Введение к работе
Актуальность работы. Бурное развитие науки и техники, усложняющаяся и дорогостоящая производственная технология приводят к гому, что оптимизация различных систем становится одной из наи -5олее актуальных проблем прикладной математики и кибернетики.
Основополагающие результаты в теории оптимизации управления получены в работах Л.С.Понтрягина, Р.Белмана, В.П.Болтянского, Р.В.Гамкрелидзе, Дне.Варга, А.Я.Дубовицкого, А.А.Фельдбаума, -І.Н.Красовского, А.А.Милютина, Е.Ф.Мищенко, Б.Н.Пяеничного, В.М.Тихомирова и др. советских и зарубекных математиков. Была в основном создана теория управления системами с конечномерным фазовым пространством. Однако во многих технических приближениях суть объектов управления таковы, что они имеют пространственную протяженность и их состояние описывается некоторыми классическими или неклассическими уравнениями математической физики ( сие -темы с распределенными параметрами - с.р.п. .) .Анализ объектов подобного рода требует существенного обобщения методов и средств анализа систем с сосредоточенными параметрами ( с.с.п.). Решению этих задач посвящены работы А.Бенсусана, Б.Н.Бублика, А.Г.Бут -ковского, Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, В.И.Иваненко, К.-Л.Лионса, К.А.Лурье, А.Г.Наконечного, Ю.С.Осипова.Ю.И.Само йленко, Т.К.Сиразетдинова, Р.П.Зедоренко и др.
Многие задачи физики, экономики, экологии, медицины и т.д. приводят к необходимости рассмотрения задач, содержащих в правих частях уравнения состояния с.р.п. обобщенные функции конечного порядка, в том числе и по временной переменной ( импульсное, точечное и т.д. управление) . При решении возникающих здесь задач сингулярного оптимального управления возникает ряд существенных проблем. Некоторые результаты в направлении их преодоления получены у нас в стране и за рубежом, однако единой теории пока нет.
Для систем с сосредоточенными параметрами задача оптимального импульсного управления была решена в работах Н.Н.Красовского посредством введения интеграла Стилтьеса и использования методов L - проблемы моментов. В игровой постановко эта задача была исследована Ф.ЛЛерноусько и А.А.Меликяном.Получению необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина посвящены работы А.А.Асланяна, Б.М.Миллера и др. В работах А.Бенсусана и М.-Л.1ионса задача синтеза оптимального управления была
сведена к решению соответствующего квазивариационного неравен -ства. В работах Ю.В.Орлова задача импульсной оптимизации решается с помощью расширения вариационной задачи с её последующим анализом в классе обобщенных функций. В работах М.Ж.Валаса, Л.В,Байта и др. задача точечного оптимального управления некоторыми с.р.п. изучалась с помощью теории полугрупп. В работах А.И.Егорова импульсное позиционное управление получено для ура -внения теплопроводности как результат решения некоторых линейных задач. В работах А.Венсусана и Ж.-Л.Лионса задача оптимального импульсного управления изучалась в стохастической постановке. Следует отметить, что введение помех в изучаемые системы равно -сильно регуляризации, что упрощает исследование вопросов существования оптимальных управлений. Что ке касается получения необ -ходимых условий оптимальности, то ситуация обратная. Введение помех делает формулировку стохастического принципа максимума не~ единственной и очень сложной.
При изучении управляемых систем одним из важнейших является вопрос их управляемости. Для линейных с.с.п., допускающих обоб -щенные воздействия, проблема управляемости была изучена Н.Н.Красо вским. Показано, что введение таких воздействий не расширяет условий полной управляемости. В случае с.р.п. дело обстоит значительно сложнее. А.Г.Бутковским показано, что управляемость ср.п. с точечным воздействием может существенно зависеть от теоретико-числовой природы точки приложения управляющих воздействий
Некоторые задачи оптимизации систем с помощью обобщенных воздействий рассматривались в работах А.Б.Куржанского, Ю.И.Самойлен-ко, Я.З.Цыпкина и др.
Несмотря на приведенные результаты, многие актуальные задрли обобщенного управления остаются открытыми ( импульсная управляемость, численные методы ) или исследованы неполно ( существование оптимальных управлений, необходимые и достаточные условия оптимальности ).
В данной работе с единых позиций, основанных на использовант априорных неравенств с негативными нормами конечного порядка, строится теория оптимизации с.р.п. с данными конечной гладкости і классе обобщенных воздействий. Неравенства с негативными нормами впервые были получены В.П.Диденко для вырождающихся уравнений и .уравнений смешанного типа в начале 70-х годов и оказались очень эффективными для изучения рассматриваемых в работе задач.
