Введение к работе
Актуальность темы. В последнее десятилетие большое внимание уделяется исследованию задач оптимального управления термогидродинамическими процессами. В гидродинамике и тепловой конвекции указанные задачи возникли в связи с необходимостью установления наиболее эффективных механизмов управления термогидродинамическими полями и, в частности, с необходимостью создания течений, обладающих определенными динамическими и топологическими свойствами. В инженерной экологии задачи такого рода возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия и, в частности, при решении задачи оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.
Строгому теоретическому исследованию указанных задач посвящено большое количество работ, начиная с пионерских работ А. В. Фурсикова (1980-1982) и Ж. Лионса (1987). Среди них отметим работы М. Gunzburger, L. Нои, Т.Р. Svobodny (1989, 1991 - 1993, 1998, 1999), А.В. Фурсикова и О.Ю. Эмануилова (1993 - 1999), Г.В. Алексеева и В.В. Малыкина (1993, 1994), А.Ю. Чеботарева (1993, 1995), F. Abergel и Е. Casas (1993), Г.В. Алексеева, Д.А. Терешко и А.Б. Смышляева (1996-2000), К. Ito и S.S. Ravindran (1997, 1998), в которых изучаются стационарные задачи граничного или распределенного управлений для уравнений гидродинамики вязкой жидкости либо уравнений тепловой конвекции.
Наряду с задачами оптимального управления, значительную роль в приложениях играют обратные задачи для уравнений гидродинамики. Важным классом этих задач применительно к процессам тепло- и массоперено-са являются обратные задачи обнаружения или восстановления источников разного рода примесей, присутствующих в жидкости. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных источников примеси по определенной информации о создаваемом этими источниками поле концентраций примеси. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда достоверная информация о параметрах источников примеси неизвестна. Кроме того, нередко приходится рассматривать ситуации, когда источник расположен в месте, недоступном для прямых измерении, причем информации о параметрах источника не разглашается. Неучтенные выбросы вредных примесей от таких источников могут представлять собой серьезную опасность для окружающей среды. Это указывает на актуальность исследования обратных задач обнаружения источников примеси. Еще один класс обратных
задач, а именно класс обратных задач идентификации параметров среды, возникает в случае, когда неизвестными величинами являются, наряду с решением, некоторые коэффициенты рассматриваемых уравнений и их необходимо восстановить по определенной информации о решении.
Следует отметить, что исследование обратных задач может быть сведено к исследованию соответствующих экстремальных задач путем выбора подходящего функционала качества. Это позволяет применять для исследования обратных и экстремальных задач один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений теории массопереноса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для концентрации и неоднородном условии Дирихле для скорости. Указанные обратные задачи заключаются в нахождении неизвестных параметров либо плотностей источников, входящих в исходную математическую модель по определенной информации о решении.
Методы исследования. При получении результатов настоящей диссертации использовались методы математического моделирования, теории функциональных пространств Соболева, теории нелинейных операторов в гильбертовых пространствах, теории условной оптимизации в гильбертовых пространствах, теории дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, аппарат теории Лакса-Мильграма.
Научная новизна. Исследована разрешимость краевых задач для стационарных уравнений массопереноса, рассматриваемых в ограниченной области с липшицевой границей при смешанных краевых условиях для температуры и неоднородном граничном условии Дирихле для скорости при минимальных требованиях на гладкость исходных данных. Выведены априорные оценки решения прямой краевой задачи, непрерывно зависящие от норм исходных данных. Установлены достаточньге^сдовия-единственно^ тгпгреТненіїи указанных краевых задач. Доказаны теоремы существования решений соответствующих экстремальных задач с использованием как граничных, так и распределенных управлений. Обосновано применение метода неопределенных множителей Лагранжа, выведены и проанализированы системы оптимальности для конкретных функционалов качества. Установлены достаточные условия единственности решения обратных экстремальных задач для некоторых функционалов качества. В качестве следствия построенной теории для стационарной системы уравнений массопереноса выведены результаты исследования соответствующих экстремальных за-
дач для уравнений Навье-Стокса и тепловой конвекции.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют теоретический интерес и могут служить основой для дальнейшего анализа конкретных прямых и обратных экстремальных задач для уравнений массопереноса. Численное решение полученных систем оптимальности позволит установить наиболее эффективные механизмы управления процессами распространения примесей в вязкой жидкости. Это позволяет надеяться на практическое использование результатов диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997 - 1999), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золо-това (Владивосток, 1997 - 1999), на XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1998), на Международной конференции по обратным задачам математической физики (Новосибирск, 1998), на Международной конференции, посвященной 70-летнему юбилею академика С.К. Годунова (Новосибирск, 1999). Автор выступал с докладами на научных семинарах в ИПМ ДВО РАН под председательством член-корр. РАН Н.В. Кузнецова (1999-2000).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-15].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, который содержит 105 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.