Математическое моделирование конфигурационно сложных структур электродинамики : Многомерные интегральные уравнения и операторы Давидович, Михаил Владимирович

Введение к работе

Актуальность проблемы. Насущной проблемой современной прикладной электродинамики является решение конфигурационно сложных граничных задач. Наиболее универсальными в настоящее время здесь являются методы конечных разностей (сеток) и методы конечных элементов (МКЭ), которые применяются непосредственно к дифференциальным операторам электродинамики. Эти методы требуют существенно больших вычислительных ресурсов (памяти и машинного времени) по сравнению с традиционно используемыми методами и значительно уступают им по точности. Хотя они и получили широкое развитие в последнее время, особенно в зарубежных публикациях, их реализация требует дорогостоящих мощных вычислительных платформ и больших вычислительных ресурсов. Кроме этого, такие методы- имеют трудности, связанные с условиями излучения для бесконечных электродинамических структур (ЭС), а также проблему устранения ложных решений.

К традиционно используемым в электродинамике методам можно отнести вариационные и проекционные методы типа Галеркина, моментов или обобщенных взвешенных невязок, а также связанные с ними методы интегральных уравнений (МИУ) и частичных областей (40). К интегральным уравнениям (ИУ) относится и метод граничных элементов (МГЭ). Другие методы, такие как МАБ, АМБ, метод многомодовых S- матриц, метод поперечных сечений или неполный метод Галеркина - пригодные для анализа конфигурационно сложных ЭС, используются реже и имеют свои ограничения.

Среди ИУ известны иммитансные (импедансные и адмитансные) поверхностные интегральные уравнения (ПИУ), основанные на методе частичных областей (МЧО), ПИУ, записанные относительно невязок граничных условий, ПИУ, основанные на векторных интегральных теоремах (формулах Стрэттона-Чу), которые достаточно хорошо исследованы (Дмитриев В.И., Свешников А.Г., Ильинский А.С., Васильев Е.Н. и др.), а также объемные интегральные уравнения (ОИУ) относительно полей или токов в объеме. ПИУ связаны с поверхностными интегральными операторами (ИО) или оператор-функциями (ОФ). Они позволяют понизить размерность задачи, а также явно учесть 5'ольшую часть граничных условий и условия излучения, что часто делает ИО более тредпочтительными по сравнению с дифференциальными операторами. Актуальным шляется получение и использование комбинированных ИУ относительно поверхност *ых и объемных величин, а также неиммитансных ПИУ.

ПИУ относятся к классу сингулярных интегральных уравнений (СИУ), теория ;оторых в одномерном случае хорошо разработана и связана с такими методами, как

метод полуобращения (почти полного обращения) оператора, методы краевых задач Римана-Гильберта, методы факторизации (Винера-Хопфа-Фока) и вычетов. На основе этого разработана теория (Шестопалов Ю.В., Неганов В.А. и др.) двумерных планар-ных линий передачи (ЛП) на основе ИУ Фредгольма 2-го рода. Ряд двумерных и трехмерных структур, таких как ЛП, микрополосковые резонаторы (МПР) прямоугольной, круглой, эллиптической формы, анализировался методом ПИУ с учетом особенности на ребре или с использованием тригонометрических базисов (Mittra R. и Itoh Т., Никольский В.В., Лерер A.M. и др.). Такие ПИУ являются СИУ Фредгольма 1-го рода и при алгоритмизации путем усечения ядра (заменой сингулярного ядра на вырожденное) приводят к некорректно поставленным задачам (Тихонов А.Н., Кириленко А. А. и др.). В общем случае ЭС со сложными или некоординатными двумерными границами стыков 40 не существует полных систем базисных функций, удовлетворяющих условиям на ребре. Такие ЭС и будем понимать как конфигурационно сложные. Поэтому для их анализа методом ПИУ целесообразно использовать конечные элементы (КЭ), среди которых наиболее простыми являются кусочно-постоянные прямоугольные КЭ, поскольку для них наиболее просто аналитически вычисляются матричные элементы систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при алгебраизации задачи. Однако непосредственное использование таких КЭ невозможно из-за наличия неинтегрируемой особенности в ядрах ПИУ (Никольский В.В.), приводящей к расходимости диагональных матричных элементов в методе Галеркина. Поэтому для указанных ПИУ необходимо явно выделять особенности их ядер в общем случае.

