Применение регуляризации для решения обратных задач радиозондирования ионосферы Настасьина, Наталья Владимировна

Введение к работе

Актуальность проблемы. Ионосфера, часть верхней атмосферы Земли, играет все возрастающую роль в хозяйственной деятельности человека. Эта область околоземной среды определяет время жизни I-1C3, ее электрические свойства оказывают существенное влияние на распространение радиоволн практически всех диапазонов. Поэтому ионосфера находится под постоянным контролем, осуществляемым как с поверхности Земли, так и из космоса.

Несмотря на значительный прогресс в этой области, основная информация о состоянии околоземной плазмы получается методом импульсного высокочастотного (ВЧ) зондирования (наземного, спутникового и трансионосферного). Эффективность этого способа определяется уровнем развития двух факторов: инструментальной базы и математических методов обработки экспериментальных данных. Современные цифровые ионозонды дают огромный объем информации об ионосфере. Однако математические методы корректной и быстрой ее обработки все еше не удовлетворяют практическим требованиям.

ВЧ-зондирование имеет две особенности. Во-первых, оно дает косвенную информацию о параметрах околоземной плазмы. Для их определения необходимо обращать интегральные уравнения или Вольтерра, или Фредго.тьма первого рода. Во-вторых, из-за нестационарности и флуктуационных свойств среды распространения радиоволн погрешности измерений известной части уравнений не могут быть сколь угодно малыми.

Классические работы А.Н. Тихонова (см.. например, [1,2]) доказали возможность решения этой проблемы. Однако при практической реализации схемы регуляризации для каждой конкретной задачи приходится выбирать свой способ , который может быть не единстве-

нен [1-3]. Это хорошо видно на примере восстановления высотного хода электронной концентрации, ЛСД-профиля, по результатам наземного вертикадьного зондирования. По данной задаче опубликовано сотни работ, разработаны десятки методов. В целом, в настоящее время эта проблема решена с приемлемой для практики точностью. Однако такие задачи, как определение ЛСД-профилей по данным трансионосферного зондирования, восстановление высотных зависимости эффективной частоты соударений электронов, v^^-профилей, по результатам измерения поглощения радиоволн, далеки от своего завершения. Решение этих проблем дает возможность расширить информативность методов ВЧ-диагностики при мониторинге ионосферной плазмы .

Цель и задачи исследования. Цель работы заключается в том, чтобы для указанных выше обратных задач найти эффективные способы регуляризации, которые позволят найти устойчивые решения в условиях, когда погрешности измерений не могут быть сделаны сколь угодно малыми.

Имеется в виду, что будут решены следуюшие задачи:

- выбран эффективный стабилизатор, уменьшающий влияние
мультиколлинеарности (почти линейной зависимости векторов-
столбцов матрицы измерений) [3] и позволяющий учитывать экспе
риментальные данные с различным уровнем погрешностей;

найден способ поиска параметра регуляризации при достаточно больших ошибках в экспериментальных данных;

дана оценка погрешностей определения ионосферных параметров при практической реализации ВЧ-диагностики;

Научная новизна исследования. Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложен новый метод выбора стабилизатора, заключающийся в согласовании структуры стабилизатора с матрицей системы нормальных уравнений.

2. Найден эвристический способ определения параметра регуляризации, обеспечивающий компромисс между увеличением остаточной суммы квадратов невязок измеряемых величин и уменьшением среднеквадратичных ошибок регуляризированного решения.

3. Впервые задача восстановления высотных зависимостей эффективной частоты соударений электронов по многочастотным измерениям поглощения ВЧ-радиоволн решена методом регуляризации. Предложен новый способ их диагностики методом наклонного зондирования.

Научная и практическая ценность работы.

4. Новый метод выбора стабилизатора, эффективность применения которого для нескольких обратных задач радиодиагностики ионосферы продемонстрирована на численных расчетах , может явиться основой для разработки теоретического способа согласования стабилизирующего функционала со структурой матрицы измерений.

5. Предложенный в работе эвристический способ выбора параметра регуляризации в условиях, когда экспериментальные данные имеют большие погрешности измерений, указывает на возможность обоснования теоретического метода поиска приближенного решения, реализующего компромисс между увеличением суммы квадратов невязок и уменьшением дисперсии длины вектора решения.

