Численные методы решения некоторых краевых задач с обобщенными граничными условиями и их приложения к аэродинамике Сетуха Алексей Викторович

Содержание к диссертации

Введение

1. Основные и обобщенные функции. обобщенные краевые значения функций на кривых и поверхностях. 38

1.1 .Используемые обозначения 3 8

1.2. Пространства основных функций 41

1.3.Приближение дифференцируемых функций многочленами 45

1.4 Пространства обобщенных функций 48

1.5.Продолжения функционалов и операторов 55

1.6.Действие функционалов на функции, зависящие от параметра. 58

1.7.Обобщенные краевые значения функции на поверхности 62

1.8.Обобщенные краевые значения функций на плоских кривых 64

1.9. Первообразные обобщенных функций одного аргумента 69

2. Обобщенные краевые значения гармонических функций. 72

2.1. Краевые значения поверхностных потенциалов. 72

2.2.Краевые значения потенциалов в плоском случае 85

2.3. О стирании особенностей гармонических функций 97

3. Краевые задачи и граничные интегральные уравнения в плоском случае. 121

3.1.Постановка краевых задач и сведение их к интегральным уравнениям в классическом случае 121

3.2. Обобщенные решения краевых задач в плоском случае 140

3.3.Обобщенные решения характеристического сингулярного интегрального уравнения на отрезке 158

4. Краевые задачи и граничные интегральные уравнения в пространственном случае. 194

4.1. Постановка пространственных краевых задач. 194

4.2. Единственность обобщенных решений 196

4.3. Краевая задача Неймана в полупространстве 204

4.4. Осесимметричная краевая задача Неймана в области вне круга 218

4.5. Свойства фундаментальных решений 237

4.6. Построение частных решений специального вида 241

4.7. Разрешимость краевой задачи Неймана для изхмеримых правых частей в граничном условии определенного вида. 251

4.8. Построение фундаментальных решений краевой задачи Неймана 261

4.9. Существование и свойства классических решений краевой задачи Неймана. 271

4.10. Обобщенные решения интегрального уравнения Прандтля и краевой задачи Неймана с обобщенными граничными условиями. 281

5. Численное решение граничных интегральных уравнений и краевых задач с обобщенными граничными условиями. 298

5.1. Плоские краевые задачи. 298

5.2. Пространственная краевая задача Неймана и уравнение Прандтля. 311

5.3. Примеры численных решений обобщенного сингулярного интегрального уравнения на отрезке. 323

5.4. Численное решение задачи об обтекании профиля в форме отрезка с отсосом потока на одной из сторон поверхности профиля. 334

5.5. Численное решение трехмерной задачи об обтекании несущей поверхности с отсосом потока на одной из сторон поверхности. 346

Заключение 368

• Пространства основных функций
• Первообразные обобщенных функций одного аргумента
• О стирании особенностей гармонических функций
• Обобщенные решения краевых задач в плоском случае

Введение к работе

В диссертации рассматривается плоская и пространственная краевая задача Неймана для уравнения Лапласа в случае, когда правая часть в граничном условии есть обобщенная функция, понимаемая как непрерывный линейный функционал над пространством основных функций. Необходимость постановки такой задачи возникла в аэродинамике несущей поверхности при моделировании течений идеальной несжимаемой жидкости при наличии отсоса внешнего потока. При этом практический интерес представляет так называемая «экранная задача», когда ищется решение в области вне тонкой разомкнутой поверхности и граничное условие ставится на обеих сторонах этой поверхности. В предлагаемой работе вводится понятие обобщенных краевых значений функции на поверхности и дается постановка краевых задач с обобщенными граничными условиями. В двумерном случае рассмотрены внутренняя и внешняя задачи в области, ограниченной гладкой замкнутой кривой, и внешняя задача в области вне разомкнутой гладкой кривой. В пространственном случае исследована задача в области вне разомкнутой поверхности, являющейся частью плоскости.

Для анализа возникших краевых задач используется метод граничных интегральных уравнений. Плоские задачи сводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши или Гильберта, а пространственная задача к гиперсингулярному интегральному уравнению, причем, решения этих уравнений ищутся в классе обобщенных функций. Доказана однозначная разрешимость возникающих интегральных уравнений и сводящихся к ним краевых задач. В работе, также, построены и обоснованы численные схемы для приближенного решения поставленных краевых задач, базирующиеся на методе дискретных особенностей. На основе полученных теоретических результатов разработаны новые методы численного решения ряда задач аэродинамики об обтекании тел при наличии отсоса внешнего потока.

Изложим суть аэродинамических задач, которые вызвали необходимость рассмотрения решений с обобщенными граничными условиями, а также опишем численные методы, получившие развитие в предлагаемой работе.

Основы аэродинамической теории несущей поверхности были разработаны в трудах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина [17,60]. В плоском случае задача об обтекании тонкого профиля крыла потоком идеальной несжимаемой жидкости заключается в нахождении векторного поля у(дг) = (v,( ),v2( )) д: = (х{ х2) (поля скоростей), определенного на плоскости R2 вне разомкнутой кривой L, задающей форму профиля. При этом должны выполняться уравнения [23 с.113,с.130], [36] ,. _ dv. dv, _ „ dv7 dv. . _2. r (1) divv =—L +—- = 0, rotv=—L L = 0, xeR2\L, дхх дх2 дхх dx2 ставится условие на бесконечности \\mv(x) = w„, (2) где и есть заданный вектор скорости набегающего потока, и в каждой точке контура L ставится граничное условие, выражающее отсутствие потока жидкости через поверхность профиля:

п - вектор нормали на контуре L, Vі - краевые значения векторной функции v(x) в точках контура со стороны вектора Ли с противоположной стороны соответственно.

В работах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина была выдвинута идея о том, что при решении задачи о стационарном обтекании профиля следует искать решение записанной задачи - векторное поле v(д:), которое ограничено в окрестности задней кромки профиля (точки В) и может быть неограниченным в окрестности передней кромки (точки А).

В первой половине XX века были разработаны методы аналитического решения плоских задач аэродинамики идеальной жидкости на основе теории функций комплексного переменного [15,41,46]. Однако, эти методы не позволяют выписать поле скоростей в виде, пригодном для количественных расчетов, в случае контура L общего вида.

В работах Н.Е.Жуковского, С.А. Чаплыгина и Л. Прандтля (L.Prandtl) была выдвинута идея о том, что несущую поверхность можно моделировать «вихревыми нитями»[18,43,61] . Применительно к плоской задаче это означает, что возмущенное поле скоростей w = v - w можно представить в виде суперпозиции особенностей типа вихрь, распределенных вдоль поверхности профиля и(х)= \y{s)V{x-yL(s))ds, xeR2\L, (3)

L

где s - естественный параметр на кривой L, yL(s) - точки кривой L, y(s) - неизвестная плотность вихревого слоя, размещенного на кривой L, V есть векторное поле, определяемое законом Био-Савара (поле скоростей, индуцируемое точечным вихрем)

) = TT7(" 2 i)-2л\х\

В 50-х годах XX- века С.М.Белоцерковским был предложен численный метод приближенного решения рассматриваемой задачи, названный методом дискретных вихрей [4,5]. В этом методе контур L аппроксимируется системой точечных вихрей, которые размещаются в точках х , / = 1,...л, равномерно распределенных по длине контура, и приближенное поле скоростей ищется в виде н х) = г,Р(;с-;с ),

где Г, ,/ = 1,...« - неизвестные циркуляции точечных вихрей. Для нахождения неизвестных Г, ,/ = 1,.../2 записывается система линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих граничное условие в специальным образом выбранных точках коллокации (контрольных точках). Математическое обоснование данного метода было получено И.К. Лифановым [27]. Он показал, что нахождение неизвестной функции у сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши, а метод дискретных вихрей является по существу методом приближенного решения такого уравнения. В его работах метод был обобщен на различные виды краевых задач. Были разработаны подходы, позволяющие сводить плоские краевые задачи Неймана и Дирихле для уравнений Лапласа и Тельмгольца к сингулярным интегральным уравнениям, причем, как для внутренних и внешних задач в области с замкнутой границей, так и для задач в области вне разомкнутой кривой. Для возникающих сингулярных интегральных уравнений разработаны и обоснованы методы численного решения, являющиеся развитием метода дискретных вихрей [29,30,6,32,9].

В 80-90-х годах был разработан метод дискретных вихревых рамок, позволяющий решать трехмерные задачи аэродинамики ([3], см. также [32 с.473-477], [9 с. 439-448]). В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на ячейки четырехугольной или треугольной формы и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара. Для нахождения неизвестных циркуляции вихревых рамок на каждой рамке определенным образом выбирается точка коллокации и записывается граничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости. Так же, как и в плоском случае, метод сначала был развит на основе эмпирических соображений, а затем под него была подведена теоретическая база.

Трехмерная задача о потенциальном обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью заключается в нахождении векторного поля v(x), удовлетворяющего всюду вне тела, в области, занимаемой жидкостью, уравнениям [23 с.359], [36]

divv = 0, rotv = 0, (4)

условию (2) на бесконечности и граничному условию УЙ = 0

на поверхности тела (если тело является тонкой разомкнутой поверхностью, граничное условие должно выполняться для краевых значений с обеих сторон этой поверхности). Удобно перейти к отысканию возмущенного поля скоростей \v = v-wm . Пусть Q -• область в пространстве R3, в которой ищется векторное поле w. В диссертации рассматривается случай, когда обтекаемое тело представляет из себя тонкую разомкнутую поверхность Е, причем, эта поверхность лежит на некоторой плоскости и является открытым множеством на этой плоскости. При этом Q = R3 \ Е, где Е есть замыкание множества Ев пространстве R . Если область Q является односвязной, то векторное поле w является потенциальными для его потенциала и возникает краевая задача Неймана Дм = 0 в области Q, (5) ди (6) — = / на поверхности Е, дп где f = -wji (граничное условие (6) ставится на обеих сторонах поверхности Е), причем, функцию и можно искать так, чтобы выполнялось условие 1ітфг) = 0. (7) jr-+co Эффективным методом решения краевых задач для эллиптических уравнений является метод граничных интегральных уравнений, основанный на теории потенциала. В классической теории потенциала обычно рассматриваются краевые задачи в области, границей которой является замкнутая поверхность [12,24,57,58]. Решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа ищется в виде поверхностного потенциала простого слоя, размещенного на границе области. При этом задача сводится к уравнению Фредгольма второго рода для неизвестной плотности потенциала простого слоя. Однако в случае, когда граница области является разомкнутой (т.е. в случае экранной задачи), решение задачи Неймана нельзя искать в виде потенциала простого слоя, т.к. нормальная производная потенциала простого слоя претерпевает на поверхности, где он размещен, скачок и поэтому граничное условие не может выполняться одновременно на обеих сторонах поверхности.

В работах И.К.Лифанова предложен подход к решению трехмерных краевых задач Неймана, в котором решение ищется в виде потенциала двойного слоя [28,32]. В этом случае для неизвестной плотности потенциала двойного слоя возникают гиперсингулярные интегральные уравнения, причем, такие уравнения были выписаны как для внутренних и внешних задач в области с замкнутой границей, так и для экранной задачи. И.КЛифанов и Л.Н.Полтавский показали, что метод дискретных вихревых рамок по существу является методом решения гиперсингулярных интегральных уравнений [42,9]. В этих работах была исследована сходимость квадратурных сумм типа метода дискретных вихревых рамок для вычисления гиперсингулярных интегралов в случае, когда область интегрирования есть гладкая разомкнутая поверхность. В случае, когда поверхность Е является частью плоскости, Л.Н. Полтавский доказал сходимость численных решений гиперсингулярного интегрального уравнения, получаемых с использованием метода дискретных вихревых рамок, к точному решению. Этим исследованиям посвящен цикл работ [42,31,33,34]. Систематическое изложение полученных в этих работах результатов можно найти в [9]. Опишем основные результаты указанных работ.

Рассмотрим краевую задачу Неймана (5)-(7) в случае, когда Q есть множество точек трехмерного арифметического пространства R3, лежащих вне разомкнутой поверхности 2, которая является частью координатной плоскости Оххх2. При этом предположим, что есть выпуклое открытое ограниченное множество на плоскости, границей которого является бесконечно гладкая кривая 8L. Решение такой задачи ищем в виде потенциала двойного слоя MW= MWsi w FH , хеСї,

где дІдпу есть производная по направлению вектора Я = (0,0,1), перпендикулярного к поверхности 2, вычисляемая по координатам точки у, интеграл понимается как поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности), v - неизвестная плотность потенциала двойного слоя. Запись граничного условия (6) приводит к интегральному уравнению для функции v (в работе [28] это уравнение названо уравнением Прандтля)

— \у(У)\ adcTy = А )» є Е»

Ляг і \х-у\ где интеграл понимается в смысле конечного значения по Адамару [2]

пг v ч 1 гКдОФ 1 ,. J Г У(У)4У 2TTV(X)\ V (9)

Щу]( ) = —І, із=Т 1іт1 І , а — ,хєІ.

4яІ\х-у\3 -o J I . є j

S(s,x)- открытый круг на плоскости радиуса є с центром в точке х (см. глава 2, формула (2.10)).

Вычислительная схема для приближенного решения уравнения (8) строится следующим образом. Плоскость, на которой лежит поверхность 2 разбивается на квадратные ячейки со стороной h. Пусть тк, к = \,...,п, есть ячейки, целиком лежащие в множестве 2. Приближенное решение ищется в виде функции И, заданной на множестве 2Л = [J ак и принимающей на каждой Ы\г..п ячейке постоянное значение vk. В центре каждой ячейки разбиения ак берется точка коллокацииос =( , ), к = 1,...,п и записывается система линейных алгебраических уравнений. диа [є] і і где/=/( ), ау=—3— ) = Г\\ day / = 1,...,я,У = 1,...,л. (U [е] і есть потенциал двойного слоя с плотностью равной 1, размещенный на ячейке Ф jj. При 7 = / интеграл понимается в смысле (9), причем, в п.5.2.2 показано, как выражение для коэффициентов ati, i = l,...,n, преобразовать к обычному несоб ственному интегралу.) При этом приближенное решение краевой задачи Неймана (5)-(7) представляется в виде и"(х) = иа)[е](х). (П) МІ Отметим, также, что градиент функции и {х) записывается в виде [23] w\x) = Vuh(x) = j™Ax) j(x VVaj[e](x), (12) /=i причем, для каждого j = 1,...,п функция п у(лг) может быть представлена как векторное поле, индуцируемое вихревой нитью, размещенной по контуру ячейки (Jр которое определяется законом Б ио-Савара. В случае рамки прямоугольной формы векторное поле Wj(x) может быть вычислено аналитически [32]. JI.H. Полтавский доказал (см. [42,9]), что если v есть заданная функция на множестве X, представляющаяся в виде л " ( (13) V(x) = -j= Jp(x,dL) где v имеет на множестве первые производные, непрерывные по Гельдеру, р(х,дТ) - расстояние отточки х до края поверхности , то выполнена оценка ChM rv(x)dx , У\—Л5""? } где Си ju есть некоторые положительные константы. Обоснование сходимости численных решений уравнения (8), получаемых на основании уравнений (10) впервые было получено в докторской диссертации Л.Н. Полтавского [42], в предположении, что уравнение (8) имеет решение, представляющееся в виде (13). При этом была доказана сходимость приближенных решений к точному в среднем, а также равномерная сходимость приближенных решений к точному и разностных отношений, получаемых при использовании приближенного решения, к производным точного решения первого порядка на любом замкнутом подмножестве внутренности множества (здесь множество рассматривается как множество на плоскости). Одним из результатов, полученных автором настоящей диссертации, явилось доказательство равномерной сходимости приближенных решений к точному на всем множестве S (см. п.5.2.2 настоящей диссертации). Опираясь на этот результат, Л.Н. Полтавский получил оценки для численных значений производной неизвестной функции, справедливые вплоть до границы множества [9]. (Нахождение приближенных значений производных функции У необходимо в задачах аэродинамики для расчета сил давления, действующих на поверхность).

