Введение к работе
Актуальность. При исследовании прикладных задач физики и техники методом вычислительного эксперимента приходится эазрабатывать численные методы решения математических задач, вписываемых сложными системами нелинейных уравнений в частных іроизводньїх. Магнитная гидродинамика .теория фильтрации дают иирокий класс задач такого рода.Течение вязкой несжимаемой жидкости з поперечном магнитном поле, течение через пористые среды вписывается нелинейными уравнениями Навье-Стокса. Так как эти /равнения нелинейные, решать их известными аналитическими методами затруднительно. Поэтому даже частичный анализ решения іельзя осуществить, не прибегая к вычислительным машинам, (арактерным для таких задач является присутствие в уравнений івижения жидкости члена с быстроменяющимися коэффициентами. В :вязи с этим построение эффективных итерационных методов, скорость :ходимости которых независит от величины разброса коэффициентов, [ля задач магнитной гидродинамики и их математическое обоснование вляется актуальной проблемой.
Цель работы. Основной целью настоящей работы является сследование приближенного метода решения математических задач, писываемых сложными системами нелинейных уравнений в частных
4 производных. К такому роду задач относятся исследования плоских задач гидродинамики, численные исследования течения вязкой несжимаемой жидкости в канале под воздействием внешних электромагнитных сил, течения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольном канале через пористые перегородки с неполнозаданными граничными условиями.
Научная новизна работы состоит в изучении задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. В частности :
построена разностная схема с весами для модели магнитной газо -вой динамики в массовых Лагранжевых переменных ;
получены основные априорные оценки ;
-доказана теорема об устойчивости решения по начальным данным;
- доказана теорема о сходимости решения разностной задачи к
решению исходной дифференциальной задачи;
- решена задача течении жидкости в канале с параллельными
стенками в неоднородном поперечном магнитном поле;
решена задача численного моделирования процесса течения жидкости через пористые среды в переменных скорость.функция тока методом разделения области;
решена задача численного моделирования движения жидкости через пористые среды с неполнозаданными граничными условиями.
Теоретическое и практическое значение результатов. В
юследние годы с развитием ЭВМ наряду с физическим экспериментом иироко используется на практике вычислительный эксперимент, поэтому зазработка математических моделей и создание на их основе пакетов ірикладньїх программ для расчета гидродинамических и магнито-идродинамических характеристик различных магнитогидродина-лических устройств имеет теоретическую и практическую ценность.
Численные методы для решения системы уравнений магнитной ги-іродинамики, предложенные в настоящей работе являются іффективньїми для решения прикладных задач.
Созданные прикладные программы позволяют численно моделиро-іать течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале при взаи-юдействии поперечного магнитного поля, на основе полных уравнений іагнитной гидродинамики. Моделирование течения жидкости через ористую вставку является одним из эффективных итерационных іетодов.
Пакет прикладных программ может быть использован для пределения значения давления на входном сечении канала сложной юрмы с пористой вставкой.
Степень достоверности научных положений и результатов. При іатематическом обосновании разностных схем полученные результаты
сформулированы в виде теорем, при доказательстве которых использо -вались известные теоремы и неравенства.
Результаты численного решения задачи о течении в канале с параллельными стенками в неоднородном поперечном магнитном поле согласуются с решениями этой задачи на более простой модели. Полученная картина течения жидкости через пористую среду качественно согласуется с известными экспериментальными работами. Все полученные численные результаты приведены в диссертационной работе в виде графиков и изолинии.
Основные положения, выносимые на защиту:
теоремы об устойчивости по начальным данным для разностных схем с весами для модели магнитной газовой динамики в массовых Лагранжевых переменных;
теорему о сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи магнитной газовой динамики;
метод численного решения двумерной начально - краевой задачи магнитной гидродинамики;
метод численного моделирования течения жидкости через пористые среды в переменных скорость, функция тока разделением на подобласти;
- численное решение задачи о течении жидкости через пористые среды с неполнозаданными граничными условиями.
Апробация работы. Основные положения и результаты, изложенные в диссертации, докладовались на научных семинарах кафедры вычислительной и прикладной математики КазГУ им. Аль-Фараби под руководством д. ф. - м. н. , профессора , академика ИА РК Смагулова Ш.С. , на семинаре член-корр.НАН РК, д.ф.-м.н., профессора Отельбаева М.О., на семинаре "Механика жидкости газа и плазмы" под руководством член-корр. НАН РК проф. д.т.н. Ершина Ш.А. ,на международной научно - технической конференции (г. Актау, 1996); на Казах-станско - Российской научно - практической конференции (г.Алматы, 1997).
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в семи опубликованных работах.
Структура и обьем работы. Диссертационная работа изложена на 113 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 84 наименований и включает 28 графиков.