6. Разработанная схема поиска регуляризированного решения позволяет получить устойчивые к случайным ошибкам радиофизических измерений геофизические параметры ионосферной плазмы. Это дает возможность решать следующие практические задачи:

- исследовать проявление аномального поглощения радиоволн

при вертикальном зондировании ионосферы для каждого сеанса измерений, что существенно сокращает материальные и временные затраты;

получать по данным спутникового зондирования распределение электронной концентрации для внутренней ионосферы в глобальных масштабах для повышения надежности краткосрочного радиопрогноза;

развивать новый метод диагностики эффективной частоты соударений электронов, использующий наклонное зондирование и позволяющий на основе абсорпционных измерений определять недоступные для метода вертикального зондирования параметры верхней атмосферы: температуру и концентрацию нейтральных частиц, а также температуру электронов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: XXIV Генеральной Ассамблее Международного радиосоюза (URSI) (Япония, Киото, 1993); XVII Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Ульяновск, 1993); XIX Генеральнай Ассамблее Европейского геофизического общества (EGS) (Франция, Гренобль, 1994); IV Международной научно-технической конференции "Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах" (Вологда, 1994); Международной конференции "100-летие начала использования электромагнитных волн ..." (Москва, 1995); XXV Генеральной Ассамблее Международного радиосоюза (URSI) (Франция, Лилль, 1996); XVIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения и изложена на /.:Остраницах; содержит 16 рисунков и 5 таблиц; список литерату-

ры включает/)^ наименования.

Во введении обоснована актуальность работы, определена цель исследовании, отмечена новизна результатов, их научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на зашиту.

Первая глава посвяшена обзору литературы по рассматриваемой проблеме. В ней также приведены необходимые для работы сведения из теории распространения радиоволн в магнитоактивной плазме. Глава состоит из пяти разделов.

В первом разделе главы описано высокочастотное приближение геометрической оптики. Оно основано на линеаризации показателя поглощения по малому параметру v_e/co, где со - рабочая частота. Показано, что использование приближенных формул для расчета фазы и поглощения отраженных ионосферой волн дает пренебрежимо малые погрешности относительно результатов, получаемых путем численного решения волнового уравнения для магнитоактивной плазмы.

Во втором разделе введены основные соотношения, связывающие параметры среды с характеристиками радиосигналов при вертикальном распространении и рассмотрены типы линейных интегральных уравнений для обратных задач радиозондирования ионосферы. Отмечено, что в отдельных случаях они являются уравнениями Вольтерра первого рода с корневой особенностью (сводящимися к уравнениям Вольтерра второго рода). При определенных условиях (отсутствие магнитного поля, либо поперечное распространение обыкновенных волн) уравнения такого типа превращаются в уравнения Абеля, допускающие решение в квадратурах. При наличии немонотонных уча-

стков іУі^-профиля возникают уравнения Фредгольма первого рода, решение которых является некорректной задачей и требует применен ния специальных регуляризируюших методов [1].

В третьем разделе рассмотрено понятие некорректной задачи и на даны определения корректности задачи по А.Н. Тихонову, регуляризируюших операторов и приведено теоретическое описание алгоритма регуляризации [1]. '

В четвертом разделе рассмотрен достаточно распространенный способ регуляризации - ридж-оиенивание [3]. Даны основные условия его применимости и описаны два способа нахождения приближенных решений с его помощью.

В пятом разделе по литературным данным рассмотрены результаты применения известных методов регуляризации для решения задач диагностики ионосферной плазмы. Анализ ряда работ показал, что применение регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова улучшало решение по сравнению с методом наименьших квадратов. Однако использовавшиеся схемы выбора стабилизатора и оптимального значения параметра регуляризации позволяли получать приемлемые для практических целей результаты при уровне погрешностей исходных данных, недостижимом в реальных ситуациях. Поэтому в ряде работ были даны рекомендации по увеличению точности измерений и уменьшению размерности задачи, приводящие к повышению устойчивости решения относительно влияния случайных ошибок эксперимента.

Вторая глава посвяшена решению одной из трех задач, рассматриваемых в диссертационной работе - определению высотного профиля эффективной частоты соударений электронов v_t,(/i) по измерениям частотных зависимостей поглощения радиоволн. При моделиро-

вании этой задачи предложена новая схема регуляризации, включающая выбор стабилизатора и критерий поиска параметра регуляризации. Глава состоит из шести разделов.

Первый раздел включает в себя физическую постановку задачи и описание математической модели.

Задача решалась для ночных условий, при которых, с одной стороны, можно пренебречь влиянием областей D и Е, а с другой - получить максимальные эффекты, обусловленные дополнительным затуханием радиоволн за счет влияния турбулентности.

