Содержание к диссертации
Введение
1. Метод воспроизводящего ядра и минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим -свойством 23
1. Воспроизводящее ядро функционального пространства со скалярным произведением 23
2. Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул с тригонометрическим -свойством 33
3. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством 37
4. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством при п. 2 49
5. О минимальных решетчатых кубатурных формулах с тригонометрическим c-свойством при п = 2 55
2. Построение серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(&)-CBOHCTBOM 71
1. Решетки и решетчатые кубатурные формулы 71
2. Критические определители и критические решетки 86
3. Минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим -свойством при 7І — 2 104
4. Построение серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(к)-свойством 113
5. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(k)-свойством при п — 3 129
6. Примеры серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(к)-свойством при п = 4 142
7. Приложение к дискретному преобразованию Фурье 147
3. Решетчатые кубатурные формулы на пространствах функций с доминирующей производной 156
1. Предварительные сведения. Пространства W7| (Л) 156
2. Оценка нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах Wq(A) 161
3. Частный случай р = 2, g = О 173
Список литературы 180
- Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул с тригонометрическим -свойством
- О минимальных решетчатых кубатурных формулах с тригонометрическим c-свойством при п = 2
- Минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим -свойством при 7І — 2
- Оценка нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах Wq(A)
Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к задачам приближенного интегрирования с помощью кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах степени не выше некоторого заданного числа d, сильно возрос в последнее десятилетие. Этот факт отчетливо проявляется в увеличившемся числе работ не только российских математиков (И. П. Мысовских, М. В. Носкова и др.), но и ряда зарубежных специалистов (I.H. Sloan, J N. Lyness, R. Cools, Т. Sorevik и др.).
Следует отметить, что в данной тематике прослеживаются по крайней мере три направления. Первое из них является классическим и состоит в построении кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, число узлов которых является наименьшим (при этом никаких дополнительных ограничений на узлы и коэффициенты кубатурных формул не накладывается). Второе направление характеризуется построением так называемых серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим (і(й)-свойством. Здесь рассматриваются кубатурные формулы, множество узлов которых имеет наиболее простую структуру — решетчатую; решетка узлов таких кубатурных формул зависит от некоторого параметра к. Такие серии строятся для заданной размерности п ^ 3 области интегрирования, причем число узлов fc-й кубатурной формулы из серии стремятся сделать по возможности меньшим, но при этом не потерять соответствующее тригонометрическое (і(^)-свойство. Впрочем, само понятие «по возможности меньшее число узлов» допускает различные толкования, наиболее распространенным из которых является «асимптотически наименьшее». Третье направление появилось буквально в последние годы и характеризуется построением решетчатых кубатурных формул фиксированной тригонометрической степени точности d, но при произвольном значении размерности п.
В одномерном случае задача построения кубатурных формул наивысшей тригонометрической степени точности изучена полностью (см., например, хорошо известную монографию В. И. Крылова). В двумерном случае также можно говорить о почти завершенном исследовании в рамках первых двух направлений (см. работы М. В. Носкова, И П. Мысовских, R. Cools, I. Н. Sloan, а также автора). Однако при п ^ 3 имевшиеся результаты не были столь внушительными, что и привлекло автора к занятию данной проблематикой, прежде всего при п = 3ип = 4. В указанных размерностях требовалось, по крайней мере, предложить эффективную методику построения кубатурных формул со
С Петербург
сколь угодно большим тригонометрическим (і-свойством и приемлемым числом узлов (составление таблиц таких кубатурных формул обычно осуществлялось в результате многозатратного компьютерного поиска). Стало актуальным привлечение новых методов исследования, прежде всего теоретико-числового характера, и совершенствование уже имеющихся методик (например, хорошо известного в алгебраическом случае метода воспроизводящего ядра).
