Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи отрывного нестационарного обтекания разомкнутого контура 11
1.1. Модель плоского потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости 11
1.2. Моделирование вихревых следов 21
1.3. Постановка задачи 24
1.4. Определение перепада давления на контуре 29
1.5. Нелинейное интегро-дифференциальное соотношение в точках схода вихревых следов 31
1.6. Система нелинейных соотношений для комплексной скорости 34
Глава 2. Построение алгоритма решения задачи на основе дискретного моделирования 36
2.1. Процедура дискретизации по времени 36
2.2. Моделирование контура и вихревых следов
системами дискретных вихрей 37
2.3. Система уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей 39
2.4. Решение задачи Коши для определения координат свободных дискретных вихрей 42
2.5. Определение координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура
2.6. Определение перепада давления при дискретном моделировании 48
2.7. Алгоритм численного решения задачи 52
Глава 3. Результаты численного эксперимента для задачи отрывного обтекания пластинки 59
3.1. Выбор расчетных параметров 59
3.2. Результаты расчета координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура 61
3.3. Эволюция вихревых следов 69
3.4. Интенсивности дискретных вихрей 72
3.5. Скорости схода вихревых следов 75
3.6. Перепад давления на пластинке 77
3.7. Об устойчивости расчета 81
Заключение 83
Список литературы
- Определение перепада давления на контуре
- Система нелинейных соотношений для комплексной скорости
- Система уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей
- Результаты расчета координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура
Определение перепада давления на контуре
Для циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру имеет место теорема Кельвина: если жидкость идеальна и баротропна, а массовые силы потенциальны, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру Со остается постоянной во всё время движения этого контура, то есть
В плоском потенциальном течении уравнение неразрывности (1.13) и условие потенциальности течения rot v = 0 для компонент вектора скорости v = {vx(x,y,t),vy(x,y,t)} записываются в виде ду ох Таким образом, для определения двух составляющих вектора скорости достаточно рассматривать уравнения (1.25), (1.26), оставляя уравнение Эйлера (1.14) для определения гидродинамического давления p(x,y,t).
Для плоского потенциального течения можно перейти от плоскости декартовых координат ж, у к плоскости комплексного переменного z = х + гу. Введем комплексную функцию, называемую комплексной скоростью: v{z,t) =vx{x,y,t) -ivy{x,y,t), (1.27) в которой время t играет роль параметра. Из (1.25), (1.26) следует, что vx,vy являются гармоническими функциями. Соотношения (1.25), (1.26) можно рассматривать как условия Коши-Римана аналитичности функции комплексного переменного (1.27). Точечный вихрь
В теории крыла широко применяется моделирование вихревых течений идеальной жидкости с помощью бесконечной прямолинейной вихревой нити с постоянной интенсивностью Г (рис. 1.1). В декартовой системе координат течение жидкости вокруг такой вихревой нити будет одинаковым во всех плоскостях z = const. В каждой такой плоскости частицы жидкости движутся по окружностям вокруг вихревой нити. Точка пересечения вихревой нити и плоскости z = const есть точечный вихрь.
Бесконечно тонкий вихревой слой определим с помощью модели бесконечно тонкой вихревой нити (рис. 1.2). Пусть С - некоторый контур в комплексной плоскости, не являющийся вихревой линией (то есть векторной линией, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором вихря). Через каждую точку ((s) Є С проведем прямолинейную вихревую нить с интенсивностью r(s), где s - дуговая координата точки (, отсчитываемая от соответствующей определенной кромки. Такая система вихревых нитей образует в комплексной плоскости z бесконечно тонкий вихревой слой. Для точек вне вихревого слоя (область D) при подходе к нему с двух сторон (стороны обозначены знаками + и —) касательная составляющая vT скорости терпит разрыв, величина которого определяется формулами [29]
Для точек z Є С интеграл в формуле (1.31) становится сингулярным, так как при ( — z расстояние между этими точками 0. В этом случае сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши и вычисляется с выделением є— окрестности точки z и последующим предельным переходом
Таким образом, в малой окрестности точки z Є С следует различать три комплексные скорости: v+(z), v (z), vo(z) . При этом vo(z) есть скорость точек вихревого следа и определяется интегралом (1.31) в смысле главного значения по Коши.