Новый класс постановок краевых задач и граничных интегральных уравнений возник при моделировании обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости при наличии отсоса внешнего потока [7]. Так при моделировании плоского обтекания тонкого профиля с отсосом потока, осуществляемым на одной стороне профиля в заданной точке q = {qx,q2) L- на профиле, возникает задача о нахождении векторного поля скоростей, имеющего в окрестности точки q со стороны, где осуществляется отсос потока, особенность типа сток. С другой стороны профиля поле скоростей должно быть непрерывным (рис. 2).

В работе В.И. Бушуева и И.К. Лифанова [7] предложено искать такое поле скоростей в виде v = и + Wg + vv, где й есть скорость потока на бесконечности, wQ - векторное поле, индуцируемое особенностью типа сток:

"g( )=o ІЙ Х\2 x = (xl,x2)eR2,x q, 2-7Z\x-q\

Q . - заданная константа, выражающая объемный расход отсасываемой жидкости за единицу времени, w есть векторное поле, индуцируемое вихревым слоем неизвестной интенсивности y(s), которое определяется выражением (3), причем, функция у должна представляться в виде

Q 1 ...;_, (14)

y(s)

л s-s„

+/( )

где sq - значение естественного параметра на контуре L, соответствующее точке q, у - функция, непрерывная по Гельдеру в окрестности точки :s (предполагается, что отсос потока осуществляется со стороны вектора нормали Я и пара векторов (т,Я), где f = dyL(s)lds, является правой). При этом доказано [35], что в окрестности точки q со стороны, противоположной вектору Я, поле v является непрерывным, а со стороны вектора Я представляется в виде

-Ґ \ Q q-x „ , .

Ф) = —-Г T + v ( ),

K\x-q\

где v (х) есть непрерывная функция в окрестности точки q со стороны вектора Я. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши на отрезке для функции у

(15)

± WWL+ (K(s So)Hs)ds = f(s0)1

27T Ls0-s L

которое должно выполняться во всех точках yL(s0) є L, кроме концов кривой L и точки д, правая часть уравнения и ядро K(s,s0) есть некоторые заданные гладкие функции, причем ищется решение записанного уравнения, имеющее вид (14). Такие решения были названы сингулярными. Для приближенного нахождения сингулярных решений была предложена численная схема типа метода дискретных вихрей и доказана ее сходимость (обоснование сходимости см.[32 с.350-354]). При этом нахождение приближенных значений функции у в узлах сводится к решению алгебраической системы линейных уравнений, в которых заложена ассимптотика функции у в окрестности точки s .

В дальнейших работах, выполненных Лифановым И.К. с рядом соавторов [65-69,35], были рассмотрены различные варианты постановок краевых задач и сингулярных уравнений с сингулярными решениями. Так оказалось, что если интенсивность стока Q считать неизвестной, то можно поставить краевую задачу об отыскании векторного поля v, ограниченного в окрестностях обоих концов кривой L. С точки зрения аэродинамики организация такого течения с безударным обтеканием передней кромки представляет значительный интерес, поскольку за счет этого имеется возможность предотвратить отрыв потока и потерю несущих свойств профиля на больших углах атаки. Систематическое изложение различных постановок краевых задач и численные схемы их решения приведено в монографии [32].

В перечисленных работах рассматривались и трехмерные задачи об обтекании различных тел с отсосом потока через тонкие щели, расположенные на поверхности этих тел. При этом для задания поведения численных решений в окрестности линии отсоса в каждом сечении тела плоскостью, расположенной поперек линии отсоса, записывались уравнения, заимствованные из плоской задачи. Однако в трехмерном случае отсутствует не только обоснование сходимости метода, но четкая математическая постановка решаемых задач. Кроме того, применимость имеющихся моделей можно считать правомерной только в случаях, когда течение является близким к плоскопараллельному, например, при моделировании обтекания крыльев большого удлинения со щелями, расположенными вдоль размаха крыла.

В предлагаемой диссертации развит новый подход к постановке и решению задач указанного типа. Основная идея этого подхода заключается в том, чтобы рассматривать краевые значения неизвестных функций и их нормальных производных как обобщенные функции. Так в задаче об обтекании профиля с отсосом потока в точке q, нормальная составляющая вектора скорости в каждой точке профиля, отличной от точки q, должна быть равна нулю. В то же время суммарный поток вектора скорости через контур L со стороны вектора п должен быть равен -Q. Это наводит на мысль поставить со стороны вектора п краевое условие v„ = -QS(s-s ), где 8 есть дельта функция Дирака. Для того, чтобы придать записанному равенству строгий математический смысл, в диссертации вводится понятие обобщенных краевых значений и обобщенных нормальных производных. Дается постановка плоской краевой задачи для векторной функции, удовлетворяющей уравнениям (1), и краевой задачи Неймана (5)-(7) в пространственном случае при условии, что правая часть в граничном условии есть обобщенная функция. Поставленные краевые задачи сводятся к граничным интегральным уравнениям, причем, в плоском случае возникает сингулярное интегральное уравнение (15), а в пространственном случае гиперсингулярное интегральное уравнение (8). Для записанных уравнений вводится понятие обобщенного решения. Рассмотрены вопросы разрешимости поставленных краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Предложены численные схемы решения записанных интегральных уравнений в случае, когда правая часть есть обобщенная функция некоторого частного вида и доказана сходимость приближенных решений к точному в некоторой слабой топологии. При этом для решения соответствующих краевых задач доказана сходимость приближенных решений и их частных производных всех порядков к точным значениям во всех внутренних точках области определения.

На основе полученных результатов разработан новый метод решения как плоских, так и пространственных задач аэродинамики об обтекании тел с отсосом потока, причем, в плоском случае отсос потока осуществляется в точке на профиле, а в пространственном случае в точке или через щель в форме произвольной кусочно-гладкой кривой. Основное отличие предложенного подхода от использовавшегося ранее заключается в том, что при записи граничных интегральных уравнений особенность в решении не выделяется заранее, а возникает автоматически в зависимости от вида правой части. При численном решении задач аэродинамики с отсосом потока возникают системы линейных уравнений с те ми же самыми матрицами, что ив случае, когда рассматривается обычное обтекание без отсоса потока. Вся информация об отсосе потока содержится в правых частях линейных уравнений. Это сильно упростило реализацию алгоритма на ЭВМ, особенно в трехмерном случае, поскольку в ранее использовавшихся алгоритмах необходимо было помечать точки, аппроксимирующие линию, через которую происходит отсос потока, и для каждой такой точки записывать свое уравнение, задающее вид решения вблизи этой точки.

Способ постановки краевых задач с обобщенными граничными условиями и методы теоретического исследования разрешимости этих постановок отличаются от известных ранее. Возможный способ такой постановки краевых задач для эллиптических уравнений был предложен в работе М.И.Вишика и С.Л.Соболева [И]. В этой работе рассматривалась внутренняя краевая задача для уравнения Пуассона. При этом неизвестная функция рассматривалась как обобщенная функция, заданная во всем пространстве и равная нулю вне замыкания области, в которой ищется решение. Левые части уравнения и граничного условия рассматривались как единый оператор над такой обобщенной функцией. Однако такой подход не применим к экранным задачам.

В настоящее время достаточно широко, также, развиты постановки и теория краевых задач, в которых решение является обобщенной функцией в области, а на границе краевые значения неизвестной функции и ее производных ле жат в пространствах Соболева интегрируемых функций Wrpi рє[\,оо),гєZ+

[55,38]. Но эти пространства не являются достаточно широкими для применения в задачах аэродинамики с отсосом потока ( так эти пространства не содержат 8 -функцию).

Другой подход к введению обобщенных краевых значений функций и исследованию поведения функции у границы области основан на представлении функции через интегралы по границе. Плоские краевые задачи для эллиптических уравнений тесно связаны с краевыми задачами для аналитических функций комплексного переменного, которые, в свою очередь, сводятся к сингулярным интегральным уравнениям. Обычно сингулярные интегральные уравнения рассматриваются в классах функций, непрерывных по Гельдеру [40,13]. Интегрируемые по Лебегу краевые значения аналитических функций комплексного переменного и плоских гармонических функций, возникли при исследовании свойств интеграла Коши с плотностью, интегрируемой по Лебегу [70,19,10,44,59]. В работах [53,54,16] рассматривались краевые задачи Римана и Гильберта для аналитических функций с измеримыми коэффициентами. К этим вопросам примыкают исследования по теории сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений в классах измеримых функций [39, 37]. Эти результаты могут быть использованы при постановке и исследовании двумерных краевых задач.

Дальнейшее развитие обобщенных постановок граничных условий оказалось возможным путем рассмотрения граничных интегральных уравнений в классах обобщенных функций. При этом широкое распространение получила теория псевдо-дифференциальных операторов, основанная на преобразовании Фурье [1,62,64,63]. В работах Л.Н. Полтавского (см.[42,31,33,34,9]) теория псвдодифференциальных операторов была применена к исследованию разрешимости гиперсингулярного интегрального уравнения (8), в котором правая часть и неизвестная функция рассматривались в пространствах Соболева-Слободецкого. Было получено и обоснование численного метода типа метода дискретных вихревых рамок для отыскания таких решений. Однако порядок обобщенных функций в правой части уравнения (8), для которых были получены указанные результаты, не достаточен для приложения к описанным выше задачам аэродинамики. В частности случай, когда в правой части стоит дельта-функция, этими работами не охватывается.

В работах Лифанова И.К. и Вайникко Г.М. рассмотрено сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта в случае, когда правая часть в этом уравнении есть дельта функция см. [8,9]. Для исследования такого уравнения применена теория псевдо-дифференциальных операторов и показано, что решение уравнения имеет неинтегрируемую особенность вида (14). Такое уравнение рассматривалось в связи с приложением к плоским краевым задачам аэродинамики, описанным выше. Однако трехмерные краевые задачи при этом не рассматривались.

В настоящей диссертации предлагается новый подход к исследованию краевых задач с обобщенными граничными условиями и граничных интегральных уравнений. В работе вводится понятие поверхностных потенциалов простого и двойного слоя с обобщенной плотностью. При этом плотность указанных потенциалов рассматривается как линейный функционал, действующий на ядро поверхностного потенциала по переменной, пробегающей границу области. Далее с использованием таких потенциалов строятся решения краевых задач для случая, когда правая часть в граничном условии есть дельта-функция с носителем в заданной точке границы области. Такие решения названы фундаментальными решениями краевой задачи. Затем рассматриваются граничные сингулярные интегральные уравнения в классе обобщенных функций. Исследование свойств продолжений сингулярных и гиперсингулярных интегральных операторов на обобщенные функции основано на рассмотрении значений этих операторов как краевых значений гармонических функций.

В трехмерном случае для построения обобщенных решений гиперсингулярного интегрального уравнения (8) сначала строится семейство решений для случая, когда правая часть есть дельта-функция, носитель которой пробегает поверхность Е, причем, такие решения выражаются через обобщенные краевые значения фундаментальных решений соответствующей краевой задачи. Затем это семейство функций использовано для построения интегрального оператора, обращающего оператор в уравнении (8) (другими словами для уравнения (8) строится функция Грина). Далее действие этого обратного оператора распространяется на обобщенные функции. Свойства этого обратного оператора использованы и для обоснования численного метода решения уравнения (8).

В плоском случае при исследовании обобщенных решений сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на отрезке использован подход, основанный на сведении этого уравнения к краевой задаче Римана для аналитических функций. Для уравнений, рассматриваемых в классах функций, непрерывных по Гельдеру, этот подход описан в монографияхИ.И. Мусхелишвили и Ф.Д. Гахова [40,13]. В настоящей диссертации введено понятие краевой задачи Римана с обобщенными граничными условиями и получены аналитические представления для решений такой задачи. Затем на основе этих представлений получены формулы для обращения сингулярного интегрального уравнения на отрезке с обобщенной правой частью.

Содержание диссертации.

По структуре диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения.

В первой главе вводятся пространства основных и обобщенных функций и рассматриваются свойства этих функций, необходимые для дальнейшего изложения. При этом обобщенные функции рассматриваются как непрерывные линейные функционалы над специальным образом введенными пространствами основных функций, т.е. в смысле Соболева-Шварца. (Математические основы теории таких пространств заложены в работах С.Л. Соболева [55] и Л.Шварца [71]. Определения и свойства основных и обобщенных функций, излагаемые в диссертации, в основном соответствуют монографиям [14],[62].)

Пусть Q - область в пространстве R" и пусть Q есть замыкание этой области в R".

В качестве пространств основных функций взяты линейные пространства Z)m(Q), meZ+, элементами которых являются функции ; р(х) е Cm(Q) такие, что supp (р с Q - множество, компактное в R", а сходимость последовательности { рк }иу с Dm(Q) к (р є Dm(Q) при -» оо определена условиями:

а) существует компактное множество GcQ такое, что supp$?cG;\/keN= supp czG;

б) для сужений функций рк и tp на множество G справедливо соотношение: (рк-хр при к — со по норме пространства Cm(G).

Кроме того, введено пространство D™(Q) - линейное пространство, элементами которого являются функции ф(х) є C°°(Q) с компактным носителем supp cQ, причем, последовательность функций {(рк}kev сD°°(Q) сходится к функции # є °°(П) при к .— со, если Vm є Z+ следует, что (рк-хр в смысле сходимости в пространстве Dm(Q).„

Пусть Dm (Q), где т є Z+ или /я = со, есть пространство действительных непрерывных по Гейне линейных функционалов на пространстве ) (0). Обозначим (/,# ) - значение функционала feDm (Q) на функции #?eDw(Q). Элементы пространств Dm (Q) трактуются как обобщенные функции. В пространствах Dm (Q) вводится понятие сходимости счетной последовательности как слабая сходимость последовательности функционалов: /к- f при к-+со в пространстве Dm (Q); если для любой функции 7 є от(0) выполнено условие Jim(/A, )) = (/, ф).

В параграфе 1.5. вводятся понятия продолжений для некоторых функционалов и операторов.

Пусть Q есть ограниченная область в R" и пусть Qj есть открытое подмножество области Q такое, что Q, с Q!.

