Введение к работе
Актуальность темы
Одна из ключевых проблем современной науки - повышение эффективности методов математического моделирования, разработка средств оптимального сочетания аналитических решений и вычислительного эксперимента. Одной из важных задач в этом направлении является разработка средств контроля и доказательства достоверности получаемых результатов, учет всех известных источников неадекватности, начиная с этапа формализации и постановки задачи и кончая анализом полученных результатов.
Практика показывает, что даже в случае существования строгих доказательств существования и единственности решения, сходимости приближенного результата к точному, существует много источников появления неконтролируемой погрешности — например, ошибки при постановке или дискретизации задачи, ошибки программирования, вычислительные ошибки и т.п.
Существуют статистические методы оценки систематической и случайной погрешности по множеству случайных результатов. Имея достаточно большую совокупность значений искомого параметра, искаженную как случайной, так и систематической погрешностью и эталон — либо точное решение, либо такое, погрешность которого заведомо известна и достаточно мала, можно определить систематическую погрешность как математическое ожидание разности меисду приближенным и эталонным результатом. Однако реально, при численных расчетах использование этой методики весьма затруднительно по двум причинам: число разных методов получения результата слишком мало для получения достаточно точных статистических оценок и, кроме того, отсутствует эталон, с которым сравниваются численные результаты.
На практике часто проводится вычисление одного и того же параметра несколькими способами и по разнице результатов судят о точности. Опыт показывает, что несмотря на нестрогость такого подхода, во многих задачах он обладает достаточно высокой надежностью (подтверждаемой дальнейшим исследованием), а иногда является практически единственным способом проверки результата. Недостатком такого подхода является то, что до настоящего времени он недостаточно формализован, в частности, неясно, как по нескольким результатам вывести общие оценки искомого параметра, его погрешности и достоверности.
В диссертации в качестве примера рассмотрены задачи течения идеальной весомой жидкости со свободными поверхностями, решения которых получены в основном численным методом и поэтому требуют дополнительного обоснования. Разработка способов оценки достоверности решений таких задач является весьма актуальной.
4 Целью исследований является:
а) разработка методики оценки точности и достоверности численных ре
зультатов на примере гидродинамических задач;
б) решение задач о течении идеальной весомой жидкости (об обтекании
вихря, диполя и др. препятствий) с оценкой точности и достоверности получен
ных результатов.
На защиту выносятся:
-
Метод уточнения результатов вычислительных экспериментов с независимыми источниками погрешности и оценки совокупной точности решения.
-
Статистические методы оценки достоверности результатов, полученных разными численными методами, алгоритмами и их программными реализациями при различной точности решений.
-
Модифицированные численно-аналитические методы решения задач о течении идеальной жидкости с особенностями на свободных границах и внутри потока.
-
Решения задач об обтекании вихря и диполя, препятствий в виде полукругового и полуэллипсоидального цилиндра, включающие предельные конфигурации, численные исследования различных типов решений и определение диапазонов их существования.
Научная новизна
На основе разработанных в диссертации математических моделей источников погрешностей вычислительных экспериментов впервые получены оценки достоверности численных результатов решения задач о течении идеальной жидкости и найдена их связь с количеством и точностью применяемых численных методов.
Новыми в работе являются полученные численные решения с особенностями на свободной поверхности:
решения с двумя гребнями типа волны Стокса (с углом излома свободной поверхности 120);
другие решения с критической точкой на свободной поверхности с внутренними углами 180 и 360;
особые докритические (Fr< I) решения солитонного вида;
сверхкритические (Fr>l) решения с непериодическими волнами и др.
Практическая ценность
Разработанные математические модели и методы оценки точности и достоверности численных результатов позволяют проверить эффективность применяемых способов повышения достоверности численных результатов и могут быть использованы при решении широкого класса задач математической физики.
Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета
(№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Численные методы» и «Уравнения математической физики».
Апробация работы
Основные результаты докладывались на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 1996), на международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996), на VI всероссийской научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 1996), на всероссийском семинаре «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Чебоксары, 1996), на всероссийской конференции «Теория и технология ЭХО» (Уфа 1996), на международной конференции «Мехаггака машиностроения» (Набережные Челны, 1997), на всероссийской конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1997), на всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997), на международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении» (Казань, 1997), на всероссийской молодежной научно-технической конференции «Информационные и кибернетические системы управления и их элементы» (Уфа, 1997), на семинарах кафедр ПСИ, ВМиК, математики УГАТУ (1995-1997).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 14 работ.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 86 названий. Общий объем работы 153 страницы, 21 рисунок.