С помощью вихревого слоя можно моделировать контур и вихревые следы. В зависимости от объекта моделирования вихревой слой будет отличаться некоторыми свойствами. Именно, вихревой слой на контуре должен быть связан с точками контура, "присоединен" к контуру. Тогда как на вихревом следе вихревой слой свободен: двигается вместе с жидкостью. Поэтому на вихревом слое на контуре давление в общем случае терпит разрыв и определяет гидродинамические силы, действующие на контур. А на вихревом слое, моделирующем вихревые следы, давление должно быть непрерывно. Подробнее соответствующие свойства вихревого слоя будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим гладкий разомкнутый контур L, заданный в некоторой декартовой системе координат Оху. При нестационарном обтекании контура за ним образуются вихревые следы Lwj(t), j = 1,..., Nw, которые эволюционируют с течением времени. Сход вихревых следов с контура обусловливается следующим. При нестационарном течении циркуляция скорости жидкости по контуру L является переменной по времени. Но, согласно теореме Кельвина (1.24), циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру Со, охватывающему в том числе и рассматриваемый контур L, имеет постоянное значение. Отсюда следует, что с контура L должны сходить вихревые следы для компенсации изменения циркуляции скорости по контуру таким образом, чтобы суммарная циркуляция скорости вокруг контура и вихревых следов оставалась постоянной для всех моментов времени.
Далее, для рассматриваемого течения жидкости предполагается ограниченность скорости жидкости для любого момента времени в каждой точке плоскости. В связи с этим кромки контура L непременно должны являться точками схода вихревых следов. В противном случае, при обтекании потоком жидкости кромок контура в их окрестности скорости жидкости будут принимать бесконечные значения.
В общем случае число Nw сходящих вихревых следов может быть больше двух. В диссертации рассматривается случай, когда точками схода вихревых следов с контура L являются только его кромки z j, j = 1,2, (Nw = 2) (рис. 1.3).
В плоском течении вихревые следы моделируются бесконечно тонкими вихревыми слоями. Рассмотрим основные свойства такого моделирования.
1) При переходе через вихревой слой нормальная компонента vnj(x,y,t) скорости жидкости меняется непрерывно тогда как касательная составляющая vTj(x,y,t) терпит разрыв. В связи с этим можно говорить о вихревом слое как о линии тангенциального разрыва. Разрыв касательных компонент скоростей vTj(x,y,t) в плоском течении определяет значение интенсивности 7wj(c) вихревого следа Lwj из формулы (1.30): Iwj И = v j - v+ , а Є [0, lwj {t)\, j = 1, 2, (1.33) где (т - дуговая координата точки вихревого следа Lwj , отсчитываемая от его точки схода и положительному значению которой соответствует направление вдоль вихревого следа от точки схода; lwj(t) - длина вихревого следа Lwj, j = 1,2, в момент времени t.
Рассмотрим произвольный элемент ALwj(t) вихревого следа Lwj(t), концы которого имеют дуговые координаты &i(t), o 2(t). В нелинейной теории крыла имеет место следующая теорема [29]: в плоском движении идеальной несжимаемой жидкости в поле консервативных массовых сил суммарная ин тенсивность любого индивидуального элемента вихревого следа остается по стоянной во все время движения
Система нелинейных соотношений для комплексной скорости
Система уравнений (2.6) для момента времени tn имеет N + 4 неизвестных: 7V интенсивностей Гто(п),т = 1,..., TV, присоединенных дискретных вихрей на контуре L, интенсивностей Г П,Г П и координат 2 n(n), n(n) свободных дискретных вихрей, заменяющих соответственно элементы AL n, AL n вихревых следов Lwi,LW2, сошедших с контура L за время Atn = tn — tn-\. Интенсивности остальных свободных дискретных вихрей, моделирующих вихревые следы Lwj , к моменту времени tn уже известны из решения задачи в предыдущие моменты времени (TJwk остаются постоянными во все время движения, п.1.2.). Координаты zJwk(tn)}k п, свободных дискретных вихрей, сошедших в моменты времени tk,k п, определяются на предыдущем моменте времени tn-\ из задачи Коши (1.66).