о о

Определение 1 (Определение 1.7) Обозначим D = n, (О) множество функционалов f є D°° \Q) таких, что supp f a Q,.

(В скобках указана нумерация определений и теорем, взятая из основного текста диссертации.)

При каждых фиксированных Q, и D, множество D будем рассматривать как линейное пространство, в котором введена сходимость последовательности элементов как сходимость в пространстве D00 (Q).

Обозначим Cm (Q) и Cm (Q), т є N или т = оо, - множества всех линейных функционалов над пространствами C""(Q) и Ст (Q) соответственно.

о

Для функционалов лежащих в пространстве D, введены понятия продолжений на пространства C°°(Q) и С СЇ). Обозначим # = C°°(Q) или

Я = C"(Q) и пусть Я = C°° (Q) или Я = C°° (Q) соответственно (здесь Я есть пространство, алгебраически сопряженное с Я ).

Определение 2 (Определение 1.8) Функционал /є Я равен нулю на

границе области Q, если в пространстве R" найдется открытое множество U такое, что 6Q all и для любой функции (р с Я, удовлетворяющей условию

supp (pell, выполнено условие (/, ) = 0.

о

Определение3 (Определение 1.9) Продолжением функционала f eD на пространство Я, где Н = 0 (0.) или Я = С°°(П), будем называть функционал /еН, равный нулю на границе области Q, такой, что (/,# ) = (/,# ) для всех #?eD°°(Q).

о

Доказано (см. лемму 1.12), что для любого функционала f eD продолжение на пространство Я, где Я = C (Q) или Я = С°°(0), существует, является единственным и определяется формулой

(7 ) = (/.7 ). єЯ, где 77 есть любая функция, удовлетворяющая условиям rj є °°(Q), /7(x) = 1 при д: є supp/ и supp(1 - 77) П supp/ = 0 (в случае Я = С00(Q) функцию rjgj, определенную в области Q, полагаем равной нулю на границе этой области).

Пусть 7] и Т2 есть линейные пространства, в которых введено понятие сходящейся последовательности.

Определение 4 (Определение 1.10). Пусть Т есть некоторое подмножество пространства Тх и пусть I - оператор, определенный на множестве

Т с значениями в пространстве Т2. Оператор 1: 7j — Т2 будем называть продолжением оператора I если для любой последовательности \fn } с Т такой,

что fn- f еТх в пространстве Тх, выполнено условие I[fn] — /[/] в пространстве Т2.

В параграфе 1.8 вводится понятие обобщенных краевых значений и обобщенных нормальных производных функции трех аргументов на поверхности, которая является частью плоскости.

Пусть Z есть область на координатной плоскости Оххх2. Множество Z

будем рассматривать как поверхность в пространстве Л3 и пусть Я = (0,0,1) -положительный вектор нормали к поверхности Z. Предположим, что

feDm(L), где meZ+ или т = оо, есть пространство обобщенных функций, веденное выше, и предположим, что и(х) есть функция, определенная и непрерывная в одном из цилиндров Щ = ixeR3\x = y + sn1yeZ,e(0,s0)\ или

ЦІ = їх є R3\x = у-єп, у e Z, є є (0,гг0), где є0 0 - некоторая константа.

Определение 5 (Определение 1.13). Функция и ітеет на поверхности Z

обобщенные краевые значения uz= f класса Dm (Z) со стороны вектора пх,

где п,=±п, если V pe Dm (Z) = (/, р) = lim \и(х + єп. ) p(x)dx.

s Теперь предположим, что u(x) есть функция, определенная и непрерывно

дифференцируемая в одном из цилиндров Ц .

Определение 6 (Определение 1.14). Функх\ия и имеет на поверхности

обобщенные нормальные производные ди/дп = / класса Dm (Z) со стороны вектора щ, где пх=±п, если

\/ ре Dm (Z) = (/, (р) - lim ди(х + є пЛІдп p(x)dx.

s- 0,e 0

I

В параграфе 1.9 вводятся пространства основных и обобщенных функций на плоских кривых. При этом рассматриваются гладкие кривые, как замкнутые, так и разомкнутые. Водятся понятия обобщенных краевых значений и обобщенных нормальных производных для функций двух переменных, заданных вне этих кривых.

В главе 2 рассматриваются свойства гармонических функций и поверхностных потенциалов точечного заряда, простого и двойного слоя; В параграфе 2.1. рассмотрены свойства потенциалов в трехмерном случае.

В п.2.1.1. излагаются и систематизируются известные свойства поверхностных потенциалов. Потенциалом точечного заряда, сосредоточенного в начале координат, в трехмерном случае называется функция

F(x) = - ,xeR\x 0t (16)

(здесь 0 - нулевой элемент в R3), являющаяся гармонической при всех х Ф 0.

Пусть есть область на плоскости п = R2, рассматриваемая как поверхность в пространстве R3. Потенциалами простого и двойного слоя называются функции, определяемые следующими формулами соответственно:

rz[vl](x)=\vl(:y)F(x-y)dy,.xeR3\Z9 (17)

Uzlv2\( )= jy2(y)dF(x-y)/dnydy, хє/г3\Е, (18)

г где vx,v2 - плотности потенциалов простого и двойного слоя, производная

дІдпу есть производная по направлению вектора Я = (0,0,1), вычисляется по координатам точки у, интегралы понимаются как двойные интегралы по области I на плоскости R2 по переменной у. Заметим, что для существования интегралов в правых частях равенств (17) и (18) при всех х є R \ Z достаточно

1 5

выполнения условий ( )(1 + 1 1) eZj(E), v2(x)(l + ;c) є ,(1)-.

Напомним, что если v,,v2eC(Z) и VJ(JC)(1 + ;CY eZ Z),

v2 (х) (I + \х\) є , (I), то функции и = Vz [v, ] и w = Uz [v2 ] имеют в каждой точке

поверхности Z краевые значения ЇДИ» , для которых справедливы формулы [12,57]

u\x) = iC(x) = ]vx(y)F(x-y)dy = F[vx}(x\ хєЕ, (19)

w+=-u = v2/2

Кроме того, в этом случае на поверхности Z существуют правильные нормальные производные функции и (см. определение 1.12), причем

(ди/дп)+ =-(du/dn) =-vx/2. (20) Если дополнительно предположить, что функция v2 имеет первые производные, которые непрерывны по Гельдеру на любом замкнутом на плоскости множестве I d, то функция w имеет нормальные производные в любой точке поверхности и выполнено равенство [32,9]

(dw/dn)±(x) = Tl[v2](x), xeZ,

где оператор П определен формулой (9). (Заметим, что поверхность Z может быть как ограниченной, так и неограниченной. Применимость приведенных формул к рассматриваемым поверхностям доказана в приложении к главе 2).

В п.2.1.2 доказывается существование обобщенных краевых значений на плоской поверхности у потенциала точечного заряда, сосредоточенного в некоторой точке на этой поверхности. В частности доказано, что нормальная производная такого потенциала имеет обобщенное краевое значение, равное дельта-функции с некоторым коэффициентом. При этом под дельта-функцией, сосредоточенной в точке q є Z, понимается функционал Sq z є C (Z), определяемый

формулой {SqX,q)) = (p{q), (реC(Z), где C (Z) - пространство непрерывных функционалов над C(Z), причем, C (Z) с= Dm (Z) для любого meZ+.

В п.2.1.3. доказано, что если Vj(x)(l + x) e,(Z), V2(JC)(1 + JC) G,(Z),TO функция -u = Vz(vx) имеет на поверхности Z обобщенные краевые значения и и обобщенные нормальные производные (duldnf класса D° (E), а функция и

w = Uz(v2) имеет на поверхности Е обобщенные краевые значения vv класса

D0 (Е) и обобщенные нормальные производные (dw/dnf класса D2 (E),

причем, при этом выполнены формулы (19)-(20), и (dw/dn) есть функционал, определенный формулой

{(dw/dnf ,р) = \v2(x)I\[(p](x)ax, q є)2(Е). z В п.2.1.5. для случая, когда поверхность Е ограничена, вводится понятие потенциалов простого и двойного слоя с плотностью, являющейся обобщенной функцией, равной нулю в окрестности края поверхности 2. Пусть Е j есть от крытое множество на плоскости, такое, что Е, сЕ и пусть/ є Dy где

о о

D = DT.X (Е). Потенциалы простого и двойного слоя вводятся по формулам Vz[f]{x) = (f,F(x-q)) uUt[f](x) = (f,dF(x-q)/dnq) , XGR3\I,

ч ч

где / есть продолжение функционала / на пространство C CL), причем, х рассматривается как параметр и функционал. / действует по переменной q. Доказано, что функции u-Vz[f] и w-Uz[f] являются гармоническими на

множестве R \ Е и lim и(х) - Iim w(x) = 0. На поверхности Е функции и и w

\х\ ух дг- оо

имеют обобщенные краевые значения и обобщенные нормальные производные класса D (Е), причем, при этом справедливы утверждения: и+ =и и (и ,# ) = (/,F[# ]) длявсех#?є °°(Е),

(duldnf = -(duldn) = -//2, н + = -w- = //2,

(dw/dn) = (dw/dn) и ((dw/dn) ,(р) = (/,Щ р]) для всех є °°(Е),

где F есть оператор, определяемый в формуле (19) и П есть оператор Прандт-ля, определяемый формулой (9) (см. лемму 2.4).

В параграфе 2.2 аналогичные результаты получены для логарифмических потенциалов простого и двойного слоя в плоском случае.

В параграфе 2.3. доказывается ряд теорем о стирании особенностей гармонических функций; Так в пространственном случае доказана следующая теорема о стирании особенности гармонической функции на поверхности

Теорема 1 (Теорема 2.3). Пусть к есть плоскость х3 = 0 в пространстве R3 и пусть Е с /г есть поверхность, точки которой образуют открытое множество на плоскости п. Предположим, что и(х) есть функция, определенная и гармоническая при дгєО, х я, где Q = іх = (дг,,х2,Xj) єR\(#,,Х2,0) єЕ,лг31 г0}, г0 0, и имеющая на поверхности

обобщенные краевые значения и обобщенные нормальные производные класса D™ (Е), удовлетворяющие равенствам и =и и [ди/дп)+ -{duldri) . Тогда

функцию и можно доопределить на поверхности до функции, гармонической в окрестности каждой точки этой поверхности.

Аналогичная теорема доказана и для плоского случая.

В главе 3 исследованы плоские краевые задачи с обобщенными граничными условиями. Пусть G - область на плоскости R2, границей которой является простая гладкая кривая L класса Cm,meN, замкнутая, или конечная разомкнутая (если кривая L разомкнутая, то G = R2 \ L ). Рассматриваются краевая задача Неймана для функции и, определенной в области G:

Аи(х) = д2и/дх2+д2и/дх22 =0 при х е G, (21)

[диIcn)- f на контуре L, (22)

lim и(х) = 0 (23)

дг- а где / заданная функция, определенная на кривой L и краевая задача для векторной функции w(x) = (wfa),w2(x)), хе G:

divw = 0, rotw = 0 при xeG, (24)

\vn = f на контуре L, (25)

1ітй (л:) = 0. (26)

И- »

В параграфе 3.1. излагаются известные результаты о разрешимости записанных задач и указана взаимосвязь между этими задачами. При этом описан классический подход, позволяющий свести краевую задачу Неймана к граничным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода в случае, когда решение ищется в области, граница которой есть замкнутая кривая; Кроме того, следуя работам [32,35], описан подход к сведению указанных краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям в случаях с замкнутой и разомкнутой границами. Приводятся известные резуьтаты о разрешимости этих задач и связанных с ними граничных интегральных уравнений.

В параграфе 3.2 дается постановка краевой задачи Неймана (21)-(23) с обобщенным граничным условием (22) в случае, когда границей области определения решения является замкнутая или разомкнутая гладкая кривая. Доказана единственность решения в сформулированном классе функций. Доказано существование решения в. случае, когда правая часть в граничном условии есть дельта-функция, сосредоточенная в произвольной заданной точке границы, не являющейся ее концом. Система таких решений, возникающая при условии, что носитель дельта функции пробегает границу, названа системой фундаментальных решений краевой задачи. Доказано, что в случае, когда правая часть в граничном условии есть функция, интегрируемая по Лебегу, краевая задача имеет решение, которое представляется в виде суперпозиции фундаментальных ре шений. Результаты, изложенные в параграфе 3.2. опубликованы в работах [50-51].

В параграфе 3.3. исследовано характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на отрезке

I[y]( о) =\r —dx = f(x0), х0 є(a,b)

aX X0

в классе обобщенных функций.

Вводится пространство D - D\a,b), элементами которого являются всевозможные функционалы / є Z)00 (E), представляющиеся в виде

f = fs+f2,2defxeH\a,b), /2єІ , (27)

о о

где D D(a/})(a,b), \а,Р) - некоторый интервал такой, что [a,j3]c(a,b) (для

каждого функционала./ интервал (a,j3) свой), Я = Н\а,Ь) - класс функций f(x), определенных на интервале (а,Ь) и представляющихся в виде

/( )=„ V/ u./ W.

(Ь-х)я(х-аУ

с некоторыми константами ju є (0,1], Л є [0,1) (для каждой функции / константы Я и ju свои ), Нм[а,Ь] - пространство функций на отрезке [a, b], непрерывных по Гельдеру с показателем ju.

Для каждого функционала feD вводится продолжение / на пространство С00 [а, Ь] по формуле / = fx + f2, где f2 есть продолжение функционала /2

в соответствии с определением 3. После этого в пространстве D вводится понятие сходящейся счетной последовательности:

Определение 7. (Определение 3.7.) Последовательность fk элементов

пространства D сходится к элементу f є D при k— co если для продолже-ний функционалов fk на пространство С [а,Ь\ выполнено условие f — / в смысле слабой сходимости функционалов в пространстве С00 [а, Ь] (последовательность fk слабо сходится к f в пространстве С00 [а, Ь] если для любой

функции єС°°[я,] следует условие (/ , р)- (/, р)).

Для оператора 7 строится продолжение на пространство D . При этом оператор I изначально рассматривается как оператор 1:Т- Т2, где

T = D°°(a,b), T2-D° (a,b). Доказано, что продолжением оператора / на пространство 7]= D в смысле определения 4 является непрерывный оператор /: Тх - Г2, определяемый формулой

у есть продолжение функционала у на пространство С [а,Ь]. После этого рассмотрено уравнение для неизвестной функции yeD / ] = /, (2g)

где feD есть функционал, представляющийся в виде (27), так, что fx есть функция, непрерывная по Гельдеру на отрезке [а, Ь]. Доказана однозначная разрешимость такого уравнения при нескольких видах дополнительных условий на функцию у.

В п.3.3;5 более подробно исследованы краевая задача Неймана (21)-(23) и краевая задача для векторной функции (24)-(26) в случае, когда решение ищется в области вне отрезка на плоскости. Доказана разрешимость данных задач в случае, когда правая часть в граничном условии имеет тот же вид, что ив уравнении (28).

