Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что среди возможных инструментов для моделирования различных процессов и сложных явлений одно из центральных мест занимает теория дифференциальных уравнений. Исследование конкретных задач сопряжено с преодолением значительных математических трудностей, обусловленных, главным" образом, либо нелинейностью, либо наличием большого числа неопределенных параметров в исходных уравнениях. Поэтому методы конструирования сложных систем в форме дифференциальных уравнений и построения их решений играют важную роль в прикладной математике и математической физике. Непосредственное получение решений для таких сложных систем обычно сводится к весьма трудоемким вычислительным процедурам, основывающимся на численных методах поиска частных решений.
Если исследуемые процессы моделируются в реальном масштабе времени или необходимо строить управляющие воздействия для объекта моделирования (например, при управлении режимом работы турбины, химического реактора и т.п.), то получение численных решений требует применения мощных вычислительных средств и дорогой аппаратуры управления. При наличии же аналитического решения те же задачи могут быть решены ценой значительно меньших ресурсов и, очевидно, с большей точностью.
В настоящее время, широкое распространение получили именно такие аналитические исследования, опирающиеся на накопленные знания об отдельных классах дифференциальных уравнений и их точных решений. Каждое точное решение имеет большую информационную ценность, во-первых, как точное описание реального сложного процесса в рамках данной аналитической модели, во-вторых, как эталон или результат первого приближения для реализации различных численных методик, в-третьих, как фундаментальный теоретический факт, помогающий совершенствовать используемые модели.
В свою очередь, задание структуры системы базисных образующих и определяющих соотношений дает полное представление для математической модели. Выбираемое для этой цели, как правило, полиномиальное представление является удобным, в силу, конечномерности базиса системы инвариантов и компактности полиномиальной топологии, а
также давно используемым в формальных теориях математического моделирования.
Свойства инвариантности, симметрии модельных уравнений являются фундаментальными свойствами любого сложного процесса и, соответственно, математической модели, описывающей этот процесс. Инвариантные методы эффективны практически для всех типов математических моделей - от алгебраических до динамических.
Знание группы симметрии — группы допускаемых преобразований - также дает существенную информацию об изучаемой модели, а именно: средство классификации множества решений; средство классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; возможность определения типов дифференциальных уравнений, допускающих заданную группу симметрии.
При решении задач структурного синтеза дифференциальных уравнений с априорной симметрией и задач анализа симметрийной структуры уравнений рассматривается не только отдельное уравнение инвариантное к определенной группе симметрии, но и класс уравнений, связанных дискретной симметрией, а также дифференциальный комплекс уравнений разных порядков, базирующихся на одном многообразии
Разработанная и реализованная на ПК теоретико-групповая методология получения аналитических решений для широкого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений, охватывающая случаи, для которых ранее возможно было лишь получение решений численными методами, кардинально облегчает процессы моделирования и построения управлений.
На современном этапе развития математического моделирования возросла роль компьютерного анализа сложных нелинейных многопараметрических задач. Подчас применение алгоритмов аналитических вычислений (компьютерной алгебры) на современных компьютерных системах (Mathematica, Maple, Reduce) является единственным рабочим инструментом исследователя.
Полиномиальная алгебра, редукция полиномов, алгоритмы формального интегрирования составляют основные алгоритмы компьютерной алгебры. Полиномиальные же вычисления и алгебраический анализ базисных функций для дифференциальных полей обладают высокой степенью стандартизации и легко реализуются на компьютере.
Благодаря развитым возможностям систем аналитических вычислений, реализуются основные алгоритмы группового анализа: алгоритм Ли, алгоритм построения и частичного решения определяющих систем, алгоритмы поиска дискретных групп преобразований. Такие алгоритмы составляют ядро программных средств, которые существенно ускоряют процесс научных исследований. Работая с библиотечными файлами и программами, часто приходится создавать новые разделы и пакеты программ, модернизировать старые, тем самым порождать, в конечном итоге, собственный инструмент научных исследований. С увеличением разнообразия решаемых задач обогащаются и методы достижения результатов. Здесь уже используемая система аналитических вычислений начинает играть роль базы знаний (БЗ) и служить наполнением для систем искусственного интеллекта (ИИ).