Цель работы. Построение и изучение кубатурных формул, обладающих тригонометрическим eJ-свойством и имеющих при этом минимально возможное или близкое к нему число узлов
Методика исследования. В диссертации использовались методы линейной алгебры, теории чисел (геометрия чисел, теория алгебраических чисел и теория диофантовых приближений), функционального анализа, теории кубатурных формул. Для проведения громоздких символьных вычислений применялись системы компьютерной алгебры MAPLE и PARI/GP.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично Основные результаты диссертации состоят в следующем.
-
В двумерном случае для произвольного нечетного d дано описание всех кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, имеющих минимально возможное число узлов.
-
Построены наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим гі(А;)-свойством для трехмерного случая.
-
Найдена экстремальная решетка для гипероктаэдра в К4 и уточнена оценка его критического определителя. В четырехмерном случае построены серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим й(А:)-свойством, имеющие высокий коэффициент эффективности
-
Предложена простая методика построения в n-мерном случае серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим й(&)-свойством и высоким коэффициентом эффективности На основе этой методики дан пример серии решетчатых кубатурных формул ранга 1 с коэффициентом эффективности 4п-1/п.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты существенно развивают теорию кубатурных формул для периодических функций. Результаты теоретического характера можно использовать в университетских курсах по вычислительной математике. Отдельные результа-
ты имеют значение в прикладном аспекте (например, результаты, относящиеся к дискретному преобразованию Фурье, расширяют диапазон возможных схем его практической реализации).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
Международных семинарах-совещаниях «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1995 г, 1999 г. и 2003 г; Улан-Удэ, 1997 г; Уфа, 2001 г.);
Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1996 г., 1998 г. и 2000 г.);
Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000 г.);
семинарах в ИВМ РАН (Москва), МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва), ИМВЦ УНЦ УрО РАН (Уфа), ИВМ и МГ СО РАН (Новосибирск), ИМ СО РАН им. С. Л. Соболева (Новосибирск), ИВМ СО РАН (Красноярск), КрасГУ (Красноярск), КГТУ (Красноярск).
Часть результатов получена автором в ходе работ по проектам Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 99-01-00765, 03-01-00703 и 04-01-00823).
Публикации. По теме диссертации опубликовано свыше 30 работ, наиболее значительные из которых приведены ниже. В работах [3], [8], [10], [12], [16] вклад соавторов одинаков, а работах [4], (18] основные результаты принадлежат автору.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 130 наименований. Объем диссертации — 192 страницы.
Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул с тригонометрическим -свойством
Это почти на четверть больше, чем 16 — именно такой коэффициент эффективности имеют серии из работы [61] (последние были получены полуэмпирическими методами, кратко охарактеризованными нами выше). Этот результат мы также относим к основным во второй главе.
Теперь скажем несколько слов о результатах последней, третьей главы диссертации. В ней речь идет об оценке нормы функционала погрешности простейших решетчатых кубатурных формул в классах периодических функций с доминирующей производной. Следует отметить, что основные результаты этой главы — теоремы 3.1 и 3.2 — в другой форме были ранее получены соответственно Фроловым (см. [96], а также [33, гл. 6]) и коллективом соавторов во главе с Добровольским (см. [23]). Однако из-за определенного отличия в постановке задач наш способ доказательства представляется логически более простым и во всяком случае не требует большого количества вспомогательных утверждений технического характера (это относится в первую очередь к теореме 3.2). В принципе, эту главу можно было бы представить как дополнение к диссертации. Тем не менее, учитывая общий в диссертации объект исследования — кубатурные формулы для периодических функций — и преследуя полноту изложения материала, мы предпочли включить ее в основной текст.
Далее для удобства читателя приводится краткое описание содержания диссертации по главам. Первая глава посвящена главным образом исследованию минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ( -свойством. Основным методом исследования является метод воспроизводящего ядра.