В четвертой главе рассмотрена пространственная краевая задача Неймана (5)-(7) в случае, когда решение ищется в области вне разомкнутой поверхности S, которая является частью плоскости. Предполагается, что эта поверхность является областью на плоскости, а ее край есть кусочно-гладкая кривая на плоскости и ищутся решения, ограниченные в окрестности края поверхности. При этом граничное условие (6) понимается как равенство для обобщенных краевых значений нормальной производной.

В литературе по уравнениям математической физики обычно рассматриваются краевые задачи в областях с замкнутой границей. Развитые при этом подходы к исследованию разрешимости таких задач, основанные на сведении их к граничным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, не применимы для исследования экранных задач. В последнее время для теоретического исследования экранных задач применяется теория псевдодиффернциаль-ных операторов. Однако значительные трудности здесь связаны с получением оценок для решения в окрестности края поверхности, на которой ставится граничное условие. В настоящей работе развит самостоятельный подход, позволивший сначала доказать разрешимость рассматриваемой задачи Неймана с обычным граничным условием, исследовать поведение решений у края границы области определения, а затем доказать существование решений в обобщенной постановке. При этом вводится понятие фундаментальной системы решений краевой задачи, под которой, также как ив плоском случае, понимается система решений, соответствующих случаям, когда в правой части граничного условия стоят дельта функции с носителями в точках на поверхности.

В параграфе 4.1. даются классическая и обобщенная; постановки задачи Неймана.

Определение 8 (Определение 4.1.) Классическим решением задачи (5) (6), где feC(Z), будем называть функцию и, удовлетворяющую условиям: 11) и є C2(Q), выполнено уравнение (5);

12) во всех точках хєЕ функция-и. ее производные duldxt, / = 1,2,3 имеют краевые значения с обеих сторон поверхности Е, выполнены условия

ґди м±єС(Е),

є C(L), і = 1,2,3, м граничное условие (6); дхі.

ІЗ) если поверхность Е имеет край дТ., то функция и должна быть ограничена в некоторой окрестности края ЭЕ.

Определение 9.(Определение 4.2.) Обобщенным решением задачи (5) (6),где feD" (L), будем называть функцию и, удовлетворяющую условию 11) из определения 8, имеющую на поверхности Е обобщенные краевые значения

IIі класса D00 (Е) и обобщенные нормальные производные {duldnf класса

D00 (Е), для которых выполнено условие (6).

И классические и обобщенные решения ищутся при условии (7) на бесконечности.

В этом же параграфе вводится понятие фундаментальных решений краевой задачи

Определение 10. (Определение 4.3.) Фундаментальными решениями задачи (5)-(6) будем называть систему функций iuqX(х)\, # є Е, каждая из которыхявляется обобщенным решением задачи (5)-(6) в смысле определения 9 для f = 5qX в классе функций, ограниченных в окрестности края поверхности

Е и удовлетворяющих условию (7) на бесконечности.

В параграфе 4.2. доказывается единственность обобщенного решения задачи (5)-(7). При этом поверхность Е может быть как ограниченной, так и не ограниченной областью на плоскости, край которой есть кусочно-гладкая кривая. Если поверхность Е имеет край, речь идет о решениях, ограниченных в окрестности края поверхности. Доказательство основано на применении теорем о стирании особенности гармонических функций, доказанных в параграфе 2.3.

В параграфе 4.3. рассмотрена краевая задача Неймана в полупространстве, когда граничное условие ставится на плоскости, ограничивающей это полупространство. При этом удается сразу выписать систему фундаментальных решений краевой задачи

k { Г-1,хє(д3)+

и 2(х) = 2kF(x — q) = —: 7,гдек-\ +,qeR2

1, є(Д3)_

(здесь \F? J и (#3) есть полупространства, состоящие их точек х = (xltx2,x3),

удовлетворяющих неравенствам х3 0 и х3 0 соответственно). С их помощью

сразу получено интегральное представление для решения задачи (5)-(6) в случае, когда правая часть в граничном условии есть обобщенная функция некоторого специального вида.

ч 2n\x-q

Теорема 2. (Теорема 4.4.) Пусть правая часть в граничном условии (б) есть обобщенная функция /eD°° (/?2), представляющаяся в виде f = Dafa,

где a = (al,a2)eZl fa(x) = f(x)(l + \x\)ft, f\x)eLl(R2), J3 \ . Тогда функция

Ф)= jUq)D:(ugRi(xj)dq,xeRlvRl (29)

л2 является обобщенным решением задачи (5)-(6) на множестве

П = {хеД!, 3 0}, Da=d°l/(dx?dx?), \a\ = ax+a2.

Отметим, что в случае, когда правая часть есть обычная функция, из выражения (29) возникает известная формула для решения задачи, вывод которой можно найти, например, в монографии Соболева [57]. Затем рассмотрена осе-симметричная задача в полупространстве с граничным условием, понимаемым в обычном смысле. Предполагается, что поверхность, на которой ставится граничное условие, есть плоскость Охххг и в граничном условии (6) / есть непрерывная по Гельдеру функция, зависящая только от переменной г = у]хх2 + х\ и убывающая определенным образом при г-»оо. Ищется решение - функция и(х), определенная в одном из полупространств, ограниченных координатной плоскостью Оххх2,и не меняющая свое значение при повороте точки х относительно оси Ох3. Показано, что градиент неизвестной функции w = Vu можно искать как векторное поле, являющееся суперпозицией векторных полей, индуцируемых вихревыми нитями кольцевой формы (кольцевых вихрей), расположенными на плоскости Оххх2 на окружностях с центром в точке О. При этом задача сводится к нахождению функции у(г),г є[1,«0, выражающей зависимость интенсивности кольцевых вихрей от радиуса. Для неизвестной функции у возникает сингулярное интегральное уравнение на луче г є(1,оо). Исходя из формулы для решения краевой задачи Неймана в полупространстве, получена формула обращения сингулярного интегрального уравнения для функции у. Результаты, изложенные в параграфе 4.3, опубликованы в работе [47].

В параграфе 4.4 рассмотрена осесимметричная краевая задача Неймана в случае, когда поверхность Е, на которой ставится граничное, условие есть круг. Такая задача сводится к сингулярному интегральному уравнению для интенсивности кольцевых вихрей на отрезке [0,1] с тем же ядром, что и при рассмотрении осесимметричной задачи в полупространстве. С помощью формулы обращения уравнения; на луче [0, сю), осуществляется регуляризация уравнения на отрезке [0,1]. После этого доказывается существование решения уравнения на отрезке и выводятся некоторые оценки для поведения этого решения в окрестностях концов отрезка.

В параграфе 4.5; рассматриваются свойства решений краевой задачи Неймана в случае, когда правая часть в граничном условии есть дельта-функция с носителем в некоторой точке gel. в предположении, что такое ре шение существует. Доказано, что такие решения должны иметь в окрестности точки q особенность типа потенциала точечного заряда. Кроме того, доказано, что если имеются две поверхности Е, и Е2 такие, что Е, с!2, и для этих поверхностей существуют решения краевой задачи Неймана с правой частью, равной дельта-функции, сосредоточенной в точке q єЕ,, то справедлива оценка uqx2 W м?.г, W ® где uqxt(x) и uq,z (х) - решения для поверхностей Е, и Е2 соответственно, точка х лежит вне плоскости, на которой лежат эти поверхности.

В параграфе 4.6. рассмотрена осесимметричная краевая задача Неймана в случае, когда решение ищется вне круга радиуса R О, правая часть в граничном условии есть дельта функция, сосредоточенная в центре круга. Доказано, что такая задача сводится к сингулярному интегральному уравнению для интенсивности кольцевых вихрей на отрезке [0,/?], причем; это уравнение должно выполняться во внутренних точках отрезка, а решение должно представляться в С окрестности точки 0 в виде у(г) = -г+Г(г)\ где у (г) есть функция, непре г рывная в окрестности точки г = 0 по Гельдеру. Доказано существование таких решений у сингулярного уравнения, а также существование решения поставленной краевой задачи и исследованы свойства этих решений.

В параграфе 4.7. рассмотрена краевая задача Неймана (5)-(7) в случае, когда Е есть выпуклая ограниченная область на плоскости, граница области Е на плоскости есть кусочно-гладкая кривая, правая часть в граничном условии имеет вид

/( ) = iifljJceZ, (30)

JK R{x)

где / ( ) есть измеримая по Лебегу, ограниченная функция, R(x) есть расстояние от точки х до границы области Е. При этом в каждой точке у є Е строится круг S(y) с центром в точке у радиуса R(y) и строится функция и (х), являющаяся решением краевой задачи Неймана вне круга S(y), имеющая на этом круге нормальную производную, равную дельта функции, сосредоточенной в центре круга. Решение исходной задачи ищется в виде

"( ) = \g{y)uy (x)dy»-х є R3, x є E, s где g есть неизвестная функция. Задача сводится к интегральному уравнению для функции g на плоском множестве Е. Доказывается однозначная разрешимость этого уравнения в некотором классе функций g, непрерывных во внутренних точках области Е. В результате доказана

Теорема З і ( сокращенный вариант теоремы 4.10.) Для любой функции f, представляющейся в виде f(x) = f (x)IR(x),f є LX(Z), краевая задача (5)-(7) имеет обобщенное решение и(х) в классе функций, ограниченных в окрест ности края поверхности Е. Указанное решение представляется в виде и = UL[v], где v є С(), и справедлива оценка:

И )1 /1(1). «г. где С зависит только от Е. (L ib)) — нормированное пространство эквивалентных классов ограниченных функций, измеримых по Лебегу, см. п.1.1.1)

Результаты, изложенные в параграфах 4.4,4.7-4.8. опубликованы в работе [48].

В параграфе 4.8 строится система фундаментальных решений краевой задачи Неймана (см. определение 10). Сначала строится система фундаментальных решений для случая, когда Е есть полуплоскость. Построение таких решений осуществляется путем применения преобразования Кельвина (преобразование гармонических функций, основанное на инверсии пространства [12,58]) к решениям осесемметричной задачи в области вне круга с нормальной производной на этом круге равной дельта-функции, сосредоточенной в центре круга. Получены оценки для элементов системы фундаментальных решений в окрестности края полуплоскости. Затем строится система фундаментальных решений в случае, когда Е удовлетворяет тем же условиям, что и в параграфе 4.7. При этом фундаментальные решения ищутся в виде

иЙх ( ) = иг \Учх К ) + и1х ( ) где Uz[vqX\ есть потенциал двойного слоя с плотностью

V( ) = —і г»

;г;с-д u qZ(x) - неизвестная функция, имеющая в окрестности точки q непрерывные

краевые значения с обеих сторон поверхности Е. Нахождение функции u qX(x) сводится к решению краевой задачи Неймана с правой частью в граничном условии вида (30). Далее получена оценка для модуля функций uqz(x), причем,

При ВЫВОДе ЭТОЙ ОЦеНКИ фуНКЦИИ U д. (ДГ) МаЖОрИруЮТСЯ Элементами СИСТЄМЬІ

фундаментальных решений для задачи Неймана вне полуплоскости: Kr( )k- f . ..get, xeR3\Z,

1 - 7зд+ - 1

где С - константа, не зависящая от дг, ,Е, R(x) - расстояние от точки х до края поверхности .

В параграфе 4.9. продолжено рассмотрение краевой задачи Неймана при тех же предположениях о поверхности Е, что и в параграфе 4.7. Доказано, что если правая часть в фаничном условии есть офаниченная измеримая по Лебегу функция, то решение краевой задачи Неймана представляется в виде (см. теорему 4.11)

и(х) = vf{q)uqX{x)dq, х є R3, х & Е. (31)

С помощью формулы (31) получены следующие оценки для модуля функции и и ее первых производных в окрестности края поверхности I (см. теоремы 4.11 и 4.12):

А) если функция / измерима по Лебегу и ограничена, то

\и(х)\ СуЩ(х), Б) если функция / непрерывна на множестве Z по Гельдеру, то ди(х) С

/ = 1,...,3,

дх,

7Щ где С - некоторая константа, не зависящая от точки л:, но зависящая от функции / и области I, R(x) - расстояние от точки х до края поверхности I, точка х не лежит на поверхности Е и ее крае. Отметим, что полученные оценки справедливы во всей окрестности края поверхности Е, включая угловые точки, если таковые имеются.

Результаты, изложенные в параграфах 4.8-4.9. опубликованы в работе [49].

В параграфе 4.10. рассмотрено существование решений краевой задачи Неймана с обобщенными граничными условиями в случае, когда Е есть выпуклая ограниченная область на плоскости, граница которой есть кусочно-гладкая кривая. При этом задача сводится к интегральному уравнению (8) в классе обобщенных функций.

Сначала строится продолжение оператора Прандтля П, определяемого выражением (9), на обобщенные функции специального вида. В п.4.10.1. вводится пространство -D =D (Z), элементами которого являются всевозможные

функционалы / є D°° (Е), представляющиеся в виде

f = fl+f2,edefieL„V), /2еЬ, (32)

о о

где D = D (L) - пространство, введенное определением 1, Е, - некоторое есть

подмножество множества , открытое на плоскости R2, такое, что I, с! (для каждого функционала / множество Е, свое). Для каждого функционала

feD вводится продолжение / на пространство C°°(Z) по формуле f = fi+f2i где /2 есть продолжение функционала /2 в соответствии с определением 3. После этого в пространстве D вводится понятие сходящейся; счетной последовательности:

Определение 11. (Определение 4.6.) Последовательность fk элементов

пространства D сходится к элементу f є D при А:-»оо если для продол-жений функционалов fk на пространство С°°(Е) выполнено условие f — / в смысле слабой сходимости функционалов в пространстве Сда (Е).

В п.4.10.2. строится продолжение оператора П на пространство D . При этом оператор П изначально рассматривается как оператор П:Т- Т2, где

T D QL), Т2=В° (). Доказано, что продолжением оператора П на пространство Тх = в смысле определения 4 является непрерывный оператор П: Тх — Т2, определяемый формулой

(П[/],р) = (/,ГВД), /ef eZr(2)f f есть продолжение функционала / на пространство С00 (). Ниже будем обозначать продолжение построенного оператора символом П, так же, как и исходный оператор.

В п.4 Л 0.3 доказана

Теорема 4. (Теорема 4.14.) Если для некоторой правой части f eDM (S)

уравнение (8) имеет решение в классе функций v є D , то это решение является единственным в данном классе.

Далее в п.4.10.3-4.10.4 строится функция Грина для оператора Прандтля П и исследованы ее свойства.

Определение 12. (Определение 4.7.) Функцией Грина оператора Прандтля будем называть функцию G(x,q), определенную при хєі., qel., x q, такую, что при каждом qel. функция v(x) = G(x, q) является решением уравнения Прандтля (8) с правой частью f -6qZ в классе v єD".

Доказано, что функция Грина представляется в виде

G(x,q) = j \ + g(x,q), xel.,qel.,x q,

K\x-q\

где функция g(x,q) удовлетворяет условию g(A:, 3,)eC00(SxS) и выполнены свойства

А) при всех а є Z\ и q є Z функция v{x, q) - D%g(x, q) удовлетворяет условию v(x) є C(I x I);

Б) при всех aeZl и JCGS функция v(x,q) = D"g(x,q) удовлетворяет условию v(x) є C(S xZ). (см. лемму 4.38).

