Введение к работе
1.1. Актуальность проблемы. Фундаментальное значение по всех областях науки и техники имеет моделирование, осуществляемое средствами математического и логического аппаратов. Математическое моделирование — тонкий и эффективный инструмент познания и обобщения внутренних закономерностей, присущих сложным явлениям и процессам. С его помощью сочетаются качественные и количественные аспекты анализа, формируются методы совершенствования моделируемого процесса и его целенаправленного развития. Изучение любого объекта, любой формы движения материи
— это раскрытие не только его качественных, но и количествен
ных закономерностей, изучаемых теорией моделирования. Анализ
явлений, прогнозирование развития системы, разработка эффектив
ных методов управления, физическое моделирование процессов и,
наконец, автоматизация расчетов основаны на их математическом
моделировании. Моделирование проникает во многие сферы дея
тельности человека. Задачи моделирования становятся более гро
моздкими и разнообразными. Усложнение моделей влечет за собой
необходимость разработки соответствующего математического ап
парата. Данный аппарат во многом ориентируется на разработку
методов и алгоритмов, которые реализуются на средствах вычисли
тельной техники, ибо применение последних значительно расширя
ет возможности проведения моделирования.
1.2. Цель работы. Одна из основных проблем в моделировании
— восстановить по наблюдениям за исследуемым объектом матема
тическое описание данного объекта. При этом на практике часто
бывают ситуации, когда условия протекания процесса настолько не
определенны, что создание математической модели, учитывающей
внешние условия, не представляется возможным. Встают задачи
математического описания объектов, о которых нет полной апри
орной информации. Поэтому данная работа ставит своей целью
развитие идей математического моделирования, вопросов решения
задачи построения'моделей динамических процессов с неполной ин
формацией или в условиях неопределегаюсти по наблюдениям за
траекторией исследуемого процесса в текущий и предшествующие
моменты времени, а также применение полученных методов к зада
чам экономики, техники, социологии.
1.3. Основные научные задачи.
1). Развитие теории обратных задач для линейных систем дифференциальных уравнений.
2). Доказательство возможности использования линейных систем дифференциальных уравнений для аппроксимации нелинейных динамических процессов.
3). Построение методов восстановления параметров исследуемого процесса с использованием физического моделирования.
4). Создание алгоритмов численного моделирования динамических процессов на основе наблюдений, взятых в произвольном количестве и через произвольные временные интервалы.
5). Применение методов численного моделирования и использование средств вычислительной техники для задач из области экономики, техники, социологии.
1.4. Методы исследования. Восстановление математических мо
делей по наблюдениям за реализацией процесса связано с обработ
кой и интерпретацией наблюдений, а также обращением причинно-
следственных связей. Поэтому построение моделей тесно соприка
сается с теорией обратных задач, которая активно развивается и
дает новые результаты в области моделирования.
Широкие возможности для моделирования представляет математический аппарат теории автоматического регулирования. В новом направлении в теории управления, получившем название идентификации систем, создание математического описания объекта (часто в виде линейных систем) осуществляется по данным "вход-выход".
В данной работе восстановление математического описания объекта осуществляется в рамках теории дифференциальных уравнений. При этом модели восстанавливаются в виде линейных систем дифференциальных уравнений (однородных и неоднородных, управляемых и неуправляемых, непрерывных и дискретных). Методы построения таких моделей распространяются и на нелинейные процессы.
Использование фундаментальных принципов термодинамики позволяет найти аналогии и связи между физическими величинами и законами, с одной стороны, и законами экономики, математики, с другой, а также получить эффективные алгоритмы восстановления параметров исследуемых систем. Построение подобных алгоритмов и их реализация на ЭВМ тесно связаны с теорией численных методов.
1.5. Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые
на защиту, являются новыми.
1.6. Теоретическая и практическая значимость работы. Совре
менный этап развития математики характеризуется все большим
вниманием к вопросам построения модели объекта по данным, по
лученным в условиях функционирования объекта. Это объясняется
тем, что для сложных объектов априорная информация о законо
мерностях их функционирования неполная или даже отсутствует со
всем. При этом необходимо сделать вывод о свойствах изучаемого
объекта по измеренным наблюдениям за ним. Этот вывод возможен
в рамках математической модели исследуемого объекта, создание
которой связано с восстановлением параметров по имеющейся экс
периментальной информации. Построение такой модели связано с
рядом теоретических и практических проблем. Данная работа при
звана решить часть из этих проблем. Полученные результаты и ме
тоды дают возможность проведения анализа протекания процесса,
построения локального прогноза на ближайшее будущее, а также
управления ходом процесса. Они предоставляют широкие возмож
ности для применения и могут быть использованы для построения
адекватных моделей динамических процессов из различных обла
стей науки и техники.
1.7. Достоверность основных положений диссертации и получен
ных результатов определяется построением таких методов модели
рования, которые адекватно отражают моделируемую ситуацию и
правильно реагируют на все изменегіия, происходящие в системе.
Математические выкладки подкрепляются конкретными практиче
скими примерами, для которых составлены программы на ЭВМ.
Данные программы на расчетных примерах отражают действен
ность приводимых методов.
Рассматривается процесс формирования цены через воздействие рыночного механизма спроса и предложения. Строится математическая модель динамики цен на рынке определенного товара. Данная модель дает возможность анализировать динамику поведения товара на рынке, прогнозировать основные показатели данного товара на ближайшее будущее. Производится расчет цены, спроса, предложения товаров на торгах толарно-фондовой биржи "Санкт-Петербург" по секции "Черная металлургия". Проводится адаптивное управление вращательным движением твердого тела на основе численного моделирования управляемых процессов.
Производится моделирование процессов замыкания цепи постоянного электрического тока, динамики изменения численности популяции. В последнем случае проверяется действие законов Мальтуса и анализируется изменение численности населения Японии. Решается задача построения модели, дающей возможность строить прогноз добычи, ввоза, потребления каменного угля. Демонстрируются на примерах методы восстановления неизвестных параметров в линеаризованных моделях, строящихся на основе наблюдений, которые могут браться в произвольном количестве через равные или неравные промежутки времени.
Результаты расчетов для описанных примеров сравниваются с реальными показателями. В результате получается хорошее совпадение.
1.8. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсу
ждались и докладывались на:
- Международной научной конференции "Моделирование и ис
следование устойчивости систем" (г. Киев, 20-24 мая 1996г.);
Научной конференции "Управление динамическими системами' (г. С.-Петербург, 20-25 апреля 1996г.);
Семинаре кафедры процессов управления и информационных систем Северо-Западного заочного политехнического института (СЗПИ) (январь 1996 г.);
Международной научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 15-19 мая 1995г.);
Научной конференции " Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1995г.);
- Международной научной конференции "Дифференциальные
уравнения и их приложения" (г. Саранск, 20-22 декабря 1994г.);
- Международной научной конференции "Моделирование и ис
следование устойчивости систем" (г. Киев, 16-20 мая 1994г.);
Научной конференции "Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1994г.);
Научной конференции "Управление динамическими системами" (г. С.-Петербург, 1-5 апреля 1993г.);
- Семинарах кафедры моделирования экономических систем
Санкт-Петербургского государственного университета (1993-1996 г.).
1.9. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в
работах 1-7.
1.10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы. Работа содержит приложения, которые выделены в отдельные параграфы в каждой главе, 21 таблицу и 19 рисунков. Общий объем работы составляет 150 страниц текста, набранного в системе TgX, из них 11 страниц — список литературы, содержащий 127 наименований. В списке литературы приведены только те работы, на которые есть ссылки.