Современные компьютерные технологии предоставляют исследователям не только разнообразные системы аналитических вычислений, но и средства обработки сложной математической информации, а также обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой (доступных для многих пользователей посредством Интернет) передачи такой информации. Таким образом, появление и развитие компьютерных банков моделей, основу которых составляет справочная литература, также приводит к БЗ и интеллектуальным справочным системам.
Разработка простых и эффективных электронных справочников, основанных на новых принципах организации БД и БЗ, является важной задачей на пути совершенствования современных информационных систем (ИС), АСНИ, экспертных систем и САПР, широко используемых для автоматизации научного поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений. На сегодняшний день известно более 6000 дифференциальных уравнений, допускающих аналитическое решение (см., например, справочники Э.Камке (1976), ММерфи (1960), Д.Цвиллингера (1989), В.Ф.Зайцева, АДПолянина (1993, 1994, 1995, 1997)), а также около 3000 уравнений в частных производных 1-го порядка (см., например, справочники Э.Камке (1966), В.Ф.Зайцева, АДПолянина (1996)). Однако их анализ «вручную» сложен и нуждается в автоматизации с помощью современных средств компьютерной алгебры и методов организации, выборки и хранения для БЗ.
Основной делью настоящей диссертационной работы является разработка новых методов структурного синтеза и установление общих принципов инвариантного анализа сложных, как правило, нелинейных моделей, имеющих, аналитическое представление в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, динамических систем с управлением, экологических или эколого-зкономических систем. Предлагаются алгоритмы и программы аналитических вычислений для разработанных методов, а также информационная поддержка созданных справочных баз данных и интеллектуальных поисковых систем.
В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе формулируются и решаются следующие задачи:
исследование методов структурного синтеза нелинейных моделей, обладающих априорной симметрией заданного вида;
разработка методов структурного синтеза на базе формальных интегральных многообразий и дифференциальных комплексов;
структурная классификация уравнений типа Брио и Буке;
структурная классификация уравнений полиномиального типа;
инвариантный анализ и синтез сингулярных структур и дискретных орбит некоторых классов ОДУ;
симметрийный анализ некоторых обратимых управляемых систем;
симметрийный анализ и синтез экологических и эколого-экономических систем минимального типа;
приложение разработанных структурных методов к автогенерации сложных нелинейных моделей в аналитической форме;
разработка справочных баз данных, интеллектуальных поисковых систем и дополнительных информационных комплексов в области дифференциальных уравнений и динамических моделей.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми. Это относится как к теоретическим разработкам так и к прикладным результатам и реализациям.
Автор защищает следующие положения и результаты, совокупность которых, в первую очередь, оказывает влияние на развитие перспективного научного направления - дискретно-группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, а также, приводит к эффективному использованию современных информационных технологий
в области дафференциальных уравнений и динамических моделей в целом:
Разработаны методы структурно-инвариантного синтеза мате
матических моделей на базе формальных интегральных много-
+ образий и дифференциальных комплексов;
Проведена структурная классификация уравнений типа Брио-Буке и полиномиального типа;
Синтезированы новые математические модели с априорной симметрийной структурой. Выявлены связи этих моделей на разных уровнях с инвариантными моделями, полученными ранее;
Разработаны алгоритмы современных аналитических вычислений для синтеза нелинейных моделей, допускающих базисные формы аналитического представления решений в классе полиномиальных функций;
Разработана интеллектуальная справочная система поиска и хранения динамических моделей в аналитической форме с возможным распределенным доступом по сети Интернет;
Осуществлена программная реализация интеллектуальной математической справочной системы в области дифференциальных уравнений.
Выполненные в диссертационной работе исследования проводились в соответствии с планами института по научному направлению Ка4 «Теоретические основы построения информационных технологий для интеллектуальных систем автоматизации научных исследований, управления и производства».
Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и реализованные программные комплексы, ориентированные на символьные вычисления для сложных систем в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, открывают широкий доступ исследователям к наукоемким прикладным пакетам.
Разработанные электронные справочные базы данных, интеллектуальные поисковые системы и дополнительные информационные комплексы в области дифференциальных уравнений и динамических моделей обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой многопользовательской передачи такой информации. Они существенно восполняют набор современных ИС, особенно математических ИС, широко используемых дом автоматизации научного
поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений.