Первый параграф начинается с определения и общих свойств воспроизводящего ядра произвольного функционального пространства со скалярным произведением. В качестве основных функциональных пространств выступают конечномерные пространства алгебраических или тригонометрических многочленов нескольких переменных. Главное внимание уделяется вопросу об отыскании наиболее простой формы записи воспроизводящих ядер этих пространств, скалярное произведение в которых обычно задано при помощи интеграла с весовой функцией. Типичным примером такой записи в одномерном случае служит хорошо известная формула Кристоффеля — Дарбу.
Во втором параграфе появляется основной объект исследования — куба-турные формулы, обладающие тригонометрическим d-свойством. Ставится задача об описании кубатурных формул с тригонометрическим rf-свойством и минимально возможным числом узлов. Первым шагом в решении этой трудной задачи является почти столь же трудное установление точной нижней границы для числа узлов таких кубатурных формул. Естественным ориентиром здесь может быть нижняя граница Мёллера Na(d).
В третьем параграфе рассматривается задача об описании минимальных кубатурных формул с тригонометрическим -свойством (т.е. таких, у которых число узлов совпадает с нижней границей Мёллера). Наиболее естественным, на наш взгляд, способом решения этой задачи является метод воспроизводящего ядра, позволяющий дать теоретически простые критерии существования минимальных кубатурных формул с тригонометрическим -свойством. Последовательное изложение этого метода и составляет основное содержание параграфа.
В четвертом параграфе приводится основной результат главы — полное описание в двумерном случае всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим (і-свойством для любого нечетного d (теорема 1.11). Это описание получено нами методом воспроизводящего ядра.
Последний, пятый параграф содержит описание (также в двумерном случае) всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим (/-свойством в специальном классе решетчатых кубатурных формул ранга 1, но уже для произвольного d (теорема 1.12). Как и выше, результат достигается применением метода воспроизводящего ядра. Кроме того, в конце параграфа на конкретном примере демонстрируется, как этот метод сделать пригодным и для описания решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим d-свойством и числом узлов, близким к нижней границе Мёллера (см. теорему 1.13).
Глава завершается приложением, в которое вынесены доказательства теорем первого параграфа о представлении воспроизводящих ядер конечномерных пространств алгебраических многочленов со скалярным произведением специального вида. Это представление описывается в терминах классических ортогональных многочленов одной переменной (многочленов Гегенбауэра) и может быть использовано при построении методом воспроизводящего ядра кубатурных формул с (алгебраическим) d-свойством для приближенного вычисления интегралов по n-мерному единичному шару с весом (1 — 12)7.
Основным объектом исследования во второй главе являются кубатур-ные формулы с тригонометрическим (і-свойством, расположение узлов которых имеет наиболее простую структуру — решетчатую. Нам представляется естественным применять здесь методы геометрии чисел — раздела теории чисел, изучающего точечные решетки (центральное понятие геометрии чисел) в их связи с геометрическими фигурами. Основными «рабочими» понятиями для нас являются понятие критического определителя и критической (а иногда и просто экстремальной) решетки данной геометрической фигуры. Определение тригонометрического d-свойства содержит в себе намек и на саму эту геометрическую фигуру — ею оказывается гипероктаэдр (crosspolytope), обобщение обычного октаэдра на n-мерный случай.
Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит необходимые для дальнейшего определения и факты из теории решетчатых кубатурных формул. Здесь же ставится задача об описании решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством и минимально возможным числом узлов, а также рассматриваются различные варианты этой задачи.
Второй параграф начинается с критерия, позволяющего определить, обладает ли решетчатая кубатурная формула тригонометрическим uJ-свойством, Этот критерий открывает путь к применению фактов геометрии чисел, оперирующих понятием критического определителя. Решение поставленных задач о решетчатых кубатурных формулах оказывается тесно связанным с решением задачи о вычислении критического определителя гипер октаэдр а. Основным результатом этого параграфа следует считать найденный методом «малых шевелений» пример экстремальной решетки для гипероктаэдра в М4 (теорема 2.2).