Теорема Кельвина (1.68) дополняет систему уравнений (2.6) до N + 2 уравнений. Это условие постоянства суммарной циркуляции скорости по контурам L)LW\)LW2 можно записать в виде:
Уравнения (2.6), (2.7) позволяют определять интенсивности дискретных вихрей Гто(п), TJwn}m = 1,..., TV, j = 1,2, только при условии, что координаты zJwn{tn) свободных вихрей TJwn,j = 1,2, известны в данный момент времени tn. В известных алгоритмах решения положения zJwn{tn) не вычисляются в ходе решения задачи, а задаются априорно для каждого момента времени. В дальнейшем в диссертации будут представлены нелинейные уравнения для определения координат этих свободных вихрей и соответствующий алгоритм решения. Эти уравнения замыкают систему уравнений (2.6), (2.7) и делают её нелинейной.
Рассмотрим моменты времени tn,n 2. Для этих моментов времени вихревые следы уже получили свое эволюционное развитие, и свободные дискретные вихри, моделирующие эти вихревые следы, находятся в достаточном отдалении от контура, чтобы можно было ввести необходимые предположения для численного решения задачи Коши (1.66). Свободные дискретные вихри, сошедшие в предыдущие моменты времени tk,k п, в текущий момент времени tn обозначаются zJwk(tn)}j = 1,2. Рассмотрим задачу Коши (1.66) для свободного дискретного вихря zJwk(t)}k п, при t Є [tn-i,tn]:
В окрестностях точек схода вихревых следов Lwj с контура L (особенно в первый момент времени) нельзя требовать выполнения предположения (2.10) из-за больших градиентов скоростей, которые возникают в силу существенной нелинейности поля скоростей в этих окрестностях. Поэтому задача Коши (1.66) неприменима для численного определения положения свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура. Многие авторы исследовали этот вопрос. Все эти рассмотрения, в основном, сводились к априорному заданию этих координат. Это значит, что для каждого момента времени положение непосредственно сходящего дискретного вихря не определялось в процессе решения задачи, а полагалось наперёд заданным из каких-либо соображений, например, из требования выполнения условия схода вихревого следа по касательной к контуру. Но в точках схода должно выполняться не только это условие, но и условия (1.69) - (1.71), а также граничное условие на контуре, так как точка схода принадлежит как контуру, так и вихревым следам. Следствием выполнения этих условий, как было показано в п. [1.5.], является интегро-дифференциальное соотношение (1.62):
На основании (2.12) построим алгоритм определения координат непосредственно сходящих с контура свободных дискретных вихрей.
Условие (2.12) записано для непрерывных вихревых слоев, моделирующих контур L и вихревые следы Lwj . Система же уравнений (2.6), (2.7), к которым следует добавить это соотношение, построена для определения интенсивностей дискретных вихрей rm(tn),m = 1, ...,N, и TJwn,n 1. Поэтому для получения единой системы уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей и координат zJwn(tn), которые входят в (2.6), необходимо функции (.S j t), 7wj(0,), Wj(t) и Twj(t) представить через интенсивности дискретных вихрей Гто , TJwn. Сделаем это согласно [31]. Для начала исследуем асимптотику рассматриваемых функций в малых окрестностях точек z j (концов контура L) и начального момента времени, полагая t Є [0, t\\. Комплексная скорость, индуцируемая элементом вихревого следа ALJwl(t), определяется интегралом Коши (1.39). В классе функций, ограниченных на концах разомкнутого контура, плотность этого интеграла (функция 7wj(c, 0) должна быть равна нулю на конце контура ALJwl(t) с порядком убывания [1 — (y/l]wl{t)}l/2) а Є [0,/ ( )], где lJwi{t) - длина элемента ALJwl(t). Это следует, в частности, из формул обращения интеграла типа Коши
Полученные соотношения позволяют сделать вывод, что при параболическом законе (2.13) изменения интенсивности вихревого слоя на элементе AL3wl(t) и Wj(t) = const для t Є [0,ti]
Выражения (2.18) определяют асимптотику соответствующих функций в окрестности начального момента времени t Є [0,і]. Тем же путем можно исследовать асимптотику решения вблизи кромок контура L для моментов времени t Є [tn-i,tn], п 2. В этом случае интенсивность вихревого следа 7wj(c", t) на элементе Al)wn{t) мало отличается от значения jwj{0,t), что позволяет полагать
Скорость схода Wj(t\) вихрей в след определяется формулой (2.5) как проекция вектора относительной скорости жидкости на касательные к контуру L в точках z i,z 2- Условие (1.69) непрерывности вихревого слоя в кромках контура L позволяет заменить 7wj(0,i) на функцию 7(s j i)jJ = 1,2, которую можно выразить через дискретные вихри Tm(ti),m = 1,...,7V, применяя подходящую интерполяционную формулу. В результате все величины в (2.12) оказываются зависящими только от интенсивностей дискретных вихрей Гі( і),..., Гдг( і), Г І5 Г ,1. При заданном положении zlwll z i свободных дискретных вихрей Г Г интенсивности всех этих вихрей определяются решением уравнений (2.6), (2.7), но при этом условие (2.12) будет выполняться только при некоторых значениях координат zlwX, z\x , также являющихся искомыми величинами в рассматриваемой задаче.
