Введение к работе
Актуальность проблемы. Математическое моделирование, выступая, с одной стороны, как инструмент познания реальной действительности, в то же время является важнейшей составной частью проектирования. Развитие вычислительной техники и потребности практики способствовали возникновению и развитию идеи автоматизации проектирования. Этот процесс прежде всего затронул проектирование тех объектов, для которых формирование математической модели поддавалось алгоритмизации.. К таковым, в частности, относятся объекты электронной техники. Успехи автоматизации проектирования в большей степени связаны с автомагизмом в формировании моделей, развитии средств ввода- . вывода информации в ЭВМ. Более скрмные результаты достигнуты в плане реализации математических моделей. В особенности это касается объектов, математические модели которых формируются в виде так называемых динамических систем.
Центральной проблемой, неразрешимость которой сдерживает, развитие математического моделирования и проектирования, является ответ на вопрос о причинах возникновения недетерминированных, в том числе хаотических, состояний динамических систем. В гидродинамике крайняя степень недетерминированного движения жидкости проявляется в виде турбулентности. В'кардиологии недетерминированную динамику миокарда (сердечной мышцы) называют аритмиями, крайней формой проявления которых являются фибрилляции (хаотические сокращения) желудочков миокарда. В устройствах силовой электроники(преобраэовательной техники) возникновение недетерминированных состояний в лучшем случае сказывается на качестве функционирования прибора, в худшем - выходе из строя
части или даже всех его элементов.
Внимание теоретиков к указанной проблеме всегда было достаточно высоким. Причем наибольший интерес проявлялся со стороны специалистов в области теории нелинейньис колебаний. Это естественно, если учесть, что все основополагающие понятия, связанные с характеристиками динамических систем (фазовые пространства, предельные циклы, устойчивость, бифуркации и т.д.) складывались и развивались в рамках этой теории, начиная от А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре.
В настоящее время обозначились две концепции в объяснении причин хаотизапии динамических систем.
-
Хаотизация есть следствие взаимодействия динамической системы с внешними помехами, имеющими случайный характер.
-
Хаос генерируется самой динамической системой даже в условиях отсутствия внешних помех.
В 70-е - 8Q-e годы усилия теоретиков сконцентрировались на обосновании второй концепции. Поводом для этого послужили результаты исследования известной системы 3-х автономных дифференциальных уравнений Лоренца, полученных в связи с задачей о термогравитационной конвекции жидкости между двумя пластинами с разной температурой. Возникновение хаотичности в динамике этой системы связывалось с введением нового (по сравнению с неподвижными точками и предельными циклами) объекта в фазовом пространстве - странного аттрактора, представлявшего собой притягивавшее множество, не являвшееся многообразием. Причем движение изображающей точки на этом множестве имело стохастический характер. Главный недостаток этой теории заключается в ее неконструктивности. Дело не столько в том, что она не в состоянии объяснить многие экспериментальные результаты, свя-
занные с возникновением недетерминированных состояний динами-' ческих систем. Эта теория не дает направление действиям проектировщика с целью обеспечить детерминированный характер динамике проектируемого объекта.
Практики более склонны к восприятие первой из указанных концепций. Хотя у них кет ясного понимания, каким образом взаимодействие помехи с динамической системой приводит к недетерминированным состояниям, многочисленные экспериментальные данные указывали на несомненную связь между наличием помех и недетерминированными состояниями. Со стороны теоретиков, пожалуй, наиболее глубоко о механизме реализации первой концепции написал Ю.И.Неймарк (см.кн.Неймарк Ю.И., Ланда П.С, Стохастические и хаотические колебания.- М.: Наука, 1987). Речь идет о так называемых преобразователях и усилителях стохастичности, под которыми понимаются динамические системы со случайным воздействием на входе. Естественно, что такие динамические системы будут иметь стохастичность на выходе. Разделение на преобразователи и усилители стохастичности определяется по коэффициенту усиления. В качестве такого можно выбрать, например, отношение дисперсий выходного и входного сигналов. Для усилителей стохастичности этот коэффициент много больше, чем для преобразова- телей. Усиление стохастичности может происходить по двум причинам. Первая - это неединственность движений динамической системы и возможность перехода с одного движения на другое. Вторая - возможность перескока из-за флуктуации с одной части кривой периодического движения на другую-Указанные соображения, однако, носят скорее абстрактный характер. Их значимость, необходимость развития, направление развития в сильной степени будет определяться результатами исследо-
вакия конкретных динамических систем.