В последнее время рядом авторов (Самохин Г.С., Гипсман А.И. и Силин Р.А., Никольский В.В. и Веснин С.Г., Лерер A.M.) предложены методы понижения порядка сингулярности ПИУ, основанные на диагонализации ИО, интегрировании по частям, а также на введении новых потенциалов. Метод диагонализации предложен для одномерных ИУ, а метод интегрирования по частям - для экранированных ЭС. Поэтому важной задачей является развитие новых методов регуляризации ядер (понижения степени их сингулярности) для ПИУ и обобщение известных методов для возможности использования кусочно-постоянных и полиномиальных конечноэлементных двумерных базисов.

ЭС, традиционно анализируемые методом ПИУ, имеют, как правило, одну гра
ницу раздела (сшивания) 40 и реже - две параллельные границы раздела. Поэтому ак
туальными задачами являются обобщение метода ПИУ на ЭС с произвольным числом
границ раздела, лежащих в разных плоскостях системы координат, что приводит к мно
гомерным ПИУ, а также возможность построения их тензорных ядер или диадных
функций Грина (ФГ) без проведения сложной процедуры сшивания полей. ^;

ОИУ были давно предложены для решения электродинамических задач (Швингер IO., Хижняк Н.А., Поджо А.), но для конфигурационно сложных ЭС использовались крайне редко (Лерер A.M., Маненков А.Б. и др.). Их использование требует знания де-вятикомпонентных тензорных ФГ Г**, Г*, Г"", Г для ЭС без неоднородного маг-нитодиэлектрика (индекс "е" далее означает электрический тип, а "т" - магнитный). Поэтому нахождение явного вида ФГ для ряда часто используемых ключевых структур (КС) и развитие метода ОИУ для магнитодиэлектрических сред с произвольной конфигурацией представляет актуальную задачу. Далее под ФГ также будем понимать ядра ПИУ (или ОФ) и обозначать их: G - для импедансного интегрального уравнения (ИИУ), G - для адмитансного интегрального уравнения (АИУ). Является также целесообразным и практически важным обобщение метода ОИУ на случай сред с произвольной анизотропией и бианизотропией, привлекающих большое внимание исследователей в последнее время из-за ряда их специфических свойств и возможностей.

К ЭС со сложной конфигурацией границ относятся также структуры держателей (СД) сосредоточенных СВЧ- элементов. Для анализа простейших штыревых и полоско-вых СД с активным элементом (АЭ) использовались приближенные методы типа метода наведенных ЭДС Картера. Для проектирования СД пассивных и активных полупроводниковых элементов (ПЭ) часто используются полосковые и щелевые (диафрагменные) конструкции сложной конфигурации на диэлектрической подложке в прямоугольном волноводе (ПВ), для которых актуальной задачей является развитие МИУ, что также важно для СД в полосковых и коаксиальной линиях (КЛ). К этой проблеме примыкает развитие МИУ для различного типа зондовых, излучающих и резонансных ЭС.

Для численных методов большое значение имеет получение оценок их погрешностей и погрешностей вычислительных процессов на их основе. Двусторонние апостериорные оценки погрешностей обычно получаются с использованием двух встречных методов. Актуальным здесь является получение таких оценок в рамках одного метода. Все вышесказанное определило цель диссертационной работы.

Целью диссертации является: исследование методами интегральных уравнений и оператор-функций электродинами-іеских параметров конфигурационно сложных неоднородных электродинамических структур, включая структуры держателей, в открытых планарных и экранированных юлноводных и резонаторних конструкциях с магнитодиэлектрическими включениями произвольной природы и формы на основе развития применительно для них метода шогомерных поверхностных и объемных интегральных уравнений иммитансного и іеиммитансного типов;

построение соответствующих функций Грина, разработка общих методов выделения их особенностей и проведения регуляризации для понижения порядка их сингулярности;

получение новых типов интегральных уравнений, пригодных для моделирования конфигурационно сложных структур, включая неоднородности планарных линий и структуры держателей;

получение двусторонних оценок погрешности для некоторых искомых параметров, определяемых с использованием разложений решений по базисам Трефтца и выражаемых через невязки граничных условий;

разработка общих алгоритмов на основе предложенных методов и создание программ расчета ряда электродинамических структур для обеспечения разработок СВЧ устройств.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

Определение основных закономерностей построения многомерных ядер ПИУ.