В третьем параграфе мы приводим окончательное описание в двумерном случае всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим (/-свойством, начатое в пятом параграфе первой главы. Применяемая нами техника приведенных базисов решеток оказывается эффективной не только в рассматриваемой ситуации, но и в чуть более общей — при описании почти минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим (/-свойством. Необходимость в изучении таких кубатурных формул возникает, например, в связи с практической реализацией одного варианта дискретного преобразования Фурье (см. ниже).
О минимальных решетчатых кубатурных формулах с тригонометрическим c-свойством при п = 2
В одномерном случае теоремы 1.5 и 1.6 позволяют дать вполне удовлетворительное решение задачи II (а значит, и задачи I) для достаточно произвольной весовой функции р(х) и любого d. Это решение базируется на применении известной формулы Кристоффеля — Дарбу (см. пример 1.1). Не останавливаясь на деталях, отметим, что для случая неотрицательной весовой функции именно так, по существу, и были получены основные результаты работы [40]. В частности, можно легко показать, что при р(х) = 1 все минимальные квадратурные формулы с тригонометрическим tf-свойством исчерпываются квадратурной формулой из примера 1.5 и теми квадратурными формулами, которые получаются из нее всевозможными сдвигами множества узлов по модулю 1.
Приведем пример, показывающий, что в многомерном случае минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим GJ-СВОЙСТВОМ не всегда существуют (даже если весовая функция неотрицательна). Относительно 3 неизвестных точек z — (UJ,VJ) Є TJ (1 j 3). Это следует, например, из того факта, что соответствующий системе полиномиальный идеал содержит одночлены Vy, v\, и. Последнее можно проверить стандартным способом — используя технику базисов Грёбнера (о базисах Грёбпера см., например, [24]).
Далее мы рассмотрим важный частный случай, когда весовая функция р(х) симметрична. Оказывается, в этом случае для решения задачи II при нечетном d вместо общей теоремы 1.6 можно применять значительно более простое и удобное утверждение (см. ниже теорему 1.8). Это обстоятельство связано прежде всего с тем, что у интеграла (1.5) возникает свойство симметрии (1.11). Из него, в частности, вытекает, что при любом s. Тем самым невырожденность скалярного произведения (1.6) на каждом из пространств Т ф zs7k сводится к невырожденности на их общем подпространстве О . Кроме того, для любых 2, ш 6 Т (мы используем комплексные переменные).
В случае симметричной весовой функции важную роль в изучении минимальных кубатурных формул с тригонометрическим -свойством при нечетном d играет следующая
Пусть d = 2&Н-1. Предположим, что весовая функция р{х) симметрична (т.е. удовлетворяет условию (1.10)), а скалярное произведение (1.6) невырожденно на пространстве Т&. Тогда кубатурная сумма любой минимальной кубатурной формулы (1.19) с тригонометрическим (/-СВОЙСТВОМ обязана быть симметричной.
Нам будет удобно полностью перейти к комплексным переменным. Узлы данной минимальной кубатурной формулы (1.19) с тригонометрическим d-свойством обозначим через z (1 j N). Необходимо доказать, что множество узлов кубатурной формулы разбивается на пары взаимно симметричных узлов, а коэффициенты при узлах в каждой такой паре равны. Докажем, например, что существует узел z \ противоположный узлу z \ при ЭТОМ Cj — С.
Минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим -свойством при 7І — 2
Основным объектом исследования в данной главе являются решетчатые кубатурные формулы, обладающие тригонометрическим -свойством.
Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит необходимые определения и факты из теории решетчатых кубатурных формул. Во втором параграфе излагаются дополнительные сведения, относящиеся к геометрии чисел. Приводится пример экстремальной решетки для гипероктаэдра в R4. В третьем параграфе представлено полное описание в двумерном случае всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d- свойством. Четвертый параграф играет ключевую роль. Здесь излагается новый подход к задаче построения серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим (й)-свойством. Приводятся конкретные результаты его применения в n-мерном случае. В пятом и шестом параграфах предложенная методика построения серий решетчатых кубатурных формул с высоким коэффициентом эффективности реализуется при л = 3ип = 4 соответственно. В седьмом параграфе рассматривается возможность применения кубатурных формул с тригонометрическим -свойством к многомерному дискретному преобразованию Фурье. Всюду в этой главе считаем п 2. В этом параграфе мы приводим необходимые определения и факты из теории решетчатых кубатурных формул (см., например, [125], [115], [126], [117]). Такие кубатурные формулы предназначены для приближенного вычисления интеграла (1.32) и ранее нам уже встречались в частном случае решетчатых кубатурных формул ранга 1 (см. (1.34)). Следует отметить, что в общем виде решетчатые кубатурные формулы впервые были рассмотрены в работе К. К. Фролова [95]. В другой форме, более удобной и канонической для нас, они несколько позже появились в работе [123]. Скалярное произведение векторов х — (хх,..., хп) и у (уь ..., уп) в Жп теперь будем обозначать обычным образом — через (х,у), так что Напомним также следующие обозначения, связанные с произвольным вектором х Є Еп: {х} — вектор, компоненты которого суть дробные части соответствующих компонент вектора х. Величину \\х\\ мы будем называть нормой вектора я, при этом х — его евклидова норма (или длина). Понятие решетчатой кубатурной формулы — центральное в этой главе — опирается на понятие полной решетки в R". Теория таких решеток в необходимом для нас объеме содержится, например, в [28, гл. I] (дополнительно см. [20], [21, гл. I], [85]). Для удобства читателя, а также с целью сделать изложение по возможности более замкнутым, приведем нужные нам сведения о решетках достаточно подробно и сопровождая всеми необходимыми определениями. Начнем с самого определения полной решетки. Пусть {ai,.,., ап} — некоторая система линейно независимых векторов (точек) в Rn. Полной (или n-мерной) решеткой с базисом {ai,..., ап} называется множество Л всех векторов (точек) х Є Мп, предста-вимых в виде линейных комбинаций с целочисленными коэффициентами ms (1 s п). Далее вместо слов «полная решетка» будем писать просто «решетка». Решетку в R" мы условимся задавать при помощи невырожденной квадратной матрицы n-го порядка, считая при этом, что базис решетки составляют столбцы этой матрицы. Очевидно, одна и та же решетка Л может быть задана (или, как еще говорят, порождена) многими матрицами, однако если А — одна из них, то всякая другая матрица А\, задающая решетку Л, будет иметь вид где U — целочисленная матрица n-го порядка, при этом det (/) = 1 или — 1 (такие матрицы далее для краткости будем называть унимодулярными). Это позволяет, в частности, ввести понятие определителя решетки Л: где А — некоторая матрица, задающая решетку Л. Геометрически det (Л) —-это объем фундаментального параллелепипеда П решетки Л, натянутого на ее базисные векторы: Простейшим примером решетки в Еп является решетка Ло всех точек с целочисленными координатами: Эта решетка порождена матрицей Е — единичной матрицей n-го порядка и имеет базис, состоящий из единичных векторов (здесь и далее под единичным вектором понимается вектор, у которого все компоненты равны нулю, за исключением одной, равной единице). Пусть Л — решетка, заданная матрицей А, ц — невырожденное линейное преобразование пространства Rn, заданное в базисе из единичных векторов матрицей F. Легко видеть, что образ
Оценка нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах Wq(A)
Отметим, что для минимальных и почти минимальных решетчатых кубатур-ных формул с тригонометрическим -свойством предельное значение коэффициента эффективности является максимально возможным и равно 2.
