Введение к работе
Состояние вопроса и актуальность темы. За последние 30-41) леї и получила широкое ранніше в нашем с і ране п »а рубежом ісорпя математического моделирования химических процессов п роактроп. Основы методов математического моделирования химических процессом были заложены и работах Т.К. Борескоиа. М.Г. С.пшько [1. 2]. Г. Apnea [3], ГГ. Гаваласа [4] и других.
Обшиє припишім моделирования химических процессов сформулированы, например. М.Г. Слинько в [2j. В основе метла математического моделирования лежит идея иерархического, миоюуровиевого подхода к поп роению математической модели реактора, заключаю-щегося и расчленении сложного хнмнко-іехіїолоіпческого процесса на химические и физические составляющие, раздельном их изучении н последующем синтезе общей математической модели из моделей отдельных часі ей сложного процесса .
Применение маїемаїическпх методов моделирования позволяет сократи і ь сроки разрабоїкн новых процессов, рсакюрои. катали заюров. наііїн области у<-юНчивых и неустойчивых режимов работы роакю-ров. а также оптимальные параметры ведения процесса [2]. При построении магемашчоскоіі модели реального химическою процесса на различных уровнях возникают стационарные и нестационарные дифференциальные уравнения: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) для описания систем с- сосредоточенными параметрами, например, реакторов идеального смешения, а также уравнения с частными производными (УЧП) - для описания систем с распределенными параметрами, например, совместное описание кинетики химических реакций и процесса массопереноса за счет диффузии реагирующих веществ.
В частости, именно потребности качественною описания химических процессов стимулировали работы но качественной ісоріш дифференциальных уравнении1, возникающих нрн моделировании каталитических процессов. Обзор возникающих при -иом задач н полученных результатов можно найти в работах ТЛІ. 'Зеленяка п М.Г. Слинько [7. 8].
В круг проблем качественной теории зтих уравнений входят, в частности, вопросы о корректности постановки задач, о характере поведения решений в целом по времени, о их стабилизации, о числе и устойчивое і и стационарных решений, о сушесі новации периодических решений, параметрической зависимости решений п і.д. В отечественной н зарубежной литературе указанные математические проблемы нашли свое отраженно во .многих монографиях [2] [б].
При построении матемашческой модели химической системы возникает первоочередная задача-формалн іацня всех іерминов п понятий, а также ограничений, используемых в чтоіі модеми. 'Эю. в частности, можно сделать в виде аксиом. Различные системы аксиом химической системы были сформулированы Дж. Уейем и Ф. Крамбоком в работах [29, 30].
Математической моделью химических систем у этих авторов являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с определенными свойствами. Из аксиом Дж. Уейя следует , например, существование в целом для 0 < t < ос неотрицательных решений по начальным данным из /?+, где
R» = |и є і?" : «,. > 0, і = 1,... ,п\
конус положительных векторов (и-вектор концентраций), а также существование по крайней мере одной стационарной точки в і?" у системы и — /((/). Аксиомы Дж. Уейя требуют выполнения свойства стабилизации решений и исключают периодические решения в химических по Уейю системах. Кроме того постулируется существование глобальной функции Ляпунова для заданной системы ОДУ.
Немного иную систему аксиом предлагает Ф. Крамбек [30], рассматривая и неизотермические процессы. Динамическое поведение химической системы описывается у него уравнениями
« = /(Г,и), Т = 1,(Т,и)
или Т — h(u), где ц— вектор концентраций, Т— температура, / , // -заданные функции.
На основе этих аксиом Ф. Крамбек исследует качественные свойства полученных дифференциальных уравнений . Из его аксиом и полученных на их основе теорем можно заключить, что химическая система по Ф. Крамбеку в изотермическом случае является таковой и но Дж. Уейю.
В химических системах но Дж. Уейю и по Ф.Крамбеку функции /(І1.») не задаются явно, и поэтому , вообще говоря, не отражают всей специфики химических реакций. В то же время в литературе описаны некоторые физические законы, по которым, зная механизм реакции, можно однозначно восстановить структуру правых частей дифференциальных уравнений химических систем, например, кинетика Марсслена-де Донде [32]. Отметим, что кинетика Марселена-де Донде включает как частный случай так называемый закон действующих масс (ЗДМ). которым обычно ограничиваются на практике.