Кроме того, при всех (дг, 7)єх, x q выполнено равенство G(x,q) = G(q,x). (см. лемму 4.37).

Для случая, когда правая часть в уравнении (8) есть обычная функция в п.4.10.3 доказана

Теорема 5. (теорема 4.15.) а) Если функция f представляется в виде

f(x) = R-\x)f\x),xeZ, feL„(Z),

то уравнение Прандтля (8) имеет решение в классе функций veD , причем, v Е Lx П С(Е) и выполнена оценка

IMU I/ IL,- 33 б) Если f eLM(L), то решение уравнения Прандтля (8) определяется выражением

v(x)= JG(x,y)f(y)dy = G[f](x), хєї,

выполнены условие v е C(Z) и оценка

И )ИС/М1)%/Щ, xzZ. (34) в) Если f є # "(Е),// є (ОД), то функцию v можно представить в виде

v = vl+v2,ede єЯ Й, іуєС°°(Е) и выполнены оценки

INU 1/Щ. \0° фСа11 (х)\\Д уХеї, (35)

где aeZl,\a\ \.

(В оценках (33) и (34) С - некоторая константа, зависящая только от , в оценке (35) С - некоторая константа, зависящая от Ew ju, Са - константы, зависящие только от а. Определение пространств Нм() и HiM(L)

дано в п: 1.1.1.)

Наконец в п.4.10.5. исследовано уравнение (8) и краевая задача Неймана (5)-(7) в случае, когда / есть обобщенная функция, равная нулю в окрестности

о о

края множества Е. Пусть D = Dzx (Е), где Е, есть некоторое открытое множество на плоскости R2, такое, что Г, cS.B работе вводится оператор G, который

каждому функционалу f eD ставит в соответствие функционал G[f], определенный формулой

(G[f], p) = (f,G[ p]), peD °(Z),

где / есть продолжение функционала / на пространство С° (Е), причем, до казано, что (7: - D00 (Е). Оператор G используется для построения обобщенных решений уравнения (8).

Теорема 6. (теорема 4.16.) Для любой функции f eD функция v- G[f]

удовлетворяет условию veD" и является решением уравнения Прандтля (8).

Кроме того, доказано, что если f eD" есть функционал, представленный в

виде (32), то уравнение Прандтля (8) имеет решение v = G[fx] + G[f2] єD" (см.

теорему 4.17).

Из результатов, полученных для уравнения Прандтля (8) следует, что

краевая задача Неймана (5)-(7), где f eD", имеет обобщенное решение в классе функций, ограниченных в окрестности края поверхности Е, причем, и = Ut[v], где v є D" - решение уравнения Прандтля (8).

Результаты, изложенные в параграфе 4.10. опубликованы в работе [52].

В главе 5 рассмотрены численные методы нахождения обобщенных решений сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и приложения эти методов к некоторым краевым задачам.

В параграфе 5.1. строится численная схема для приближенного решения обобщенного сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на отрезке (28), а в параграфе 5.2. строится численная схема для приближенного решения гиперсингулярного интегрального уравнения (8). При этом предполагается, что правая часть исследуемых уравнений есть обобщенная функция некоторого специального вида и что существует слабо сходящаяся к этой функции последовательность дискретных функций определенного вида.

Рассмотрим более: подробно результаты, полученные для двумерного уравнения (8). Пусть опять .2 есть выпуклая ограниченная область на плоскости, граница которой есть кусочно-гладкая кривая. Образуем разбиение области на квадратные ячейки ак, к = 1,...,п и в центре каждой ячейки возьмем точку

коллокации хк как указано при построении системы линейных уравнений (10) (система ячеек сгк и точек хк, к = 1,...,и, названа отмеченным каноническим

разбиением). Это же разбиение будем использовать для приближенного нахождения обобщенных решений. Пусть Е, есть открытое подмножество области Е

такое, что St zZ, /eD" (Z) есть функционал, представляющийся в виде f = fx+fi.W-fxeL«V). ЛєС ф.зирр/зСІ, (36)

(здесь С () есть пространство непрерывных функционалов над пространством С(1) и в равенстве (36) речь идет о сужении функционала /2 на пространство

ZT(S)).

Теорема 7. (Теорема 5.6.) Рассмотрим уравнение Прандтля (8) с правой частью f вида (36). Пусть Т есть каноническое отмеченное разбиение об ласти Е с шагом h 0. Предположим, что {іі сҐ (Е) есть последовательность функционалов, определяемых формулами

" — С37У

где fi =.у](А),/. = 0,« - действительные числа, удовлетворяющие условиям

{п)У Си\ип)\ Сприхи&х),

7=0

С - некоторая константа, не зависящая от п и j, и предположим, что для любой функции у/ є С (Е) выполнено условие \im(Fh,i//) = (f,y/).

hO

Тогда решение системы линейных уравнений (10) и решение уравнения Прандтля (8) в классе функций v є D связаны условием: Для любой функции у/ є С°°() выполнены равенства

Iim (x 2=(v,y0 и

Л- оо — /=1.

п

limY AP =(y,\f/), где Ч" = Г u/(x)dx, / = 1,...,и.

Для рассматриваемой функции:/ приближенное решение краевой задачи Неймана (5)-(7) и его градиент можно вычислить по формулам (11) и (12). При этом в каждой точке х є R3, не лежащей на замыкании поверхности Z, значения функции мА и ее производных всех порядков стремятся к значениям функции-И и ее производных, соответственно.

Отметим, также, что предварительно для случая, когда / есть функция, непрерывная на множестве Е по Гельдеру, доказано, что решение уравнения (8) и решения уравнений (10), где /\ = -f(xJ) связаны оценкой \y(xJ)-Vj\ Ch\. где С и Р - некоторые положительные константы, не зависящие от шага разбиения h и точки Xі (см. теорему 5.5). Этот результат о равномерной сходимости приближенных решений уравнения (8) с гладкой правой частью к точному решению является новым и представляет самостоятельный интерес.

Результаты, изложенные в параграфе 5.2. опубликованы в работе [52].

В параграфах 5.3-5.5 даны примеры численного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений с обобщенными правыми частями и некоторых задач аэродинамики, в которых возникают такие уравнения.

В параграфе 5.3 строится схема численного решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на отрезке для случая, когда правая часть есть дельта-функция с носителем в некоторой точке этого отрезка. Производится сравнение получаемых численных решений с точными аналитическими решениями, а также с решениями, получаемыми по раннее известной схеме, предложенной Лифановым И.К. [32].

В параграфе 5.4. рассмотрена плоская задача аэродинамики о стационарном обтекании тонкого профиля в форме отрезка с отсосом потока на одной из его сторон. Показан способ сведения такой задачи к сингулярному уравнению с ядром Коши на отрезке с дельта-функцией в правой части. Приводятся поля скоростей, вычисленные на основе предложенного алгоритма.

В параграфе 5.5 рассмотрена пространственная задача аэродинамики о стационарном обтекании тонкого крыла с отсосом потока, осуществляемым через точечное отверстие или через узкую щель. Показан способ сведения такой задачи к гиперсингулярному интегральному уравнению (8) в классе обобщенных функций и разработан алгоритм численного решения такой задачи. Изложим более подробно основные результаты, полученные в этом параграфе.

Сначала рассмотрим задачу о потенциальном обтекании поверхности с отсосом потока через точечное отверстие. Предположим, что обтекаемая поверхность Е есть выпуклая область на координатной плоскости Ох{х2, а ее край есть кусочно-гладкая кривая L на этой плоскости. Будем считать, что на поверхности I задан положительный вектор нормали п = (0,0,1). Предположим, что отсос внешнего потока осуществляется в точке q є со стороны вектора нормали п, причем, объемный расход отсасываемой жидкости в единицу времени задан и равен Q. При этом поле скорости жидкости v доложно удовлетворять уравнениям (4) в области R3\Z, краевое значение нормальной скорости на поверхности должно равняться нулю во всех точках на отрицательной стороне поверхности Е и во всех точках, кроме точки q, с положительной стороны поверхности Z. Кроме того, задается значение вектора скорости набегающего потока на бесконечности wM и ставится условие ограниченности потенциала вектора скорости в окрестности края поверхности Е. Поле скоростей жидкости v предлагается искать в виде

v = wn + w0, w0=Vw0, (38)

где щ - неизвестный потенциал возмущенного поля скоростей w0. Для удовлетворения сформулированным физическим условиям ставится следующая краевая задача для неизвестного потенциала и0:

- в области R3 \ Z должно выполняться уравнение Лапласа Aw0 = 0,

- на поверхности S функция н0 должна иметь обобщенные краевые значения и обобщенные нормальные производные класса Z)00 (), причем,

для обобщенных нормальных производных должно выполняться граничное условие

(ди0 /дпу = -QSqX + /0, {ди0 /дп) = Л, (39 где SqX есть дельта-функция с носителем в точке q

функция и0 ограничена в окрестности края поверхности I и удовлетворяет условию на бесконечности lim uJx) = 0.

х— 00

Доказано, что если функция и0 является решением поставленной краевой задачи, то векторное поле v представляется в окрестности точки q с положительной стороны поверхности в виде

v(x) = 2Qwq(х) + v (х), х є R ,х, 0, где

-r\ uw , 1 x-q (40)

4n\x-q\

v (x) есть функция, имеющая предел в точке q с положительной стороны поверхности. При этом если провести полусферу S с центром в точке q, лежащую в полупространстве х, 0, радиуса г R(q), где R{q) есть расстояние от точки q до края поверхности Е, то поток вектора скорости v через поверхность S+ в направлении вектора внешней нормали будет равен -Q . Это есть

математическое выражение физического условия о наличии отсоса потока в точке q.

Функцию и0 предлагается искать в виде Щ(х) QF(x- q) + и(х), где F(x) есть потенциал точечного заряда, определяемый; выражением (16). При этом поставленная краевая задача для функции щ равносильна краевой задаче Неймана (5)-(7) для функции и с

f = --QSqX+f0,

в классе функций, удовлетворяющих определению 9 и ограниченных в окрестности края поверхности. Однозначная разрешимость такой задачи следует из теоремы 6, причем, u = Uz [v], где. У є D" - решение уравнения Прандтля (8).

Для приближенного решения уравнения (8) строится последовательность функционалов {/ } с: С (E) вида (37) следующим образом. Пусть

ак =( » /4. )х(0 » л )» = 1 "чл» есть ячейки, образующие разбиение множества Е с шагом А 0. Обозначим дк = [/, ,f,.,)x[f/4»f/t.,) (ячейки дк получаются добавлением к ячейкам ак части их границы). Пусть

fj=fo(xJ) при Цёр fj=-—r + fo(xJ) при Ч оу

Приближенное решение уравнения (8) ищем из системы линейных алгебраических уравнений (10). При этом связь между числами числа vnl = 1,...,я и

обобщеным решением уравнения (8) указана в теореме 7. Поле скоростей жидкости вычисляется по формуле

v = wm + Qwq + w,

где причем, векторное поле wq определяется выражением (40), а векторное поле w = Vu вычисляется приближенно по формуле (12). При этом в каждой точке Л: Є R3 \ Е выполнено условие lim wh(x) = w(x).

Л-»0

Теперь рассмотрим задачу об обтекании той же поверхности Е, при наличии отсоса внешнего потока, осуществляемого через тонкую щель. Предположим, что эта щель расположена на кривой Lq сі, причем, кривая Lq является кусочно-гладкой и образована точками xq(s), s є [a, b], где s - естественный параметр. При этом считаем, что кривая Lq состоит из конечного числа гладких компонент, на каждой из которых функция xq(s) непрерывно дифференцируема. Заметим, также, что существует число г0 0 такое, что расстояние от любой точки xq eLq до края поверхности Е больше г0.

Предположим, что краевое значение нормальной скорости на поверхности Е должно равняться нулю во всех точках на отрицательной стороне по V

верхности Б и во всех точках, не лежащих на кривой Lq, с положительной стороны поверхности Е. Предположим, также, что через щель осуществляется отсос потока со стороны вектора нормали Я, причем, объемный расход отсасываемой жидкости за единицу времени через единицу длинны щели задается функцией Q(s). Это означает, что если построить открытый шар В(г,х) с центром в произвольной точке хєLq радиуса гє(0,г0), и построить полусферу

S+(r,x) с центром в точке х радиуса г, лежащую в полупространстве х3 О, то

поток вектора скорости жидкости v через поверхность S+ (г, х) определяется формулой

Г mda = -[ Q(s)ds, (41)

где Я есть вектор нормали на поверхности S (r,x), являющийся внешним для шара B(r,x), da - элемент площади поверхности.

Поле скоростей; опять ищется в виде (38), где для функции щ возникает

та же самая краевая задача, что ив предыдущем случае с заменой граничного условия (39) на условие

(ди01дп)+ =fQ + f0, (ди01дп) = fQ,

где f0 = -wnn, fQ eC (I) есть функционал, определяемый формулой

(/ »?) = 1 Q(s)(p(xq(s))ds, ер є C(f).

Доказано, что если функция и0 есть решение поставленной задачи, то вы-полнено условие (41). Функция щ ищется виде

u0(x) = uQ(x) + u(x), uQ(x)=[ Q(s)F(x-x (s))ds. При этом для функции и возникает краевая задача Неймана (5)-(7) с

J = —тЛ? +/о»

в классе функций, удовлетворяющих определению 9 и ограниченных в окрестности края поверхности. Такая задача однозначно разрешима, причем, и = Uz[v], где v є D - решение уравнения Прандтля (8).

Приближенное решение уравнения (8) опять ищется из системы (10), где

Доказано, что в этом случае функционалы {/ } сС°° () вида (37) удовлетворяют условию теоремы 7. Поэтому функцию и и векторное поле w = Vu х можно приближенно искать по формулам (11) и (12). Полное поле скоростей ищется по формуле

v = wa+wQ+w,

где wQ = VuQ, w = Vu, причем эти поля вычисляются приближенно. Для приближенного вычисления векторного поля --w используется формула (12) и для приближенного вычисления векторного поля wQ используется формула

Доказано, что в каждой точке хє/23\Е выполнены условия llmwh(x) = w(x) и

Л- 0

\lmwhQ(x) = wQ(x).

В п.5.5.5. приводятся примеры приближенных полей скоростей, полученных в задачах об обтекании прямоугольного крыла с отсосом потока в точке и через тонкую щель с использованием разработанных численных алгоритмов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.

Научная-новизна« данной работы заключается в том, что исследованы новые постановки краевых задач и граничных интегральных уравнений, возникшие в приложениях к аэродинамике, доказана разрешимость этих задач и уравнений, предложены и математически обоснованы новые численные метода их решения.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе полученных теоретических результатов разработаны численные методы решения краевых задач аэродинамики, позволяющие моделировать новые классы течений идеальной несжимаемой жидкости, в частности плоские и трехмерные течения идеальной несжимаемой жидкости при наличии отсоса внешнего потока.

