Введение к работе
Актуальность.
Математическое моделирование - один из основных методов исследования в современной микроэлектронике. 3 данной работе рассматривается математическая модель прибора с зарядовой связью /ПЗС/ с зиртуальаой фазой со скрытым каналом. ПЗС - перспективные изделия на основе структуры металл-диэлектрик-полупроводник /МДП/. Они используются как фотоприемники в различных областях народного хозяйства: телевидении, астрономии и т.д. Математическое моделирование таких приборов является необходимым этапом при их проектировании из-за технологической сложности их изготовления и нелинейности протекающих в них процессов, причем модель должна учитывать двумерный характер описываемых процессов.
Большой практический интерес представляют задачи оптимизации конструкций ПЗС. Эффективность и практическая значимость такой работы будут определяться уменьшением числа минимально необходимых физических и технологических экспериментов и существенным сокращением цикла исследование-разработка. Это говорит об актуальности решаемой здесь проблемы исследования двумерной стационарной модели ПЗС. Отметим, что подробное математическое исследование двумерной модели ПЗС ранее не проводилось.
Состояние вопроса.
Математическое описание физических процессов, протекающих в ПЗС, приводит к системе трех стационарных двумерных эллиптических уравнений и краевых условий, описывающих распределение электрического потенциала в трехслойной структуре прибора. Рас-смотрение проводится для ПЗС со скрытым каналом м- типа на подложке р - типа, что определяет вид уравнений системы в каж-
дом из слоев.
Одномерная стационарная модель для ПЗС со скрытым каналом р - типа на подложке /v - типа исследовалась в работах В.Кента, Р.Золдена, Р.Крэмбика, Р.Стрейна, Дж.Мак Кенны, Н.Шрайера, Дж.Смита. В них получено распределение потенциала в скрытом канале ПЗС с однородно легированными р - слоем и ft. - областью при напряжении на затворе прибора V = Ц вольта для сигнальных пакетов различной величины, а также приведено соответствующее распределение объемной плотности сигнального заряда. Приведены результаты двумерного расчета продольного распределения потенциала в центре скрытого канала ПЗС. Физическая сторона этих вопросов и обзор соответствующих работ имеется в монографии С.Зи.
В последнее время в связи с появлением СБИС и 7БИС (.сзерх-и ультрабольших интегральных схем) происходит отказ от классических моделей, поскольку возникают совершенно новые явления, определяющие работу приборов. Двумерный численный анализ полупроводникового прибора был впервые проведён Д.П.Кеннеди, Р.Р.О'Брайеном. Отметим монографию под редакцией П.Антонетти, Д.Антониадиса, Р.Дат-тона, У.Оулдхема, где дан широкий обзор работ зарубежных ученых по исследованию двух - и трехмерных моделей полупроводниковых приборов. 3 этих работах рассмотрены фундаментальные свойства, лежащие в основе всех моделей приборов. Даны обзоры методов численного решения уравнений в полупроводниках.
Оптимизация конструкции прибора сводится к следующей задаче. Поскольку ПЗС со скрытым каналом имеет меньшую зарядовую емкость ячейки по сравнению с другими, типами ПЗС, что может привести к. уменьшению их динамического диапазона, большое значение имеет выбор оптимального профиля легирования канала, исходя из наибольшей зарядовой емкости ячейки. Эта задача формулируется в виде задачи минимизации соответствующего функционала, представляю-
щего зеличину информационного заряда, при управлении концентрацией легирующей примеси, входящей з правую часть эллиптического уравнения, описывающего распределение потенциала з полупроводнике
/2. - типа. Поставленная задача может быть отнесена к одному из подразделов теории оптимизации для систем с распределёнными параметрами. Различные ее аспекты рассмотрены з многочисленных работах как советских, так и зарубежных авторов (см., например, монографии л.-Л.Лионса, Л.С.Понтрягина, г.Л. Засильева).
При решении задачи оптимизации одновременно исследуются вопросы существования я единственности периодических решений исходной системы двумерных стационарных эллиптических уравнении. 3onpjoa;-i существования и единственности периодических решений уравнении з частных производных посвящено больное количество работ. Из них отметим работы ІЇ.-Л.Лионса, л-Л.Лионса и Э.Мад-асенеса, в которых доказаны теоремы существования и единственности для периодических по времени реиенип гиперболических и параболических уравнении, і раооте А.5.Васильевой, М.А.Петрозои доказана теорема существования и единственности периодического решения задачи Дирихле для нелинейного эллиптнческ .го уравнения.