Поглощение радиоволн в высокочастотном приближении геометрической оптики было представлено в виде:

Па) = — —р==-й?А

где X = со^у / or, Z-v_ela>, со_Л, - плазменная частота электронов, с -скорость света в вакууме, К(Х) - ядро линеаризированного по v_e показателя поглощения [4].

Для ночных условий зависимость величины X от высоты h над поверхностью Земли выбиралась как

'А-А..

(1)

X = X,

-де h_m - высота максимума ионосферного параболического слоя, Н -юлутолщина параболы, Х_т ~ьУ_т /со², со,,,- максимальная плазменная тстота слоя. Для моделирования прямой и обратной задач был ис-юльзован высотный профиль эффективной частоты соударений элек-ронов в виде:

,„ <» ?- (h ) h,„ - h

v. CO = v," ^A ,;+ j3 +y "

co,_n(h) ^r ' H 9

где первое слагаемое отражает электрон-ионные столкновения [5], два других слагаемых описывают бесстолкновительное затухание радиоволн в терминах эффективной частоты соударений электронов.

Таким образом, основным объектом исследований данной главы является операторное уравнение первого рода

Аи=у, uell, yeY (2)

в сепарабельных нормированных пространствах U и У соответственно. Оператор А: /-»FecTb непрерывный однозначный оператор с плотной в Y областью значений. Поскольку правая часть уравнения (2) является вектором экспериментальных данных, измеряемых с некоторой случайной ошибкой е, то вместо точного значения исходных данных у из пространства измерений Y предполагается, что данные заданы с аддитивной случайной погрешностью є с конечным вторым моментом и нулевым средним, т.е. вместо yeY нам известно

Ус = Уо^+є.

Во втором разделе главы поставленная задача решается при помощи метода наименьших квадратов. Здесь на основе анализа литературы показано, что неустранимые погрешности измерений, вызванные флуктуациями среды, приводят к трудностям при нахождении МНК-решения [2]. МНК-оценка получается случайной с большой неопределенностью, обусловленной мультиколлинеарностью (почти линейной зависимостью) строк матрицы оператора А.

В третьем разделе анализируется применение двух способов ридж-оценивания, описанных в первой главе, к решению данной задачи. Отмечено, что нечеткость и субъективность рекомендаций по выбору параметра ридж-оценки затрудняет применение ридж-регрессии в системе полной математической обработки эксперимен-

тальных данных. Сделан вывод, что для решения задач, подобных рассматриваемой в данной главе, следует применять специальные регуляризирующие алгоритмы, включающие построение стабилизатора и критерия выбора оптим&гьного значения параметра регуляризации.

В четвертом разделе проведен анализ результатов применения известных методов регуляризации к решению поставленной задачи. На основании результатов компьютерного моделирования был сделан вывод.о том, что их использование дает приемлемое решение только при погрешностях правой части, не превышающих 0.01%. Однако такая точность измерений недостижима в реальном эксперименте из-за флуктуации среды.

Пятый раздел посвящен выбору эффективного стабилизатора С для минимизируемого функшюн&та

G = (у. - А й)^Т{% -Ай) + й^гСй. В разделе обосновывается выбор стабилизатора в виде

C = adB-\ где d = det(5), В = А^ТА, а - параметр регуляризации. Также в разделе описывается принцип построения критерия выбора оптимального значения параметра регуляризации. Предложенный в диссертационной работе метод основан на поиске минимума функционала

_Г(а) Лук-уу- >У)|

где й_а- регуляризированное решение, u_R- МНК-оценка,8 и _а . дй _R - случайные ошибки регуляризированного и МНК-решения соответственно, символ <...> означает статистическое усреднение. По классификации В.А. Морозова [6] критерий относится к эвристическим.

В шестом разделе представлены результаты численного моделирования диагностики ионосферы волнами обыкновенной поляризации, а также при совместном зондировании сигналами обеих поляризаций. Численный эксперимент показал, что метод наименьших квадратов не позволяет правильно определить даже высотный градиент искомого профиля эффективной частоты соударений электронов. Регуляризация по предложенной схеме дает приемлемые для практического использования результаты. Решение мало зависит от различных реализаций вектора ошибок, что свидетельствует об его устойчивости относительно случайных ошибок измерений. При погрешностях эксперимента порядка 5-10% оценки частоты соударений в области F имеют систематические отклонения от точных значений не более 20-30%.

Таким образом, впервые задача определения У_е(/г)-профиля решена методом регуляризации. Устойчивость результатов относительно случайных экспериментальных ошибок позволяет выявить эффекты аномального поглощения по каждому сеансу измерений. Ранее это достигалось путем усреднения полученных с помощью МНК выборок достаточно большого объема. Следовательно, применение регуляризации для интерпретации эксперимента позволяет существенно понизить материальные и временные затраты.