Цель работы и задачи исследований. Цель диссертационной работы точно отражена в ее названии - это выяснение причин возникновения недетерминированных состояний динамических систем и связь этого явления с проектированием. Достижению этой цели предшествовало решение следующих задач:
рассмотрение принципов математического моделирования с позиций автоматизации проектирования;
исследование локальной устойчивости разрывных систем;
разработка методов поиска стационарных решений для конкретных динамических систем;
получение количественных оценок, объяснявших хаотизацию динамической системы для одномерного отображения;
разработка стратегии проведения ряда численных экспериментов для выяснения причин возникновения недетерминированных состояний динамических систем.
Методы исследований основаны на аппарате теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, матричной алгебры, теории множеств и функций, методов вычислительной математики. .
Научная новизна заключается в представлении множества стационарных решений динамических систем в виде картины ветвления в зависимости от параметров модели. Это позволило понять, как вти решения соотносятся друг с другом и внести весомый вклад в концепцию, объясняющую возникновение недетерминированных состояний динамических систем как следствие взаимодействия динамической системы с внешними помахами.
Практическая значимость работы и внедрение результатов исследований. Практическая значимость работы определяется но-
вой информацией, вносящей понимание в сущность причин возник-і-новения недетерминированных, в том числе хаотических, состояний динамических систем. Это позволит:
направленно искать причины хаотизации в известных динамических системах;
направленно подходить к формированию новых моделей различных объектов;
указать направления развития математического моделирования и параметрического проектирования;
способствовать повышению экономичности качества и надежности проектируемых объектов.
Поскольку все исследования проводились в среде технических специалистов по разработке устройств силовой электроники, они так или иначе использовались при создании конкретных устройств. Но главный итог внедрения - эго разработка и методическое обеспечение на основе проводимых исследований нового курса "Системы автоматизированного проектирования электронных схем" для студентов специальности "Промышленная электроника", преподаваемого автором диссертации в течение многих лет в Томском институте автоматизированных систем управления и радиоэлектроники.
Апробация результатов работы. Результаты исследований представлялись и докладывались на Ш Всесоюзном научно-техническом совещании "Проблемы электромагнитной совместимости силовых полупроводниковых преобразователей" (Таллинн, 1986 г.), на Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматизация электротехнологических процессов в гибких произсодвтвенных системах машиностроения на основе полупроводниковых преобразователей частоты" (УФа. 1987 г.), на ІУ и У Всесоюзной научно-
технической конференции "Проблемы преобразовательной техники", (Киев, 1987, 1991 г.г.), на 1 и Л Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (Ташкент, 1987, Винница, 1991 г.), на Всесоюзном научно-техническом совещании "Применение вычислительной техники для исследования и автоматизации проектирования преобразователей" (Саранск, 1987 г.), на У Всесоюзной . научно-технической конференции "Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов" (Каунас, 1988 г.), на УШ Всесоюзной научно-технической конференции "Силовая полупроводниковая техника и ее применение в нардном хозяйстве" (Миасс, 1989 г.), на ХІУ научно-технической конференции, посвященной 40-летию научно-исследовательского, проектно-конст-рукторского.и технологического института электромеханики НПО "Полюс" (Тонек, 1990 г.).
Публикации. Из множества опубликованных работ в области математического моделирования различных объектов автором отобрано 25, имеющих непосредственное отношение к диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 5 глав, списка литературы из 92 наименований. Объем работы 200 страниц, из них 44 страницы рисунков и таблиц.