Разработка методов регуляризации ядер ПИУ и выделения особенностей в них.

Получение двусторонних оценок погрешности в методе Трефтца.

Обобщение объемных интегральных уравнений для произвольных анизотропных и бианизотропных магнитодиэлектрических включений в ЛП и других ЭС.

Развитие теории СД на основе ИУ.

Разработка моделей и алгоритмов для задач со сложной конфигурацией.

Исследование ЭС на основе разработанных математических моделей.

Научная новизна

1. Предложен общий способ построения тензорных ядер без предварительного проведения процедуры сшивания для многомерных поверхностных интегральных уравнений с несколькими апертурами, расположенными в разных координатных плоскостях, включающий использование в общем случае до трех направлений электрического и магнитного векторов Герца или двенадцати независимых скалярных потенциалов.

2. Предложены новые интегральные уравнения смешанного типа относительно поверхностных и объемных величин для неоднородных включений в ЭС.

3. Предложены новые общие методы регуляризации ядер ПИУ с выделением их особенностей и получен ряд новых поверхностных интегральных уравнений с пониженной сингулярностью ядер, что позволяет анализировать конфигурационно сложные области с использованием кусочно-постоянных базисов.

4. Впервые в двумерном случае явно выделены особенности иммитансных поверхностных интегральных уравнений.

5. Для приближенных решений поверхностных интегральных уравнений впервые получены выраженные через невязки граничных условий для них двусторонние оценки погрешностей параметров, определенных через эти решения и связанных с функционалами электростатики при построении последних с использованием базисов Трефтца.

6. Получены новые двусторонние оценки погрешностей функционалов электродинамики с использованием неравенства Като, связанные с решениями поверхностных интегральных уравнений и выраженные через невязки граничных условий.

7. Получено обобщение объемных интегральных уравнений для бианизотропных сред как для парных уравнений относительно электрического и магнитного полей, так и для интегродифференциальных уравнений относительно каждого из полей.

8. Впервые методом объемных интегральных уравнений проанализированы коаксиальные и волноводные нагрузки, а также диэлектрические резонаторы, включенные в эти линии передачи, что позволило улучшить их параметры.

9. Впервые в строгой постановке методом ПИУ проанализированы: открытый МПР, пленарные петлевые, полосковые и двущелевые держатели на подложке в прямоугольном волноводе, разветвление конечной длины в Е- плоскости прямоугольного волновода, электростатическое поле трехмерной цилиндрической области магнетрона, на основе чего получены новые физические результаты.

10.Впервые методом двумерного ИУ с учетом влияния ширины полоски решена задача возбуждения микрополоскового вибратора при разложении ФГ по Е- и Н- модам и в широком диапазоне частот определен его входной импеданс.

11.Впервые в строгой постановке решена задача о коаксиальном держателе, в диапазоне частот до нескольких октав для первой критической частоты и в широком диапазоне изменения геометрических размеров определен его входной импеданс и построена многомодовая эквивалентная схема, на основе чего произведено моделирование включенных в держатель линейных и нелинейных элементов.

12.На основе ПИУ и теории возмущений предложен метод учета потерь в металлических стенках многослойных металлодиэлектрических электродинамических структур.

13.Впервые строго решена задача о волноводном зонде для измерения параметров многослойных мапштодиэлектрических образцов с учетом потерь в стенках и средах.

14,Получены новые оптимальные конструкции резонаторных, излучающих и зондовых структур и разработаны эффективные алгоритмы определения параметров материалов зондовым и резонансным методами, позволяющие в ряде случаев повысить точность и исключить калибровку.

15.Для стационарного случая предложены связанные интегральные уравнения для гармоник полей или токов в случае нелинейных граничных условий и нелинейных сред, в том числе и с произвольной бианизотропией.

Іб.Исследован стохастический резонанс в бистабильных нелинейных четырехполюсниках с туннельным диодом и триггером Шмитта и предложены пороговые схемы для улучшения отношения сигнал/шум и выделения сигнала из шума. Показано, что использование нескольких слабо неидентичных таких четырехполюсников, включенных в разветвленную цепь, позволяет существенно увеличить отношение сигнал/шум по сравнению с одиночным четырехполюсником.