Изучение минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим -свойством обусловлено, во-первых, тем, что такие кубатурные формулы являются аналогом точных сферических дизайнов [103], [104] (вместо сферы в R" рассматривается n-мерный тор в Е2п — декартово произведение п окружностей) и, во-вторых, возможностью их применения к дискретному преобразованию Фурье [29], в частности, к задачам обработки изображений [112]. Заметим, что в варианте дискретного преобразования Фурье, предложенном в [29], можно использовать решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством и любым, не обязательно минимальным числом узлов. Небольшое увеличение числа узлов N (в случае почти минимальных кубатурных формул), с одной стороны, практически не скажется на числе операций; с другой стороны, это может существенно изменить тип факторизации числа N и тем самым расширить выбор в применении стандартных схем быстрого преобразования Фурье (см. [9]).
При построение для фиксированного d некоторой решетчатой куба-турной формулы с тригонометрическим d-свойством, имеющей «не слишком большое» и даже минимально возможное число узлов, опирается на теоретически простые алгоритмы (пример такого алгоритма мы привели выше). Однако практическая реализация этих алгоритмов, как уже отмечалось, требует значительных вычислительных ресурсов. Наибольшее продвижение в этом направлении достигнуто в работе [108], где при п = 3 и п = 4 составлены таблицы так называемых К(п, -оптимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, охватывающие несколько первых десятков значений d. Весьма вероятно, что указанные в этих таблицах решетчатые кубатурные формулы в действительности являются наилучшими по числу узлов, т.е. доставляют решение задачи Ші.
Но с увеличением п или d вычислительные трудности стремительно растут и получение решетчатых кубатурных формул с требуемым тригонометрическим d-свойством и как можно меньшим числом узлов становится чрезвычайно трудоемкой процедурой. Так, алгоритм отыскания К(п, е)-оптимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, предложенный в [108], требует полного перебора приблизительно [d-\- 1)п матриц В, задающих дуальную решетку Л-1, а это при п Зи сколько-нибудь больших d вряд ли осуществимо в ближайшее время (см. по этому поводу [129]). Это вынуждает ограничиться перебором лишь матриц какого-нибудь специального вида, число которых уже будет приемлемым (см., например, [107], [118], где перебору подвергаются матрицы В с циклическим или антициклическим расположением элементов). Между тем для ряда вычислительных задач (например, для реализации некоторых вариантов дискретного преобразования Фурье) требуются решетчатые кубатурные формулы с достаточно большим тригонометрическим rf-свойством, при этом желательно, чтобы решетка узлов была в некотором смысле «одномерной», т.е. решетчатая ку-батурная формула имела ранг 1 (см. [29], [112]).
Один из способов получения кубатурных формул сколь угодно высокой тригонометрической степени точности состоит в конструировании так называемых серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим й"(&)-свойством, где d(k) линейно зависит от к — параметра серии (см. ниже п. А). При п = 3 примеры таких серий были найдены экспериментальным путем (см. [54], [76]). Для отыскания серий при п — 4 была применена специальная методика, предложенная М. В. Носковым (примеры серий при п = 4 см. в [61]). Методика построения серий подробно описана в [60]. Отличительной особенностью этой методики является использование только сг-цикл и ческой формы записи (2.4) решетчатых кубатурных формул ранга 1.
При п 5 процедура построения серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 на основе упомянутой методики становится весьма трудоемкой и вряд ли оправданной, так как приводит к сериям с относительно небольшим коэффициентом эффективности (см. [87], где приведены примеры полученных таким способом серий при п = 5). Преодолеть возникающие вычислительные трудности и, что самое главное, качественно улучшить имеющиеся результаты можно за счет нового подхода в построении серий решетчатых кубатурных формул (уже не обязательно ранга 1), который опирается на каноническую форму записи (2.1). Этот подход не только является более естественным, но и оказывается более эффективным на практике.
Далее (см. п. Б) мы излагаем новый метод, впервые предложенный нами в [69]. Он позволяет на основе одной уже имеющейся «базовой» решетчатой кубатурной формулы с тригонометрическим а -свойством сравнительно легко (т.е. без больших вычислительных затрат) построить серию решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим с(&)-свойством, где