Модели химических систем, описываемых приведенными обыкновенными дифференциальными уравнениями, дают лишь изменение концентраций во времени. Однако на практике бывает необходимо учіпьіваїь распределение концентраций в пространстве, и изменение их но времени. Например, при описании процессов диффузии или конвективного массопереноса. В этом случае возникают уравнения в частных производных (модели с распределенными параметрами). Для іакпх моделей в [20, 21] даны некоторые ограничения на потоки и силы ( так называемое линейное приближение вблизи равновесия). Однако
для этих моделей химических систем достаточно строго сформулированной аксиоматики, аналогичной системам аксиом Дж. ^>ейя и Ф. Крамбека, авто]) в литературе не встречал.
Целью настоящей работы является аксиоматическое построение математических моделей, описывающих пространственное и временное распределение концентрации, и их качественный и численный (для конкретных моделей) анализ. Исследуются вопросы корректности поставленных задач, числа и устойчивости стационарных решений, характер поведения решении при большом времени (стабилизация к стационарным решениям, существование стационарных и периодических решений).
Общая методика исследования. Разрешимость краевых задач (в основном второй краевой задачи) для квазилинейных параболических уравнений дивергентного вида по гладким или по непрерывным начальным данным доказывается методом линеаризации задачи на некоторых специально подобранных функциях. При этом существенно используются результаты В. С. Белоносова по разрешимости линейных задач и оценкам решении в Гельдеровскнх пространствах с весом [24, 23].
Для доказательства свойства стабилизации ограниченных вместе с производными решений систем параболических и гиперболических уравнений используется метод функционалов Ляпунова [5, б], предложенный Т. И. Зеленяком для параболического уравнения с одной пространственной переменной. Хотя существование функционала Ляпунова не достаточно для стабилизации решений систем параболических уравнений [18, 9, 23], пользуясь выпуклостью функционала и специальной структурой стационарных решений химических систем, удается доказать стабилизацию решений параболической и гиперболической задачи к стационарным решениям. При анализе на устойчивость стационарных решений используются построенные функционалы Ляпунова (первый метод Ляпунова) и принцип линеаризации (второй метод Ляпунова), обоснованный для параболических задач в [5, 6], а для пшерболическнх-в [10]—[12].
При доказательстве существования периодического решения для гиперболической задачи используется метод бифуркации периодического решения из стационарного (аналог теоремы Андронова-Хопфа). Для обоснования этого метода существенны результаты о повышении с течением времени гладкости решений некоторых гиперболических задач, полученные в [10]-[13].
При численном анализе стационарных решений гиперболической задачи (модель протнвоточного химического реактора восстановления железа из окислов) используется ''метод стрельбы" и метод выбора различных переменных интегрирования при больших градиентах для решения нелинейных двухточечных задач . Предварительно проведенный качественный анализ задачи обосновывает сходимость предложенного алгоритма.