17.На основе однородных ПИУ планарных структур получены неоднородные интегральные уравнения для определения параметров неоднородностей планарных линий.

18.На основе резонансного метода для открытого МПР впервые определена краевая проводимость открытого конца МПЛ.

19.Впервые в строгой постановке задачи проанализированы потери в полых металло-диэлектрических волноводах с многослойными оболочками и показана возможность широкополосного и узкополосного улучшения самофильтрации мод в них и уменьшения погонных потерь основной моды.

20.Предложен новый метод определения высокодобротного импеданса ПЭ и согласования с ним с использованием отрезка линии передачи длины Л / 8, на основе которого определен входной импеданс мощного транзистора в режиме большого сигнала. Практическая значимость

1. Разработаны и внедрены программы расчета ряда волноводных, полосковых и коаксиальных структур держателей, функциональных узлов на их основе (фазовращателей, аттенюаторов и выключателей на p-i-n- диодах), программы расчета диэлектрических включений в коаксиальной линии и прямоугольном волноводе, программы расчета многослойных металлодиэлектрических волноводов, программы расчета зондовых структур и излучателей, позволяющие исследовать параметры и определять оптимальные конструкции широкого класса важных для практики ЭС v устройств СВЧ.

2. На основе разработанных методов и программ получены оптимальные конструкцій ряда устройств СВЧ, а также даны практические рекомендации по выбору оптималь ных конструкций, в частности, для улучшения самофильтрации мод и уменьшена потерь основной моды в многослойных волноводах класса ПКД, для улучшения со тасования в коаксиальных и волноводных объемных клиновидных нагрузках, дм

улучшения параметров ДСЭ на диэлектрических подложках в прямоугольном волноводе.

3. Разработаны эффективные методы и алгоритмы анализа ЭС со сложной конфигурацией, которые могут быть использованы для решения широкого круга проблем прикладной электродинамики. Результаты работы использовались при чтении п СГТУ курса лекций "Метод конечных элементов и метод граничных элементов".

4. Полученные в работе результаты использованы и внедрены в НИОКР и в разработках на предприятиях радиоэлектронного профиля ("Тантал", "ЦНИЙИА", НПП "Ника-СВЧ", НПО "Элома", СГУ, СГТУ (Саратов) и "Микроприбор" (Зеленоград). Одна компьютерная программа сдана в Фонд алгоритмов и программ МЭП.

Обоснованность и достоверность теоретических результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих электродинамических моделей и адекватных им методов решения граничных задач электродинамики, экспериментальным подтверждением значительной части теоретических результатов, получением для ряда электродинамических структур двусторонних оценок погрешности находимых решений, исследованием внутренней сходимости алгоритмов, тестированием в ряде частных случаев по точным аналитическим решениям, сравнением полученных результатов с известными экспериментальными и теоретическими результатами других авторов. Достоверность результатов также подтверждают успешные внедрения.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Использование нескольких независимых векторов Герца в каждой из частич-чых областей с изотропным заполнением, а именно по одному электрическому и магнитному вектору для каждой из поверхностей сшивания, приводит к многомерным по-зерхностным сингулярным интегральным уравнениям с максимальной особенностью в зиде второй производной потенциала простого слоя, при этом на остальных границах «стичной области для указанных векторов возможны условия электрической и/или иагнитной стенок, а вид окончательных уравнений от этих условий и от ориентации зекторов не зависит.

2. Регуляризация тензорных ядер на основе интегральных оператор-функций, путем применения поверхностных потенциалов и двумерных векторных, интегральных теорем, преобразованием координат в Фурье-пространстве, а также на основе явного зыделения особенностей приводит к интегральным уравнениям с интегрируемыми яд-)ами и позволяет строить алгоритмы расчета колебательных и дифракционных процесів в конфигурационно сложных электродинамических структурах путем алгебраиза-іии на кусочно-постоянных базисах.

3. Погрешности ряда представимых. функционалами электростатики и электродинамики параметров, определяемые через их двусторонние оценки и получаемые при нахождении этих параметров через решения соответствующих интегральных уравнений с представлением полей в базисах Трефтца и достаточно большом числе взятых пробных базисных функций, пропорциональны невязкам граничных условий.