В третьей главе при помоши регуляризации решается обратная задача трансионосферного спутникового зондирования. Необходимость ее решения связана с использованием спутниковых данных в системе глобального мониторинга ионосферы с целью обеспечения краткосрочного радиопрогноза. Глава состоит из пяти разделов.

В первом разделе описана суть метода трансионосферного спутникового зондирования (ТИЗ), даны основные интегральные соотноше-

ния для ТИЗ и введено понятие трансионограммы [7]. Отмечено, что трансионограмма вертикального ТИЗ для о- и х-компоненты однозначно определяет эквивалентный профиль электронной концентрации, включая область, ненаблюдаемую при внешнем зондировании! Подчеркнуто, что определение эквивалентного N(h) -профиля есть задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, требующая специальных методов регуляризации.

Во втором разделе дана математическая постановка задачи определения высотного профиля электронной концентрации по данным грансионосферного спутникового зондирования. Принято, что верхняя часть профиля электронной концентрации описывается параболическим распределением (1) с полутолщиной параболы Н_х; нижняя часть также представлена параболой с параметром Н₂. К телу неизвестных параметров относится и критическая частота эбласти F f_m-(o_ml1n. Приведены основные интегральные соотношения, характеризующие математическую модель.

В третьем разделе поставленная задача решается методом регуляризации. Задача сводится к решению операторного уравнения (2). В латричной форме задача сводится к решению системы алгебраиче-:ких уравнений

Ах=у_Е, (3)

іричем по компонентам вектора х =(//,,//,) задача является ли-іейна, а по параметру /„ (критическая плазменная частота) - нели-іейной. В связи с этим задача решается в два этапа.

На первом этапе находится МНК-решение x_R и f_mR. С их по-юшью оценивается дисперсия действующих высот и групповых пу-ей

ст²*ф_тіп/(и-;>),

де р - 3 - число параметров, Ф_тіп - минимальное значение остаточ-

ной суммы квадратов невязок вектора р_е. На втором этапе находите собственно регуляризированное решение х_а и f_ma. Критическая час тота f_ma находится в результате минимизации функционала

G(f„,) = (Ax_a-y_t)²+a dx^T_aUx_a , где матрица стабилизатора нами выбрана в виде

^{п - ГЯ- 1}

X_min и Х_тах - соответственно минимальное и максимальное собствен

ные значения матрицы системы нормальных уравнений В- А^ТА.

Поскольку помимо определения решений важным вопросом ЯЕ ляется нахождение ах матриц ошибок, далее в разделе проводите линеаризация по нелинейному параметру с целью нахождения оши бок решения. Вычисления проводятся стандартным образом для регу ляризированного и МНК-решений для сравнения их ошибок.

В четвертом разделе приведены результаты численного модели рования задачи при двух значениях критической частоты для со вместного и раздельного использования волн различных поляриза ций. Численный эксперимент показал, что при расчете //<%>профил: систематические отклонения МНК- и регуляризированного решений вызванные случайными ошибками, близки. В то же время случайны ошибки истинных высот существенно отличаются: для регуляризиро ванного решения они на порядок меньше, чем для МНК-решения Метод регуляризации особенно эффективен при совместном учете о и х-следов ионограммы.

В пятом разделе получены соотношения, связывающие диспер сию истинных высот с корреляционной функцией измерений дей ствуюших высот, для обратной задачи внешнего зондирования ионо сферы. Определены зависимости дисперсии от частоты и географиче ского места зондирования для сигналов обыкновенной поляризации.

Установлено, что ошибки истинных высот максимальны на магнитном экваторе и уменьшаются к полюсу.

В четвертой главе метод регуляризации применяется для определения высотных зависимостей эффективной частоты соударений электронов по данным наклонного зондирования ионосферы. Глава состоит из четырех разделов.

В первом разделе дана физическая постановка задачи. Отмечено, что при наклонном зондировании исключается эффект аномального поглощения радиоволн [S]. Последнее дает возможность получения данных для восстановления высотных профилен эффективной газокинетической частоты соударений электронов \>_е. Эти профили'потенциально содержат информацию о высотных зависимостях концентрации нейтральных частиц, а также температуре нейтралов и электронов, поэтому их восстановление имело бы важные последствия как для развития теории образования ионосферы, так и для практики радиосвязи и прогнозирования движения космических аппаратов. Цель четвертой главы - исследование возможности такой диагностики в условия ночной ионосферы, когда влиянием областей D и Е можно пренебречь.