Рассмотрим в точках схода z j вихревых следов Lwj локальные прямоугольные системы координат А \Г]\ и В Ш , где А,В- точки схода, определенные координатами i, 2 соответственно (рис. 2.3). Оси А \, В 2 направлены в сторону схода вихревых следов по касательным к контуру L в точках А и В . Оси Аг]і, Вг]2 образуют с осями А \, В правую прямоугольную систему координат соответственно. С учетом этого искомые координаты 2 ъ zwi представятся в виде (рис. 2.4)
Система уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей
Результаты, представленные на графиках 3.8-3.10, показывают, что сходящие с задней кромки В пластинки свободные дискретные вихри z n(tn) с уменьшением её угла наклона к оси Ох стремятся занять положение по касательной к пластинке в этой кромке. Свободные дискретные вихри п(п) в окрестности передней кромки А приближаются к точке схода с уменьшением угла наклона пластинки к оси Ох и не подходят к положению касательной в этой кромке. Рисунки 3.11, 3.12 наглядно иллюстрируют сказанное: на нем изображены положения непосредственно сходящих дискретных вихрей, заданные по Моделям 1, 2.
Дискретный вихрь, сошедший с кромки А, в = 30 а) г = 0, 25 ; б) г = 1. Представляет интерес выяснить, что происходит, если из множества нулей функции fnji in in) выбираются произвольные координаты. Для этого рассмотрим, например, для момента времени t\ значения скоростей схода, соответствующие нулям функции /ij( ji, 2i) (рис.3.13, 3.14). Здесь, верхняя ветвь (нижняя ветвь, синяя точка) значений скоростей схода на графиках 3.13, 3.14 соответствует верхней дуге (нижней дуге, синей точке) значений нулей функции /ij( ji, 2i) на рисунках 3.3, 3.4 соответственно. в момент времени t\ , 9 = 30 , а) Кромка А; б) Кромка В.
Как видно из графиков, значения скоростей схода для координаты 6Jn , стремящейся к нулю, либо принимают очень большие значения, либо также стремятся к нулю. Тогда как из условий (3.1), (3.2) и из асимптотических предположений (2.16) скорость схода должна быть порядка единицы. Именно выбираемое по условиям (3.1), (3.2) положение сходящего свободного дискретного вихря наиболее близко в общем случае соответствует такому значению скорости схода (см. параграф 3.5.).
Структура вихревых следов определяется системой свободных дискретных вихрей. Рассмотрим структуры вихревых следов в сравнении по двум Моделям. Координаты zwk(tn),k п, свободных дискретных вихрей, сошедших в предыдущие моменты времени tk,k п, рассчитываются для момента времени tn из формулы (2.11). Координаты непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей для Модели 1 определяются на 2 шаге вычислительного алгоритма (параграф 2.7.), а для Модели 2 устанавливаются по касательной в точке схода вихревого следа на расстоянии А/2 от кромки:
На рисунках 3.15, 3.16 представлены положения вихревых следов для безразмерного момента времени г = 1. Здесь черными точками обозначены координаты свободных дискретных вихрей, полученных из расчета по Модели і, а пустыми точками - по Модели 2. Как видно из графиков, структуры вихревых следов, рассчитанные по Моделям 1, 2, мало отличаются друг от друга и, следовательно, мало чувствительны к выбору положения непосредственно сходящих с пластинки свободных дискретных вихрей.
Полученные результаты расчета вихревых следов хорошо согласуются с реальной структурой течения. В качестве примера последнего на рисунке 3.17 приводится фотография, взятая из "Альбома течений жидкости и газа" М. Ван-Дайка [13].