Апробация работы. Результаты данной диссертации докладывались на

- IX международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел 2000 г.),

- X международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Херсон -2001),

- ХГ международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Херсон -2003),

- Научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики ВВИЛ им. проф. Н.Е.Жуковского (руководитель профессор Лифанов И.К.)

- Научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители профессор Е.В.Захаров, профессор И.К.Лифанов)

- Международном авиационно-космическом семинаре ВВИЛ им. проф. Н.Е. Жуковского и ГОСНИЦЦЛГИ (руководитель профессор. С.М.Белоцерковский)

- Научно-исследовательском семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители профессор В.Л. Кондратьев, профессор Е.В. Радкевич )

- Научно-исследовательском семинаре по вычислительной математике и математической физике ИВМ РАН (руководители академик Н.С.Бахвалов и профессор В.И.Лебедев).

Вычислительные алгоритмы, разработанные в настоящей диссертации, использованы и апробированы в защищенной диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Димитрогло М.Г. "Математическое моделирование воздействия отсоса внешнего потока на концевые вихри" (руководители проф. Лифанов И.К., доцент Сетуха А.В.)

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации, опубликованы в работах:

1. Сетуха А.В. Определение сил, действующих на профиль при наличии отсоса внешнего потока. // в сб. Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические материалы каф.104 ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

2. Сетуха А.В; Численное решение задачи о движении вихревой пелены при аналитическом начальном условии. // Дифференциальные уравнения т.31, №9,стр.1529-1537,1995г.

3. Сетуха А.В: Обоснование метода дискретных вихрей в задаче о движении конечной вихревой пелены при аналитических начальных условиях. // Дифференциальные уравнения т.32, №9, стр. 1272-1279,1996г

4. Лифанов И.К., Миско В.А., Прудников А.П., Сеиуха А.В., Скотченко А.С. Исследование способа управления аэродинамическими силами и моментами, действующими на ЛА с целью улучшения их маневренности при помощи интенсивной эжекции. V этап. // Отчет по НИР ВЦ РАН. 1996г.

5. Лифанов И.К. Сетуха А.В. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных уравнений. // Дифференциальные уравнения т.З5, №9, 1999г с. 1227-1241.

6. Lifanov I.K., Ponarin L.N.,Setukha A.V. Mathematical modeling of the rotor of a helicopter with ejection devices. // Russ. J. Numer.Anal. Math. Modelling. Vol. 14,No3, 1999, pp.237-264.

7. Сетуха А.В: Краевая задача Неймана в полупространстве. // Дифференциальные уравнения, т.36, №9, 2000 г. с. 1172-1185.

8. Сетуха А.В. О краевой задаче Неймана в полупространстве. // Труды IX международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел. Орловский гос. Университет. 2000, с.421-423

9. Сетуха А.В. Краевая задача Неймана в с граничным условием на плоской разомкнутой поверхности. // Дифференциальные уравнения, т.37, №10, 2001г. с.1311-1329

10. Мельник К.П. Сетуха А.В. О численном нахождении сил, действующих на обтекаемый профиль при осуществлении отсоса внешнего потока. // Труды X международного симпозиума "Методы дис-кретных особенностей в задачах математической физики. Херсон 2001. с. 220-223;

11. Сетуха А.В. О краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Труды X международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». (Херсон -2001), с.317-320

12. Лифанов. И.К., Кирякин В.Ю., Миско В:А., Панарин Л.Н., Сетуха Л.В. Ставцев С.Л., Димитрогло M.F. Разработка конструктивных решений ветроэнергетических установок для энергообеспечения малых (сельских) телефонных станций. - Отчет по НИР (заключительный) к договору 4/2001 -к/а от 24.01.2001. ИВМ РАН. № гос. регистации 01.200.120163. 2001г. 76с.

13. Лифанов. И.К., Кирякин В.Ю., Миско В.А., Сетуха А.В; Ставцев С.Л., Димитрогло М.Г. Разработка расчетного метода определения гидродинамических характеристик плохообтекаемых подводнеых объектов. - Отчет по НИР шифр «Стеньга-ИВМ-РАН». ИВМ-РАН. 2001г. 37с.

14. Сетуха А.В: О построении фундаментальных решений краевой задачи Неймана в области вне разомкнутой плоской поверхности. // Дифференциальные уравнения т.38, №4,2002г. с505-515.

15. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения т.З 8, №9, 2002г. с. 1172-1182.

16. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О новом способе расчета обтекания тонкого профиля идеальной жидкостью с отсосом внешнего потока. // в сб. Аэродинамика летательных аппаратов. Научно-методические материалы. Военный авиационно-техиический университет. 2002г. с.96-112.

17. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха А.В. Расчет обтекания крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока. // в сб. Аэродинамика летательных аппаратов. Научно-методические материалы. Военный авиационно-технический университет. 2002г. с. 113-132.

18. Гутников В.Л., Кирякин В.Ю., Лифаиов И.К., Сетуха Л.В Математическое моделирование аэродинамики городской застройки. - М. Изд-во «Пасьва», 2002 г., 244с.

19. Лифанов. И.К., Кирякин В.Ю., Миско В.А., Сетуха А.В. Ставцев С.Л., Димитрогло М.Г. Уточнение расчетного метода определения гидродинамических характеристик плохообтекаемых подводных объектов, проведение расчетов гидродинамических характеристик модели подводного плавсредства. - Отчет к договору по НИР шифр «Стеньга-ИВМ РАН». ИВМ РАН. 2002г. 30с.

20. Сетуха А.В. Фундаментальные решения плоской краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. // Дифференциальные уравнения т.З9, №1, с125-132. 2003 г.

21. Сетуха А.В. Трехмерная краевая задача Неймана с обобщенными граничными условиями и уравнение Прандтля. // Дифференциальные уравнения т.39, №9,2003 г.

22. Сетуха А.В. Об одном методе численного решения уравнения Прандтля в классе обобщенных функций и его приложении к аэродинамике. // Труды XI международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». (Херсон -2003), с. 240-244.

Пространства основных функций

Пусть Q - область в пространстве R" и пусть Q есть замыкание этой области в R". В качестве пространств основных функций введем линейные пространства DW(Q), meZ+, элементами которых являются функции р(х) є Cm(Q) такие, что supp (р с Q -множество, компактное в R", а сходимость последовательности функций {(рк } с Dm(Q) к функции (р є Dm(Q) при к - оо определена условиями: а) существует компактное множество GczQ такое,- что б) для сужений функций рк и р на множество G справедливо соотноше ние: (рк-хр при к - оо по норме пространства Cm(G). Пусть, также D(Q) есть линейное пространство, элементами которого являются функции (х)єС(0) с компактным носителем supp (р a. Q, причем, последовательность функций { рк }к при к -» оо, если Vw є Z+ следует, что q k - (р в пространстве /) (0). Заметим, что при 0 / т со выполнено соотношение ZT(Q) с (Q) и если последовательность {(рк} с DCT (Q) сходится к 0 є Dw (Q) при А: - со в пространстве Dm(Q) ,то (рк- (р ив пространстве Dl(Q). Введенные пространства Dm(Q), meN или га = со, являются L -пространствами (пространствами со сходимостью последовательности) [25 с. 197]. Напомним, что / -пространством называется множество, в котором выделен некоторый класс последовательностей (называемых сходящимися), причем, каждой последовательности /J,/ ,..., ,... этого класса поставлен в соответствие некоторый единственный элемет / = lim fk так, что выполняютя 3 ак- сиомы: f, то она содержит подпоследовательность fk ,fk ,... такую, что ни одна ее подпоследовательность не сходится к f. Лемма \Л. В пространствах Dm(Q), meZ+ или т = оо, выполнены аксиомы L -пространства. Доказательство. Если последовательность ср{,(р2,...,(рк,... сходится к элементу ср в пространстве Dm(Q), то эта последовательность сходится к элементу (р в пространстве Cm(Q) и существует компактное множество GcQ такое, что VkeN= supp A сG. Тогда если у/, -(рк , ieN, - подпоследовательсность рассматриваемой последовательности, то y/,- p при /— оо в пространстве Cm(Q) и suppy/t сG,iєN. Значит y/t- (p при /- oo в пространстве Dm(Q) и аксиома 1) выполнена. Аксиома 2) выполнена, т.к. если рк=(р, то Докажем аксиому 3). Пусть последовательность ,, 2,..., ,... не сходится к (р в пространстве Dm{Q). Тогда или не существует компактное множество GcQ такое, что supp cpkcG для всех keN, или срк 4 р в С"(Q).

Предположим, что не существует компактное множество GcQ такое, что supp pkcG для всех к є N. Построим в пространстве /Г последовательность компактных множеств G, = {л; є QJC / последовательность y/t = рк, / є iV так, что supp y/lczGi w кх к2 Теперь пусть - подпоследовательность последовательности ц/г Для любого компактного множества GcQ найдется jeN такое, что GcGt и значит supp ц/і zG. Тогда подпоследовательность у/, не имеет предела в Dn (Q). Предположим, что срк7$(р в пространстве Cm(Q). Т.к. пространство С"1 (Q) является метрическим, найдется окрестность U элемента р и подпоследовательность .y/t = рк такие, что y/tU при всех /єN. Тогда никакая под- последовательнсоть последовательности -у/, не сходится к ср. Лемма доказана. Введем, также, понятие для предела основных функций, зависящих от параметра в случае, кагда параметр не обязательно лежит в счетном множестве. Определение 1.1. Пусть, (р eDm(Q), где meZ+ или т = х , eeAcR, и "0 -предельная точка множества А. Будем говорить, что \іт ре=(р в про- странстве Dm{Q), если для любой последовательности {єх,...,єк...)с А, удовлетворяющей условию \іт.єк =0, выполнено условие lim =q : Лемма 1.2. Условие Хші(ре = р в пространстве Dm(Q) выполнено тогда и только тогда, когда выполнены условия а) Существует окрестность U точки єQ на действительной оси и в пространстве R" существует компактное множество GcQ. такие, что supp pcG и supp р, сG при єеі/ПА; б) limср = р в пространстве Ст(G). Доказательство. ( =). Предположим, что выполнены условия а) и б). Возьмем последовательность {єх,...,єк..\cz А такую, что limv =є0. Тогда су- ществует k0eN такое, что supp cG при к к0. Пусть Cm(G). Т.к. срс (х) = р(х) = 0 при xeG\G, к к0, условие \im p = выпол- нено ив пространстве Cm(G), а значит и в пространстве DW(Q). В силу произвольности последовательности {єх,...,єк...\cz А выполнено условие lim р = ср в пространстве Dm (Q) в смысле определения 1.1. (= ). Предположим, что lim ре=(р ъ Dm (Q), в смысле определения 1.1. Докажем, что выполнено условие а). Предположим противное. Тогда построим последовательность множеств Gk = іхєQp(x,cQ) 1 / &, JC &], keN и пусть УД, keN есть множества на действительной оси, образующие определяющую систему окрестностей элемента s0. Заметим, что при каждом к є TV Gk есть компактное множество в Rn и Q = {JkeNGk. Найдется A:, eN такое, что supppczG при к кх. Т.к. условие а) не выполнено, для каждого keN найдется число єк такое, что єк eUk f\A и supp р &Gk. Тогда для любого компактного множества G cz Q найдется k0eN, 0 кх такое, что при к к0 выполнено условие GczGA и значит supp рЄк & G. Но тогда последовательность (рСк не имеет предела при к — оо в пространстве Dm(Q), что является противоречием. Таким образом, условие а) выполнено. Теперь, для любой последовательности чисел {єх,...,єк...)аА таких, что \ітєк=є0, имеем lim (р. -(р в пространстве Cm(G). Но т.к. пространство Cm(G) метрическое (метризуемо при т = со), последнее утверждение означает, что выполнено условие б). Лемма доказана. 1.2.2. Некоторые специальные бесконечно дифференцируемые функции. Рассмотрим построение некоторых специальных функций, лежащих в пространствах C(Q) и Z)(Q), которые будут использоваться при доказательстве различных утверждений (см.[14] ). Сначала приведем пример функции g(x) е С00(/?) такой, что g(x) 0 при х є (а, Ь) и g(x) = О при xeR\(a,b), где (а,Ь) - заданный конечный интервал. Такая функция, например, задается формулой Для любого конечного интервала (а,Ь) можно, также, построить функцию h(x)eC (R) такую, что h{x) О при л: я, 0 h(x) \ при хе(а,Ь) и h(x) = l при x b.

Для этого достаточно положить функция g определяется выражением (1.2.). Пусть теперь заданы два конечных интервала (а, Ь) и (c,d) так, что [с, d] с {а, Ь). Построим функцию h(x)eC{R) такую, что и 0 h{x) 1 при всех хеЯ и при этом supphcz[a,b], /г(лг) = 1 при х є [с, d]. Для этого с использованием формулы (1.2) построим функции gx (х) и g2(x) так, что gi(x)eC:0(R), 0 g,(.r) l, / = 1,2 при всех xeR и suppg, = [а,с], supp g2 = [b,d]. Теперь искомая функция Н может быть получена по формуле Лемма 1.3. Пусть Q - область в R" и пусть G - компактное множество в R" такое, что GcQ. Тогда найдется функция q є (Q) такая, что (р(х) = 1 для всех xeG и 0 ср(х) 1 при хeQ\G. Доказательство. Доказательство этой леммы основано на построении разбиения единицы [14]. Для каждой точки х е G найдется открытый шар В(г, х), где г = г(х) О такой, что В(г,х) с Q. Множество открытых шаров {B(r/2,x\r = r(x),xeG\ образует покрытие компактного множества G. Тогда по Лемме Гейне-Бореля из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т.е., найдется система открытых шаров {Bk}k=l-g таких, что Вк = В(гк /2,хк), где гк=г(хк) и при этом Gc[J Вк. Пусть, также, В\ В(3/4гк)хк). При этом В\ аВ(гк,хк) и значит \Jk B\ cQ. Для каждого к = \,К построим функцию /k(r)eCco(R) такую, что Дг) = 1 при г гл/2, 0 /(г) 1 при rk/2 \r\ (3/4)rk и f(r) = 0 при r (3/4)rk и пусть (pk(x) = fk(\x-xk\), xeQ. Для функции (рк выполнено: рк є (0), supp рк c5 t,f((x) = l при хеВк и 0 (л:) 1 при xeQ\Bk. Теперь построим последовательность функций { ) - по рекуррентным формулам: у/х = (рх, у/к = ц/к_х + (1 -у/кЛ) рк, к = 2,К. При этом по индукции легко показать, что для всех к = \,К выполнены свойства: y/keDco(Q), 0 i//k(x) \ соотношение G с Gk, функция р = у/К является искомой. Лемма доказана. расса [20, с.394] действительную функцию, непрерывную на компактном мно жестве GczR", можно сколь угодно близко приблизить на этом множестве многочленами в равномерной метрике. Рассмотрим вопрос о приближении функций многочленами в пространствах Cm(G), meZ+ или m = oo. Сначала исследуем функции одной переменной. Лемма 1:4. Для любой функции f єСт[а,Ь] те Z+ или m = x существует последовательность многочленов [pk)k—, сходящаяся к f при &-» х в пространстве Ст[а,Ь]. Доказательство. Сначала рассмотрим случай т е Z+. Возьмем є 0. Т.к. есть многочлен; и если выполнено равенство єх =є{Ь-а) т{т + \) \ то p-/Lc В силу произвольности; є искомая последовательность многочленов существует. Теперь пусть / є С00 [a, b]. Из доказанного выше следует, что для всех meZ+ найдется многочлен рт(х) такой, что р„-/ш0 (/и + 1)"1.