4. Развитие метода объемных интегральных уравнений относительно полей Ё, н или одного из них и математические модели на основе конечноэлементной декомпозиции для конфигурационно сложных включений магнитодиэлектрика произвольного типа в электродинамических структурах, включая анизотропный и бианизотропный случаи, а также математические модели для держателей СВЧ- элементов и для нсодно-родн остей планарных линий, основанные на ИУ.

5. Результаты моделирования конфигурационно сложных микрополосковых,
волноводных, коаксиальных и диэлектрических структур, в том числе металлодиэлек-
трических структур в волноводах, диэлектрических включений в коаксиальной линии,
металлодиэлектрических волноводов, основанные на поверхностных и объемных инте
гральных уравнениях.

6. Новые физические закономерности, установленные в результате математиче
ского моделирования ряда электродинамических структур на основе численного решс-

Ї ния краевых задач, а именно:

комплексная краевая проводимость неоднородности в виде открытого конца микро-полосковой линии слабо зависит от ширины полоски и имеет емкостной тип; на низких частотах ее реальная часть меньше мнимой и возрастает с ростом частоты, в то время как соответствующая этой проводимости емкость меньше своего статического значения и уменьшается сростом частоты;

конечность длины разветвления в Е- плоскости прямоугольного волновода с неравными проницаемостями сред в образованных каналах приводит к наличию частот полногс отражения СВЧ сигнала, количество которых пропорционально длине разветвления у разнице в постоянных распространения Ню- мод этих каналов, а соответствующие по лосы заграждения тем уже, чем сильнее различаются между собой волновые сопротив ления этих мод;

продольное распределение электрического поля в поглотителях в виде клина или плас тины в коаксиальных и волноводных нагрузках может быть немонотонным и иметі максимум;

входной импеданс коаксиального держателя имеет как индуктивный, так и емкостноі тип и изменяется в широких пределах в зависимости от геометрии;

наличие электрически тонкой диэлектрической подложки в конструкциях полоскового вибратора и планарных полосковых и щелевых держателей СВЧ- элементов, расположенных в поперечной плоскости прямоугольного волновода, позволяет осуществлять их согласование, а также качественно изменять реактивные входные импедансы их зазоров (резонансные частоты этих импедансов уменьшаются с ростом диэлектрической проницаемости подложки и ширины полосок, а острота резонансов уменьшается с ростом толщины подложки, ширины полосок и с возрастанием потерь в подложке и на полосках);

неоднородность высоты отрезка прямоугольного волновода, образующего излучающий элемент, и неоднородность длинной продольной щели в его широкой стенке увеличивают в несколько раз КПД и улучшают равномерность распределения поля в ближней зоне по сравнению с однородным случаем;

тонкий неоднородный слой магнитодиэлектрика в оболочке прямоугольных и цилиндрических волноводов класса полый канал в диэлектрике позволяет в несколько раз улучшить самофильтрациго (селекцию) основной моды ( и НЕп соответственно) из мод высших типов, а включение в оболочку магнитных материалов - снизить ее погонные потери.

Совокупность научных результатов диссертации является развитием направления, заключающегося в получении и решении многомерных поверхностных, объемных и комбинированных интегральных уравнений (КИУ) электродинамики с использованием нескольких взаимно ортогональных электродинамических потенциалов электрического и магнитного типов. Оно включает возможность применения конечноэлементных базисов, регуляризацию тензорных ядер с выделением максимальных и исключением неин-тегрируемых особенностей, возможность определения двусторонних оценок погрешностей решений через невязки граничных условий, что можно рассматривать как решение крупной научной проблемы в области радиофизики и прикладной электродинамики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на ряде международных, всероссийских, всесоюзных и отраслевых конференций, симпозиумов, семинаров и совещаний, в том числе на конференциях по электронной технике (Саратов, 1976, 1979, 1983, 1989); на Всесоюзной научно-технической конференции "Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" (Тбилиси, 1988); на X Всесоюзном семинаре по методам решения внутренних краевых задач электродинамики (Вильнюс, 1988); на III Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных систем СВЧ на объемных интегральных схемах" (Суздаль, 1989); на конференции "Интервальная математика" (Саратов, 1989); на III Всесоюзном совещании "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых структурах" (Паланга, 1989); на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование физических процессов в антенно-фидерных трактах" (Саратов, 1990); на XI Всесоюзном семинаре "Решение внутренних краевых задач электродинамики" (Самара, 1990); на Всесоюзной школе-