Во втором разделе дается математическая постановка задачи, приводятся уравнения, характеризующие математическую модель.

А^-профиль аппроксимировался параболой (1), v^/70-профпль 5ыл взят в форме

Л² (А) .- (h,„-h) _ fh.„-h^

+ v;₀ exp

#v.

^Ho J

v,(A) = v;^^- + v-_:exp

J ш

V V- J

де первое слагаемое описывает столкновения электронов с ионами. ?торое - с молекулами азота /V_:. третье - с атомами кислорода О, че-

рез v. обозначены значения частот соударений электронов с частицами сорта s в максимуме слоя, Н_Ыл и Н₀ - шкалы высот для N-, и

О. f_s - g>\ 12к. При выборе этого выражения учтены составляющие ионосферой плазмы, даюшие основной вклад в частоту соударений.

В результате преобразований, аналогичных преобразованиям в предыдущей задаче, получаем для решения операторное уравнение первого рода, которое в матричной форме имеет вид (3). Схема решения этой задачи при помощи метода регуляризации, подробно рассмотрена в третьем разделе.

При восстановлении уДЛ)-профиля необходимо определить четыре параметра, по трем из которых \^х\ — ^ven^x2 ~ ^у_ем₂>^хз ~ ^уео) задача линейна, по одному Н = Н^ = Н₀ - нелинейна. Задача решается в два этапа, также как и в главе 3. Ошибки искомых параметров находятся аналогично, для чего проводится линеаризация по параметру Н. При регуляризации было испробовано несколько видов матриц стабилизаторов. Из результатов численного эксперимента было установлено, что решение, наиболее близкое к модельному, получается при использовании диагональной стабилизирующей матрицы, элементами которой являются квадраты собственных чисел матрицы В.

Б четвертом разделе приведены результаты численного моделирования диагностики v_e при помощи раздельного и совместного использования обыкновенных (о) и необыкновенных (х) волн. Было рассмотрено четыре варианта наклонного зондирования. В первом из них расстояние между передатчиком и приемником, расположенными на прямой, перпендикулярной плоскости магнитного меридиана, составляло d = 25 км и для диагностики использовались х-волны. Во

всех остальных вариантах дальность составляла d - 150 км. Различие расстояний связано с тем, что при меньших дальностях о-волны могут попадать в область трансформации о-волн в медленные необыкновенные (z) волны.

Во втором случае рассматривалась задача наклонного зондирования с использованием о-волн, а в третьем - х-волн. Четвертый вариант учитывал возможность диагностики одновременно с помошью сигналов обеих поляризаций. При моделировании обратных задач с раздельным использованием о- или х-волн число рабочих частот /? принималось равным 25, при совместном зондировании п = 30 (по 15 частот для волн каждой поляризации). Решение обратных задач с четырьмя неизвестными показало, что метод наименьших квадратов дает приемлемые результаты практически при нулевых значениях допустимой погрешности экспериментальных данных а². Применение регуляризации позволяет существенно увеличить ст. Однако даже при фиксированных значениях Н и трех неизвестных х,, х-,, х~ приемлемые оценки получаются только для о < 0.05 дБ. Такая точность їзмереннй недостижима в реальных экспериментах. Поскольку .'меньшение размерности задачи является кардинальным средством іля повышения ее устойчивости, то в дальнейшем при обращении ісходной системы уравнений вкладом соударений электронов с атомарным кислородом в обратной задаче пренебрегалось, среднеквадра-ичное отклонение поглощения радиоволн с принималось равным 1.5 дБ. Результаты компьютерного моделирования показали, что при icex четырех вариантах диагностики и систематические, и случайные ішіібкп параметров v"^: и И не превышают 25 с (отметим, что )(//)///< 10^_"/с). то есть достаточно малы. Это означает, что по-решносга определения температуры электронов Т_е и нейтралов Т бу-

дут вполне приемлемыми для данного способа диагностики. Наилучшие результаты получаются при использовании .необыкновенных волн. На расстоянии в десятки километров погрешности измерений 7 составляют единицы процентов, а Т_е - не превышают 10 %.

Таким образом, в 'результате компьютерного моделирования предложен новый способ диагностики газокинетической частоты соударении электронов, обладающий большими потенциальными возможностями в определении как температуры нейтральной и заряженной компонент ионосферной плазмы, так и концентрации ней-тралов.

В заключении сформулированы основные результаты работы v. приведены некоторые соображения об их использовании в дальнейших исследованиях.

В качестве приложения приводятся тексты программных модулей, использовавшихся для решения рассмотренных задач.