Первообразные обобщенных функций одного аргумента

Пусть [а, Ь] есть отрезок на действительной оси, и пусть [а,/3]а(а,Ь). о о Рассмотрим пространство D = D(aJ3)(a,b) (см.определение 1.7). В соответствии с определением 1.4. для каждой обобщенной функции /є)в (а,Ь) существует производная / єD\а,b), под которой понимается функционал, действующий по формуле (f\q ) Определение 1.20. Функционал g є D00 (а, Ь) называется первообразной функционала feD 0 (a,b), если g = /. В этом параграфе исследуются; свойства первообразных для функционалов, лежащих в подпространстве D. Сначала докажем следующую лемму о существовании первообразных основных функций. Лемма 1.21. Функция р є D(a,b) имеет первообразную у/ є Dx(a, b) тогда и только выполнено условие причем, первообразная является единственной и если supple [ах, Ьх], где [ax,bx]c{a,b), то Доказательство. Существует ровно одна первообразная функции р на отрезке [а,Ь], удовлетворяющая условию у/(а) = 0, причем, для нее справедлива формула i//(x) = Jq)(y)dy, xe[a,b]. При этом условие (1.10) равносильно условию у/(Ь) = 0. Поэтому условие (1.10) является необходимым для существования первообразной у є {а, Ъ). Теперь докажем, что условие (1.10) является достаточным для того, чтобы построенная первообразная удовлетворяла условию y/eD "{a,b) и получим оценку для ее носителя. Найдется отрезок [ах, 6, ] с {а, Ь) такой, что supp р с [ах, Ьх ] 1 Тогда у/{х) = I p(y)dy = 0 при х є [а, ах ]. В случае х є [bx, b], с учетом равенства (1.10), имеем: у/(х)= y p(y)dy = 0. Значит supple(/3,,6,] и у/ є D00 (a, b). Лемма доказана. Лемма 1.22. Если f eD" (а,Ь) и / = 0, то / = С, где С есть некоторая константа (т.е. f есть функционал, определяемый формулой Доказательство. Условие / =0 означает, что для любой функции ер є D00 (а, Ь) справедливы равенства (/ , р) - -(/, ср ) = 0. Возьмем некоторую ь функцию у/0&П(а,Ь), удовлетворяющую условию \y/0(x)dx = \ и пусть C = {f,y/Q). Теперь пусть у/ ED(a,b) - произвольная функция. Тогда функция ь p = iy- Ау/0, где А - J y/{x)dx удовлетворяет условию (1.10) и значит имеет первообразную h є D(a,b). Тогда справедливы равенства Значит (f,y/) = АС = С ш(х)ах. Лемма доказана. Лемма 1.23. Пусть geD и пусть f = g . Тогда /ED и для продолжения функционала f на пространство С00 [а, Ь] справедливо равенство Доказательство. Найдется отрезок [я,,Ъх] такой, что \ах,Ьх]с(«,/?) и suppgc[aj,,]. Для всех р еD [a,b] справедливо равенство (f, p) = -(g, p )-Если supp (р с: [а, Ь] \ [ах, Ьх ], то supp q с [а, Ь] \ [ах, Ъх ] и значит (/, (р) = 0. Но это означает, что / = 0 на множестве [а, Ь] \ [ах, Ьх ] и значит / є D. Докажем равенство (1.11).

Пусть T](x)eDa0(a,b) - функция, такая, что 77(д:) = 1 при д: є [а, /?] (существование такой функции доказано в лемме 1.3). Тогда (f,e) = (f,J7) = -(g,n ). Заметим, что rj\x) = 0 при х е [a, J3]. Тогда supp g f] supp rf = 0 и по лемме 1.10 выполнено условие (girj ) = 0. Значит равенство (1.11) выполнено. Лемма доказана. Лемма 1.24. Пусть feD и выполнено условие (1.11). Тогда у функционала f существует и при том единственная первообразная g, удовлетворяющая условию geD. Доказательство. Возьмем некоторую функцию щ є)(д, ), удовлетворяющую условиям J р0(x)dx = \ и supp (р0 с (а,Ь)\[а,/3]. Пусть у/ є D" (a,b) - произвольная основная функция. Тогда функция удовлетворяет условию (1.10). По лемме 1.21 у функции q (x) существует и при том единстенная первообразная j є)(д,/3). Определим функционал g по формуле где GZ)(a,Z ) есть первообразная функции (р, определяемой выражением (1.12). Функционал g непрерывен, т.к. если у„-» при п— оо в Dco{a,b), то для соответствующих функций хп и X выполнено условие хп - X ПРИ п- х в D(a,b) и, значит, (g, „)-»(g, ) ПРИ Докажем, что g есть первообразная для /. Пусть h(x)eDco(a,b). Тогда (g\h) = -(g,h ). Теперь если обозначить y/ = h , то функция р, определяемая выражением (1.12), имеет вид р = іуи тогда функция j, соответствующая тако функции у/ совпадает с функцией И. Значит (g ,h) = (f,h). Но это и означает, что g = f. Наконец, докажем, что geD. Пусть у є )(а,Ь) и suppу/ a [a,b]\[а,/?]. Тогда функция р, опредляемая выражением (1.12) также удовлетворяет условию supp (р с [а, Ь] \ [а,/3]. Значит функция х (первообразная функции ср) удовлетворяет условию х(х) С ПРИ xe[aifi] гДе С - некоторая константа. Найдется отрезок [avbx] такой, что supp/cz(a,,/3,) и [ ,/3,] cz (а,/?). Построим функцию 7?(х) є D (a,b) так, что 77(х) = Іпри х є [aubx] и supp77 с {а,/3). Тогда (g, ) = ЧЛ X) = Значит geD. Лемма доказана. простого и двойного слоя. В теории краевых задач для уравнения Лапласа важную роль играют Ньютонов потенциал точечного заряда и потенциалы простого и двойного слоя. Потенциалом точечного заряда, сосредоточенного в начале координат, в трехмерном случае называется функция (здесь 0 - нулевой элемент в R3), являющаяся гармонической при всех х 0. Пусть есть область на плоскости л: = R2, рассматриваемая как поверхность в пространстве :R3. Потенциалами простого и двойного слоя называются функции, определяемые следующими формулами соответственно: где vvv2 - плотности потенциалов простого и двойного слоя, производная д1дпу есть производная по направлению вектора п = (0,0,1), вычисляется по координатам точки у, интегралы понимаются как двойные и интегралы по области I на плоскости R2 по переменной .у. Заметим, что для существования интегралов в правых частях равенств (2.2) и (2.3) при всех д: є R3 \ I достаточно выполнения условий v,(x) (l + JC) el CL), v2(x)(l + \x\) ЄА( )- Функция F(x) являются гармонической при всех х є R2, х Ф 0, а поверхностные потенциальї Іу,] и /s[v2] при сформулированном условии для плотностей vvv2 есть функции, гармонические на множестве R3 \. Из доказанного в [22, с.57-69] следует, что если поверхность Е ограничена, то потенциалы и = Vz [к, ] w = Uz [v2 ] обладают свойствами : ju є (0,1), С не зависит от v,,v2, но зависит, вообще говоря, от Е и pi. При этом во всех точках поверхности Е существуют краевые значения и , и (dulcn) , (dwldri) , для которых выполнены соотношения: и =и ,(ди/дпУ-(dulcri) =-vp w+-w = v2, [dwldrif=(dw/dn): .. (2.6)- (Заметим, что в [22] доказаны оценки (2.4) и (2.5) и соотношения (2.6) для случая, когда Е есть замкнутая гладкая поверхность класса С3.

Доказательство справедливости утверждений, приведенных в этом пункте для разомкнутой плоской поверхности дано в приложении к главе 2.) Непосредственно из выражений (2.1)-(2.3) следует, что если х их есть точки симметричные относительно плоскости п и не лежащие в этой плоскости, то справедливы соотношения: Из соотношений (2.6)-(2.7) следуют равенства: (ди/дп)+ =-(діі/дп) =-v,/2, w =-w" = к272, где и Если VpVj єС(Е) и v,(x)(l + jc) єІ Е), v2(;c)(l + ;c) єL,(S), то в каждой точке поверхности E существуют краевые значения u±iw±i для которых справедливы формулы (2.6) и (2.8). Кроме того, в этом случае на поверхности Е существуют правильные нормальные производные [диїдп) в смысле определения 1.12, для которых справедливы формулы (2.8) (см. [12], а также приложение к главе 2, леммы 5,6). Для градиента потенциала двойного слоя, размещенного на ограниченной поверхности I, известны формулы [22] Gradv(x) = (dv/dxl,dv/dx2,0) - градиент функции v от двух переменных, рассматриваемый как трехмерный вектор, лежащий на плоскости я-, «х» — знак векторного произведения, причем, разность х-j/ рассматривается как вектор, во второй формуле интеграл понимается в смысле главного значения.. Краевые значения нормальной производной потенциала двойного слоя на поверхности Е можно выразить через плотность v с помощью оператора Прандтля (см. [9,с. 131-132], а также лемму 7 из приложения к главе 2). Пусть V(JC)(1 + JC) 2 eZ E) и veHlM(I. ) для любой ограниченной области Е такой, что Е с Е. Оператором Прандтля называется оператор где S(s,x) - - окрестность точки д: на плоскости /?2. Интеграл в записанной формуле существует для всех функций у указанного вида и называется интегралом в смысле конечного значения по Адамару (понятие такого интеграла было введено в [2]). При этом справедлива формула: Если поверхность Е ограничена и 1/еЯ "(Х), /л є (0,1), v(x) = дv(x)/dxj = 0,j = l,2 на 3L, то выражение в правой части равенства (2.10) определено при д:є2. При этом из формулы (2.11) и неравенства (2.5) следует, что U[v] є #""(), причем, где С = С(//,Е) есть константа из неравенств (2.5). Докажем существование обобщенных краевых значений и нормальных производных потенциала точечного заряда, размещенного на поверхности . Определение 2.1.

О стирании особенностей гармонических функций

В теории гармонических функций известна следующая теорема о стирании особенности гармонической функции в точке [12]: Теорема 2.1. Если и(х), xeR", « = 2,3, есть функция, определенная и гармоническая в выколотой окрестности точки х0, и выполнено условие х- о F(x -х0) где F(x) есть ньютонов потенциал точечного заряда, определяемый выражением (2.27) при п = 2 и (2.1) при п = 3, то функцию и можно доопределить в точке х0 до функции, гармонической в этой точке. Из теоремы 2.1 и принципа максимума [12], в частности следует, что если и - гармоническая функция на множестве R" \ х0, удовлетворяющая условию и равенству (2.50), то и = 0. Следующая теорема дает в трехмерном случае обобщение последнего утверждения для функции, гармонической в окрестности некоторой кривой. Теорема 2.2. Пусть L - кусочно-гладкая замкнутая или бесконечная разомкнутая кривая без самопересечений, заданная параметрически: x = xL(s)e7r, где тс - плоскость х3=0, s -естественный параметр, причем, кривая L состоит из конечного числа гладких компонент, на каждой га кото- рых функция xL(s) непрерывно дифференцируема. В случае замкнутой кривой предположим, что xL(s) периодическая функция с периодом Т 0. Если кривая L бесконечная разомкнутая, то предположим, что 5є(-оо,оо) и существует константа CL 0 такая, что при всех s є (-оо,оо) выполнено неравенство Тогда если функция и(х) является гармонической на множестве R \L, ограничена и удовлетворяет условию (2.51), то и(х) = 0 при xeR2\L. Доказательство. Построим функцию Заметим, что в случае бесконечной разомкнутой кривой интеграл в последнем выражении существует как несобственный в силу неравенства (2.52). Функция wL есть гармоническая положительная функция в области R31L. Докажем оценку где pL(xQ) - расстояние от точки л;0 до контура L, С0 0 - некоторая констан- та, не зависящая от точки х0 з Пусть JC0 єR \ L. Если pL(x0) 1, то оценка, очевидно выполнена, т.к то гда х( о)-0 Предположим, что pL{xQ) \. Существует точка у = xL(sy)єL Тогда, полагая a = s — 1, /3 = s +1 в случае бесконечной разомкнутой кривой L и a = max{sy/2,sy-l}, /3 = min{sy + T12,sy +1} в случае замкнутой кривой L, имеем: Наконец заметим, что функция удовлетворяет условиям f(p) О при р є (0,1), lim f(p) = оо и lim/(/?) = 1. Поэтому найдется С, 0 такое, что f(p) С, при р є (0,1), откуда и следует оценка (2.53). Пусть N= sup и{х). Для каждого ег 0 построим области Q a ={xeR3\L\x(x) N/a\, Q =/?3\Q и функцию ua-u-awL, являющуюся гармонической в области R3\L. При хєQ" выполнено условие Т.к. кривая L не имеет общих точек в множеством Q , выполнено условие 5Q.I =5Q \L. Поэтому неравенство (2.54) выполнено и при xedQ.

