Введение к работе
Актуальность проблемы. Оценка функции корреляции случайного процесса является обычно одной из первых задач, возникающих при экспериментальном исследовании реальных случайных процессов.
Большая часть теории, посвященной оценке функции корреляции стационарных случайных процессов, построена для следующих случаев:
а) . измерения изучаемого случайного процесса
производятся через равные промежутки времени;
б) . наблюдению доступна вся реализация случайного
процесса на некотором интервале времени [0,Т].
Однако на практике встречаются и ситуации, когда измерения изучаемого случайного процесса производятся в случайные моменты времени. Это может иметь место как в силу технических причин (так называемое "дрожжание" момента измерения) , так и при специальных схемах организации измерений. Так, например, в системах телеметрии, применяемых в некоторых спутниках, съём информации на борту происходит тогда, когда там происходят какие-то события - срабатывает реле, включаются и выключаются какие-то блоки и т.д. Эти события образуют некоторый случайный поток событий и поэтому измерения контролируемого . процесса также происходят в случайные моменты времени.
Кроме того, организация измерений в случайные моменты времени позволяет избежать ряда неприятных эффектов, таких как "свёртывание спектра".
Всё это вызвало к жизни работы, посвященные оценке функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени, среди которых особо отметим работы В.И. Высоцкого, Ю.И. Грибанова, А. Жилинскаса, И.Г. Журбенко, Ф.Ф. Идрисова, Г.А. Медведева, J.R. Blum, 0.1. Daudpota, J. Istas, P.F. Scott.
Однако, исследование этой проблемы нельзя считать законченным и ещё имеются "белые пятна" и неисследованные типы оценок.
Частичному исследованию этой проблемы и посвящена данная диссертационная работа. Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетной НИР "Стохастическое моделирование систем информации" (шифр "Модель"), выполненной в СФТИ в рамках программы Госкомобразования "Математическое моделирование в научных и технических системах" (задание № 129, раздел № 9 "Стохастическое моделирование", регистрационный № 01900002126), а также в рамках хоздоговорной НИР "Сеть", выполнявшейся в Томском университете для Омского НИИ Приборостроения.
Цель работы. Целью настоящей работы является:
1. Построение и исследование оценок корреляционной
функции стационарного гауссовского случайного процесса
на основе разложения корреляционной функции в обобщённый
ряд Фурье, когда моменты измерений образуют
пуассоновский поток событий.
2. Построение и исследование рекуррентных
сплайновых оценок (сплайнами первого и второго порядка)
корреляционной функции гауссовского стационарного
случайного процесса, когда моменты измерений образуют
пуассоновский поток событий.
3. Проверка предложенных алгоритмов оценивания
методом имитационного моделирования.
4. Разработка программного обеспечения,
реализующего предложенные алгоритмы.
Методы исследований. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, теории уравнений в конечных разностях. При проверке результатов теоретического исследования использовались приёмы и методы имитационного моделирования случайных потоков и диффузионных случайных процессов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Предложены алгоритмы оценки коэффициентов
разложения функции корреляции в обобщённый ряд Фурье по
ортонормированной системе функций, когда измерения
образуют пуассоновский поток событий постоянной и
известной интенсивности X. Показано, что эти оценки
1 имеют смещение, убывающее как , и их дисперсии и
1 ковариации убывают также как ^, где Т - интервал
наблюдения.
Установлены достаточные условия обрыва ряда, при которых оценка функции корреляции сходится к её истинному виду в средне-квадратичном смысле на конечном интервале.
2. Предложены оценки функции корреляции в виде
бесконечного ряда по системе ортонормированных функций с
корректирующими сомножителями при коэффициентах
разложения.
Установлены достаточные условия для зависимости сомножителей от времени наблюдения Т и от номера коэффициента разложения, при которых оценка функции корреляции сходится к истинному значению в среднеквадратичном смысле на любом конечном интервале.
