Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных направлений развития вычислительной математики является совер^ шенствование теории погрешностей вычисления, исследование вопросов сравнительного анализа вычислительных алгоритмов (в.а) и построение оптимальных (в том или ином смысле) алгоритмов решения задач вычислительной и прикладной математики.
История науки и ее многочисленные прилокения дают нам много примеров использования оценки спектральной плотности случайных процессов для решения задач цифровой обработки сигналов (ЦОС), автоматического регулирования, распознавании образов, формирования представлений о строений вещества, закономерностях явлений, происходящих на Солнце, приложениях к медицинской диагностике (кардиограммы, электроэнцефалограммы) и т.д. Следовательно, качество и достоверность оценки спектральной плотности случайных процессов оказывают реаавдее влияние на формирование наших представлений об исходном образе.
В данной диссертационной работе методы и результаты исследований, используемые в вычислительной и прикладной математике, напримор, в теории оптимальных алгоритмов, быстрых ортогональных преобразований применяются для вычисления -оценок спектральной плотности Sx(u) и ьзаимоспактральной плотности S^) стационарных вргодических одучайных процессов
» Sj^Cu) я 2 Г Н^г) сов orort, (1) о
Sxy(u) = 2 Г RjyO:) соа оло/с, (2) о
где Rjq^t), Rxy(t) - соответственно, корреляционная и взаимо-корреляциошшн функция данного процесса.
В последние годы в работах советских и зарубежных авторов основное внимание уделяется построению аффективных по быстродействию алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспек-тральной плотностей случайных процессов путем использования различных быстрых дискретных ортогональных преобразований. Работ, посвященных оптимизации этих алгоритмов по точности практически нет. Как правило, для вычисления оценок Sx(u) и SjyM используется квадратурная формула прямоугольников, которая из-за специфики подынтегральных функции (обе подынтегральные функции, т.е. и Hj^t) ( Hjyfxj ) и coson являются быстроосцилдирупциш) не обеспечивает требуемой точности.
Таким образом, тема . диссертационной работы, посвященная разработке оптимальных по точности алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов является актуальной.
Цель работы:
построить оптимальные по точности алгоритмы вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов;
использовать различные модификации быстрого преобразования фурье (БПФ) для оптимизации по быстродействию предлагаемых в работе алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов;
получить оценки основных характеристик (точность, требуемая память и время решения задачи) предложенных в работе алгоритмов;
разработать соответствующее математическое- обеспечение и проверить его эффективность на практических задачах.
Научная новизна. В настоящее время известны подхода к построению эффективных по быстродействию алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов. Что же касается оптимизации по точности вычисления оценок Sz(u) и S^yfw), то используются квадратурные формулы численного интегрирования, которые будут давать хорошую точность в том случае, если подынтегральная функция является достаточно гладкой и не Окстроизмвняющейсн. Для построе-
ния алгоритмов, пригодных для практически любой осцилляции подт интегральной функций ( что имеет место при вычислении оценок S ((о) и S7V(u) ), необходимо заранее учитывать наличие осциллирующего множителя и особошгасти подынтегральной функции ( в (1) и (2) и корреляционная функция и функция COS UT являются быстроосциллнрующимн ). Рассматриваемый в диссертации подход позволяет оптимизировать алгоритмы вычисления оценок Sx(w) и S„v(«) по точности и быстродействии. Построены новые оптималь-ные по точности .алгоритмы вычисления оценок спектральной и вза-имоспектралыгой плотностей стационарных эргодических случайных процессов. Для получения этих результатов были построены оптимальные по точности алгоритмы вычисления синус и косинус преобразовании Фурье для ряда классов подынтегральных функций, в которые целесообразно "погружать" R^t) и R^t)
Для оптимизации по быстродействию предлагаемых в работе алгоритмов используется модификация алгоритма БПФ па основанию восемь, которая (среди других оснований алгоритма БПФ) является наиболее экономичной по числу вычислительных затрат'.
Построены оценки основных характеристик (точности, времени и требуемой памяти ЭВМ) разработанных в диссертации алгоритмов и програші.
Теоретические результаты доведены до библиотеки вычислительных и оценочных программных модулей вычисления синус и косинус преобразован Фурье для ряда классов подынтегральных функции, прямого и обратного дискретного преобразования Фурье действительного и комплексного сигналов, оценок спектральной и взаи-моспек^ралытой плотностей стационарных эргодических случайных процессов, а такие вычисления основных характеристик предлагаемых вычислительных модулей. Программы написаны на языке Фортран.
Методы исследования. В диссертационной работе исследования проводились на основании методов и результатов, разработанных в вычислительной математике, математическом анализе, теории сложности вычислений и теории быстрых ортогональных преобразований.
Методика построения оптимальных по точности алгоритмов и Еыбор критерия оптимальности основаны на идеях, изложенных в роботах Я. G, Е;і>:и?иоьа, Х.Вспкьняковского, Я М .Жилейкина,
- б -
В.-К.Задираки, В.В.Иванова, Н.П.Корнейчука, С.М.Никольского, А.Г.Сухарева, Дж.Ф.Трауба и др. авторов..
Оптимизация по быстродействию алгоритмов вычисления оценок SY(w) и S_„(w) основаны на работах В.М.Амербаева, А.В.Ефимова, Кули и Тьюки, В.Г.Лабунца, Г.Нуссбаумера, Ч.М.Рейдера и других авторов.
Практическая ценность-, я в н е д -рение результатов работы . Практическая ценность работы заключается в создании программных средстг, которые могут быть широко использованы в различных областях науки и техники, таких, как цифровая обработка сигналов, автоматическое регулирование, распознавание образов, медицинская диагностика, обработка речевых сигналов, геофізика и сейсмология и др.
На основе предложенных в диссертации алгоритмов разработаны библиотеки программ решения выделенных классов задач, вычисления их основных характеристик (точности, времени и требуемой памяти ЭВМ), тестовых задач.
Достоинством созданного программного обеспечения является наличие оптимальных по точности алгоритмов, оценочных программных модулей для вычисления априорных абсолютных оценок основных характеристик соответствующих вычислительных модулей. Эти программы входят в качестве функционального наполнения в пакет прикладных программ "ЦОС-Г1, предназначенный для решения задач цифровой обработки сигналов и разработанный в лаборатории оптимизации численных методов Института кибернетики им.В.М.Глущ-кова АН Украины по заданию ГКНТ СМ СССР (номер государственной регистрации 01860045740 ). Пакет "ЦОС-'Ї" внедрен в ряде организации страны.
А п р о б а ция результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуздались на республиканских школах-семинарах "Вопросы оптимизации вычислений" (г.Одесса, 1939 г., г.Киев, 1990 г.), конференции молодых ученых Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН Украины ( г.Киев, 1939-1991 гг.), заседании семинара " Оптимизация вычислений" научного совета АН Украины по проблеме "Кибернетика" (1988 1991 гг.), в Институте математики АН.. Украины, на семинара
чл.7 корр. АН Украины Н.П.Корнейчука (г.Киев, 1989 г.), в Институте математики и механики АН КАзахстаиа на семинаре академика' АН Казахстана В.М.Амербаева (г.Алма-Ата,1990 г.), на республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" (г.Киев, 1990 г.).
Публикаций .По результатам диссертации опубликовано 7 работ.
Структура диссертации . Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии из 80 названий и приложения.
Похожие диссертации на Эффективные по точности и быстродействию алгоритмы решения задач спектрального анализа случайных процессов