Научная новизна и практическая ценность рабоіш км 10111 и следующем:
Предложены математические модели в виде нелинейных уравнений парабо. шче( кої о и гиперболического типов, описывающие химические реакции п процессы диффузионного и конвек і іншого массоисреноса. Ограничения па правые чапи уравнеішіі. сформулированные в виде системы аксиом, обеспечивают выполнение определенных своіісіи решении. Доказаны теоремы о корректности параболической задачи по іладкпм и непрерывным начальным данным, а іакже теоремы
0 стабилизации оіраппченньїх jjouieiniii параболической задачи. Ис
следовано число и устойчивость стационарных решений. Доказаны
іеоремьі об условной и безусловной асимптотической устойчивости
стационарных решений. Дія гиперболической задачи дано матема
тическое обоснование метода бифуркации периодических решений нч
стационарных (аналог теоремы Андронова Хонфа). Методом функ
ционалов Ляпунова доказаны георемы о стабилизации и устойчиво
сти решений гиперболической задачи, моделирующей протнвогочные
химические- реактора. Для математической модели нротивепочною
химическою реактора для восстановления железа нч окислов аналп-
шчески докачана единственность стационарных решений нрн любых
значениях параметров задачи, а также рачрешнмостъ нестационарной
задачи в "целом". Пред/южен и численно реализован сходящийся ал
горитм расчеюв стационарных решений, эффективно работающий п
нрн наличии больших градиентов, что позволило пронести расчеты и
параметрическую ошимитацию реактора в широкой области нарамо-
1 рои.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-ва. шеи па семинарах "Качественная теория дифференциальных уравнений" (ІІпсппуі математики СО РАН , руководи им ь профессор Т.П. Зеленяк), академика PATH, профессора В.Н. Врагова (Институт мате-машкп СО РАН ). на семинаре условно-корректных задач (ВЦ СО АН СССР, руководитель академик РАН. профессор М.М. Лаврентьев), кафедры дифференциальных уравнении НГУ (руководитель академик РАН. профессор С.К. Годунов), отдела математическою моделирования (Институт Катализа СО РАН. руководитель профессор В.А. Кириллов), профессоров В.П. Михайлова и А.К. Гущина (Институт матемашкп им. В. А. Стек.това). отдела дифференциальных уравнений (Пнет и туї математики с Вычислительным центром УНЦ РБ. руководитель профессор В. К). Новокшенов ), профессора К.М. Са-лнхова (Казанский фпчпко технический институт), кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель профессор Я.Т. Сул-іапаев). профессора О. Вей поды (Институт математики в г. Праге, Чехии), профессора В. Станека (Институт теоретических основ химической 1ЄХНОЛОГНН г. Прага. Чехия), профессора X. Рея (Химико-iexiio.101 пческпі! факультет в т. Маднсоне, США), профессора Р. Ари-
са (Химнко-технолошческнН факультет в г. Миннеаполисе, США), математического факультета университета им. Мартина Лютера (г. Галле, Германия).
Основные результаты диссертации докладывались на следующих Всесоюзных, Международных конференциях, симпозиумах, конгрессах: '"Математические методы в химии" ( ММХ-2(1975), Новосибирск; ММХ-4(1982), Ереван; ММХ-5(1985), Грозный; ММХ-7(1991), Казань; ММХ-8(1993), Тула), по химическим реакторам ("Хнмреактор-о", Уфа-1974; "Хнмреактор-7"', Баку-1980; "Химреактор-10", Тольяттн-1989; "Химреактор-П", Алушта-1992; "Хнмреактор-13", Новоснбнрск-1996), "Численные методы в обыкновенных дифференциальных уравнениях" ( "NUMDIFF- 4", г. Галле(1988), Германия; "NUMDIFF- 5", г. Галле(1990), Германия; "NUMDIFF- 6", г. Галле(1992), Германия; "NUMDIFF- 7", г. Галле(1994), Германия ), на Всесоюзной конференции по кинетике каталитических реакции ("Кинетика-2"', Новоснбирск-1975 ), на школе-семинаре по нестационарному кататнзу ("Нестационарный каталнз-Г', Черноголовка, 1977), на Советско-Американском симпозиуме но катализу (Киев-1976), на Советско-Французском семинарах по математическому моделированию каталитических процессов (Новосибирск-1975; Одесса-1978), на Международной конференции по математическим методам в химической технологии ( МАТСНЕМ-86, Балатон, Венгрия ), на 8-ом Международном конгрессе по применению компьютеров в химической технологии (CEF-87, Сицилия, Италия ), на Международной конференции по нестационарным процессам в катализе ( Новосибирск, 1990), на Международном конгрессе по химической технологии, оборудованию и автоматизации ("CHISA-87", "CHISA-90", "CHISA-93", г. Прага, Чехословакия )
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [33]-[53]. Из совместных работ с М. П. Вишневским в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору. Результаты М. П. Вишневского о корректности параболической задачи по непрерывным начальным данным и результаты B.C. Белоносова о разрешимости линейных задач приведены для полноты изложения и удобства ссылок в обзорной части первой главы. В работах с другими соавторами, носящими прикладной характер, все математические результаты, включенные в диссертацию, принадлежат автору.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, списка литературы, содержит 180 страниц, включая одну таблицу и два рисунка. Список литературы состоит из 178 наименования.