Цель работы заключается в создании теории оптимального управления линейными с.р.п. с помощью нелинейных обобщенных воздейст -вий ( в том числе импульсных ). В ней изучаются вопросы существования оптимальных управлений, получены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия управляемости в классе различных обобщенных воздействий, строятся численные методы обобщенной оп -типизации ( включая численные методы решения граничных задач, содержащих в правых частях уравнений обобщенные функции конечного порядка ).
Научная новизна состоит в том, что для широкого класса задач впервые получены и применены для изучения оптимальных свойств неравенства с негативньши нормами. Получены достаточные условия управляемости и существования оптимальных управлений в классе обобщенных воздействий конечного порядка. Получены необходимые ус -ловия оптимальности импульсных воздействий, необходимые условия импульсной управляемости для широких классов линейных с.р.п. Построены численные методы приближенного решения задач импульсной оптимизации. Изучены некоторые новые задачи, содержащие в правых частях уравнений обобщенные воздействия ( управление коалицией -тами, управление граничным временем, совместная оптимизация и идентификация ). Дяя решения граничных задач с правыми частями из различных пространств ( содержащих, в частности, импульсные и точечные воздействия ) построены аналоги метода Галёркина.
Теоретическое значение диссертационной работы состоит в соз -даний общей теории оптимизации линейных ср.п. в классе обобщен -ных воздействий конечного порядка. Разработана методика доказательства существования решений, получения необходимых условий оптимальности, доказательства управляемости, построения численных методов приближенного решения.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты расширяют класс сложных задач оптимизации с.р.п., которые можно эффективно исследовать с помощью разработанного в диссертации аппарата, а также позволяют конструировать численные методы для их решения.
Реализация результатов работы. Результаты работы использованы при выполнении работ по темам № 79051254, № 7601920 Институ -том кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, темы "Разработка и обоснование методоз оптимального управления системой с распределенными параметрами", выполняемой с СКВ ММС Института кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР по постановлению Президиума АН УССР
№ 235 от 23.05.79 г. ( Р.Г.Е. 135.02 ) , при разработке догово -ров о научно-техническом сотрудничестве между СКВ ММС и Украин -ским отделением института "Гидропроект" им.С.Я.Жуха ( 1985-1987, 1988-1989 гг.) .
Получено дополнительное авторское свидетельство № 243728 к авторскому свидетельству № 226975 на изобретение по заявке № 3.127778 ( зарегистрировано в Государственном реестре изобре -тений СССР I октября 1986г. ) . Программа "Алгоритм совместной идентификации и оптимизации" сдана в Республиканский фонд алгоритмов и программ ( кнв. № 5895 ). Результаты диссертации испо -льзованы для чтения курса лекций по исследованию операций для студентов механико-їяатематического факультета и факультета ки -бернетики Киевского госуниверситета им. Т.Г.Шевченко и механико-математического факультета Таджикского госуниверситета им.В.И.Ле нина.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: Третьем всесоюзном семинаре "Численные методы нелинейного про -граммирования" ( г.Харьков, 1979г.) , Четвертой всесоюзной конференции "Оптимальное управление в механических средах" (г.Мо -сква, 1982г.) , Третьей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" ( г. Канев, 1982 г.) , Всесоюзном научно-техническом семинаре "Методы и средства решения краевых задач" ( г.Казань, 1984 г.) , Международной конференции "Стохастическая оптимизация" (г. Киев, 1984 г.) , Пятой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах" ( г.Казань, 1984 г.) , Всесоюзном семинаре "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложение" ( г.Саратов, 1985 г.) , Седьмой всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( г.Иркутск, 1985 г.) , Всесоюзном симпозиуме "Методология системных исследований" ( г.Москва, 1985г.) , Всесоюзном научно-техническом совещании "Пути удешевления и ускорения строительства плотин из грунтовых материалов" ( г.Ленинград, 1985 г. ), Закавказской научно-тех -нической конференции молодых ученых и специалистов "Информатика и вычислительная техника" ( г.Ереван, 1986 г.) , на семинарах Научного совета АН УССР по проблеме "Кибернетика" (1979-1989гг.) на семинарах факультета кибернетики Киевского госуниверситета им. Т.Г.Шевченко, Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН УСС1 (1979-1989 гг.) , семинаре Института математики и механики УНЦ АН СССР ( 1989 г. ).
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 194 наименования. Объем работы х-9 О страниц машинописного текста.