Численный анализ осложняется наличием тонкого диэлектрического слоя, что приводит к появлению эффектов типа пограничного слоя для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка. Сингулярно возмущенным уравнениям в частных производных посвящено большое количество работ: А.Н.Тихонова, М.И. Вишика я Л.А. Люстврника, А.Б. Васадьввоя и З.Ф.Бутузова, С.А Ломова и др.
Полученное в тонком диэлектрическом слое асимптотическое представление решения "сшивается" с решением в полупроводнике с использованием условия непрерывности нормальных составляющих электрической индукции. Эта задача сводится к решению сингуляр-
ного интегрального уравнения на полуоси, которое решается приведением к іраевой задаче Римана. При этом используется методика, разработанная в трудах .Д.Гахова, Ю.И.Черского.
В работе выясняется поведение решения з окрестности омического контакта, являющемся границей между диэлектриком и полупроводником. Поставленная при этом модельная задача сводится "к нахождению решения уравнения Лапласа в плоскости с разрезом. С физической точки зрения это задача определения электростатического поля и плотности заряда вблизи острого ребра идеально проводящей пластины, имеющей нулевой потенциал. Решение проводится методом Винера-Хопфа с использованием методики Б.Нобла. Полученное решение позволяет соответствующим образом выбрать сетку в окрестности контакта при численном решении задачи.
При исследовании задачи оптимизации конструкции прибора получении необходимых условий оптимальности попользуется методика, разработанная в работах її.-Л.ІІионса.
Цель работы.
Исследование свойств стационарной двумерной математической модели ПЗС и разработка аналитических и численных методов решения поставленной задачи оптимизации конструкции прибора.
Научная новизна.
-
Исследована двумерная стационарная математическая модель прибора с зарядовой связью. При этом получено асимптотическое представление решения двумерного эллиптического уравнения, периодического по переменной sc , с краевыми условиями первого рода по переменной у. Искомое уравнение - сингулярно возмущенное под:
-
Получено сингулярное интегральное уравнение для определения решения на границе между диэлектриком и полупроводником п. -типа. Определено . электростатическое поле и плотность заряда вблизи острого ребра идеально проводящей пластины, имеющей нулевої
7 потенциал.
-
Получены необходимые условия оптимальности а поставленной задаче минимизации функционала, представляющего величину информационного заряда для исходной системы уравнений. Доказано существование и единственность решения задачи оптимизации.
-
предложены численные методы решения задач распределения потенциала з случае наличия и отсутствия информационного заряда в скрытом канале.
-
Предложен метод аппроксимации и численный метод реиения ЗсіачЧИ оптимизации конструкции приоора. Проведены модельные расчеты, показывавшие эффективность предложенных методов.
Метод исследования.
3 работе применены методы функционального анализа, сингулярно возмущенных уравнений а частных производных, метод Зинера-Хопфа, теории экстремальных задач, конечно-разностные методы.
Практическая ценность.
Полученные результаты могут оыть применены при исследовании математических моделей конкретных физических пркоороэ на основе структур металл-Лиалектрик-полупроводник /і-ідії/. предлагаемые з раооте методы могут служить эффективными методами решения таких задач. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о возможности широкого применения таких методов для вышеупомянутых задач, а также для тех задач, в которых могут быть применены результаты, приведенные з І.2, 1.3 работы.
Апробация работы х публикации.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и оптимального управления факультета і;іК МГУ, ЗЦ РАН и НШЙП им. Ф.З.Лукина, где ани были использованы для внедрения, соответствующих программ (имеется акты о внедрении программ в НШ&П им. ф.З.Лукина).
Также результаты, полученные в диссертации, докладывались на
отраслевой научно-практической конференции "Математические модели в микроэлектронике" (г.Зеленоград, 1985г), на УТ Всесоюзном совещании-семинаре молодых учёных: "Современные проблемы автоматического управления" (г. Москва, 1985 г.). на 1-ой Международной научно-практической конференции молодых учёных и специалистов з области приборостроения: "ИНТЕРПРИБОР - 90" (г. Москва, 1990 г.).
Основные результаты диссертации содержатся в работах /1-5/. Программа определения распределения потенциала в приборе прилагается к работе.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, списка литературы ; текст диссертации содержит 103 страниц, библиография - ЦО названий.