В эксперименте плоская пластинка начинает внезапное движение в направлении своей нормали. Число Рейнольдса, рассчитанное по ширине пластинки, равно 88. Белая краска, создаваемая на поверхности пластинки путем электролиза воды, обнаруживает спиральные вихревые полосы, сбегающие с каждой из кромок. Пластинка продвинулась соответственно на расстояния, равные 0,079; 0,26 и 0,93 ширины.
Кроме того, вихревые структуры, представленные на рисунке 3.15(a) для пластинки, установленной под углом в = 90 к потоку, близки к результатам других авторов [2], которые показывают аналогичную картину течения, полученную по расчетным и экспериментальным данным. Рисунок 3.18, взятый из книги [2], с. 81., демонстрирует это.
На каждом шаге по времени производится расчет интенсивностей Гі,п5 3 = 1,2, свободных дискретных вихрей, непосредственно сошедших с пластинки за Atn: и интенсивностей Гто, т = 1,...,7V, присоединенных дискретных вихрей. При известных координатах непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей эти величины находятся из системы уравнений (2.40),(2.41), которая в этом случае является системой линейных алгебраических уравнений и в данной работе решается методом Гаусса. Интенсивности TJwk, к n, j = 1,2, остальных свободных дискретных вихрей известны (они найдены на предыдущих временных шагах и, в соответствии с теоремой (2.1), остаются постоянными во все время движения).
Результаты вычислений по Моделям 1, 2 суммарных интенсивностей Tm(tn), T3wk присоединенных и свободных дискретных вихрей для безразмерного момента времени г = 1 представлены на рисунках 3.19 - 3.24.
Значения интенсивностей Tm(tn),m = 1,...,7V, присоединенных дискретных вихрей проявляют свое различие в окрестностях кромок А, В пластинки. Для кромки А это различие возрастает с уменьшением угла наклона пластинки, причем окрестность кромки А, в которой это возрастание происходит, также увеличивается. Например, для угла наклона в = 30 значения интенсивностей Tm(tn),m = 1, ..., V, присоединенных дискретных вихрей, вычисленные по Моделям 1, 2, показывают различие на промежутке, занимающем больше двух третей пластинки. -0,04
Значения интенсивностей TJwk,k = 1,...,n,j = 1,2, свободных дискретных вихрей, рассчитанные по Моделям 1, 2, незначительно отличаются друг от друга. Различия проявляются для интенсивностей свободных дискретных вихрей, сошедших в начальные моменты времени.
Таким образом, изменение положения непосредственно сходящих дискретных вихрей несущественно влияет на суммарные интенсивности свободных дискретных вихрей, тогда как на значения интенсивностей присоединенных дискретных вихрей при угле наклона в = 30 более значительно.
Исходя из настоящего моделирования отрывного обтекания разомкнутого контура, скорости схода Wj(tn), j = 1,2, должны принимать положительные значения для любого значения времени tn. В противном случае, вихревые следы не образуются, что противоречит теореме Кельвина.
Приведенные результаты показывают, что значения скоростей схода, рассчитанные по Модели 2, в кромке А в начальные моменты времени для разных углов наклона пластинки являются неположительными. С уменьшением угла наклона пластинки к оси Ох промежуток времени, на котором наблюдаются отрицательные скорости схода, увеличивается. Это противоречит предположению о наличии схода вихревого следа с кромки А в начальные моменты времени и не соответствует физической картине течения.
Результаты расчета координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура
Таким образом, скорости схода вихревых следов зависят от положений свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура. Положительное значение этих величин означает наличие схода вихревых следов, что, в свою очередь, говорит о согласованности результатов расчета с исходной физической моделью течения. И, наоборот, получение неположительных значений скоростей схода свидетельствует об ошибках в решении соответствующей задачи.
Результаты расчета перепада давления на контуре позволяют, в первую очередь, проверить, удовлетворяются ли граничные условия равенства нулю этой величины в точках схода. Перепад давления на пластинке определяется по формуле (2.37) в точках его разбиения q, г = 0, ...,N, рассматриваясь при этом в безразмерном виде:
Распределение перепада давления в безразмерном виде по пластинке для разных углов её наклона к оси Ох для безразмерного времени г = 1 представлено на рисунках 3.28-3.30. Результаты показывают, что поведение этой величины, рассчитанной по Моделям 1 и 2, является достаточно схожим. Для 9 = 90 наблюдается характерное симметричное распределение перепада давления. При уменьшении угла наклона пластинки перепад давления на передней части пластинки (у кромки А) увеличивается, тогда как на задней части пластинки - уменьшается. Что касается различий результатов расчета, то из графиков видно, что для углов наклона пластинки 9 = 90, 60 различие перепада давления наблюдается в точках, расположенных в окрестностях кромок пластинки, причем для угла наклона 9 = 60 такая окрестность кромки А достигает трети длины пластинки.
