирующиеся к очертаниям берега. С целью повышения экономичности алгоритма желательно сгущение узлов сетки в области сосредоточения особенностей решения. Так как распространение поверхностных волн представляет собой существенно нестационарный процесс, то адаптивные сетки, отслеживающие особенности решения, должны быть подвижными. Указанные свойства расчетных сеток делает актуальным использование разностных схем, которые могут быть реализованы в подвижной криволинейной системе координат с наименьшими вычислительными затратами.
Цель работы состоит в разработке экономичных численных методов решения одномерных и плановых уравнений модели мелкой воды и одной из современных нелинейно-дисперсионных моделей (далее именуемой моделью Железняка), а также в создании на их основе комплекса программ для расчетов поверхностных волн в областях с криволинейными границами.
Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
а) для решения на подвижных неравномерных сетках уравнений
модели мелкой воды и модели Железняка предложена и исследована
явная конечно-разностная схема предиктор-корректор с автоматически
настраиваемой аппроксимационной вязкостью;
б) разработаны экономичные алгоритмы построения одномерных и
плановых криволинейных динамически адаптивных сеток на основе ме-
тода равнораспределения, учитывающего расположение узлов на предыдущем временном слое;
в) предложен алгоритм расчета правой части уравнений Железняка,
зависящей от производных скорости по времени, заключающийся в ре
шении эллиптического уравнения, не содержащего таких производных
в явном виде;
г) на основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ
численного моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости
с поверхностными волнами;
д) численно исследованы свойства предложенных вычислительных
алгоритмов на разнообразных задачах волновой гидродинамики, пока
зана достоверность и надежность получаемых результатов;
е) в рамках модели мелкой воды и модели Железняка проведено чи
сленное исследование косого наката уединенной волны на вертикальную
стенку, а также исследованы волновые процессы в водоеме сложной фор
мы.
Практическая ценность работы. Разработанный численный метод решения уравнений модели мелкой воды и модели Железняка, осно-. ванный на явной конечно-разностной аппроксимации, реализуется на криволинейных сетках, адаптирующихся к сложной форме области, что позволяет точнее по сравнению с методами, использующими прямоугольные сетки, исследовать течения в областях сложной формы. Адаптация сетки к особенностям течения позволяет получать результаты высокой точности на сетках с небольшим количеством узлов, вследствие чего достигается экономия времени счета и машинной памяти. Созданные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы в заинтересованных организациях для численного решения разнообразных задач волновой гидродинамики.
Достоверность полученных результатов подтверждается анализом свойств численного метода и проведением многочисленных тестовых расчетов с применением мер контроля точности получаемых решений и хорошим согласованием результатов с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.
Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались на V Всероссийском совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Казань, 3-7 сентября 1994 г.), Совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 2-4 октября 1994 г.), Международной конференции "Современные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 20-24 июня 1995 г.), Совещании по природным и антропогенным катастрофам (Новосибирск, 18-21 сентября 1995 г.), Международном симпозиуме "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах" (Новосибирск, 26-28 сентября 1995 г.), Международной конференции "Математиче-
ские модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 28 мая - 1 июня 1996 г.), Пятом Российско-Японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Новосибирск, З-б июня 1996 г.), обсуждались на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН и в Институте математики СО РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.
1. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. О применении подвижных
сеток при численном решении одномерных задач наката волн цунами
на берег// Вычислительные технологии.-Новосибирск, ИВТ СО РАН,
1994.-Т. 3.-N 9.-С. 7-17.
-
Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Применение динамически адаптивных сеток для численного решения задач теории мелкой воды// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов.-1994.-Вып. 4.-С. 39-44.
-
Барахнин В.Б. Конечно-разностные схемы для численного решения задач теории мелкой воды с использованием адаптивных сеток// Вычислительные технологии.-Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995.-Т. 4.-N 11.-С. 38-50.
-
Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численная реализация краевых условий в одномерных задачах теории мелкой воды// Актуальные проблемы современной математики.-Новосибирск, НИИ МИОО НГУ, 1995.-Т. 1.-С. 18-30.
-
Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. On the application of adaptive grids to the numerical solution of one-dimensional problems in the shallow-water theory// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical . I0.-No.5.-P. 373-391.
-
Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. Adaptive grid-numerical solution of unidimensional and two-dimensional problems for the shallow water equations// Advanced Mathematics, Computations and Applications. Abstracts-Novosibirsk, 1995.-P. 34-36.
-
Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. Adaptive-grid numerical solution of one-dimensional and two-dimensional problems for the shallow-water equations// Advanced Mathematics: Computations and Applications. Proceedings of AMCA-95. (Eds. A.S.Alexeev, N.S.Bakhvalov).-Novosibirsk, 1995.-P. 144-153.
-
Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование течений лсидкости с поверхностными волнами в рамках двумерной модели мелкой воды// Материалы международного симпозиума "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах-Новосибирск, 1996.-С. 23.
-
Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численная реализация краевых условий в плановых задачах для нелинейных уравнений мелкой воды// Актуальные проблемы современной математики.-Новосибирск, НИИ МИОО НГУ, 1996.-Т. 2.-С. 3-12.
10. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование
поверхностных волн на основе плановых моделей мелкой воды с ис
пользованием адаптивных сеток// Математические модели и числен
ные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной
конференции.-Новосибирск, 1996.-С. 30-31.
11. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С, Чубаров Л.Б., Шкуропацкий
Д.А. Некоторые проблемы численного моделирования волновых режи
мов в огражденных акваториях// Математические модели и числен
ные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной
конференции.-Новосибирск, 1996.-С. 32-33.
В работах [1, 2, 4-10] Хакимзянову Г.С. принадлежат общая постановка задачи и идея нахождения правой части уравнений Железняка путем решения эллиптического уравнения. Барахнин В.Б. исследовал свойства используемых разностных схем (теоретически и численно), предложил два способа построения двумерных сеток на основе одномерного метода равнораспределения, разработал способы реализации описанных алгоритмов, провел численное исследование одномерных задач, задачи косого наката уединенной волны на стенку, а также численные расчеты волновых процессов в верхнем водоеме Днестровской ГАЭС.
В работе [11] общая постановка задачи принадлежит Хакимзянову Г.С. и Чубарову Л.Б. Барахнин В.Б. провел расчеты по одномерной и плановой модели мелкой воды, Хакимзянов Г.С. - по модели потенциальных течений, Чубаров Л.Б. и Шкуропацкий Д.А. проделали сравнительный анализ одномерных разностных схем и осуществили расчеты по модели Сен-Венана.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований. Полный объем диссертации 177 страниц, включая 52 рисунка и 2 таблицы.