семинаре "Взаимодействие электромагнитных волн с твердым телом" (Саратов, 1991); на 11^й Международной конференции по гиромагнитной электронике и электродинамике (Алушта, 1992); на 4^м Международном симпозиуме "Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves" (Kharkov, 1994); на Международной конференции "Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ" (Сергиев Посад, 1995); на Международной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Saratov, 1996); на VIII и IX Международных школах-семинарах "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (Охотино, 1996, Самара, 1997); на Международных конференциях "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Саратов, 1996, 1998); на Всероссийской межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 1997); на Международных конференциях IEEE-Russia Conference High Power Microwave Electronics: Measurements, Identification, Applications (Novosibirsk, 1997, 1999); на Eighth Biennial IEEE Conference on Elecromagnetic Field Computation (CEFC'98) (Tucson, Arizona, 1998); на 5-^lh International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS98), (Saratov, 1998); на International Conference on "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory", (Kharkov, 1998); на 4^th International Conference on Millimeter and Submillimeter Waves and Applications (San Diego, CA, 1998); на 5-'^h International Workshop on Integrated Nonlinear Microwave and MiUimeterwavc Circuits (INMMC'98), (Duisburg, 1998); на 1998 IEEE Antennas and Propagation International Symposium (Atlanta, GA, 1998); на First International Workshop on Laser and Fiber Optic Network (Kharkov, 1999); на XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999); на International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies" (St. Petersburg, 1999); на International Conference on Transparent Optical Networks (Kielce, Poland, 1999); на IEEE International Conference on Antennas and Propagation (Orlando, Florida, 1999); на 7¹'¹ International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'99), (Roime, Denmark, 1999); на Международной конференции "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (Самара, 1999); на 9^th International Crimean Microwave Conference CriMiKo'99 (Sevastopol, Ukraine, 1999), на научных семинарах IEEE MTT/ED/AP/CPMT Saratov-Penza Chapter (1996, 1997, 1998,1999); на научных семинарах в СГУ и СГТУ.

Работа была рассмотрена и одобрена на объединенном семинаре кафедр "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" и "Радиотехника" СГТУ.

Часть результатов использована и внедрена при разработке новых изделий электронной техники в ходе выполнения НИР и ОК, проводимых в соответствии с планами важнейших работ и тематическими программами МЭП, ГК по оборонным отраслям промышленности и МО РФ, в том числе в НИОКР: "Пакт", "Порт-входной", "Полонез", "Проспект", "Пижма", "Парк", "Пепел", "Перекат", "Подорожник", "Перелет", "Постамент", "Приз", "Локон", "Лабиринт", "Литер", "Люкс", "Люстра", "Серп-88", "Цикл", "Цистерна", "Номограмма", "Элемент", "Эпос", "Эра", "Эгида", "Точность-1", "Размах", в большинстве из которых автор являлся соисполнителем. Программа вычисления входного импеданса зазора микрополоскового вибратора сдана в отраслевой фонд алгоритмов и программ МЭП. Использование результатов диссертации подтверждено актами о внедрении (Приложение 4).

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены лично автором. В работах, опубликованных с соавторами, автору принадлежит: постановка задач, разработка методов решения и программ расчета, проведение расчетов. Получение и обсуждение результатов выполнено совместно. 71 печатная работа опубликована

без соавторов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано: 63 статьи [1-63] (в том числе 22 - в рецензируемых отечественных и международных журналах и в центральных сборниках, 27 - в трудах международных, всероссийской, всесоюзной научных конференций, симпозиумов и семинаров, 12 - в реферируемых межвузовских и отраслевых сборниках научных работ и в сборнике депонированных статей), а также 2 патента РФ [64-65], 32 тезисов докладов на международных, всесоюзных и отраслевых конференциях [67-98], 12 технических отчетов о НИОКР. Основные публикации по теме диссертации приведены в конце в списке публикаций автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы из 543 наименований, списка публикаций автора из 111 наименований и .четырех приложений. В начале каждой главы имеется введение, а в конце -выводы по ее результатам. В приложениях дан список обозначений и приведено вычисление ряда интегралов. Общий объем работы (без приложений) - 453 печатные страницы, включая 44 страницы иллюстраций. Диссертация содержит 131 рисунок и 18 таблиц.