Практическое значение полученных результатов определяется повышением эффективности научных исследований и обучения за счет . широкого привлечения средств вычислительной техники, снижения трудозатрат на разработку специализированного программного обеспечения и применения общедоступных современных компьютерных технологий.
Проведенные исследования и разработки в период 1994-1999 гг. имели частичную поддержку в виде грантов: «Создание новых методов математической физики, поиск точных решений и первых интегралов для нелинейных дифференциальных уравнений» - 1994, ISF, N R6I000; 1995, ISF, N R6I300; «Подготовка и издание-справочника по обыкновенным дифференциальным уравнениям» - 1995, РФФИ, N 95-0102180; «Издание справочника по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения» - 1996, РФФИ, N 96-01-14171; «Информационная система «Дифференциальные уравнения и динамические системы» -1997-1999, РФФИ, N 97-07-90088.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения регулярно докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах, в частности, на:
Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике СБАМ^З (Санкт-Петербург-1993);
Международном симпозиуме «Математическое моделирование процессов тепломассообмена и термопрочности» (Санкт-Петербург -1993);
Международном математическом симпозиуме IMS'99 (Hagenberg, Австрия-1999);
ГХ Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел - 2000);
Международной мультиконференции «Circuits, Systems, Communications & Computers (CSCC - MCP - MCME)» (Афины, Греция - 1999, 2000);
Международной конференции по новым информационным технологиям в образовании (Санкт-Петербург -1993);
Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск -1994);
Международной конференции «Региональная информатика» (Санкт-Петербург- 1994,1998);
Международной конференции по эволюции инфосферы. Ин-форматика'95 (Москва-1995);
Международной конференции по экологическому моделированию и оптимизации в условиях техногенеза. ЭМО-96 (Беларусь, Минск -1996);
Международной конференции по алгебраическим и аналитическим методам в теории дифференциальных уравнений (Орел -1996); Международной конференции по современному групповому анализу «Modem Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis» (Норвегия -1997);
Международной конференции по симметриям в нелинейной математической физике (Киев -1997);
Международной конференции по информатике и управлению, ICI&C97 (Санкт-Петербург- 1997);
Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Санкт-Петербург-1996,1998,2000); Международной конференции «Tools for Mathematical Modelling» (Санкт-Петербург-1997,1999).
Международной конференции по приложениям методов компьютерной алгебры в научных вычислениях (Санкт-Петербург - 1998, 2000; Мадрид, Испания -1999);
Международной конференции по сверх-большим базам данных (Эдинбург, Шотландия-1999);
1-ой Международной конференции по мехатронике и робототехнике (МиР'2000) (Санкт-Петербург - 2000);
Международной конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии управления» (Псков - 2000); Международном семинаре «Современный групповой анализ» (Уфа -1991);
Международном семинаре по полиномиальным вычислениям «PoSSo'95» (Ираклия, Греция -1995);
Международном семинаре по символьно-численному анализу дифференциальных уравнений, SNADF97 (Прага-1997); 1-ом Международном семинаре по компьютерным наукам и информационным технологиям (Москва-1999);
Российском коллоквиуме «Современный групповой анализ: методы и приложения» (Нижний Новгород- 1992, Самара-1993);
Всероссийской научно-методической конференции «Компьютерные технологии в высшем образовании» (Ижевск-1994);
Ежегодных Республиканских конференциях «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург -1991-2000);
Всероссийской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». VII Четаевская конференция (Казань -1997);
Всероссийской конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Новгород -1999);
1-ой Российской конференции по распределенным библиотекам (Санкт-Петербург -1999);
Городском семинаре «Математическая теория точных моделей» (Санкт-Петербург -1991-1998);
Городском семинаре «Дифференциальные уравнения и математическая физика» (Санкт-Петербург -1991-1995).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 70 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех монографиях [2,4,15] и 36 научных работах [1,3,5-14,16-39].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложении вынесены тексты программ и распечатки результатов да некоторым из них. Общий объем работы составляет 254 страницы, включая 25 рисунков и 7 таблиц. Библиография насчитывает 195 наименований.