3. Рассмотрена модель функции корреляции
стационарного случайного процесса в виде сплайна первого
порядка и сплайна второго порядка дефекта 1. Путём
модификации метода наименьших квадратов построены
рекуррентные оценки параметров онлайновой модели первого
порядка. Показано, что эти оценки являются несмещёнными
1 и их дисперсии.и ковариации убывают не медленнее, чем ^г-
Для модели в виде сплайна второго порядка дефекта 1
получены рекуррентные оценки параметров сплайновой
модели в виде системы разностных уравнений, зависящих от
двух параметров а и р. Показано, что эти оценки являются
несмещёнными и их дисперсии и ковариации убывают не
1 ' - „
медленнее, чем Y- Получена область значении параметров
а и Р, в которой система уравнений, определяющих оценки,
будет устойчивой, найдены оптимальные значения
параметров а и р.
4. Предложенные сплайновые оценки применены для
оценки функции корреляции произвольного вида. Найдена
средне-квадратичная ошибка оценки и показано, что она
состоит из двух слагаемых: первое слагаемое описывает
неустранимую ошибку, возникающую из-за аппроксимации
функции корреляции сплайном, а второе слагаемое,
1 убывающее не медленнее, чем ^ ~ случайную погрешность,
возникающую из-за конечного объёма выборки.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что предложенные алгоритмы могут быть использованы для оценки функции корреляции стационарного случайного процесса, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.
Реализация полученных результатов. Результаты исследований по построению и изучению оценок функции корреляции стационарного гауссовского процесса, в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, а также программы, реализующие эти алгоритмы, были переданы Омскому НИИ Приборостроения в рамках НИР "Сеть". Эти результаты использовались для обработки экспериментальных данных при исследовании помех естественного и техногенного происхождения, а именно для оценки функции корреляции этих помех.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Вид оценок коэффициентов разложения функции корреляции в ряд Фурье по ортонормированной системе функций; свойства этих оценок - а именно то, что их
смещение убывает как -^, их дисперсии и ковариации
1 убывают не медленнее, чем / гДе Т-интервал наблюдения.
2. Условия, при которых имеет место сходимость
оценки функции корреляции к истинному значению в средне
квадратичном смысле на любом конечном интервале.
3. Вид регуляризирующих сомножителей и условия, при
которых оценка функции корреляции в виде бесконечного
ряда с регуляризирующими сомножителями сходится к
истинной функции корреляции в средне-квадратичном смысле
на любом конечном интервале.
4. Вид рекуррентных оценок параметров сплайновой
модели первого порядка и свойства этих оценок: их
несмещённость и убывание их дисперсий и ковариации не
1 медленнее, чем т.
5. Вид рекуррентных оценок параметров сплайновой
модели второго порядка дефекта 1 и свойства этих оценок;
область значений параметров а и Р, при которой система
уравнений, определяющая эти оценки, будет устойчивой;
оптимальные значения параметров а и р,
6. Сплайновые оценки для функции корреляции
произвольного вида; выражение для предельной средне
квадратичной погрешности при Т—ко. Убывание второго
слагаемого, определяющего средне-квадратичную
ПОГреШНОСТЬ, НЄ Медленнее, ЧЄМ Тр.
Публикации по теме диссертации приведены в конце автореферата.
Апробация работы. Основные положения диссертации и её отдельные результаты докладывались и обсуждались на
1. VII Всесоюзном семинаре "Непараметрические и
робастные статистические методы в кибернетике и
информатике", Иркутск, 1990.
2. Республиканской научно-технической школе-
семинаре "Анализ и синтез систем массового обслуживания
и сетей ЭВМ", Одесса, 1990.
3. Республиканской научной конференции
"Математическое и программное обеспечение анализа
данных", Минск, 1990.
4. Всесоюзной научно-технической конференции
"Распределённые микропроцессорные управляющие системы и
локальные вычислительные сети", Томск, 1991.
5. VIII Международном симпозиуме "Непараметрические
и робастные статистические методы в кибернетике и
информатике", Красноярск, 1995.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, заключения и списка литературы. Общий объём работы - 133 страницы, включая 12 рисунков и 1 справку об использовании результатов. Библиография содержит 73 названия.