Учитывая условие (2.51), по принципу максимума получаем, что неравенство (2.54) выполнено в области Q . Поскольку при при каждом xeR3\L справедливо равенство и{х) = \imua(x), получаем, что и(х) 0 при всех Применяя аналогичное рассуждение к функции— w, получаем неравенство -и(х) 0 при всех xeR3\L. Тогда и(х) = 0 при xeR3\L. Лемма доказана. 2.3.2. О стирании особенности гармонической функции трех аргументов на плоской поверхности. В этом пункте докажем следующую теорему: Теорема 2.3. Пусть к есть плоскость х3=0 в пространстве R3 и пусть X с п есть поверхность, точки которой образуют открытое множество на плоскости п.Предположим, что и(х) есть функция, определенная и гармоническая при хєО., х&п, где О = д; = (д:і,х2,д:3)єЛ(д:,,д:2,0)єГ,д:з г0, г0 0, и имеющая на поверхности Е обобщенные краевые значения и обобщенные нормальные производные класса Б (Е), удовлетворяющие равенствам и =и и (ди/дп) ={duldn) . Тогда функцию и можно доопределить на поверхности Б до функции, гармонической в окрестности каждой точки этой поверхности. Для доказательства сформулированной теоремы нам понадобятся следующие две леммы. Лемма 2.9. Пусть и(х) есть функция, гармоническая в открытом шаре B(r0 ,xQ)aR3t где г0 0, х0 = (х0,, дг02, лг03) є R3. Тогда функцию и можно разложить в этом шаре в ряд Тейлора с центром в точке л:0: Доказательство. Пусть х є В(г0,х0), х х0 и пусть г, =JC-JC0. Возьмем число г так, что гх г г0. Тогда функция и является гармонической в шаре B(r,xQ) и иєС(В(г,х0)). Поэтому функцию и можно представить в виде потенциала простого слоя (Для доказательства последней формулы достаточно заметить, что функция н» = мявляется одним из решений краевой задачи Неймана Aw = 0 в шаре B(r,x0), Bwldn = f на сфере дВ(г,х0), при / = 8и/8п в классе функций w є С2(B(r,x0))f\Cl(B(r,x0)), а все решения такой задачи представляются в виде потенциала простого слоя [12]). Образуем единичный вектор / = (/,, /2, /3) = ( х - х0 ) / \х - х01 и пусть u(t) = u(x0+tl), te(-r,r). Заметим, что выполнено условие x0 + tl єВ(г,х0) при ґє(-г,г) и справедливо равенство и(х) = й(гх). В силу формулы (2.56) функцию u(t) можно представить в виде Докажем, что функция u(t) имеет аналитической продолжение, определенное в круге \t\ r. Для этого перепишем выражение для функции /Д/) при векторами q — х0 и /. Рассмотрим функцию z{t) = г2 — 2rtcosв + t2 при ієС, \t\ r. Покажем, что при teС, \t\ r выполнено условие z(t) L0, где L0 есть луч на (-оо,0] на действительной оси комплексной плоскости. При t- 0 это условие выполнено. Пусть /5 0. Представим число t в виде t = pe"p, рєК,рє (0,r). Тогда z(t) = г2 - 2rpQos9e"p + рге2"р и справедливы равенства Re (z(t)) = г2 - 2rp cos в cos р + р2 cos 2(р, Im (z(t)) = -2rp cos в sin p + p2 sin 2 p. Из последних равенств следует, что lmz = 0 при условии sin = 0 или cos(p = rcos6lр. В первом случае Re(z(/)) = г2 + р2 ±2rpcos0 (r-pf 0, во втором случае Re(z(/)) = r2 —р2 0. Таким образом, z(t) есть функция, аналитическая в круге / г и принимающая значения в области C\L0, являющейся плоскостью с разрезом. Возьмем ветвь функции vz, являющуюся аналитиче- ским продолжением действительной функции 4х на множество С \ L0. Тогда fq{t) = \ly]z(t) есть функция, аналитическая,в круге \t\ г. При этом функция fq(t) и ее производные по t всех порядков есть функции, непрерывные по совокупности аргументов (/,q) на множестве {(t,q)\\t\ r,qeдВ(г,x0)}. Поэтому функция u(t) имеет аналитическое продолжение на круг \t\ г. Функцию u{t), как аналитическую в круге г г, можно разложить в этом круге в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0: u(t) = У —u{k)(0)tk. Подставляя в полученную формулу t = rx и учитывая равенство получаем формулу (2.55). Таким образом, формула (2.55) справедлива для произвольно выбранной точки хеВ(г0,х0), х х0. Остается заметить, что в точке лг = д;0 формула (2.55) очевидно также выполнена.

Лемма доказана. Лемма 2.10. Если функция и(х), XER является гармонической в области QczR и при этом существует открытый шар B(r0,x0) cQ, дг0 є Q, rQ О такой, что и(х) = 0 при, х є В(г0,х0), то и(х) = О при всех х є Q. Доказательство. Пусть xeQ. Построим систему шаров Вк = В(г,ук), к = 0,К, г 0, так, чтобы выполнялись условия: у0 = х0, ук =х\ Вк с Q при всех к = 0,К, уыеВк при всех к = 0,К-1. Такую систему шаров можно построить, например, следующим образом. Т.к. Q - связное множество, можно построить ломаную линию LcQ с концами х0 их. Возьмем r = p(L, 6Q) О (здесь p(L,3Q) - расстояние от ломаной L до границы области Q, если Q = R2 положим г = 1). На кривой L введем естественный параметр s и пусть y = y(s), s e[a,b] есть параметрическое задание кривой L, причем о = У(а) х = у(Ь). Найдется KeN такое, что число As = (b-a)/K удовлетворяет условию As г/4. Образуем точки ук - у {а + к As), к = О, К. При этом выполнено условие \ум — ук\ г/4 при всех к = 0, — 1 и значит система шаров Вк =В(г,ук), к = 0,К является искомой. Теперь по лемме 2.9 при каждом к = 0,К функцию и можно разложить в ряд Тейлора в шаре Вк с центром в точке ук .Т.к. и = 0 в окрестности точки х0, для всех а є Z\ выполнено условие Dau(x0) = Q. Поэтому функция и тождественно равна нулю в шаре В0, являющемся окрестностью точки ух. Поэтому для всех aeZl выполнено условие Dau(yl) = 0. Значит функция и тождественно равна нулю в шаре Z?,. По индукции доказываем, что функция и тождественно равна нулю во всех шарах Вк, к = О, К. Таким образом, для произвольно выбранной точки х є Q, мы доказали равенство и(х) = 0. Лемма доказана. (Заметим, что в двумерном случае аналогичным образом можно доказать Лемма 2.10а. Если функция и(х), хєЯ2 является гармонической в области QdR2 и при этом существует открытый круг В(г0, х0) с Q, х0 є Q, г0 0 такой, что и(х) = 0 при, х є В(г0,х0), то и(х) = 0 при всех х є Q. Лемма 2.10а, вытекает, также, из теории аналитических функций комплексного переменного. Действительно. Построим функцию w(z) = u(x) + iv(x), z = xl+ix2, v - сопряженная гармоническая функция, получаемая из условий Коши-Римана: du/dx{=dv/дх2,диIдх2 = -dvIдхх. Тогда w(z) есть анаитическая функция в области Q, тождественно равная нулю в круге B(r0,x0)czQ.

Обобщенные решения краевых задач в плоском случае

В этом параграфе рассматриваются краевые задачи (3.1)-(3.2) и (3.6)-(3.7) с обобщенным граничным условием. Такие решения названы обобщенными решениями. Дается постановка задач с обобщенными граничными условиями и доказывается единственность обобщенных решений. Вводится понятие фундаментальных решений краевой задачи, под которыми понимаются решения, возникающие в случае, когда в правой части в граничном условии стоит дельта-функция с носителем в заданной точке на кривой. Доказано существование таких решений и исследованы их свойства. С использованием фундаментальных доказано существование решения для случая произвольной интегрируемой правой части в граничном условии, причем, при этом получено интегральное представление решения в виде суперпозиции фундаментальных решений. 3.2Л. Постановка краевых задач с обобщенными граничными условиями. Единственность решения. Рассмотрим краевую задачу Неймана (3.1)- (3.2). Предположим, что / є Dm \L), тє2+ или т = х . Определение 3.3. Обобщенным решением задачи (3.1)-(3.2) с граничным условием класса Dm (L) будем называть функцию u(x)eC2(G), удовлетворяющую уравнению (3.1), имеющую на кривой L обобщенные краевые значения класса Dm (L) и обобщенные нормальные производные класса Dm \Ь) в смысле определений 1.18-1.19, для которых выполнено условие (3.2). (Так же, как и для классических решений, в случае разомкнутого контура L граничное условие (3.2) должно выполняться с обеих сторон контура одновременно). Рассмотрим вопрос о единственности обобщенных решений. Сначала докажем вспомогательное утверждение. Лемма 3.7. Пусть L - контур рассматриваемого вида класса С1 (замкнутый или разомкнутый) . и пусть IL (у) = Г \д In\у - x(s)\ Idn(s)\ ds, yeR2\L, где производная d/dn(s) берется по координатам точки x(s). Тогда найдется константа С = C(L) такая, что 1{у) С для всех yeR2\L. Доказательство. Будем обозначать через С - константы, зависящие только от контура L, причем, в различных оценках значения этих констант могут быть различными. А) Предположим, что L - гладкий замкнутый контур. Пусть у eR2 \ L и пусть є есть расстояние отточки у до контура L. Тогда если є є0, где є0 0 - константа из леммы 1.19, то требуемая оценка, очевидно, выполнена. Пусть є є0. Тогда найдется точка х = x(s ) такая, что \у — х = є.

При этом векторы дынтегральнои функции перепишем в виде: Inly - x(s)\ - —— -j-- -. Используя лемму 1.19 и учитывая оценку получаем: I,(y) C \ ri T-ds C . Тем самым случай А) доказан. Б) Если контур L разомкнутый, то по предположению, сделанному в п. 1.8.1, его можно достроить до замкнутого контура L того же класса гладкости. При этом IL (у) IL (у) и I-L (у) С в силу пункта А). Лемма доказана; Лемма 3.8. Пусть L - контур рассматриваемого вида (замкнутый или разомкнутый) класса Ст, тeN и т 4 или т = оо. Предположим, что и(х) есть функция, определенная и гармоническая при хєК \L такая, что выполнено условие (3.4) на бесконечности, в случае разомкнутого контура в окрестностях концов кривой L выполнена оценка (3.3), на кривой L существуют обобщенные краевые значения и и обобщенные нормальные производные (ди/дп) класса D (L), где 1 = т-2 при конечном т и / = оо при т = со, причем, и eLi(a,b) и выполнено равенство (ди/дп) ={ди/дп) . Тогда функция и представляется в виде потенциала двойного слоя u = UL[v], где v = u+ -if E a b). Доказательство. Возьмем функцию v как указано в условии леммы и пусть w = UL[v]. По лемме и обобщенные нормальные производные на кривой L класса D (L), причем, выполнены равенства w -w =v, (dw/дп) = {dwldn) . Тогда функция h = u-w является гармонической на множестве R2\L, имеет на кривой L обобщенные краевые значения и обобщенные нормальные производные класса D2 (L), причем, выполнены равенства h = h и (dh/дп) =(dh/dn) для обобщенных краевых значений класса Dl (L). По теореме 2.4 функцию h можно доопределить до функции, гармонической на всей плоскости R2, за исключением концов контура L в случае разомкнутой кривой. Заметим, что в случае разомкнутой кривой L из оценки (3.3) следует, что функция и в окрестностях концов кривой L ограничена и имеет непрерывные краевые значения и (s) (при этом в концах кривой L функция и имеет пределы). Значит существуют конмтанты С0 и 5 0 такие, что v(s) C при 5 е(а,а + S]\J[b-S,b). Используя лемму 3.7, легко показать, что функция w, а значит и функция h, ограничена в окрестностях концов контура L. Применяя теорехму 2.1. о стирании особенности гармонической функции в точке заключаем, что h есть функция, гармоническая на всей плоскости R2. Легко показать, что для функции h выполнено условие (3.4). Тогда по теореме Лиувилля [12] h = 0 R2 и значит u = w. Лемма доказана. Теорема 3.5. Предположим, что L - гладкая кривая класса Ст, meN и т 4 или т = со, замкнутая или разомкнутая; f GD1 (L), U(X) - есть обобщенное решение задачи (3.1)-(3.2) класса Dl (L), где 1-т — 2 при meN , / = со при т = со и предположим, что выполнены условия: (kl) u(x)eC2(G), для внешних задач выполнено условие (3.4); (k2) в случае разомкнутой кривой L в окрестностях котре функция и удовлетворяет оценке (3.3); (кЗ) Обобщенные краевые значения функции и на контуре L принадлежат пространству Ц[а,Ь]. Тогда; - если задача внешняя, то указанное решение является единственным в классе Dl (L) на множестве функций, удовлетворяющих условиям kl)-k3) . - если задача внутренняя, то общее решение в классе Dl (L) на множе стве функций, удовлетворяюгцихусловиям Ы)-кЗ), имеет вид и(М) + С, где С - произвольная константа. Доказательство. В силу линейности задачи достаточно рассмотреть единственность решения в случае с однородным граничным условием.

Пусть и есть решение задачи (3.1)-(3.2) для случая / = 0 в рассматриваемом множестве функций. Рассмотрим случай, когда контур L является замкнутым, область G является внутренней по отношению к контуру L. Доопределим функцию и в области R2\G как и = О. Тогда функция и является гармонической на множестве R2 \L и на контуре L выполнено условие (даідгі) = 0. По лемме 3.8 ее можно представить в виде и = UL [v], где v = и+ - if. По построению функции и в области R2\G, на контуре Z, выполнено равенство гг+ =0. По лемме 2.8 справедлива формула (2.31), из которой следует равенство v(s0) = -2 Jv(5)7Cj(s,s0)ds. L Тогда, применяя лемму 2.6, получаем: v(s)&C2(a,b). Теперь из условий (2.41) следует условие І2) из определения 3.1. Следовательно, и(х) есть классическое: решение. По теореме 3.2. заключаем, что и = const. Тем самым для рассматриваемого случая теорема доказана. Случай внешней задачи на замкнутом контуре L рассматривается аналогично. Пусть кривая L является разомкнутой. Достроим контур L до замкнутого гладкого контура L того же класса гладкости и пусть Q" есть область, лежащая внутри контура L, а Q+ - область, внешняя по отношению к контуру L. Обозначим x(s) точки контура L, где sє/? - естественный параметр, причем x(s) есть периодические функции, период которых обозначим как Г. Построим функцию щ так, что и, -и в области Q и щ =0 в области Q". С учетом оценки (3.3) несложно показать, что функция щ имеет на контуре L обобщенные краевые значения и, и обобщенные нормальны производные (дщ/дп) класса D (L), причем, щ еЦ[0,Т]. Построим функции w = UL [v, ], где v, = и+, и h = щ - w. При этом функция w является гармонической в области R2 \ L\ а функция h является гармонической на множестве R2\L. По лемме 2.8. справедливы равенства w+ -w =м+ =и, -м,",. {dwldnf =(dw/dn) , выполненные в смысле равенства правильных обобщенных краевых значений; и правильных обобщенных нормальных производных класса Dl (L). Тогда на кривой L спрведливы равенства h+ =h , (dhldn) -(dhlcn) для правильных обобщенных краевых значений и правильных обобщенных нормальных производных класса Dl (L). По теореме 2.4 функцию //можно доопределить на кривой L до гармонической функции. Значит в каждой точке x(s) кривой L, не являющейся концом, функция h имеет краевые значения / ( ) в смысле определения 1.16, причем, h±(x(s))eC"(a,b). Поскольку и, =0 в области Q , заключаем, что в каждой точке x(s) кривой L, не являющейся концом, функция w имеет краевое значение vv (x), причем, \v (x(s))eCm(a,b). Но по лемме 2.8. для краевых значений функции w справедлива формула (2.31), из которой имеем равенство: Построив функцию и2 так, что и2 = 0 в области Q+ и и2 = и в области Q" и рассмотрев функции w = UL [v2], где v2 = u , и h = u2-w, аналогичным рас-сужднением можем доказать, что и = v2 По лемме 3.8 функция и представляется в виде:u = UL[v], где v = м+ -w", причем, v є Ц [a, b] fC2 (a, b). Тогда функция и удовлетворяет условию І2) из определения 3.1. и является классическим решением задачи (3; 1)-(3.2). По теореме 3.4. заключаем, что и = 0. Теорема доказана.