Для угла наклона 9 = 30 на двух третях длины пластинки изменение значений перепада давления в точках её разбиения характеризуется некоторым возмущением. Это связано с тем, что при небольшом угле наклона вихревой след, сходящий с передней кромки А и образующий плотный вихревой сгусток, достаточно близко подходит к пластинке, что существенно влияет на точность расчета перепада давления на этом участке пластинки.
Отметим, что результаты расчета перепада давления на пластинке, полученные для угла наклона 9 = 60, согласуются с соответствующими результатами расчета, представленными СМ. Белоцерковским и его соавторами в [7].
Рассмотрим перепад давления в кромках пластинки (точках схода вихревых следов). Как видно из графиков 3.28-3.30, в точках схода перепад давления, рассчитанный по Модели 2, отличен от нуля, что означает невыполнение одного из граничных условий в этих точках. На рисунках 3.31-3.33 представлены изменения перепада давления в кромках пластинки в зависимости от времени г Є [0,1]. Результаты приведены для обеих расчетных Моделей. Графики показывают, что для перепада давления, рассчитанного по Модели І, граничное условие равенства нулю этой величины выполняется для любого момента времени и для любого рассматриваемого угла (90, 60, 30) наклона пластинки.
На кромке А разрыв давления значительней отличен от нуля, чем на кромке В. При уменьшении угла наклона пластинки перепад давления на кромке А увеличивается, а на кромке В уменьшается, выходя на некоторую асимптоту (свою для каждого угла). Эти результаты, как и в случае для скоростей схода, объясняются тем, что при уменьшении угла наклона пластинки свободные дискретные вихри, непосредственно сходящие с задней кромки В, приближаются к касательной к пластинке в этой точке схода.
Таким образом, положения непосредственно сходящих дискретных вихрей влияют на значение перепада давления в кромках контура, и произвольное их задание может привести к невыполнению равенства нулю перепада давления в точках схода вихревых следов, то есть к невыполнению одного из граничных условий.
Для оценки устойчивости расчета в рамках численного эксперимента был проведен анализ влияния числа элементов разбиений пластинки (числа присоединенных дискретных вихрей, моделирующих контур) на точность решения поставленной задачи. Полученное численное решение будем считать приемлемым, если оно удовлетворяет всем условиям рассматриваемой задачи с наперед заданной исследователем точностью. Было выяснено, что в случае Модели 1 решение приемлемо, если число разбиений пластинки не меньше N = 40. В противном случае, не удается добиться равенства нулю перепада давления в точках схода вихревых следов с заданной точностью, из чего следует невыполнение соотношения (1.62), которое является ключевым в определении координат непосредственно сходящих дискретных вихрей. Заметим, что в работах других авторов число разбиений также выбирается равным 40 [7].
Далее, результаты, приведенные в параграфах 3.3., 3.6., позволяют сделать вывод, что малое изменение координат непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей (Модели 1 и 2) в общем случае слабо влияет на форму вихревых следов и распределение перепада давления по пластинке (исключением являются окрестности точек схода). Этот факт говорит об устойчивости расчета.
Рассмотрим вопрос устойчивости системы уравнений (2.40), (2.41), которая при известных значениях координат непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей (заданных заранее каким-либо образом или определенных в ходе решения задачи) является линейной (СЛАУ) для каждого момента времени. Для исследования этого вопроса был проведен расчет числа обусловленности матрицы S системы, имеющий вид:
Обратную матрицу можно найти, дополнив метод Гаусса серией элементарных преобразований. Тогда число обусловленности матрицы S вычисляется по определению (3.7), где в качестве нормы матрицы и вектора используется шах-норма:
Результаты расчета числа обусловленности матрицы S СЛАУ (2.40), (2.41) для задачи нестационарного обтекания пластинки представлены на рисунке 3.34. Из графика видно, что S является хорошо обусловленной матрицей для любого угла наклона пластинки и для любого момента времени. Таким образом, СЛАУ (2.40), (2.41) является устойчивой. cond(S) 25 10 0 "І
